黑龍江省哈爾濱市德樂高級(jí)中學(xué)2022年高三數(shù)學(xué)文月考試題含解析

黑龍江省哈爾濱市德樂高級(jí)中學(xué)2022年高三數(shù)學(xué)文月考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，則數(shù)列的前100項(xiàng)和為（

）

A．

B．

C．

D．參考答案：A2.已知，，若對(duì)任意，都存在，使，則的取值范圍是（

）A.

B.

C.

D.參考答案：A略3.已知（為銳角），則（

）A．

B．

C．

D．參考答案：D略4.已知實(shí)數(shù),，則“”是“”的（

）A.充要條件 B.必要不充分條件C充分不必要條件 D.既不充分也不必要條件參考答案：C【分析】利用基本不等式和充分，必要條件的判斷方法判斷.【詳解】且，，等號(hào)成立的條件是，又，，等號(hào)成立的條件是,，反過來，當(dāng)時(shí)，此時(shí)，但，不成立，“”是“”的充分不必要條件.故選:C【點(diǎn)睛】本題考查基本不等式和充分非必要條件的判斷，屬于基礎(chǔ)題型.5.設(shè)是定義域?yàn)镽，最小正周期為3π的函數(shù)，且在區(qū)間上的表達(dá)式為，則（

）A．

B．

C．1

D．-1參考答案：D6.三角函數(shù)的振幅和最小正周期分別是（

）A．，

B．，

C．，

D．，參考答案：D試題分析：，振幅為，周期為．故選D．考點(diǎn)：三角函數(shù)的性質(zhì)．【名師點(diǎn)睛】簡諧運(yùn)動(dòng)的圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式：（為常數(shù)）．其中物理意義如下：是振幅，為相位，為初相，周期，頻率為．7.已知f（x），g（x）都是定義在R上的函數(shù)，g（x）≠0，f′（x）g（x）＞f（x）g′（x），且f（x）=ax?g（x）（a＞0，且a≠1），，若數(shù)列的前n項(xiàng)和大于62，則n的最小值為(

) A．6 B．7 C．8 D．9參考答案：A考點(diǎn)：簡單復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)；數(shù)列的函數(shù)特性．專題：計(jì)算題；壓軸題．分析：由f′（x）g（x）＞f（x）g′（x）可得單調(diào)遞增，從而可得a＞1，結(jié)合，可求a．利用等比數(shù)列的求和公式可求，從而可求解答： 解：∵f′（x）g（x）＞f（x）g′（x），∴f′（x）g（x）﹣f（x）g′（x）＞0，∴，從而可得單調(diào)遞增，從而可得a＞1，∵，∴a=2．故=2+22+…+2n=．∴2n+1＞64，即n+1＞6，n＞5，n∈N*．∴n=6．故選：A．點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)的符合判斷指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，等比數(shù)列的求和公式的求解，解題的關(guān)鍵是根據(jù)已知構(gòu)造函數(shù)單調(diào)遞增．8.已知F1，F(xiàn)2是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，若點(diǎn)F2關(guān)于漸近線的對(duì)稱點(diǎn)M也在雙曲線上，則該雙曲線的離心率為()A. B. C.2 D.參考答案：D【分析】根據(jù)雙曲線的方程，先寫出點(diǎn)的坐標(biāo)，以及其中一條漸近線方程，再求出點(diǎn)坐標(biāo)，代入雙曲線方程，即可得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)殡p曲線方程為，所以其中一條漸近線方程為，又是雙曲線右焦點(diǎn)，記；設(shè)點(diǎn)關(guān)于漸近線對(duì)稱點(diǎn)為，則有，解得即，又點(diǎn)在雙曲線上，所以，整理得，所以離心率為.故選D【點(diǎn)睛】本題主要考查求雙曲線的離心率，熟記雙曲線的簡單性質(zhì)即可，屬于?？碱}型.9.各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為Sn，若Sn=2,S30=14,則S40等于（A）80（B）30

(C)26

(D)16參考答案：答案：B解析：由等比數(shù)列的性質(zhì)可知選B10.已知等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，，則數(shù)列{an}的公比q=（）A.-1 B.1 C.±1 D.2參考答案：C【分析】分別在和列出和，構(gòu)造方程求得結(jié)果.【詳解】當(dāng)時(shí)，，滿足題意當(dāng)時(shí)，由得：，即，解得：綜上所述：本題正確選項(xiàng)：C【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列基本量的求解問題，易錯(cuò)點(diǎn)是忽略的情況造成求解錯(cuò)誤.二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.若集合,,則=________.參考答案：12.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則函數(shù)的解析式為______．參考答案：13.某圓柱切割獲得的幾何體的三視圖如圖所示，其中俯視圖是中心角為的扇形，則該幾何體的體積為__________．參考答案：

14.

。參考答案：15.設(shè)直線，與圓交于A，B，且，則a的值是______．參考答案：10或因?yàn)?，圓心為，半徑為，，由垂徑定理得，所以圓心到直線的距離為4．，，故填10或．16.在△ABC中，角A、B、C對(duì)邊分別為a、b、c，已知a=4，B=，S△ABC=6，則b=．參考答案：

【考點(diǎn)】正弦定理．【分析】由已知利用三角形面積公式可求c的值，進(jìn)而利用余弦定理可求b的值．【解答】解：∵a=4，B=，S△ABC=6=acsinB=，∴解得：c=6，∴由余弦定理可得：b===．故答案為：．17.已知函數(shù)，則

▲

.參考答案：略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.設(shè)函數(shù)f（x）=|x﹣1|+|x+3|（1）求函數(shù)f（x）的最小值；（2）若a，b∈R且|a|＜2，|b|＜2，求證：|a+b|+|a﹣b|＜f（x）參考答案：【考點(diǎn)】分段函數(shù)的應(yīng)用．【專題】函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【分析】（1）根據(jù)絕對(duì)值不等式的性質(zhì)進(jìn)行求解即可．（2）根據(jù)（a+b）（a﹣b）的符號(hào)關(guān)系，將絕對(duì)值不等式進(jìn)行化簡，結(jié)合絕對(duì)值不等式的性質(zhì)進(jìn)行證明即可．【解答】解：（Ⅰ）f（x）=|x﹣1|+|x+3|≥|1﹣x+x+3|=4，…函數(shù)f（x）的最小值為4，…（Ⅱ）若（a+b）（a﹣b）≥0，則|a+b|+|a﹣b|=|a+b+a﹣b|=2|a|＜4，…若（a+b）（a﹣b）＜0，則|a+b|+|a﹣b|=|a+b﹣（a﹣b）|=2|b|＜4…因此，|a+b|+|a﹣b|＜4，而f（x）≥4，故：|a+b|+|a﹣b|＜f（x）成立…【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查絕對(duì)值不等式的應(yīng)用，考查學(xué)生的運(yùn)算和推理能力．19.設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊長a，b，c成等比數(shù)列，，延長BC至D，若BD=2，則△ACD面積的最大值為

.

參考答案：，，①又成等比數(shù)列，，由正弦定理可得，②①-②得，，解得，由，得，，為正三角形，設(shè)正三角形邊長為，則，，時(shí)等號(hào)成立。即面積的最大值為，故答案為.

20.(本小題滿分12分)已知數(shù)列，前項(xiàng)和，且方程有一根為（＝1，2，3……）（Ⅰ）求的值（Ⅱ）猜想數(shù)列的通項(xiàng)公式，并給出嚴(yán)格證明。（Ⅲ）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和，試比較與的大小參考答案：(Ⅰ)當(dāng)n＝1時(shí)，x2－a1x－a1＝0有一根為S1－1＝a1－1，于是(a1－1)2－a1(a1－1)－a1＝0，解得a1＝．……3分

當(dāng)n＝2時(shí)，x2－a2x－a2＝0有一根為S2－1＝a2－，于是(a2－)2－a2(a2－)－a2＝0，解得a2＝．……

5分

(Ⅱ)由題設(shè)(Sn－1)2－an(Sn－1)－an＝0，Sn2－2Sn＋1－anSn＝0．當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1，代入上式得Sn－1Sn－2Sn＋1＝0①由(Ⅰ)知S1＝a1＝，S2＝a1＋a2＝＋＝．由①可得S3＝．由此猜想Sn＝，n＝1，2，3，…．……7分

下面用數(shù)學(xué)歸納法證明這個(gè)結(jié)論．(i)n＝1時(shí)已知結(jié)論成立．(ii)假設(shè)n＝k時(shí)結(jié)論成立，即Sk＝，當(dāng)n＝k＋1時(shí)，由①得Sk＋1＝，即Sk＋1＝，故n＝k＋1時(shí)結(jié)論也成立．……

11分

綜上，由(i)、(ii)可知Sn＝對(duì)所有正整數(shù)n都成立．……

12分21.已知橢圓C：+=1（a＞b＞0）的左右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，拋物線y2=4x與橢圓C有相同的焦點(diǎn)，且橢圓C過點(diǎn)．（I）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（Ⅱ）若橢圓C的右頂點(diǎn)為A，直線l交橢圓C于E、F兩點(diǎn)（E、F與A點(diǎn)不重合），且滿足AE⊥AF，若點(diǎn)P為EF中點(diǎn)，求直線AP斜率的最大值．參考答案：【考點(diǎn)】橢圓的簡單性質(zhì)．【分析】（I）由題意可知：拋物線y2=4x的焦點(diǎn)（1，0），c=1，將點(diǎn)代入橢圓方程，即可求得a和b的值，求得橢圓方程；（Ⅱ）設(shè)直線AE的方程為y=k（x﹣2），代入橢圓方程由韋達(dá)定理，求得E點(diǎn)坐標(biāo)，由AE⊥AF，及中點(diǎn)坐標(biāo)公式求得P坐標(biāo)及直線AP的方程，當(dāng)k≠0時(shí)，t=，利用換元法及基本不等式的性質(zhì)，即可求得直線AP斜率的最大值．【解答】解：（Ⅰ）由題意可得：拋物線y2=4x的焦點(diǎn)（1，0）與橢圓C有相同的焦點(diǎn)，即c=1，a2=b2+c2=b2+1，由橢圓C過點(diǎn)，代入橢圓方程：，解得：a=2，b=，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（Ⅱ）設(shè)直線AE的方程為y=k（x﹣2），則，可得（3+4k2）x2﹣16k2x+16k2﹣12=0，由2+xE=，可得xE=，yE=k（xE﹣2）=﹣，由于AE⊥AF，只要將上式的k換為﹣，可得xF=，yF=，由P為EF的中點(diǎn)，即有P（，），則直線AP的斜率為t==，當(dāng)k=0時(shí)，t=0；當(dāng)k≠0時(shí)，t=，再令s=﹣k，可得t=，當(dāng)s=0時(shí)，t=0；當(dāng)s＞0時(shí)，t=≤=，當(dāng)且僅當(dāng)4s=時(shí)，取得最大值；綜上可得直線AP的斜率的最大值為．22.在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)點(diǎn)P1（x1，y1）、P2（x2，y2），稱d（P1，P2）=max{|x1﹣x2|，|y1﹣y2|}（其中max{a，b}表示a、b中的較大數(shù)）為P1、P2兩點(diǎn)的“切比雪夫距離”；（1）若P（3，1）、Q為直線y=2x﹣1上的動(dòng)點(diǎn)，求P，Q兩點(diǎn)的“切比雪夫距離”的最小值；（2）定點(diǎn)C（x0，y0），動(dòng)點(diǎn)P（x，y）滿足d（C，P）=r（r＞0），請(qǐng)求出P點(diǎn)所在的曲線所圍成圖形的面積．參考答案：【考點(diǎn)】函數(shù)的最值及其幾何意義．【專題】新定義；分類討論；分析法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【分析】（1）設(shè)Q（x，2x﹣1），可得d（P，Q）=max{|x﹣3|，|2﹣2x|}，討論|x﹣3|，|2﹣2x|的大小，可得距離d，再由函數(shù)的性質(zhì)，可得最小值；（2）運(yùn)用分段函數(shù)的形式求得d（C，P），分析各段與不等式表示的區(qū)域的圖形，即可得到面積．【解答】解：（1）設(shè)Q（x，2x﹣1），可得d（P，Q）=max{|x﹣3|，|2﹣2x|}，由|x﹣3|≥|2﹣2x|，解得﹣1≤x≤，即有d（P，Q）=|x﹣3|，當(dāng)x=時(shí)，取得最小值；由|x﹣3|＜|2﹣2x|，解得x＞或x＜﹣1，即有d（P，Q）=|2x﹣2|，d（P，Q）的范圍是（3，+∞）∪（，+∞）=（，+∞）．綜上可得，P，Q兩點(diǎn)的“切比雪夫距離”的最小值為；（2）