定積分及其應(yīng)用課件

第6章定積分及其應(yīng)用

定積分起源于求圖形的面積和體積等實(shí)際問題。

微積分是一種數(shù)學(xué)思想，“無限細(xì)分”就是微分，“無限求和”就是積分。無限就是極限，極限的思想是微積分的基礎(chǔ)。

“無限細(xì)分，無限求和”的積分思想在古代就已經(jīng)萌牙．最早可以追溯到希臘由阿基米德（287BC～212BC）等人提出的計(jì)算面積和體積的方法．阿基米德用“窮竭法”，我國劉徽用“割圓術(shù)”都曾計(jì)算過一些幾何體的面積和體積。這些均為定積分的雛形。后來也逐步得到了一系列求面積（積分）、求切線斜率（導(dǎo)數(shù)）的重要結(jié)果，但這些結(jié)果都是孤立的，不連貫的．第6章定積分及其應(yīng)用定積分起源于求圖形

直到17世紀(jì)中葉，牛頓和萊布尼茲在各自的國家，從不同的角度，用不同的方法，先后提出了定積分的概念，并發(fā)現(xiàn)了定積分和微分之間的內(nèi)在聯(lián)系，確立微分和積分是互逆的兩種運(yùn)算，并使各自獨(dú)立的微分學(xué)和積分學(xué)聯(lián)系在一起，構(gòu)成完整的理論體系——微積分學(xué)。他們給出了計(jì)算定積分的一般方法，從而使定積分成為解決實(shí)際問題的有力工具。怎樣是“無限細(xì)分”？怎樣是“無限求和”？直到17世紀(jì)中葉，牛頓和萊布尼茲在各自的國家abxyo實(shí)例

求曲邊梯形的面積abxyo實(shí)例求曲邊梯形的面積abxyoabxyo用矩形面積近似取代曲邊梯形面積顯然，小矩形越多，矩形總面積越接近曲邊梯形面積．四個(gè)小矩形

九個(gè)小矩形abxyoabxyo用矩形面積近似取代曲邊梯形面積播放觀察下列演示過程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系：播放觀察下列演示過程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，矩形觀察下列演示過程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系：3個(gè)分點(diǎn)的圖示觀察下列演示過程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，矩形面積觀察下列演示過程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系：13個(gè)分點(diǎn)的圖示觀察下列演示過程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，矩形面積觀察下列演示過程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系：23個(gè)分點(diǎn)的圖示觀察下列演示過程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，矩形面積觀察下列演示過程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系：33個(gè)分點(diǎn)的圖示觀察下列演示過程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，矩形面積觀察下列演示過程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系：43個(gè)分點(diǎn)的圖示觀察下列演示過程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，矩形面積觀察下列演示過程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系：53個(gè)分點(diǎn)的圖示觀察下列演示過程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，矩形面積觀察下列演示過程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系：63個(gè)分點(diǎn)的圖示觀察下列演示過程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，矩形面積觀察下列演示過程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系：73個(gè)分點(diǎn)的圖示觀察下列演示過程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，矩形面積觀察下列演示過程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系：83個(gè)分點(diǎn)的圖示觀察下列演示過程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，矩形面積觀察下列演示過程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系：93個(gè)分點(diǎn)的圖示觀察下列演示過程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，矩形面積觀察下列演示過程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系：103個(gè)分點(diǎn)的圖示觀察下列演示過程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，矩形面積觀察下列演示過程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系：113個(gè)分點(diǎn)的圖示觀察下列演示過程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，矩形面積觀察下列演示過程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系：123個(gè)分點(diǎn)的圖示觀察下列演示過程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，矩形面積觀察下列演示過程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系：133個(gè)分點(diǎn)的圖示觀察下列演示過程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，矩形面積觀察下列演示過程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系：143個(gè)分點(diǎn)的圖示觀察下列演示過程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，矩形面積

1.了解定積分定義、幾何意義、定積分的性質(zhì)。2.了解原函數(shù)存在定理，知道變上限的定積分，會(huì)求變上限定積分的導(dǎo)數(shù)。3.熟練掌握牛頓—萊布尼茲公式，并熟練地用它計(jì)算定積分。掌握定積分的換元積分法和分部積分法。4.了解無窮積分收斂性概念，會(huì)計(jì)算簡單的無窮積分。5.會(huì)用定積分計(jì)算簡單的平面曲線圍成圖形的面積(直角坐標(biāo)系)和繞坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)生成的旋轉(zhuǎn)體體積。學(xué)習(xí)要求1.了解定積分定義、幾何意義、定積分的性質(zhì)。學(xué)習(xí)要求ab1.曲邊梯形的面積的計(jì)算y=f(x)分割近似代替求和取極限Ax0y

當(dāng)分割無限加密，區(qū)間[a，b]分得越細(xì)，精確度就越高。6.1定積分的概念一、兩個(gè)例子a2.變速直線運(yùn)動(dòng)的位移

設(shè)物體作變速直線運(yùn)動(dòng)，已知運(yùn)動(dòng)的速度函數(shù)為

v(t),求在時(shí)間間隔[0，T]內(nèi)物體的位移。分割近似代替abv(t)求和取極限部分路程值某時(shí)刻的速度2.變速直線運(yùn)動(dòng)的位移設(shè)物體作變速直線運(yùn)動(dòng)，

思路：把整段時(shí)間分割成若干小段，每小段上速度看作不變，求出各小段的路程再相加，便得到路程的近似值，最后通過對(duì)時(shí)間的無限細(xì)分過程求得路程的精確值．思路：二、定積分的定義

設(shè)函數(shù)

f(x)在[a,b]上有界,在[a,b]中任意插入n-1個(gè)分點(diǎn)將[a,b]分割為n個(gè)小區(qū)間,記其長度為(i=1,2,3,…,n),并在每一個(gè)小區(qū)間上任取一點(diǎn),[a,b]的分法及的取法無關(guān)的極限值，則稱此極限值為

f(x)在[a,b]上的定積分，稱

f(x)在[a,b]上可積，記為作和式存在與二、定積分的定義設(shè)函數(shù)f(x)在[a,b]其中稱

x為積分變量，稱f(x)被積函數(shù)，并稱為積分號(hào)，a，b為積分的下限和上限，[a,b]為積分區(qū)間。定積分是一個(gè)無窮和的極限。被積函數(shù)積分變量積分上限積分下限積分和積分號(hào)其中稱x為積分變量，稱f(x)被積函數(shù)，并稱為積分曲邊梯形的面積二、定積分的幾何意義abx0yy=f(x)A曲邊梯形的面積的負(fù)值曲邊梯形的面積二、定積分的幾何意義a定積分的物理意義：變速直線運(yùn)動(dòng)的位移一般地定積分的物理意義：變速直線運(yùn)動(dòng)的位移一般地注意：（1）定積分是一個(gè)無窮和的極限，是一個(gè)數(shù)值。注意：（1）定積分是一個(gè)無窮和的極限，是一個(gè)數(shù)值。定理1定理2三、存在定理定理1定理2三、存在定理

恩格斯指出：初等數(shù)學(xué)，即常數(shù)的數(shù)學(xué)，是形式邏輯的范圍內(nèi)活動(dòng)的。至少總的來說是這樣的，而變量數(shù)學(xué)——其中最主要的部分是微積分——本質(zhì)上不外是辯證法在數(shù)學(xué)方面的應(yīng)用。

從初等數(shù)學(xué)到變量數(shù)學(xué)的過渡，反映了人類思維從形式邏輯向辯證邏輯的跨越，是人類的認(rèn)識(shí)能力由低級(jí)向高級(jí)的發(fā)展。求定積分過程中的辯證思維恩格斯指出：初等數(shù)學(xué)，即常數(shù)的數(shù)學(xué)，是形式邏輯的范圍

定積分中極限方法可以使有關(guān)常數(shù)與變量，近似與精確，變與不變等矛盾的對(duì)立雙方想互轉(zhuǎn)化，從而化未知為已知，體現(xiàn)了對(duì)應(yīng)統(tǒng)一法則。求曲邊梯形的面積和求變速直線運(yùn)動(dòng)的路程的前三步即“分割”，“近似代替”和“求和”是初等數(shù)學(xué)方法的體現(xiàn)，而且也是初等數(shù)學(xué)方法中形式邏輯思維的體現(xiàn)。只有第四步“取極限”這種思維蘊(yùn)含于變量數(shù)學(xué)中的豐富的辯證邏輯思維，才使得微積分巧妙地有效地解決了初等數(shù)學(xué)所不能解決的問題。定積分中極限方法可以使有關(guān)常數(shù)與變量，近似與

例1

利用定義計(jì)算定積分解01xy例1利用定