高中數(shù)學必修5期末復習課課件

高中數(shù)學必修5期末復習第一章

解三角形正弦定理、余弦定理內容索引基礎知識自主學習題型分類深度剖析審題路線圖系列思想方法感悟提高練出高分基礎知識

自主學習1.正弦定理、余弦定理在△ABC中，若角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，R為△ABC外接圓半徑，則b2＋c2－2bccosAc2＋a2－2cacosBa2＋b2－2abcosC知識梳理1答案2RsinB2RsinCsinA∶sinB∶sinC答案2.S△ABC＝absinC＝bcsinA＝acsinB＝＝(a＋b＋c)·r(r是三角形內切圓的半徑)，并可由此計算R、r.3.在△ABC中，已知a、b和A時，解的情況如下：

A為銳角A為鈍角或直角圖形關系式a＝bsinAbsinA<a<ba≥ba>b解的個數(shù)一解兩解一解一解判斷下面結論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)(1)三角形中三邊之比等于相應的三個內角之比.(

)(2)在△ABC中，若sinA＞sinB，則A＞B.(

)(3)在△ABC的六個元素中，已知任意三個元素可求其他元素.(

)(4)當b2＋c2－a2>0時，三角形ABC為銳角三角形；當b2＋c2－a2＝0時，三角形為直角三角形；當b2＋c2－a2<0時，三角形為鈍角三角形.(

)(5)在三角形中，已知兩邊和一角就能求三角形的面積.(

)×√××√思考辨析答案D考點自測2解析答案12345B所以BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos60°＝3，解析答案123451解析答案12345直角4.△ABC中，若bcosC＋ccosB＝asinA，則△ABC的形狀為_____解析由已知得sinBcosC＋cosBsinC＝sin2A，∴sin(B＋C)＝sin2A，∴sinA＝sin2A，∴△ABC為直角三角形.三角形.解析答案12345∵sinA＝sin(B＋C)＝sinBcosC＋cosBsinC，解析答案返回12345題型分類深度剖析A.1個B.2個

C.0個D.無法確定∴bsinA<a<b.∴滿足條件的三角形有2個.B題型一利用正弦定理、余弦定理解三角形解析答案B＝30°，∴C＝105°.45°，30°，105°解析答案解得b＝1.1思維升華解析答案思維升華(1)判斷三角形解的個數(shù)的兩種方法①代數(shù)法：根據(jù)大邊對大角的性質、三角形內角和公式、正弦函數(shù)的值域等判斷.②幾何圖形法：根據(jù)條件畫出圖形，通過圖形直觀判斷解的個數(shù).(2)已知三角形的兩邊和其中一邊的對角解三角形.可用正弦定理，也可用余弦定理.用正弦定理時，需判斷其解的個數(shù)，用余弦定理時，可根據(jù)一元二次方程根的情況判斷解的個數(shù).(1)已知在△ABC中，a＝x，b＝2，B＝45°，若三角形有兩解，則x的取值范圍是(

)

解析若三角形有兩解，則必有a＞b，∴x＞2，C跟蹤訓練1解析答案設AB＝x，由余弦定理，得BC2＝AC2＋AB2－2AC·ABcosA，化簡得x2－2x＋1＝0，∴x＝1，即AB＝1.1解析答案(1)求tanC的值；題型二和三角形面積有關的問題解析答案＝sin2C＝2sinCcosC，

②由①②解得tanC＝2.所以－cos2B＝sin2C.①(2)若△ABC的面積為3，求b的值.思維升華解析答案思維升華跟蹤訓練2解析答案(1)求角B；解析答案又∵b2＝a2＋c2－2accosB，即a2＋c2＝8. ②由①②聯(lián)立解得a＝c＝2.題型三正弦、余弦定理的簡單應用解析答案即sinC<sinBcosA，所以sin(A＋B)<sinBcosA，即sinBcosA＋cosBsinA－sinBcosA<0，所以cosBsinA<0.又sinA>0，于是有cosB<0，B為鈍角，所以△ABC是鈍角三角形.答案AA.等邊三角形B.直角三角形C.等腰三角形或直角三角形D.等腰直角三角形解析答案∴2a2＝a2＋c2－b2，∴a2＋b2＝c2，∴△ABC為直角三角形.答案B∴(1＋cosB)·c＝a＋c，命題點2求解幾何計算問題例4(2015?課標全國Ⅱ)如圖，在△ABC中，D是BC上的點，AD平分∠BAC，△ABD面積是△ADC面積的2倍.因為S△ABD＝2S△ADC，∠BAD＝∠CAD，所以AB＝2AC.解析答案解因為S△ABD∶S△ADC＝BD∶DC，在△ABD和△ADC中，由余弦定理，知AB2＝AD2＋BD2－2AD·BDcos∠ADB，AC2＝AD2＋DC2－2AD·DCcos∠ADC.故AB2＋2AC2＝3AD2＋BD2＋2DC2＝6，由(1)知AB＝2AC，所以AC＝1.解析答案思維升華思維升華(1)判斷三角形形狀的方法①化邊：通過因式分解、配方等得出邊的相應關系，從而判斷三角形的形狀.②化角：通過三角恒等變形，得出內角的關系，從而判斷三角形的形狀，此時要注意應用A＋B＋C＝π這個結論.(2)求解幾何計算問題要注意①根據(jù)已知的邊角畫出圖形并在圖中標示；②選擇在某個三角形中運用正弦定理或余弦定理.(1)在△ABC中，內角A，B，C所對的邊長分別是a，b，c，若c－acosB＝(2a－b)cosA，則△ABC的形狀為(

)A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰或直角三角形跟蹤訓練3解析答案＝2sinAcosA－sinBcosA∴cosA(sinB－sinA)＝0，∴cosA＝0或sinB＝sinA，∴△ABC為等腰或直角三角形.答案D解析∵c－acosB＝(2a－b)cosA，C＝π－(A＋B)，∴由正弦定理得sinC－sinAcosB＝2sinAcosA－sinBcosA，∴sinAcosB＋cosAsinB－sinAcosBBD2＝AB2＋AD2－2AB·ADcos∠BAD解析答案返回審題路線圖系列審題路線圖系列二審結論會轉換溫馨提醒審題路線圖解析答案返回溫馨提醒解析答案規(guī)范解答溫馨提醒解析答案溫馨提醒

(1)本題將正弦定理、余弦定理和和差公式綜合進行考查，具有一定的綜合性，要求考生對公式要熟練記憶；通過審題理清解題方向；(2)本題還考查考生的基本運算求解能力，要求計算準確無誤，盡量簡化計算過程，減少錯誤.溫馨提醒返回思想方法感悟提高2.解題中要靈活使用正弦定理、余弦定理進行邊、角的互化，一般要只含角或只含邊.方法與技巧1.在利用正弦定理解已知三角形的兩邊和其中一邊的對角求另一邊的對角，進而求出其他的邊和角時，有時可能出現(xiàn)一解、兩解，所以要進行分類討論.2.在解三角形或判斷三角形形狀時，要注意三角函數(shù)值的符號和角的范圍，防止出現(xiàn)增解、漏解.失誤與防范返回練出高分123456789101112131415A解析答案解析因為3sinA＝5sinB，所以由正弦定理可得3a＝5b.令a＝5，b＝3，c＝7，A則由余弦定理c2＝a2＋b2－2abcosC，得49＝25＋9－2×3×5cosC，解析答案1234567891011121314153.若△ABC的三個內角滿足sinA∶sinB∶sinC＝5∶11∶13，則△ABC(

)A.一定是銳角三角形B.一定是直角三角形C.一定是鈍角三角形D.可能是銳角三角形，也可能是鈍角三角形解析答案123456789101112131415及已知條件sinA∶sinB∶sinC＝5∶11∶13，可設a＝5x，b＝11x，c＝13x(x＞0).∴C為鈍角.∴△ABC為鈍角三角形.答案C123456789101112131415解析答案123456789101112131415答案C由①②得－ab＋6＝0，即ab＝6.解析∵c2＝(a－b)2＋6，∴c2＝a2＋b2－2ab＋6.①123456789101112131415解析答案123456789101112131415答案C即a2＋c2－b2＝ac，123456789101112131415解析答案123456789101112131415解析答案123456789101112131415又b－c＝2，∴b2－2bc＋c2＝4，b2＋c2＝52，由余弦定理得，a2＝b2＋c2－2bccosA∴a＝8.答案81234567891011121314158.已知a，b，c分別為△ABC三個內角A，B，C的對邊，a＝2，且(2＋b)(sinA－sinB)＝(c－b)sinC，則△ABC面積的最大值為________.解析由正弦定理，可得(2＋b)(a－b)＝(c－b)·c.∵a＝2，∴a2－b2＝c2－bc，即b2＋c2－a2＝bc.由b2＋c2－bc＝4，得b2＋c2＝4＋bc.∵b2＋c2≥2bc，即4＋bc≥2bc，∴bc≤4.解析答案123456789101112131415(1)求角C的大??；解析答案123456789101112131415由a≠b，得A≠B，又A＋B∈(0，π)，123456789101112131415故sinB＝sin(A＋C)＝sinAcosC＋cosAsinC解析答案123456789101112131415解析答案123456789101112131415因為sinC＜sinB，所以C＜B，可知C為銳角．解析答案123456789101112131415因此sinA＝sin(B＋C)＝sinBcosC＋cosBsinC123456789101112131415解析設AB＝c，則由AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cosB知7＝c2＋4－2c，即c2－2c－3＝0，∴c＝3(負值舍去).∴BC邊上的高為AB·sinBB解析答案123456789101112131415解析由tanA＝2得sinA＝2cosA.解析答案123456789101112131415解析答案123456789101112131415所以C＝180°－120°－30°＝30°，所以∠ADB＝45°，從而∠BAD＝15°＝∠DAC，123456789101112131415解析答案123456789101112131415∴AB＝2sinC，BC＝2sinA.又A＋C＝120°，∴AB＋2BC＝2sinC＋4sin(120°－C)＝2(sinC＋2sin120°cosC－2cos120°sinC)解析答案123456789101112131415由于0°＜C＜120°，且α是第一象限角，123456789101112131415(1)求角A和角B的大?。唤馕龃鸢?23456789101112131415解析答案123456789101112131415即sinB＝1＋cosC，則cosC＜0，即C為鈍角，123456789101112131415(2)求△ABC的面積.解由(1)知，a＝b，由余弦定理得解析答案返回123456789101112131415本課結束第一章

解三角形解三角形的應用舉例內容索引基礎知識自主學習題型分類深度剖析思想與方法系列思想方法感悟提高練出高分基礎知識

自主學習(1)仰角和俯角與目標線在同一鉛垂平面內的水平視線和目標視線的夾角，目標視線在水平視線

叫仰角，目標視線在水平視線

叫俯角(如圖①)．上方下方知識梳理1答案(2)方向角相對于某正方向的水平角，如南偏東30°，北偏西45°等．(3)方位角指從

方向順時針轉到目標方向線的水平角，如B點的方位角為α(如圖②)．正北答案判斷下面結論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)(1)從A處望B處的仰角為α，從B處望A處的俯角為β，則α，β的關系為α＋β＝180°.(

)××√(3)方位角與方向角其實質是一樣的，均是確定觀察點與目標點之間的位置關系．(

)(4)如圖，為了測量隧道口AB的長度，可測量數(shù)據(jù)a，b，γ進行計算．(

)√思考辨析答案考點自測2解析答案12345AB＝10，∠A＝60°，∠B＝75°，答案D解析如圖，在△ABC中，345122.若點A在點C的北偏東30°，點B在點C的南偏東60°，且AC＝BC，則點A在點B的(

)A.北偏東15° B.北偏西15°C.北偏東10° D.北偏西10°解析如圖所示，∠ACB＝90°，又AC＝BC，∴∠CBA＝45°，而β＝30°，∴α＝90°－45°－30°＝15°.∴點A在點B的北偏西15°.B解析答案12345A.11.4km B.6.6kmC.6.5km D.5.6km解析答案12345≈11.4km.∴山高為18－11.4＝6.6km.答案B123454.輪船A和輪船B在中午12時同時離開海港C，兩船航行方向的夾角為120°，兩船的航行速度分別為25nmile/h,15nmile/h，則下午2時兩船之間的距離是________nmile.解析d2＝502＋302－2×50×30×cos120°＝4900，∴d＝70，即兩船相距70nmile.70解析答案12345解析答案返回12345題型分類深度剖析例1

(1)如圖，設A、B兩點在河的兩岸，一測量者在A的同側，選定一點C，測出AC的距離為50m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°，則A，B兩點的距離為(

)A題型一求距離、高度問題解析答案(2)(2015·湖北)如圖，一輛汽車在一條水平的公路上向正西行駛，到A處時測得公路北側一山頂D在西偏北30°的方向上，行駛600m后到達B處，測得此山頂在西偏北75°的方向上，仰角為30°，則此山的高度CD＝________m.解析在△ABC中，AB＝600，∠BAC＝30°，∠ACB＝75°－30°＝45°，在Rt△BCD中，∠CBD＝30°，解析答案思維升華思維升華求距離、高度問題應注意(1)理解俯角、仰角的概念，它們都是視線與水平線的夾角；理解方向角的概念；(2)選定或確定要創(chuàng)建的三角形，要首先確定所求量所在的三角形，若其他量已知則直接解；若有未知量，則把未知量放在另一確定三角形中求解.(3)確定用正弦定理還是余弦定理，如果都可用，就選擇更便于計算的定理.(1)一船自西向東航行，上午10時到達燈塔P的南偏西75°的方向上，距塔68海里的M處，下午2時到達這座燈塔的東南方向的N處，則這只船航行的速度為________海里/小時.解析由題意知，在△PMN中，PM＝68海里，∠MPN＝75°＋45°＝120°，∠MNP＝45°.跟蹤訓練1解析答案(2)如圖所示，為測一樹的高度，在地面上選取A，B兩點，從A，B兩點分別測得樹尖的仰角為30°，45°，且A，B兩點間的距離為60m，則樹的高度為________m.解析答案解析在△PAB中，∠PAB＝30°，∠APB＝15°，AB＝60，sin15°＝sin(45°－30°)例2

(1)如圖所示，已知兩座燈塔A和B與海洋觀察站C的距離相等，燈塔A在觀察站C的北偏東40°，燈塔B在觀察站C的南偏東60°，則燈塔A在燈塔B的__________方向.解析由已知∠ACB＝180°－40°－60°＝80°，又AC＝BC，∴∠A＝∠ABC＝50°，60°－50°＝10°，∴燈塔A位于燈塔B的北偏西10°.北偏西10°題型二求角度問題解析答案(2)如圖，兩座相距60m的建筑物AB，CD的高度分別為20m、50m，BD為水平面，則從建筑物AB的頂端A看建筑物CD的張角∠CAD等于(

)A.30°B.45°C.60°D.75°解析答案又0°<∠CAD<180°，所以∠CAD＝45°，所以從頂端A看建筑物CD的張角為45°.答案

B思維升華思維升華解決測量角度問題的注意事項(1)首先應明確方位角或方向角的含義.(2)分析題意，分清已知與所求，再根據(jù)題意畫出正確的示意圖，這是最關鍵、最重要的一步.(3)將實際問題轉化為可用數(shù)學方法解決的問題后，注意正弦、余弦定理的“聯(lián)袂”使用.

如圖，某人在垂直于水平地面ABC的墻面前的點A處進行射擊訓練.已知點A到墻面的距離為AB，某目標點P沿墻面上的射線CM移動，此人為了準確瞄準目標點P，需計算由點A觀察點P的仰角θ的大小.若AB＝15m，AC＝25m，∠BCM＝30°，則tanθ的最大值是________.(仰角θ為直線AP與平面ABC所成角)跟蹤訓練2解析答案解析如圖，過點P作PO⊥BC于點O，連接AO，則∠PAO＝θ.在Rt△ABC中，AB＝15m，AC＝25m，所以BC＝20m.解析答案(1)求函數(shù)f(x)的單調遞增區(qū)間；題型三三角形與三角函數(shù)的綜合問題解析答案解析答案解析答案思維升華三角形與三角函數(shù)的綜合問題，要借助三角函數(shù)性質的整體代換思想，數(shù)形結合思想，還要結合三角形中角的范圍，充分利用正弦定理、余弦定理解題.思維升華三角形與三角函數(shù)的綜合問題，要借助三角函數(shù)性質的整體代換思想，數(shù)形結合思想，還要結合三角形中角的范圍，充分利用正弦定理、余弦定理解題.跟蹤訓練3解析答案返回已知△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若a＝1,2cosC＋c＝2b，則△ABC的周長的取值范圍是________．∵a＝1,2cosC＋c＝2b，解析答案解得b＋c≤2(當且僅當b＝c時，取等號)．故a＋b＋c≤3.返回再由任意兩邊之和大于第三邊可得b＋c>a＝1，故有a＋b＋c>2，故△ABC的周長的取值范圍是(2,3]．思想與方法系列典例

(12分)某港口O要將一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的輪船上.在小艇出發(fā)時，輪船位于港口O北偏西30°且與該港口相距20海里的A處，并正以30海里/小時的航行速度沿正東方向勻速行駛.假設該小艇沿直線方向以v海里/小時的航行速度勻速行駛，經(jīng)過t小時與輪船相遇.(1)若希望相遇時小艇的航行距離最小，則小艇航行速度的大小應為多少？(2)假設小艇的最高航行速度只能達到30海里/小時，試設計航行方案(即確定航行方向和航行速度的大小)，使得小艇能以最短時間與輪船相遇，并說明理由.思想與方法系列9.函數(shù)思想在解三角形中的應用溫馨提醒解析答案思維點撥返回思維點撥(1)利用三角形中的余弦定理，將航行距離表示為時間t的函數(shù)，將原題轉化為函數(shù)最值問題；(2)注意t的取值范圍.溫馨提醒解析答案規(guī)范解答溫馨提醒解析答案(2)設小艇與輪船在B處相遇.則v2t2＝400＋900t2－2·20·30t·cos(90°－30°)，

[8分]∵0<v≤30，溫馨提醒解析答案此時，在△OAB中，有OA＝OB＝AB＝20.[11分]故可設計航行方案如下：航行方向為北偏東30°，航行速度為30海里/小時.[12分]溫馨提醒溫馨提醒

(1)三角形中的最值問題，可利用正弦、余弦定理建立函數(shù)模型(或三角函數(shù)模型)，轉化為函數(shù)最值問題.(2)求最值時要注意自變量的范圍，要考慮問題的實際意義.返回思想方法感悟提高1.利用解三角形解決實際問題時，(1)要理解題意，整合題目條件，畫出示意圖，建立一個三角形模型；(2)要理解仰角、俯角、方位角、方向角等概念；(3)三角函數(shù)模型中，要確定相應參數(shù)和自變量范圍，最后還要檢驗問題的實際意義.2.在三角形和三角函數(shù)的綜合問題中，要注意邊角關系相互制約，推理題中的隱含條件.方法與技巧1.不要搞錯各種角的含義，不要把這些角和三角形內角之間的關系弄混.2.在實際問題中，可能會遇到空間與平面(地面)同時研究的問題，這時最好畫兩個圖形，一個空間圖形，一個平面圖形，這樣處理起來既清楚又不容易搞錯.失誤與防范返回練出高分1234567891011121314151.在相距2km的A，B兩點處測量目標點C，若∠CAB＝75°，∠CBA＝60°，則A，C兩點之間的距離為(

)解析如圖，在△ABC中，由已知可得∠ACB＝45°，A解析答案2.一艘海輪從A處出發(fā)，以每小時40海里的速度沿南偏東40°的方向直線航行，30分鐘后到達B處，在C處有一座燈塔，海輪在A處觀察燈塔，其方向是南偏東70°，在B處觀察燈塔，其方向是北偏東65°，那么B，C兩點間的距離是(

)解析答案123456789101112131415答案A解析如圖所示，易知，在△ABC中，AB＝20，∠CAB＝30°，∠ACB＝45°，1234567891011121314153.如圖，一條河的兩岸平行，河的寬度d＝0.6km，一艘客船從碼頭A出發(fā)勻速駛往河對岸的碼頭B.已知AB＝1km，水的流速為2km/h，若客船從碼頭A駛到碼頭B所用的最短時間為6min，則客船在靜水中的速度為(

)解析答案123456789101112131415解析設AB與河岸線所成的角為θ，客船在靜水中的速度為vkm/h，答案B1234567891011121314154.如圖，從氣球A上測得正前方的河流的兩岸B，C的俯角分別為75°，30°，此時氣球的高是60m，則河流的寬度BC等于(

)解析答案123456789101112131415答案C解析如圖，∠ACD＝30°，∠ABD＝75°，AD＝60m，1234567891011121314155.如圖，測量河對岸的塔高AB時可以選與塔底B在同一水平面內的兩個測點C與D，測得∠BCD＝15°，∠BDC＝30°，CD＝30，并在點C測得塔頂A的仰角為60°，則塔高AB等于(

)解析答案123456789101112131415答案D解析在△BCD中，∠CBD＝180°－15°－30°＝135°.1234567891011121314156.江岸邊有一炮臺高30m，江中有兩條船，船與炮臺底部在同一水平面上，由炮臺頂部測得俯角分別為45°和60°，而且兩條船與炮臺底部連線成30°角，則兩條船相距______m.解析如圖，OM＝AOtan45°＝30(m)，解析答案1234567891011121314157.在200m高的山頂上，測得山下一塔頂和塔底的俯角分別是30°，60°，則塔高為________m.解析如圖，由已知可得∠BAC＝30°，∠CAD＝30°，∴∠BCA＝60°，∠ACD＝30°，∠ADC＝120°.在△ACD中，由余弦定理得，AC2＝2CD2－2CD2·cos120°＝3CD2，解析答案1234567891011121314158.在Rt△ABC中，∠C＝90°，且∠A、∠B、∠C所對的邊a、b、c滿足a＋b＝cx，則實數(shù)x的取值范圍是________.123456789101112131415解析答案9.如圖，漁船甲位于島嶼A的南偏西60°方向的B處，且與島嶼A相距12海里，漁船乙以10海里/小時的速度從島嶼A出發(fā)沿正北方向航行，若漁船甲同時從B處出發(fā)沿北偏東α的方向追趕漁船乙，剛好用2小時追上.(1)求漁船甲的速度；BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos∠BAC＝122＋202－2×12×20×cos120°＝784.解得BC＝28.解依題意知，∠BAC＝120°，AB＝12，AC＝10×2＝20，∠BCA＝α.在△ABC中，由余弦定理，得解析答案123456789101112131415(2)求sinα的值.解在△ABC中，因為AB＝12，∠BAC＝120°，BC＝28，∠BCA＝α，解析答案123456789101112131415解

由已知得∠PBC＝60°，所以∠PBA＝30°.解析答案123456789101112131415(2)若∠APB＝150°，求tan∠PBA.解設∠PBA＝α，由已知得PB＝sinα.解析答案12345678910111213141511.一個大型噴水池的中央有一個強大噴水柱，為了測量噴水柱噴出的水柱的高度，某人在噴水柱正西方向的點A測得水柱頂端的仰角為45°，沿點A向北偏東30°前進100m到達點B，在B點測得水柱頂端的仰角為30°，則水柱的高度是(

)A.50mB.100mC.120mD.150m解析答案123456789101112131415在△ABC中，∠A＝60°，AC＝h，AB＝100，即h2＋50h－5000＝0，即(h－50)(h＋100)＝0，即h＝50，故水柱的高度是50m.答案A解析設水柱高度是hm，水柱底端為C，123456789101112131415解析設航速為vnmile/h，32解析答案12345678910111213141513.如圖，某住宅小區(qū)的平面圖呈圓心角為120°的扇形AOB，C是該小區(qū)的一個出入口，且小區(qū)里有一條平行于AO的小路CD.已知某人從O沿OD走到D用了2分鐘，從D沿DC走到C用了3分鐘.若此人步行的速度為每分鐘50米，則該扇形的半徑為________米.解析答案123456789101112131415由余弦定理得OC2＝1002＋1502－2×100×150×cos60°＝17500，解析如圖，連接OC，在△OCD中，OD＝100，CD＝150，∠CDO＝60°.12345678910111213141514.如圖，為了測量A，C兩點間的距離，選取同一平面上B，D兩點，測出四邊形ABCD各邊的長度(單位：km)：AB＝5，BC＝8，CD＝3，DA＝5，且A，B，C，D四點共圓，則AC的長為________km.解析答案返回123456789101112131415故AC＝7.答案7解析因為A，B，C，D四點共圓，所以D＋B＝π.在△ABC和△ADC中，由余弦定理可得82＋52－2×8×5×cos(π－D)＝32＋52－2×3×5×cosD，12345678910111213141515.在斜度一定的山坡上的一點A測得山頂上一建筑物頂端對于山坡的斜度為15°，如圖所示，向山頂前進100m后，又從B點測得斜度為45°，設建筑物的高為50m.設此山對于地平面的斜度為θ，則cosθ＝________.解析答案123456789101112131415返回解析在△ABC中，∠BAC＝15°，∠CBA＝180°－45°＝135°，所以∠ACB＝30°.又AB＝100m，解析答案123456789101112131415∠CBD＝45°，∠CDB＝90°＋θ，返回123456789101112131415本課結束第二章數(shù)列數(shù)列的概念與簡單表示法內容索引基礎知識自主學習題型分類深度剖析高頻小考點思想方法感悟提高練出高分基礎知識

自主學習1.數(shù)列的定義按照

排列的一列數(shù)稱為數(shù)列，數(shù)列中的每一個數(shù)叫做這個數(shù)列的

.2.數(shù)列的分類一定順序項分類原則類型滿足條件按項數(shù)分類有窮數(shù)列項數(shù)

無窮數(shù)列項數(shù)

有限無限知識梳理1答案按項與項間的大小關系分類遞增數(shù)列an＋1

an其中n∈N*遞減數(shù)列an＋1

an常數(shù)列an＋1＝an按其他標準分類有界數(shù)列存在正數(shù)M，使|an|≤M擺動數(shù)列從第2項起，有些項大于它的前一項，有些項小于它的前一項的數(shù)列><答案3.數(shù)列的表示法數(shù)列有三種表示法，它們分別是

、

和

.4.數(shù)列的通項公式如果數(shù)列{an}的第n項與

之間的關系可以用一個式子來表示，那么這個公式叫做這個數(shù)列的通項公式.列表法圖象法解析法序號nS1Sn－Sn－1答案判斷下面結論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)(1)所有數(shù)列的第n項都能使用公式表達.(

)(2)根據(jù)數(shù)列的前幾項歸納出數(shù)列的通項公式可能不止一個.(

)(3)1,1,1,1，…，不能構成一個數(shù)列.(

)(4)任何一個數(shù)列不是遞增數(shù)列，就是遞減數(shù)列.(

)(5)如果數(shù)列{an}的前n項和為Sn，則對?n∈N*，都有an＋1＝Sn＋1－Sn.(

)(6)在數(shù)列{an}中，對于任意正整數(shù)m，n，am＋n＝amn＋1，若a1＝1，則a2＝2.(

)×√××√√思考辨析答案B考點自測2答案123452.數(shù)列－3,7，－11,15，…的通項公式可能是(

)A.an＝4n－7 B.an＝(－1)n(4n＋1)C.an＝(－1)n(4n－1) D.an＝(－1)n＋1(4n－1)C答案123453.設數(shù)列{an}的前n項和Sn＝n2，則a8的值為(

)A.15 B.16 C.49 D.64解析∵Sn＝n2，∴a1＝S1＝1.當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝n2－(n－1)2＝2n－1.當n＝1時符合上式，∴an＝2n－1，∴a8＝2×8－1＝15.A解析答案123454.(教材改編)根據(jù)下面的圖形及相應的點數(shù)，寫出點數(shù)構成的數(shù)列的一個通項公式an＝________.5n－412345答案5.已知數(shù)列{an}的前n項和Sn＝n2＋1，則an＝____________.解析當n＝1時，a1＝S1＝2，當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝n2＋1－[(n－1)2＋1]＝2n－1，解析答案12345返回題型分類

深度剖析解析注意到分母0,2,4,6都是偶數(shù)，對照選項排除即可.C題型一由數(shù)列的前幾項求數(shù)列的通項公式解析答案解析答案思維升華根據(jù)所給數(shù)列的前幾項求其通項時，需仔細觀察分析，抓住其幾方面的特征：分式中分子、分母的各自特征；相鄰項的聯(lián)系特征；拆項后的各部分特征；符號特征.應多進行對比、分析，從整體到局部多角度觀察、歸納、聯(lián)想.思維升華根據(jù)數(shù)列的前幾項，寫出下列各數(shù)列的一個通項公式.(1)－1,7，－13,19，…；解數(shù)列中各項的符號可通過(－1)n表示，從第2項起，每一項的絕對值總比它的前一項的絕對值大6，故通項公式為an＝(－1)n(6n－5).跟蹤訓練1解析答案(2)0.8,0.88,0.888，…；解析答案解各項的分母分別為21，22，23，24，…，易看出第2,3,4項的分子分別比分母小3.解析答案例2

設數(shù)列{an}的前n項和為Sn，數(shù)列{Sn}的前n項和為Tn，滿足Tn＝2Sn－n2，n∈N*.(1)求a1的值；解令n＝1時，T1＝2S1－1，∵T1＝S1＝a1，∴a1＝2a1－1，∴a1＝1.題型二

由數(shù)列的前n項和求數(shù)列的通項公式解析答案(2)求數(shù)列{an}的通項公式.解析答案思維升華解n≥2時，Tn－1＝2Sn－1－(n－1)2，則Sn＝Tn－Tn－1＝2Sn－n2－[2Sn－1－(n－1)2]＝2(Sn－Sn－1)－2n＋1＝2an－2n＋1.因為當n＝1時，a1＝S1＝1也滿足上式，所以Sn＝2an－2n＋1(n≥1)，當n≥2時，Sn－1＝2an－1－2(n－1)＋1，兩式相減得an＝2an－2an－1－2，所以an＝2an－1＋2(n≥2)，所以an＋2＝2(an－1＋2)，解析答案思維升華因為a1＋2＝3≠0，所以數(shù)列{an＋2}是以3為首項，公比為2的等比數(shù)列.所以an＋2＝3×2n－1，所以an＝3×2n－1－2，當n＝1時也成立，所以an＝3×2n－1－2.思維升華思維升華A跟蹤訓練2解析答案(2)已知數(shù)列{an}的前n項和Sn＝3n2－2n＋1，則其通項公式為________________.解析當n＝1時，a1＝S1＝3×12－2×1＋1＝2；當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝3n2－2n＋1－[3(n－1)2－2(n－1)＋1]＝6n－5，顯然當n＝1時，不滿足上式.解析答案例3

(1)設數(shù)列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋n＋1，則通項an＝________.解析由題意得，當n≥2時，an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)題型三

由數(shù)列的遞推關系求通項公式解析答案(2)數(shù)列{an}中，a1＝1，an＋1＝3an＋2，則它的一個通項公式為an＝________.解析答案思維升華解析方法一(累乘法)an＋1＝3an＋2，即an＋1＋1＝3(an＋1)，即an＋1＝2×3n－1(n≥1)，所以an＝2×3n－1－1(n≥2)，解析答案思維升華即an＋1＝2×3n－1(n≥1)，所以an＝2×3n－1－1(n≥2)，又a1＝1也滿足上式，故數(shù)列{an}的一個通項公式為an＝2×3n－1－1.方法二(迭代法)an＋1＝3an＋2，即an＋1＋1＝3(an＋1)＝32(an－1＋1)＝33(an－2＋1)＝…＝3n(a1＋1)＝2×3n(n≥1)，所以an＝2×3n－1－1(n≥2)，又a1＝1也滿足上式，故數(shù)列{an}的一個通項公式為an＝2×3n－1－1.答案2×3n－1－1思維升華已知數(shù)列的遞推關系，求數(shù)列的通項時，通常用累加、累乘、構造法求解.當出現(xiàn)an＝an－1＋m時，構造等差數(shù)列；當出現(xiàn)an＝xan－1＋y時，構造等比數(shù)列；當出現(xiàn)an＝an－1＋f(n)時，用累加法求解；當出現(xiàn)

＝f(n)時，用累乘法求解.思維升華以上(n－1)個式子相乘得跟蹤訓練3解析答案(2)已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且Sn＝2an－1(n∈N*)，則a5等于(

)A.－16 B.16 C.31 D.32解析當n＝1時，S1＝2a1－1，∴a1＝1.當n≥2時，Sn－1＝2an－1－1，∴an＝2an－2an－1，∴an＝2an－1.∴{an}是等比數(shù)列且a1＝1，q＝2，故a5＝a1×q4＝24＝16.B解析答案命題點1數(shù)列的單調性A.遞減數(shù)列 B.遞增數(shù)列C.常數(shù)列 D.擺動數(shù)列B題型四

數(shù)列的性質解析答案命題點2數(shù)列的周期性解析答案∴周期T＝(n＋1)－(n－2)＝3.∴a8＝a3×2＋2＝a2＝2.命題點3數(shù)列的最值C解析答案思維升華(1)解決數(shù)列的單調性問題可用以下三種方法①用作差比較法，根據(jù)an＋1－an的符號判斷數(shù)列{an}是遞增數(shù)列、遞減數(shù)列或是常數(shù)列.③結合相應函數(shù)的圖象直觀判斷.(2)解決數(shù)列周期性問題的方法先根據(jù)已知條件求出數(shù)列的前幾項，確定數(shù)列的周期，再根據(jù)周期性求值.(3)數(shù)列的最值可以利用數(shù)列的單調性或求函數(shù)最值的思想求解.思維升華∴{an}為周期數(shù)列且T＝4，跟蹤訓練4解析答案(2)設an＝－3n2＋15n－18，則數(shù)列{an}中的最大項的值是(

)由二次函數(shù)性質，得當n＝2或3時，an最大，最大值為0.D解析答案返回高頻小考點典例(1)將石子擺成如圖所示的梯形形狀，稱數(shù)列5,9,14,20，…為“梯形數(shù)”.根據(jù)圖形的構成，此數(shù)列的第2014項與5的差，即a2014－5等于(

)A.2018×2012 B.2020×2013C.1009×2012 D.1010×2013高頻小考點5.數(shù)列中的新定義問題A.(－1，＋∞) B.(－∞，－1]C.(1，＋∞) D.(－∞，1]解析答案思維點撥溫馨提醒返回思維點撥

(1)觀察圖形，易得an－an－1＝n＋2(n≥2)可利用累加法求解.(2)由“減差數(shù)列”的定義，可得關于bn的不等式，把bn的通項公式代入，化歸為不等式恒成立問題求解.解析答案溫馨提醒解析(1)因為an－an－1＝n＋2(n≥2)，a1＝5，所以a2014＝(a2014－a2013)＋(a2013－a2012)＋…＋(a2－a1)＋a1＝2016＋2015＋…＋4＋5所以a2014－5＝1010×2013，故選D.(2)由數(shù)列b3，b4，b5，…是“減差數(shù)列”，解析答案溫馨提醒化簡得t(n－2)＞1.答案(1)D(2)C溫馨提醒解決數(shù)列的新定義問題要做到：(1)準確轉化：解決數(shù)列新定義問題時，一定要讀懂新定義的本質含義，將題目所給定義轉化成題目要求的形式，切忌同已有概念或定義相混淆.(2)方法選?。簩τ跀?shù)列新定義問題，搞清定義是關鍵，仔細認真地從前幾項(特殊處、簡單處)體會題意，從而找到恰當?shù)慕鉀Q方法.返回溫馨提醒思想方法

感悟提高1.求數(shù)列通項或指定項.通常用觀察法(對于交錯數(shù)列一般用(－1)n或(－1)n＋1來區(qū)分奇偶項的符號)；已知數(shù)列中的遞推關系，一般只要求寫出數(shù)列的前幾項，若求通項可用歸納、猜想和轉化的方法.3.已知遞推關系求通項：對這類問題的要求不高，但試題難度較難把握.一般有兩種常見思路：(1)算出前幾項，再歸納、猜想；(2)利用累加法或累乘法可求數(shù)列的通項公式.4.數(shù)列的性質可利用函數(shù)思想進行研究.方法與技巧1.數(shù)列an＝f(n)和函數(shù)y＝f(x)定義域不同，其單調性也有區(qū)別：y＝f(x)是增函數(shù)是an＝f(n)是遞增數(shù)列的充分不必要條件.2.數(shù)列的通項公式可能不存在，也可能有多個.3.由an＝Sn－Sn－1求得的an是從n＝2開始的，要對n＝1時的情況進行驗證.失誤與防范返回練出高分123456789101112131415解析所給數(shù)列呈現(xiàn)分數(shù)形式，且正負相間，求通項公式時，我們可以把每一部分進行分解：符號、分母、分子.C解析答案2.數(shù)列{an}的前n項積為n2，那么當n≥2時，an等于(

)123456789101112131415解析答案解析設數(shù)列{an}的前n項積為Tn，則Tn＝n2，DD123456789101112131415解析答案4.若數(shù)列{an}滿足：a1＝19，an＋1＝an－3(n∈N*)，而數(shù)列{an}的前n項和數(shù)值最大時，n的值為(

)A.6 B.7 C.8 D.9解析∵an＋1－an＝－3，∴數(shù)列{an}是以19為首項，－3為公差的等差數(shù)列，∴an＝19＋(n－1)×(－3)＝22－3n.∵a7＝22－21＝1>0，a8＝22－24＝－2<0，∴n＝7時，數(shù)列{an}的前n項和最大.B123456789101112131415解析答案5.已知數(shù)列{an}的通項公式為an＝n2－2λn(n∈N)*，則“λ＜1”是“數(shù)列{an}為遞增數(shù)列”的(

)A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件解析若數(shù)列{an}為遞增數(shù)列，則有an＋1－an＞0，因此“λ＜1”是“數(shù)列{an}為遞增數(shù)列”的充分不必要條件，故選A.A123456789101112131415解析答案6.已知數(shù)列{an}的前n項和Sn＝n2＋2n＋1(n∈N*)，則an＝____________.解析當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝2n＋1，當n＝1時，a1＝S1＝4≠2×1＋1，123456789101112131415解析答案7.數(shù)列{an}中，已知a1＝1，a2＝2，an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)，則a7＝________.解析由已知an＋1＝an＋an＋2，a1＝1，a2＝2，能夠計算出a3＝1，a4＝－1，a5＝－2，a6＝－1，a7＝1.1123456789101112131415解析答案8.已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，Sn＝2an－n，則an＝________.解析當n＝1時，S1＝a1＝2a1－1，得a1＝1，當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝2an－n－2an－1＋(n－1)，即an＝2an－1＋1，∴an＋1＝2(an－1＋1)，∴數(shù)列{an＋1}是首項為a1＋1＝2，公比為2的等比數(shù)列，∴an＋1＝2·2n－1＝2n，∴an＝2n－1.2n－1123456789101112131415解析答案9.數(shù)列{an}的通項公式是an＝n2－7n＋6.(1)這個數(shù)列的第4項是多少？解當n＝4時，a4＝42－4×7＋6＝－6.(2)150是不是這個數(shù)列的項？若是這個數(shù)列的項，它是第幾項？解令an＝150，即n2－7n＋6＝150，解得n＝16或n＝－9(舍去)，即150是這個數(shù)列的第16項.123456789101112131415解析答案(3)該數(shù)列從第幾項開始各項都是正數(shù)？解令an＝n2－7n＋6＞0，解得n＞6或n＜1(舍去).所以從第7項起各項都是正數(shù).123456789101112131415解析答案(1)求a2，a3；123456789101112131415解析答案(2)求{an}的通項公式.123456789101112131415解析答案解由題設知a1＝1.于是a1＝1，123456789101112131415……解析答案顯然，當n＝1時也滿足上式.123456789101112131415123456789101112131415解析答案A.9.5 B.10.6 C.10.5 D.9.6解析由題意可知an＋1＝an＋2n，由迭代法可得an＝a1＋2[1＋2＋3＋4＋…＋(n－1)]＝n2－n＋33，CB123456789101112131415解析答案A.an＝2n－1 B.an＝4n－1C.an＝4n－3 D.an＝4n－5123456789101112131415解析答案123456789101112131415∴a1＋a2＋…＋an＝(2n－1)n，a1＋a2＋…＋an－1＝(2n－3)(n－1)(n≥2)，當n≥2時，an＝(2n－1)n－(2n－3)(n－1)＝4n－3；a1＝1也適合此等式，∴an＝4n－3.答案C4123456789101112131415解析答案(1)若a＝－7，求數(shù)列{an}中的最大項和最小項的值；可知1＞a1＞a2＞a3＞a4，a5＞a6＞a7＞…＞an＞1(n∈N*).∴數(shù)列{an}中的最大項為a5＝2，最小項為a4＝0.123456789101112131415解析答案(2)若對任意的n∈N*，都有an≤a6成立，求a的取值范圍.已知對任意的n∈N*，都有an≤a6成立，123456789101112131415解析答案返回本課結束第二章數(shù)列等差數(shù)列及其前n項和內容索引基礎知識自主學習題型分類深度剖析高頻小考點思想方法感悟提高練出高分基礎知識

自主學習1.等差數(shù)列的定義一般地，如果一個數(shù)列

，那么這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個常數(shù)叫做等差數(shù)列的

，通常用字母

表示.2.等差數(shù)列的通項公式如果等差數(shù)列{an}的首項為a1，公差為d，那么它的通項公式是

.3.等差中項如果

，那么A叫做a與b的等差中項.從第2項起，每一項與它的前一項的差等于同一個常數(shù)公差dan＝a1＋(n－1)d知識梳理1答案4.等差數(shù)列的常用性質(1)通項公式的推廣：an＝am＋

(n，m∈N*).(2)若{an}為等差數(shù)列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，則

.(3)若{an}是等差數(shù)列，公差為d，則{a2n}也是等差數(shù)列，公差為

.(4)若{an}，{bn}是等差數(shù)列，則{pan＋qbn}也是等差數(shù)列.(5)若{an}是等差數(shù)列，公差為d，則ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差為

的等差數(shù)列.(n－m)dak＋al＝am＋an2dmd答案5.等差數(shù)列的前n項和公式設等差數(shù)列{an}的公差為d，其前n項和Sn＝

或Sn＝

.6.等差數(shù)列的前n項和公式與函數(shù)的關系數(shù)列{an}是等差數(shù)列?Sn＝An2＋Bn(A、B為常數(shù)).7.等差數(shù)列的前n項和的最值在等差數(shù)列{an}中，a1>0，d<0，則Sn存在最

值；若a1<0，d>0，則Sn存在最

值.大小答案判斷下面結論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)(1)若一個數(shù)列從第二項起每一項與它的前一項的差都是常數(shù)，則這個數(shù)列是等差數(shù)列.(

)(2)數(shù)列{an}為等差數(shù)列的充要條件是對任意n∈N*,都有2an＋1＝an＋an＋2.(

)(3)等差數(shù)列{an}的單調性是由公差d決定的.(

)(4)數(shù)列{an}為等差數(shù)列的充要條件是其通項公式為n的一次函數(shù).(

)(5)數(shù)列{an}滿足an＋1－an＝n，則數(shù)列{an}是等差數(shù)列.(

)(6)已知數(shù)列{an}的通項公式是an＝p