數(shù)學(xué)人教A版（2023）必修第一冊1.5.1全稱量詞與存在量詞課件（共19張ppt）

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1.5.1全稱量詞與存在量詞

理解全稱量詞與存在量詞的含義,熟悉常見的全稱

量詞和存在量詞.

了解全稱量詞命題和存在量詞命題的含義,

能夠判斷含有量詞的命題的真假性.

學(xué)習(xí)目標(biāo)

導(dǎo)入新課

請判斷下列命題的真假？并說一說命題中紅色的詞有什么意思？對這些命題的真假判斷起什么作用？

（1）所有的正方形都是矩形；

（2）每一個(gè)素?cái)?shù)都是奇數(shù)；

（3）有些實(shí)數(shù)的絕對值是負(fù)數(shù)；

（4）存在一個(gè)四邊形，它的對角線互相垂直。

導(dǎo)入新課

下列語句是命題嗎？(1)與(3)，(2)與(4)之間有什么關(guān)系

(1)x>3

(2)2x+1是整數(shù)

(3)對所有的xR，x>3

(4)對任意一個(gè)xZ，2x+1是整數(shù)

是

是

不是

不是

(3)在(1)的基礎(chǔ)上，用量詞“所有的”對變量x進(jìn)行限定;

關(guān)系:

(4)在(2)的基礎(chǔ)上，用短語”對任意一個(gè)”對變量x進(jìn)行限定.

講授新課

1.全稱量詞及表示:

短語“對所有的”、“對任意一個(gè)”、“對一切”、“對每一個(gè)”、“任給”、“所有的”在邏輯中通常叫全稱量詞。

定義：

表示：

用符號“”表示

2.全稱量詞命題及表示:

定義：

含有全稱量詞的命題，叫全稱量詞命題。

表示：

全稱命題“對M中任意一個(gè)x，有含變量x的語句p(x）成立”表示為:

讀作:“對任意x屬于Ｍ，有p(x)成立”。

全稱量詞命題及其真假判斷

例判斷下列命題哪些是全稱量詞命題，并判斷其真假．

(1)對任意x∈R，x2＞0；

(2)有些無理數(shù)的平方也是無理數(shù)；

(3)對頂角相等；

(4)對任意x∈{x|x＞－1}，使3x＋4＞0.

解析：(1)(3)(4)是全稱量詞命題，(1)是假命題，∵x＝0時(shí)，x2＝0.(3)是真命題．(4)是真命題．

方法歸納

1．判斷全稱量詞命題的關(guān)鍵有兩點(diǎn)：一是是否具有命題所要求的量詞或形式；二是根據(jù)命題的含義判斷指的是不是全體．

2．要判斷全稱量詞命題“x∈M，p(x)”為真，需要對集合M每個(gè)元素x，證明p(x)成立．

3．要判斷全稱量詞命題“x∈M，p(x)”為假，只需在M中找到一個(gè)x0，使p(x0)不成立，即“舉反例”．

例已知集合A＝{x|1≤x≤2}，若命題“x∈A，一次函數(shù)y＝x＋m的圖象在x軸上方”是真命題，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是________．

解析：當(dāng)1≤x≤2時(shí)，1＋m≤x＋m≤2＋m，因?yàn)橐淮魏瘮?shù)y＝x＋m的圖象在x軸上方，所以1＋m>0，即m>－1，所以實(shí)數(shù)m的取值范圍是{m|m>－1}．

方法歸納

含參數(shù)的全稱量詞命題為真時(shí)，常與不等式恒成立有關(guān)，可根據(jù)有關(guān)代數(shù)恒等式(如x2≥0)，確定參數(shù)的取值范圍．

講授新課

下列語句是命題嗎(1)與(3),(2)與(4)之間有什么關(guān)系

(1)2x+1=3；

(2)x能被2和3整除;

(3)存在一個(gè)x∈R，使2x+1=3;

(4)至少有一個(gè)x∈Z，x能被2和3整除.

(3)在(1)的基礎(chǔ)上，用短語“存在一個(gè)”對變量x的取值進(jìn)行限定，使(3)變成了可以判斷真假的語句;

不是

不是

是

(4)在(2)的基礎(chǔ)上，用“至少有一個(gè)”對變量x的取值進(jìn)行限定，從而使(4)變成了可以判斷真假的語句.

關(guān)系

是

講授新課

短語“存在一個(gè)”、“至少有一個(gè)”、“有些”、“有一個(gè)”、“對某個(gè)”、“有的”在邏輯中通常叫做存在量詞。

存在量詞命題“存在M中的一個(gè)x,使p(x)成立”可用符號簡記為x∈M,p(x).

1.存在量詞及表示:

定義:

用符號“”表示,

含有存在量詞的命題,叫做存在量詞命題.

表示：

2.存在量詞命題及表示：

定義:

表示：

讀作:“存在一個(gè)x屬于M,使p(x)成立”.

合上課本，判斷下列存在量詞命題的真假

(1)有一個(gè)實(shí)數(shù)x,使x2+2x+3=0;

(2)平面內(nèi)存在兩條相交直線垂直于同一條直線;

(3)有些平行四邊形是菱形.

典例

真命題：只需在集合M中找到一個(gè)元素x0，使p(x0)成立即可.

思考：如何判斷存在量詞命題“x∈M,p(x)”的真假？

假命題：如果在集合M中,使p(x)成立的元素x不存在,那么這個(gè)存在量詞命題是假命題.

假

假

真

問

題

方法總結(jié)

核心素養(yǎng)之邏輯推理

分

析

(1)凸多邊形的外角和等于360°；

(2)矩形的對角線相等；

(3)有的實(shí)數(shù)的平方小于1；

(4)若一個(gè)四邊形是菱形，則這個(gè)四邊形的對角線互相垂直.

1.判斷下列命題是全稱量詞命題還是存在量詞命題：

(1)全稱量詞命題；(2)全稱量詞命題；

(3)存在量詞命題；(4)全稱量詞命題.

1.全稱量詞命題，標(biāo)志是含有全稱量詞；存在量詞命題，標(biāo)志是

含有存在量詞的命題；2.有的命題表述中未含全稱量詞或存在量

詞，但限定是針對全部元素或個(gè)別元素的，也是全稱量詞命題或

存在量詞命題；需要從語義角度加以判斷.

問

題

方

法

核心素養(yǎng)之?dāng)?shù)據(jù)分析+邏輯推理

(1)不等式x2+1>0恒成立；

(2)自然數(shù)的平方大于或等于零；

(3)方程3x-2y=10有整數(shù)解.

2.用全稱量詞或存在量詞表示下列語句：

(1)x∈R,x2+1>0；

(2)x∈N*,x2≥0；

(3)x0,y0∈Z,3x0-2y0=10.

解

答

(1)由語義判斷，對所有的實(shí)數(shù)原不等式都成立，屬全稱量詞命題；

(2)對所有的自然數(shù)，平方大于或等于零；屬全稱量詞命題；

(3)方程3x-2y=10有整數(shù)解，即解的存在性；屬存在量詞命題.

(1)x∈R，都有=x；

(2)任意一元二次方程都有實(shí)數(shù)解；

(3)凡x1；

(4)反例：-212.

區(qū)分全稱量詞命題和存在量詞命題，一看量詞形式，二看語義表達(dá)的限制是針對元素全體還是存在的部分元素.

(1)“n∈N*，2n2+5n+2能被2整除”是真命題；

(2)“n∈N*，2n2+5n+2不能被2整除”是真命題；

(3)“n∈N*，2n2+5n+2不能被2整除”是真命題；

(4)“n∈N*，2n2+5n+2能被2整除”是假命題.

4.下列結(jié)論中正確的是()

問

題

方法

核心素養(yǎng)之?dāng)?shù)據(jù)分析+邏輯推理

答

案

選（3）

2n2+5n+2=(2n2+2+4n)+n,括號內(nèi)的數(shù)為偶數(shù)；

當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，2n2+5n+2為偶數(shù)；

當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，2n2+5n+2為奇數(shù).

整除問題，先要作奇偶分析:對于部分整數(shù)n(偶數(shù))，2n2+5n+2為偶數(shù);對于另一部分整數(shù)n(奇數(shù))，2n2+5n+2為奇數(shù).故選（3）.

全稱量詞：短語“所有的”“任意一個(gè)”在邏輯中通常叫做全稱量詞，

并用符號“”表示．

全稱量詞命題的表述形式：全稱量詞命題“對M中任意一個(gè)x，p(x)成立”，

可用符號簡記為“x∈M，p(x)”.

存在量詞：短語“存在一個(gè)”“至少一個(gè)”在邏輯中通常叫做存在量詞，

并用符號“”表示．

存在量詞命題的表述形式：全稱量詞命題“存在M中的元素x，p(x)成立”，

可用符號簡記為“x∈M，p(x)”.

全稱量詞命題真假的判斷：

若判定一個(gè)全稱量詞命題是真命題,必須對限定集合M中的每個(gè)元素x驗(yàn)證P(x)成立;

若判定一個(gè)全稱量詞命題是假命題,只要能舉