2021-2022學(xué)年高二（上）期中數(shù)學(xué)試卷（文科）（解析版）

2021-2021學(xué)年寧夏育才中學(xué)高二（上）期中數(shù)學(xué)試卷（文

科）

一、選擇題（本大題共12小題）

1.橢圓25/+16y2=1的焦點(diǎn)坐標(biāo)是（）

A.（±3,0）B.（±|,0）C.（土方,0）D.（0,±引

2.雙曲線會、=1的焦距是（）

A.3B.6C.V41D.2V41

3.與橢圓9+必=1共焦點(diǎn)且過點(diǎn)p（2,l）的雙曲線方程是（）

A.--y2=1B.--y2=1C.-——=1D.x2——=1

4/2z332

雙曲線49/一25y2=1225上一點(diǎn)P?）,yo）（xo>0）到右焦點(diǎn)的距離是5,那么點(diǎn)P

到左焦點(diǎn)的距離是（）

A.5B.30C.10D.15

2

已知△48C的頂點(diǎn)B,C在橢圓￡+y2=1上，頂點(diǎn)A是橢圓的一個焦點(diǎn)，且橢圓

的另外一個焦點(diǎn)在8c邊上，則44BC的周長是（）.

A.2>/3B.6C.473D.12

已知命題P：對任意xeR,總有2工>0；q：“x>r是“X>2”的充分不必要

條件，則下列命題為真命題的是（）

A.pRqB.-pA-J/C.-pAqD.pA-q

橢圓1+9=1的焦點(diǎn)為Fi，點(diǎn)產(chǎn)在橢圓上，如果線段P0的中點(diǎn)M在y軸上，那

么點(diǎn)〃的縱坐標(biāo)是（）

A.+3B.+^C.+它D.

2

8.已知命題p：|%|<2,命題q：x-x-2<0,貝lj-1P是-^的（）

A.充分非必要條件B.必要非充分條件

C.充分必要條件D.既非充分也非必要條件

已知雙曲線總一9=1的左右焦點(diǎn)分別為0,F2,若雙曲線左支上有一點(diǎn)例到右焦

點(diǎn)尸2距離為18,N為尸2中點(diǎn)，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，則|NO|等于（）

A.B.1C.2D.4

3

10.橢圓總+3=1（771通>0）經(jīng)過點(diǎn)（36,1）,則據(jù)+/最小值為（）

A.28+673B.28+1273C.28D.27

已知橢圓C：g+g=l（a>b>0）的左、右焦點(diǎn)分別為&、F2,離心率為冬過?2

的直線/交C于A、B兩點(diǎn)，若△加■聲的周長為4b，則C的方程為（）

A.疸+二=1B.r+y2=ic.江+^=1D.^+^=1

橢圓過+”=1上有一點(diǎn)P,0,尸2是橢圓的左、右焦點(diǎn)，AFiPF?為直角三角形,

42

則這樣的點(diǎn)尸有()

A.3個B.4個C.6個D.8個

二、填空題(本大題共4小題)

13.命題“mx>1,x2-2ax-l<0^^的否定是.

14.直線y=x-，被橢圓/+4y2=4截得的弦長為.

15.如果橢圓日+e=1的弦被點(diǎn)(4,2)平分，則這條弦所在的直線方程是.

369

給定下列四個命題：其中為真命題的是(填上正確命題的序號)

①“X=(是"sinx=的充分不必要條件；

若

為

虱則

②為

>Vqp,Aq

③M-

④三知x6R,則“x>1”是“x>2”的充分不必要條件

“若am2<%血2,則口<y的逆命題為真命題；

三、解答題(本大題共6小題)

求滿足下列條件的曲線的方程：

(1)離心率為|,長軸長為6的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

(2)與橢圓［+，=1有相同焦點(diǎn)，且經(jīng)過點(diǎn)(715,4)的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.

18.k為何值時，直線y=kx+2和橢圓2/+3)/2=6有兩個公共點(diǎn)？有一個公共點(diǎn)？

沒有公共點(diǎn)？

已知，經(jīng)過橢圓9+y2=1的左焦點(diǎn)&作傾斜角為60。的直線/,直線/與橢圓相交

于A、8兩點(diǎn)，求A4BF2的面積.

設(shè)聲速為。米/秒，在相距10。米的A、B兩哨所，聽到炮彈爆炸聲的時間差6秒,

求炮彈爆炸點(diǎn)所在曲線的方程.

已知橢圓中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，離心率e=4,它與直線x+y+1=0交于

尸、Q兩點(diǎn)，若。P1OQ,求橢圓方程.(。為原點(diǎn)).

(備用題)如圖，已知橢圓5+，=l(a>b>0)上的點(diǎn)M(l,|)到它的兩焦點(diǎn)FI、F2的

距離之和為4,A、B分別是它的左頂點(diǎn)和上頂點(diǎn).

(I)求此橢圓的方程及離心率；

(II)平行于的直線/與橢圓相交于產(chǎn)、。兩點(diǎn)，求|PQ|的最大值及此時直線/的

方程.

答案和解析

1.【答案】D

/y2

【解析】解：橢圓的方程25/+16y2=1化為標(biāo)準(zhǔn)形式為：工+±=1,

2516

???a2=—,b2=—,

1625

9

???「C2_—Ccl2—uM—------,

400

又該橢圓焦點(diǎn)在），軸，

???焦點(diǎn)坐標(biāo)為：（0，土裔）.

故選：D.

將橢圓的方程25/+I6y2=1為標(biāo)準(zhǔn)形式，可得。2=白，川=同,即可求得答案.

IoZ5

本題考查橢圓的簡單性質(zhì)，將桶圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式是關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.

2.【答案】D

【解析】解：???雙曲線式—=1,

1625

222

Ac=a+/?=164-25=41,

???c=J16+25=同，

???雙曲線式一1=1的焦距為2c=2區(qū).

1625

故選：

利用雙曲線的簡單性質(zhì)直接求解.

本題考查雙曲線的焦距的求法，是基礎(chǔ)題，解題時要認(rèn)真審題，注意雙曲線的簡單性質(zhì)

的靈活運(yùn)用.

3.【答案】B

【解析】【分析】本題主要考查了雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.考查了學(xué)生對雙曲線和橢圓基本

知識的掌握.

先根據(jù)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,求得焦點(diǎn)坐標(biāo),進(jìn)而求得雙曲線離心率，根據(jù)點(diǎn)P在雙曲線上，

根據(jù)定義求出。，從而求出匕，則雙曲線方程可得.

【解答】

解：由題設(shè)知：焦點(diǎn)為（土行,0）,2a=J（2+國）2+12_J（2—遮刑+12=2迎

a=V2?c=V3,b=1

27

與橢圓9+y2=1共焦點(diǎn)且過點(diǎn)P（2,l）的雙曲線方程是三-y2=i

故選：B.

4.【答案】D

【解析】解：雙曲線49/-25必=1225化為：

雙曲線49/一25y2=1225上一點(diǎn)POo，yo)Qo>0)到右焦點(diǎn)的距離是5,

設(shè)點(diǎn)尸到左焦點(diǎn)的距離是d,d-5=10,

???點(diǎn)P到左焦點(diǎn)的距離是15,

故選：D.

化簡雙曲線方程為標(biāo)準(zhǔn)方程，由雙曲線的定義轉(zhuǎn)化求解即可.

本題主要考查雙曲線的定義，應(yīng)注意判斷P的位置，避免錯解，是基本知識的考查，基

礎(chǔ)題.

5.【答案】C

【解析】【分析】

本題主要考查數(shù)形結(jié)合的思想和橢圓的基本性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是利用橢圓的第一定義.

設(shè)另一個焦點(diǎn)為F,根據(jù)橢圓的定義可知|48|+|8川=2￡1,|4。+尸。=2￡1最后把這

四段線段相加求得△2BC的周長.

【解答】

解：橢圓^■+y2=1的a=遮，

設(shè)另一個焦點(diǎn)為尸，則根據(jù)橢圓的定義可知

\AB\+\BF\=2a=2次，\AC\+\FC\=2a=273.

.??三角形的周長為：|45|+\BF\+\AC\+\FC\=4V3.

故選C.

6.【答案】D

【解析】解：因為命題p對任意久6R,總有2、>0,根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)判斷是真命

題；

命題<7："x>r不能推出“X>2”；但是“%>2”能推出“X>1”所以：“X>r

是“％>2”的必要不充分條件，故“是假命題；

所以pA%為真命題；

故選：D.

由命題P，找到x的范圍是判斷p為真命題.而/“x>l”是“x>2”的充

分不必要條件是假命題，然后根據(jù)復(fù)合命題的判斷方法解答.

判斷復(fù)合命題的真假，要先判斷每一個命題的真假，然后做出判斷.

7.【答案】A

【解析】【分析】

設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(m,n),根據(jù)橢圓方程求得焦點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而根據(jù)線段PF】的中點(diǎn)M在y

軸上，推斷m+3=0求得〃3代入桶圓方程求得〃，進(jìn)而求得M的縱坐標(biāo).

本題主要考查了橢圓的應(yīng)用.屬基礎(chǔ)題.

【解答】

解：設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(m,n),依題意可知居坐標(biāo)為(3,0)

Am+3=0

m=-3,代入橢圓方程求得兀=土當(dāng)

M的縱坐標(biāo)為+立

-4

故選A

8.【答案】A

【解析】【分析】

本題考查必要條件、充分條件與充要條件的判斷，正確解題的關(guān)鍵步驟是結(jié)合題設(shè)條件

準(zhǔn)確地求解-ip和rq.

先由己知條件求出「p和1%然后結(jié)合題設(shè)條件進(jìn)行判斷.

【解答】

解：-)p：因22,即或x22,

-it/：x2-x—2>0,解得xW-1或x22.

???-1P是「q的充分非必要條件，

故選A.

9.【答案】D

【解析】解:???雙

曲線式一些=

259

1的左、右焦點(diǎn)

分別為Fi、F2,

左支上有一點(diǎn)

例到右焦點(diǎn)尸2

的距離為18,N

是MF?的中點(diǎn)，

連接ON

是AMaF2的

中位線，???

ON“MF\,ON=：MFi，

??,由雙曲線的定義知，

MF2-MFA=2X5,AMa=8.

ON=4,

故選：D.

利用ON是△M&F2的中位線，ON=：MFi，再由雙曲線的定義求出MF1，進(jìn)而得到|0N|

的值.

本題以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為載體，考查雙曲線的定義，考查三角形中位線的性質(zhì)，屬于

基礎(chǔ)題.

10.【答案】A

【解析】解：橢圓3=l(zn,n>0)經(jīng)過點(diǎn)(3班,1),

可■++=】，

所以m2+n2=(m2+n2)(^-+2)=28++^->28+6收

當(dāng)且僅當(dāng)tn?=3gn2，*+*=1,即m=J27+3祗，n=/3b+1時取等號?

故選：A.

利用橢圓經(jīng)過的點(diǎn)，求出“、〃的關(guān)系，利用基本不等式求解即可.

本題考查橢圓的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，基本不等式的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題.

11.【答案】A

【解析】【分析】

本題考查橢圓的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程，考查橢圓的幾何性質(zhì)，考查學(xué)生的計算能力，屬于基

礎(chǔ)題.

利用AAFiB的周長為4百，求出a=8,根據(jù)離心率為日，可得c=l,求出b,即可得

出橢圓的方程.

【解答】

解：的周長為4百，

且△AF1B的周長=\AFX\+\AF2\+|BF1|+\BF2\=2a+2a=4a,

4a=4>/3,

:.a=V3?

???離心率為理，

3

解得c=l,

a3

:.b=Va2—c2—A/2?

???橢圓c的方程為W+《=l.

32

故選A.

12.【答案】C

【解析】解：當(dāng)/居為直角時，根據(jù)橢圓的對稱性，這樣的點(diǎn)P有兩個；

同理當(dāng)NF2為直角時，這樣的點(diǎn)P有兩個；

由于橢圓的短軸端點(diǎn)與兩個焦點(diǎn)所張的角最大，這里這個角恰好是直角，這時這樣的點(diǎn)

P也有兩個.

故符合要求的點(diǎn)P有六個.

故選：C.

本題中當(dāng)橢圓短軸的端點(diǎn)與兩焦點(diǎn)的張角小于90。時，4P為直角的情況不存在，此時等

價于橢圓的離心率小于辿；當(dāng)橢圓短軸的端點(diǎn)與兩焦點(diǎn)的張角等于90。時，符合要求的

2

點(diǎn)P有兩個，即短軸的兩個端點(diǎn)，此時等價于橢圓的離心率等于玄；當(dāng)橢圓短軸的端點(diǎn)

2

與兩焦點(diǎn)的張角大于90。時，根據(jù)橢圓關(guān)于y軸對稱這個的點(diǎn)P有兩個.

根據(jù)AFiPB中三個內(nèi)角那個是直角進(jìn)行分類討論，數(shù)形結(jié)合、根據(jù)橢圓是對稱性進(jìn)行

分析判斷.

13.【答案】Vx>1,x2—2ax—1>0

【解析】解：因為特稱命題的否定是全稱命題，

所以命題“船>1,x2—2ax-1<的否定是：Vx>1,x2—2ax—1>0；

故答案為：Vx>1,%2—2ax—1>0.

直接利用特稱命題的否定是全稱命題寫出結(jié)果即可.

本題考查命題的否定特稱命題與全稱命題的關(guān)系，基本知識的考查.

14.【答案】雪

【解析】解：依題意，聯(lián)立y="一三，

1%24-4y2=4

消去y整理得：5%2—4%—3=0,

設(shè)兩交點(diǎn)為4(%1，%),8(%2，、2)，

43

則+外=g，%1%2=一『

???|力切：［(%1--2)2+(71—丫2,

=加?/(%1+—)2-?I—

l14~3

=收4,(-0)

2738

=---，

5

故答案為：等.

通過聯(lián)立直線與橢圓方程，利用韋達(dá)定理及兩點(diǎn)間距離公式計算即得結(jié)論.

本題是一道直線與圓錐曲線的綜合題，考查運(yùn)算求解能力，注意解題方法的積累，屬于

中檔題.

15.【答案】x+2y-8=0

【解析】解：設(shè)弦的端點(diǎn)為4(與,％)、B(x2,y2),

代入橢圓方程，得

9x14-36押=36x9①，

9以+36yf=36x9②；

①-②得

9(X1+%2)(^1-&)+36(yx+%)(乃一丫2)=0；

由中點(diǎn)坐標(biāo)誓=4,左/=2,

代入上式，得

36(%i—x2)+72(yi-y2)=0>

二直線斜率為卜=濘=一±

所求弦的直線方程為：y-2=-**—4),

即x+2y—8=0.

故答案為：x+2y-8=0.

若設(shè)弦的端點(diǎn)為4(*1，%)、B(%2，y2)，代入橢圓方程得9好+36資=36x9①，9xf+

36羽=36x9②；作差①-②，并由中點(diǎn)坐標(biāo)公式，可得直線斜率鼠從而求出弦所

在的直線方程.

本題考查了圓錐曲線中由中點(diǎn)坐標(biāo)公式，通過作差的方法，求得直線斜率％的應(yīng)用模型，

屬于基礎(chǔ)題目.

16?【答案】①

【解析】解：對于①，由％得sinx=：，反之，由sinx=：,不一定有%=￡.?."%=

OLLO

會是“sinx=A的充分不必要條件，故①是真命題；

對于②，由pVq為真，得p與q中至少一個為真，若p與q中一真一假，貝!IpAq為假，

故②是假命題；

對于③，已知X6R,由x>l,不一定有x>2,反之成立，則“x>l”是“x>2”

的必要不充分條件，故③是假命題；

對于④，"若aM<bm2,則a<b”的逆命題為“若Q<b,貝ija*<bm2",是假

命題，如巾2=0時，=力7n2,故④是假命題.

??.其中為真命題的是①.

故答案為：①.

由x=g,得sinx=3反之，由sinx=：,不一定有％=￡,結(jié)合充分必要條件的判定方

法判斷①；利用復(fù)合命題的真假判斷判斷②；由不等式的性質(zhì)結(jié)合充分必要條件的判

定方法判斷③④.

本題考查命題的真假判斷與應(yīng)用，考查復(fù)合命題的真假判斷及充分必要條件的判定方法,

是基礎(chǔ)題.

17.【答案】解：(1)根據(jù)題意，要求橢圓的長軸長為6,離心率為|,

貝Ij2a=6,e=-=|,

a3

解可得：Q=3,C=2;

則b=V9—4=V5>

若橢圓的焦點(diǎn)在X軸上，其方程為［+<=1,

95

若橢圓的焦點(diǎn)在y軸上，其方程為9+9=1,

綜合可得：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為9+9=1或9+9=1；

(2)根據(jù)題意，橢圓葛+，=1的焦點(diǎn)為(0,3)和(0,—3),

故要求雙曲線的方程為］一馬=1,且c=3,

a2b2

則有。2+廿=9,①

又由雙曲線經(jīng)過經(jīng)過點(diǎn)(、國,4),則有蔡一孩=1，②，

聯(lián)立①②可得：

故要求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為旺--=1.

45

【解析】(1)根據(jù)題意，山橢圓的幾何性質(zhì)可得出c的值，計算可得6的值，討論橢圓

焦點(diǎn)的位置，求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，即可得答案；

(2)根據(jù)題意，求出橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而可以設(shè)雙曲線的方程為《-捻=1,分析可得

a2+〃=9和專一號=1,解可得八6的值，即可得答案.

本題考查橢圓、雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程的求法，涉及橢圓、雙曲線的幾何性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

18.【答案】解：直線y=-+2代入橢圓2/+3y2=6,消去y,可得(2+3^2)/+

12kx+6=0,

.??△=144k2-24(2+3k2)=72k2-48,

①直線y=kx+2和橢圓2/+3y2=6有兩個交點(diǎn)，.??72k2-48>0,k>當(dāng)或k<

_V6.

3，

②直線y=kx+2和橢圓2/+3y2=6有一個交點(diǎn)，二72fc2-48=0,k=±y；

③直線y=kx+2和橢圓2/+3y2=6沒有公共點(diǎn),72/c2-48<0,<fc<^.

222

【解析】直線y=kx+2代入橢圓2/+3y=6,消去y,可得(2+3k)x+12kx+6=

0,利用△>0、△=0、△<0,可得結(jié)論.

本題考查直線和橢圓的位置關(guān)系，直線和橢圓的交點(diǎn)個數(shù)的判斷方法，求出4=72/一

48,是解題的關(guān)鍵.

2

19.【答案】解：橢圓/+y2=1的左焦點(diǎn)0(一1,0),傾斜角為60。的直線/的斜率為：

k=V3

"22

則：直線/的方程為：y=+W組成方程組：~+y=1

y=V3x+V3

設(shè)4(%i，%)8(不，力)

I------------8A/2

2

AB=VI+k\xx-x2\=

F(l,0)到直線AB的距離為：d=V3

14V6

ABd=

s^ABF2=2\\~

故答案為：延

7

【解析】首先根據(jù)題中的已知條件建立直線/的方程y=V5x+6，然后建立方程組：

'"22

"+y=1,進(jìn)一步求出|4B|,利用點(diǎn)到直線的距離求出比進(jìn)一步利用SMBE求出

y=V3x+V3

結(jié)果.

本題考查的知識要點(diǎn)：點(diǎn)斜式直線方程，弦長公式的應(yīng)用，點(diǎn)到直線的距離及相關(guān)的運(yùn)

算問題.

20.【答案】解：以直線A8為x軸，線段BA的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立直角坐標(biāo)系.

設(shè)炮彈爆炸點(diǎn)的軌跡上的點(diǎn)P(*,y),由題意可得||P川一|PB||=6a<10a,

??.點(diǎn)PQ,y)d的軌跡方程為雙曲線總-總=1.

【解析】以直線AB為x軸，線段班的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立直角坐標(biāo)系.設(shè)炮彈爆

炸點(diǎn)的軌跡上的點(diǎn)P(x,y),由題意可得||P川一|PB||=6a<10a,可知：點(diǎn)P(x,y)d的

軌跡方程為雙曲線.

本題考查了雙曲線的定義及其標(biāo)準(zhǔn)方程，屬于基礎(chǔ)題.

21.【答案】解：設(shè)橢圓方程格+萍1,

:橢圓方程為三+1=1,即M+4y2=碗2設(shè)pQi，yi),Q(x2,y2')'

匚一(y=-1—x.

oo2

則由OP1OQ=X1X2=-y^2[x2+4y2=4b2=5/