2023-2024學(xué)年北師大版選擇性必修第二冊(cè) 　 第一章　5　數(shù)學(xué)歸納法 課件（30張）

知識(shí)梳理數(shù)學(xué)歸納法的定義數(shù)學(xué)歸納法是用來(lái)證明某些與正整數(shù)n有關(guān)的數(shù)學(xué)命題的一種方法.它的基本步驟是:(1)證明:當(dāng)n取第一個(gè)值n0(n0是一個(gè)確定的正整數(shù),如n0=1或2等)時(shí),命題成立;(2)假設(shè)當(dāng)n=k(k∈N+,k≥n0)時(shí)命題成立,證明當(dāng)n=k+1時(shí),命題也成立.根據(jù)(1)(2)可以斷定命題對(duì)一切從n0開(kāi)始的正整數(shù)n都成立.名師點(diǎn)析數(shù)學(xué)歸納法中的兩個(gè)步驟之間的關(guān)系記P(n)是一個(gè)關(guān)于正整數(shù)n的命題.可以把用數(shù)學(xué)歸納法證明的形式改寫(xiě)如下:條件:(1)證P(n0)為真;(2)證若P(k)(k∈N+,k≥n0)為真,則P(k+1)也為真,結(jié)論:P(n)為真.第一步驗(yàn)證了當(dāng)n=n0時(shí)結(jié)論成立,即命題P(n0)為真;第二步是證明一種遞推關(guān)系,實(shí)際上是要證明一個(gè)新命題:若P(k)為真,則P(k+1)也為真.只要將這兩個(gè)步驟完成,就有P(n0)為真,P(k)真,P(k+1)真……,從而完成證明.微思考數(shù)學(xué)歸納法的第一步n0的初始值是否一定為1?提示

不一定.如證明n邊形的內(nèi)角和為(n-2)·180°,第一個(gè)值n0=3.微判斷(1)在利用數(shù)學(xué)歸納法證明問(wèn)題時(shí),只要推理過(guò)程正確,也可以不用歸納假設(shè).(

)(2)與正整數(shù)n有關(guān)的數(shù)學(xué)命題的證明只能用數(shù)學(xué)歸納法.(

)(3)用數(shù)學(xué)歸納法證明等式時(shí),由n=k到n=k+1,等式的項(xiàng)數(shù)一定只增加了一項(xiàng).(

)×××微練習(xí)在應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明凸n邊形的對(duì)角線為

n(n-3)條時(shí),第一步應(yīng)驗(yàn)證n等于(

)A.1

B.2

C.3

D.4答案

C解析

邊數(shù)最少的凸n邊形是三角形,故選C.課堂篇探究學(xué)習(xí)探究一用數(shù)學(xué)歸納法證明等式例1(1)用數(shù)學(xué)歸納法證明(n+1)·(n+2)·…·(n+n)=2n×1×3×…×(2n-1)(n∈N+),“從k到k+1”左端增乘的代數(shù)式為

.

(1)答案

2(2k+1)解析

令f(n)=(n+1)(n+2)…(n+n),則f(k)=(k+1)(k+2)…(k+k),f(k+1)=(k+2)(k+3)…(k+k)(2k+1)(2k+2),即當(dāng)n=k+1時(shí)等式也成立.由①②可得對(duì)于任意的n∈N+等式都成立.反思感悟用數(shù)學(xué)歸納法證明恒等式時(shí),應(yīng)關(guān)注以下三點(diǎn):(1)弄清n取第一個(gè)值n0時(shí)等式兩端項(xiàng)的情況;(2)弄清從n=k到n=k+1等式兩端增加了哪些項(xiàng),減少了哪些項(xiàng);(3)證明n=k+1時(shí)結(jié)論也成立,要設(shè)法將待證式與歸納假設(shè)建立聯(lián)系,并朝n=k+1證明目標(biāo)的表達(dá)式變形.所以n=k+1時(shí),等式也成立.綜上所述,對(duì)于任何n∈N+,等式都成立.探究二用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式即當(dāng)n=k+1時(shí),命題成立.由(1)和(2)可知,命題對(duì)所有的n∈N+都成立.反思感悟用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式的四個(gè)關(guān)鍵:由(1)和(2)知原不等式在n≥2,n∈N+時(shí)均成立.探究三用數(shù)學(xué)歸納法證明整除問(wèn)題例3證明:當(dāng)n∈N+時(shí),f(n)=32n+2-8n-9能被64整除.證明

(1)當(dāng)n=1時(shí),f(1)=34-8-9=64,能被64整除.(2)假設(shè)當(dāng)n=k(k≥1,k∈N+)時(shí),f(k)=32k+2-8k-9能被64整除,則當(dāng)n=k+1時(shí),f(k+1)=-8(k+1)-9=9×32k+2-8k-17=9×(32k+2-8k-9)+64k+64,故f(k+1)也能被64整除.綜合(1)(2),知當(dāng)n∈N+時(shí),f(n)=32n+2-8n-9能被64整除.反思感悟用數(shù)學(xué)歸納法證明整除問(wèn)題的關(guān)鍵是證明當(dāng)n=k+1時(shí),代數(shù)式可被除數(shù)整除,一般利用構(gòu)造法,構(gòu)造出含有除數(shù)及n=k時(shí)的代數(shù)式,根據(jù)歸納假設(shè)即可證明.變式訓(xùn)練3用數(shù)學(xué)歸納法證明34n+1+52n+1(n∈N)能被8整除,假設(shè)當(dāng)n=k時(shí),34k+1+52k+1能被8整除,那么當(dāng)n=k+1時(shí),34(k+1)+1+52(k+1)+1應(yīng)變形為

.

答案

81×(34k+1+52k+1)-56×52k+1(或25×(34k+1+52k+1)+56×34k+1)解析

34(k+1)+1+52(k+1)+1=34k+5+52k+3=81×34k+1+25×52k+1=81×34k+1+81×52k+1-56×52k+1=81×(34k+1+52k+1)-56×52k+1.素養(yǎng)形成思維流程——?dú)w納—猜想—證明典例將正整數(shù)進(jìn)行如下分組:(1),(2,3),(4,5,6),(7,8,9,10),(11,12,13,14,15),(16,17,18,19,20,21)……分別計(jì)算各組包含的正整數(shù)的和如下:S1=1,S2=2+3=5,S3=4+5+6=15,S4=7+8+9+10=34,S5=11+12+13+14+15=65,S6=16+17+18+19+20+21=111,……(1)求S7的值;(2)由S1,S1+S3,S1+S3+S5,S1+S3+S5+S7的值,試猜測(cè)S1+S3+…+S2n-1的結(jié)果,并用數(shù)學(xué)歸納法證明.解

(1)S7=22+23+24+25+26+27+28=175.(2)S1=1;S1+S3=16;S1+S3+S5=81;S1+S3+S5+S7=256;猜測(cè)S1+S3+…+S2n-1=n4.證明如下:記Mn=S1+S3+…+S2n-1.①當(dāng)n=1時(shí),猜想成立.②假設(shè)當(dāng)n=k(k∈N+,k≥1)時(shí),猜想成立,即Mk=S1+S3+…+S2k-1=k4.則當(dāng)n=k+1時(shí),=(2k+1)(2k2+2k+1)=4k3+6k2+4k+1,從而Mk+1=Mk+S2k+1=k4+4k3+6k2+4k+1=(k+1)4,所以當(dāng)n=k+1時(shí)猜想也成立.由①②,可知對(duì)任意n∈N+,猜想都成立.反思感悟“歸納—猜想—證明”的一般步驟

(1)求a2,a3,a4的值;(2)猜想an的表達(dá)式,并用數(shù)學(xué)歸納法證明.當(dāng)堂檢測(cè)1.用數(shù)學(xué)歸納法證明等式1+