比率與回歸估計

比率估計與回歸估計

教學(xué)目的與要求掌握總體比率、比率估計量及回歸估計量的概念了解比率估計量、回歸估計量的偏差、方差及方差的估計量掌握應(yīng)用比率估計量及回歸估計量的條件。第一節(jié)問題提出有時涉及兩個調(diào)查變量Y和X，除了估計兩個變量的總值和均值，還常常要估計兩個變量的總體均值或總體總值之比，稱為總體比率R?？傮w比率的內(nèi)涵可以有不同，有時是總體均值，有時是總體比例，有時是一般的相對數(shù)，但在形式上總是表現(xiàn)為兩個變量總值或均值之比。總體比率的含義例如Y,X分別表示調(diào)查單位產(chǎn)量和播種面積，則R為平均畝產(chǎn)，即總體均值。例如Y,X分別表示調(diào)查單位60歲以上老年人數(shù)和家庭人口數(shù)，則R表示全地區(qū)60歲以上老年人比例，即總體比例。若Y,X分別表示家庭男女人口數(shù)，則R表示全地區(qū)性別比。總體比率和總體比例區(qū)別：Ｐ是總體調(diào)查單位數(shù)N已知，只涉及一個調(diào)查變量，而R涉及兩個調(diào)查變量，均需調(diào)查。第二節(jié)比率估計一、比率估計量二、比率估計量的偏差與均方誤差比率估計量是有偏的，但當樣本量增大時其偏差將趨近于零。下表是容量為5的總體，列出了兩個變量的值，計算全部可能的n=3的簡單隨機樣本指標。i12345yi6791013xi34689樣本號樣本包含的單位號1（1，2，3）7.334.331.692810.15702（1，2，4）7.675.001.53409.20403（1，2，5）8.675.331.62669.75984（1，3，4）8.335.671.46918.81485（1，3，5）9.336.001.55509.33006（1，4，5）9.676.671.44988.69877（2，3，4）8.676.001.44508.67008（2，3，5）9.676.331.52769.16599（2，4，5）10.007.001.42868.571410（3，4，5）10.677.671.39118.3468合計90.0160.0015.119690.7184三、比率估計量方差的樣本估計與比率估計量的置信區(qū)間例2在某地區(qū)抽取由33個住戶組成的簡單隨機樣本，對每戶調(diào)查兩個指標：人口數(shù)xi和每天用于食品支出的費用yi,經(jīng)計算得試估計該地區(qū)平均每人每天用于食品的支出，并求其置信水平95%的置信區(qū)間。例3某系統(tǒng)有56個企業(yè)，去年全系統(tǒng)總產(chǎn)值86436萬元，為估計今年總產(chǎn)值，年底在所轄全部企業(yè)中隨機抽取12個企業(yè)進行調(diào)查得以下資料，其中xi和yi分別為去年和今年產(chǎn)值。試估計今年總產(chǎn)值，并給出抽樣標準誤的估計。12個企業(yè)兩年產(chǎn)值（萬元）企業(yè)123456xi7641642957132421311176yi85318351028151222861354企業(yè)789101112xi16181532834143217281214yi18261721958164819041534四、比率估計量優(yōu)于簡單估計量的條件在對調(diào)查變量總體均值、總體總值進行估計時，只有當調(diào)查變量與輔助變量有大致的正比例關(guān)系時比率估計量才能使估計精度有較大提高，以總體均值為例，定量的分析在什么條件下比率估計量優(yōu)于簡單估計量。五、多元比率估計例4為精確地估計某地區(qū)皮棉總產(chǎn)量，在該地區(qū)301個村莊中簡單隨機抽取18個村莊，在調(diào)查皮棉產(chǎn)量yi的同時記錄了皮棉種植面積x1i良種比例x2i，該地區(qū)皮棉種植總面積為X1=7450平方公里，采用良種的平均比例為六、乘積估計第三節(jié)回歸估計一、定義二、回歸系數(shù)為常數(shù)的情形在為相同目的進行的大量反復(fù)調(diào)查中，若多次使用回歸估計量且回歸系數(shù)的值比較穩(wěn)定，則有理由取此穩(wěn)定值作為回歸系數(shù)設(shè)定值。三、回歸系數(shù)取樣本回歸系數(shù)的情形四、回歸估計與比率估計及簡單估計的大樣本比較例5某地區(qū)有規(guī)模以下工業(yè)企業(yè)127個，共有固定資產(chǎn)價值6794.5萬元，從中隨機抽取20個企業(yè)調(diào)查工業(yè)產(chǎn)值及固定資產(chǎn)價值，試估計該地區(qū)規(guī)模以下工業(yè)總產(chǎn)值及其抽樣標準誤。企業(yè)固定資產(chǎn)總值與工業(yè)產(chǎn)值（萬元）固定資產(chǎn)總值工業(yè)產(chǎn)值固定資產(chǎn)總值工業(yè)產(chǎn)值35325045.54340.270655047.562564041.55855555152575853.46354.23833.86456.54542.85348.24745.65449.84240.85649.2第四節(jié)分層比率估計與分層回歸估計一、分別比率估計與聯(lián)合比率估計構(gòu)造分層比率估計時兩種做法：一種是對每層樣本構(gòu)造比率估計，然后通過加權(quán)或求和給出總體均值或總值的估計量，稱為分別比率估計量。另一種是對兩個指標的總體均值分別求出分層估計，然后用它們構(gòu)造比率估計，稱為聯(lián)合比率估計量。（一）分別比率估計（二）聯(lián)合比率估計二、分別回歸估計和聯(lián)合回歸估計（一）分別回歸估計在分層隨機抽樣中，總體均值和總值的分別線性回歸估計量為（二）聯(lián)合回歸估計三、各種估計量的比較當各層樣本量較小時，分別比率估計、分別回歸估計將有較大偏差，從而均方誤差比較大，此時如果總樣本量比較大，則采用聯(lián)合比率估計、聯(lián)合回歸估計更好一些。例6某縣有300個村，小麥播種面積為23434畝，全部村子按地勢分為平原、丘陵和山區(qū)三種類型，各按10%的抽樣比抽樣，調(diào)查畝產(chǎn)量如表。其中

思考與練習(xí)1某縣有200個村，共播種小麥77000畝，采用抽樣調(diào)查估計全縣小麥總產(chǎn)量，隨機抽取10個村對其小麥產(chǎn)量及播種面積進行調(diào)查。試以播種面積為輔助變量用比率估計量估計全縣小麥總產(chǎn)量，并與簡單估計量就效果進行比較。產(chǎn)量（萬斤）面積（畝）產(chǎn)量（萬斤）面積（畝）12.522024.64171223018.233610.52109.317618.137712.62475.512318.93702某鎮(zhèn)在2000戶家庭中隨機抽取36戶調(diào)查生活費用，以y表示樣本的食品支出費用，x表示總支出費用，得恩格爾系數(shù)3從總體中抽取一簡單隨機樣本，對每個調(diào)查單位都測量了調(diào)查變量y和輔助變量x的值，如果輔助變量的總體均值已知，那么對總體比率進行估計時有下述兩種做法：4將麥田分割成小塊，以此作為調(diào)查單位，調(diào)查目的是估計小麥總產(chǎn)量，采用簡單隨機抽樣得到一樣本，稱量了各單元麥粒凈重yi及麥粒麥稈毛重xi，經(jīng)過計算得到若以麥粒麥稈毛重為輔助變量構(gòu)造比率估計量，而不是采用簡單估計量估計總產(chǎn)量，試求在精度上的得益。56某地調(diào)查農(nóng)作物總產(chǎn)量，該地有大小不等的土地140塊，總面積460畝，采用簡單隨機抽樣調(diào)查10塊土地，數(shù)據(jù)如下表所示。試分別用簡單估計量，比率估計量，回歸估計量估計總產(chǎn)量，估計各估計量的標準差，并對上述結(jié)果進行比較分析。面積（畝）32.54.23.61.8產(chǎn)量（斤）1400112017101500720面積（畝）5.23.22.42.61.2產(chǎn)量（斤）19801310108013004808某縣調(diào)查某種農(nóng)作物總產(chǎn)量，由于平原和山區(qū)條件差別比較大，所以單位面積產(chǎn)量差別也較大，于是決定將全縣分為平原和山區(qū)兩層實施分層隨機抽樣，平原有120個村，去年總產(chǎn)量24500萬斤，山區(qū)有180個村，去年總產(chǎn)量21200萬斤，現(xiàn)按簡單隨機抽樣從平原抽取6個村，從山區(qū)抽取9個村。兩年產(chǎn)量見下表。試用分層樣本估計量、分別比率估計量、聯(lián)合比率估計量、分別回歸估計量、聯(lián)合回歸估計量給出總產(chǎn)量的估計及其抽樣標準誤的估計，并進行比較分析。平原農(nóng)作物產(chǎn)量