福建省莆田市城廂區(qū)礪志學(xué)校2023-2024學(xué)年八年級(jí)上學(xué)期返?？紨?shù)學(xué)試卷（含解析）

莆田市城廂區(qū)礪志學(xué)校2023-2024學(xué)年八年級(jí)上學(xué)期返?？紨?shù)學(xué)試卷一、選擇題（每小題4分，共40分）1．（4分）下列長(zhǎng)度的三條線段，能構(gòu)成三角形的是（）A．1，2，3 B．1，2，5 C．2，2，4 D．2，3，42．（4分）如圖，某同學(xué)把一塊三角形的玻璃打碎成了三塊，現(xiàn)在要到玻璃店去配一塊完全一樣的玻璃（）A．帶①去 B．帶②去 C．帶③去 D．帶①和②去3．（4分）下面四個(gè)圖形中，線段BD是△ABC的高的是（）A． B． C． D．4．（4分）如圖，兩個(gè)三角形是全等三角形，那么x的值是（）A．30° B．45° C．50° D．85°5．（4分）用尺規(guī)作圖作一個(gè)角等于已知角的示意圖如圖所示，則說明∠A′OB′＝∠AOB依據(jù)是（）A．SAS B．ASA C．SSS D．AAS6．（4分）如圖所示，AB＝AC，要說明△ADC≌△AEB（）A．∠B＝∠C B．AD＝AE C．∠ADC＝∠AEB D．DC＝BE7．（4分）將一副直角三角板，按如圖所示疊放在一起，則圖中∠α的度數(shù)是（）A．75° B．95° C．105° D．125°8．（4分）等腰三角形的兩邊長(zhǎng)分別為3和6，則這個(gè)等腰三角形的周長(zhǎng)為（）A．12 B．15 C．12或15 D．189．（4分）如圖所示，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的結(jié)果為（）A．90° B．180° C．360° D．無法確定10．（4分）如圖，BA1和CA1分別是△ABC的內(nèi)角平分線和外角平分線，BA2是∠A1BD的角平分線，CA2是∠A1CD的角平分線，BA3是∠A2BD的角平分線，CA3是∠A2CD的角平分線……，若∠A＝α，則∠A2022為（）°．A． B． C． D．二、填空題（每小題4分，共24分）11．（4分）如圖所示，王師傅做完門框?yàn)榉乐棺冃?，在門上釘上AB、CD兩條斜拉的木條．12．（4分）紙片△ABC中，∠C＝40°，將紙片的一角折疊（如圖），若∠1＝20°，則∠2的度數(shù)為．13．（4分）如圖，在△ABC中，∠A＝65°°．14．（4分）如圖，D、E在邊AB上，∠A，∠2的大小關(guān)系是．15．（4分）如圖，BD是△ABC邊AC的中線，點(diǎn)E在BC上EC，△ABD的面積是3cm2．16．（4分）當(dāng)三角形中一個(gè)內(nèi)角α是另一個(gè)內(nèi)角β的兩倍時(shí)，我們稱此三角形為“特征三角形”，其中α稱為“特征角”．如果一個(gè)“特征三角形”的“特征角”為100°．三、解答題（共86分）17．（6分）一個(gè)多邊形的內(nèi)角和比它的外角和的3倍少180°，求這個(gè)多邊形的邊數(shù)．18．（8分）已知a，b，c是三角形的三邊長(zhǎng)，化簡(jiǎn)：|a+c﹣b|﹣|a+b+c|+|2b+c|．19．（8分）如圖在△ABC中，BO、CO分別是∠ABC、∠ACB的角平分線，證明：∠BOC＝90°+20．（8分）如圖，BA＝BE，BC＝BD求證：∠C＝∠D．21．（8分）如圖，CE⊥AD，垂足為E22．（10分）如圖，△ABC中，∠B＞∠A，CE平分∠ACB，證明：∠DCE＝（∠B﹣∠A）．23．（12分）如圖，在三角形ABC中，AD為中線，AC＝2，AD為整數(shù)24．（12分）如圖1，像我們常見的學(xué)習(xí)用品——圓規(guī)，我們把這樣圖形叫做“規(guī)形圖”．（1）觀察“規(guī)形圖”，試探究∠BDC與∠A、∠B、∠C之間的關(guān)系，并說明理由；（2）請(qǐng)你直接利用以上結(jié)論，解決以下三個(gè)問題：①如圖2，把一塊直角三角尺XYZ放置在△ABC上，使三角尺的兩條直角邊XY、XZ恰好經(jīng)過點(diǎn)B、C，則∠ABX+∠ACX＝°；②如圖3，DC平分∠ADB，EC平分∠AEB，∠DBE＝β，請(qǐng)用含α和β的式子表示∠DCE的度數(shù)．25．（14分）我們定義：在一個(gè)三角形中，若一個(gè)角的度數(shù)是另一個(gè)角度數(shù)的4倍，則這樣的三角形稱之為“和諧三角形”．如：三個(gè)內(nèi)角分別為105°，15°的三角形是“和諧三角形”．【概念理解】如圖1，∠MON＝60°，點(diǎn)A在邊OM上，以A為端點(diǎn)作射線AD，交線段OB于點(diǎn)C（點(diǎn)C不與O，B重合）（1）∠ABO的度數(shù)為，△AOB（填“是”或“不是”）“和諧三角形”；（2）若∠ACB＝84°，試說明：△AOC是“和諧三角形”．【應(yīng)用拓展】如圖2，點(diǎn)D在△ABC的邊AB上，連結(jié)DC，在DC上取點(diǎn)F，使∠EFC+∠BDC＝180°，請(qǐng)直接寫出∠B的度數(shù)．答案解析一、選擇題（每小題4分，共40分）1．（4分）下列長(zhǎng)度的三條線段，能構(gòu)成三角形的是（）A．1，2，3 B．1，2，5 C．2，2，4 D．2，3，4【分析】根據(jù)三角形的三邊關(guān)系計(jì)算，判斷即可．【解答】解：A、∵1+2＝6，∴不能構(gòu)成三角形，本選項(xiàng)不符合題意；B、∵1+2＜7，∴不能構(gòu)成三角形，本選項(xiàng)不符合題意；C、∵2+2＝7，∴不能構(gòu)成三角形，本選項(xiàng)不符合題意；D、∵3﹣2＜5＜3+2，∴長(zhǎng)度為3，3，4的三條線段能構(gòu)成三角形．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是三角形的三邊關(guān)系，掌握三角形兩邊之和大于第三邊，三角形的兩邊差小于第三邊是解題的關(guān)鍵．2．（4分）如圖，某同學(xué)把一塊三角形的玻璃打碎成了三塊，現(xiàn)在要到玻璃店去配一塊完全一樣的玻璃（）A．帶①去 B．帶②去 C．帶③去 D．帶①和②去【分析】此題可以采用全等三角形的判定方法以及排除法進(jìn)行分析，從而確定最后的答案．【解答】解：A、帶①去，不能得到與原來一樣的三角形；B、帶②去，也是不能得到與原來一樣的三角形；C、帶③去，符合ASA判定；D、帶①和②去，同樣不能得到與原來一樣的三角形．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】主要考查學(xué)生對(duì)全等三角形的判定方法的靈活運(yùn)用，要求對(duì)常用的幾種方法熟練掌握．3．（4分）下面四個(gè)圖形中，線段BD是△ABC的高的是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)三角形的高的概念判斷即可．【解答】解：A、線段BD是△ABC的高，符合題意；B、線段BD不是△ABC的高，不符合題意；C、線段BD不是△ABC的高，不符合題意；D、線段BD不是△ABC的高，不符合題意；故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是三角形的高的概念，從三角形的一個(gè)頂點(diǎn)向?qū)呑鞔咕€，垂足與頂點(diǎn)之間的線段叫做三角形的高．4．（4分）如圖，兩個(gè)三角形是全等三角形，那么x的值是（）A．30° B．45° C．50° D．85°【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理、全等三角形的性質(zhì)解答．【解答】解：180°﹣85°﹣45°＝50°，∵兩個(gè)三角形是全等三角形，∴x＝50°，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是全等三角形的性質(zhì)，掌握全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等是解題的關(guān)鍵．5．（4分）用尺規(guī)作圖作一個(gè)角等于已知角的示意圖如圖所示，則說明∠A′OB′＝∠AOB依據(jù)是（）A．SAS B．ASA C．SSS D．AAS【分析】利用基本作圖得到OD＝OC＝OD′＝OC′，CD＝C′D′，則根據(jù)全等三角形的判定方法可根據(jù)“SSS”可判斷△OCD≌△O′C′D′，然后根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到∠A′OB′＝∠AOB【解答】解：由作法可得OD＝OC＝OD′＝OC′，CD＝C′D′，所以根據(jù)“SSS”可判斷△OCD≌△O′C′D′，所以∠A′OB′＝∠AOB．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了作圖﹣基本作圖：熟練掌握基本作圖（作一條線段等于已知線段；作一個(gè)角等于已知角；作已知線段的垂直平分線；作已知角的角平分線；過一點(diǎn)作已知直線的垂線）．6．（4分）如圖所示，AB＝AC，要說明△ADC≌△AEB（）A．∠B＝∠C B．AD＝AE C．∠ADC＝∠AEB D．DC＝BE【分析】△ADC和△AEB中，已知的條件有AB＝AC，∠A＝∠A；要判定兩三角形全等只需條件：一組對(duì)應(yīng)角相等，或AD＝AE即可．可據(jù)此進(jìn)行判斷，兩邊及一邊的對(duì)角相等是不能判定兩個(gè)三角形全等的．【解答】解：A、當(dāng)∠B＝∠C時(shí)，故A正確；B、當(dāng)AD＝AE時(shí)，故B正確；C、當(dāng)∠ADC＝∠AEB時(shí)，故C正確；D、當(dāng)DC＝BE時(shí)，不能判定兩個(gè)三角形全等；故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查的是全等三角形的判定方法，需注意的是SSA和AAA不能作為判定兩個(gè)三角形全等的依據(jù)．7．（4分）將一副直角三角板，按如圖所示疊放在一起，則圖中∠α的度數(shù)是（）A．75° B．95° C．105° D．125°【分析】由題意可得∠ABC＝90°，從而可求得∠ABD＝45°，再利用三角形的外角性質(zhì)即可求解．【解答】解：如圖，∵∠ABC＝90°，∠CBD＝45°，∴∠ABD＝∠ABC﹣∠CBD＝45°，∴∠α＝45°+60°＝105°．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查三角形的外角性質(zhì)，解答的關(guān)鍵是熟記三角形的外角等于與其不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角之和．8．（4分）等腰三角形的兩邊長(zhǎng)分別為3和6，則這個(gè)等腰三角形的周長(zhǎng)為（）A．12 B．15 C．12或15 D．18【分析】因?yàn)橐阎L(zhǎng)度為3和6兩邊，沒有明確是底邊還是腰，所以有兩種情況，需要分類討論．【解答】解：①當(dāng)3為底時(shí)，其它兩邊都為6，6、6、6可以構(gòu)成三角形，周長(zhǎng)為15；②當(dāng)6為腰時(shí)，其它兩邊為3和6，∵3+3＝6＝5，∴不能構(gòu)成三角形，故舍去，∴答案只有15．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)和三角形的三邊關(guān)系；已知沒有明確腰和底邊的題目一定要想到兩種情況，分類進(jìn)行討論，還應(yīng)驗(yàn)證各種情況是否能構(gòu)成三角形進(jìn)行解答，這點(diǎn)非常重要，也是解題的關(guān)鍵．9．（4分）如圖所示，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的結(jié)果為（）A．90° B．180° C．360° D．無法確定【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角與外角的關(guān)系可得∠A+∠B＝∠2，∠D+∠E＝∠1，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可得∠1+∠2+∠C＝180°，進(jìn)而可得答案．【解答】解：延長(zhǎng)BE交AC于F，∵∠A+∠B＝∠2，∠D+∠E＝∠1，∠8+∠2+∠C＝180°，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝180°，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了三角形的內(nèi)角與外角的關(guān)系，以及三角形內(nèi)角和定理，關(guān)鍵是掌握三角形一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和．10．（4分）如圖，BA1和CA1分別是△ABC的內(nèi)角平分線和外角平分線，BA2是∠A1BD的角平分線，CA2是∠A1CD的角平分線，BA3是∠A2BD的角平分線，CA3是∠A2CD的角平分線……，若∠A＝α，則∠A2022為（）°．A． B． C． D．【分析】根據(jù)角平分線定義得出∠ABA1＝∠CBA1＝ABC，∠ACA1＝∠DCA1＝∠ACD，根據(jù)三角形外角性質(zhì)得出∠ACD＝∠ABC+∠A＝2∠CBA1+∠A①，∠DCA1＝∠A1+∠CBA1②，②×2得長(zhǎng)2∠DCA1＝2∠A1+2∠CBA1，求出∠ACD＝2∠A1+2∠CBA1③，由①和③得出2∠A1＝∠A，求出∠A1＝A＝，同理得出∠A2＝A1＝α，∠A3＝∠A2＝α，再根據(jù)求出的規(guī)律得出答案即可．【解答】解：∵BA1平分∠ABC，CA1平分∠ACD，∴∠ABA7＝∠CBA1＝ABC1＝∠DCA1＝∠ACD，∵∠A＝α，∴∠ACD＝∠ABC+∠A＝2∠CBA2+∠A①，∠DCA1＝∠A1+∠CBA5②，②×2得：2∠DCA7＝2∠A1+2∠CBA1，∴∠ACD＝2∠A5+2∠CBA1③，由①和③得：3∠A1＝∠A，∵∠A＝α，∴∠A1＝A＝，同理∠A2＝A1＝∠A＝α，∠A3＝∠A2＝∠A＝α，???∴∠A2022＝α＝，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圖形的變化類，三角形的外角性質(zhì)和角平分線定義等知識(shí)點(diǎn)，能根據(jù)求出的結(jié)果得出規(guī)律∠An＝∠A是解此題的關(guān)鍵．二、填空題（每小題4分，共24分）11．（4分）如圖所示，王師傅做完門框?yàn)榉乐棺冃?，在門上釘上AB、CD兩條斜拉的木條三角形的穩(wěn)定性．【分析】三角形具有穩(wěn)定性，其它多邊形不具有穩(wěn)定性，把多邊形分割成三角形則多邊形的形狀就不會(huì)改變．【解答】解：王師傅這樣做是運(yùn)用了三角形的穩(wěn)定性．故答案為：三角形的穩(wěn)定性．【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角形穩(wěn)定性的實(shí)際應(yīng)用．三角形的穩(wěn)定性在實(shí)際生活中有著廣泛的應(yīng)用，如鋼架橋、房屋架梁等，因此要使一些圖形具有穩(wěn)定的結(jié)構(gòu)，往往通過連接輔助線轉(zhuǎn)化為三角形而獲得．12．（4分）紙片△ABC中，∠C＝40°，將紙片的一角折疊（如圖），若∠1＝20°，則∠2的度數(shù)為60°．【分析】根據(jù)∠C＝40°，再由∠1＝20°可求出∠CED的度數(shù)，由三角形內(nèi)角和定理及平角的性質(zhì)即可求解．【解答】解：由折疊可得∠ACED＝∠C′ED，∠CDE＝∠C′DE，∵∠1＝20°，∠C＝40°，∴∠CED＝＝80°，在△CDE中，∠CDE＝180°﹣∠C﹣∠CED＝180°﹣40°﹣80°＝60°，∴∠2＝180°﹣2∠CDE＝180°﹣6×60°＝60°，故答案為60°．【點(diǎn)評(píng)】本題考查折疊問題，掌握折疊的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理及平角的性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵．13．（4分）如圖，在△ABC中，∠A＝65°245°．【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和為180度可得∠B+∠C的度數(shù)，然后再根據(jù)四邊形內(nèi)角和為360°可得∠1+∠2的度數(shù)．【解答】解：∵△ABC中，∠A＝65°，∴∠B+∠C＝180°﹣65°＝115°，∵∠B+∠C+∠1+∠2＝360°，∴∠3+∠2＝360°﹣115°＝245°，故答案為：245．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了三角形內(nèi)角和，關(guān)鍵是掌握三角形內(nèi)角和為180°．14．（4分）如圖，D、E在邊AB上，∠A，∠2的大小關(guān)系是∠2＞∠1＞∠A．【分析】根據(jù)三角形的外角性質(zhì)，即可解答．【解答】解：∵∠2是△DEC的一個(gè)外角，∴∠2＞∠3，∵∠1是△ADC的一個(gè)外角，∴∠1＞∠A，∴∠4＞∠1＞∠A，故答案為：∠2＞∠6＞∠A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形的外角性質(zhì)，熟練掌握三角形的外角性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．15．（4分）如圖，BD是△ABC邊AC的中線，點(diǎn)E在BC上EC，△ABD的面積是31cm2．【分析】利用三角形面積公式，等高的三角形的面積比等于底邊的比，由此利用已知條件可以分別求出S△BDC、S△BED．【解答】解：∵BD是△ABC邊AC的中線，△ABD的面積是3，∴S△BDC＝S△ABD＝3，∵BE＝EC，∴S△BED＝S△DBC＝1，故答案為：1．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形面積：三角形的面積等于底邊長(zhǎng)與高線乘積的一半，即S△＝×底×高；三角形的中線將三角形分成面積相等的兩部分．16．（4分）當(dāng)三角形中一個(gè)內(nèi)角α是另一個(gè)內(nèi)角β的兩倍時(shí)，我們稱此三角形為“特征三角形”，其中α稱為“特征角”．如果一個(gè)“特征三角形”的“特征角”為100°30°．【分析】根據(jù)已知一個(gè)內(nèi)角α是另一個(gè)內(nèi)角β的兩倍得出β的度數(shù)，進(jìn)而求出最小內(nèi)角即可．【解答】解：由題意得：α＝2β，α＝100°，180°﹣100°﹣50°＝30°，故答案為：30°．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了新定義以及三角形的內(nèi)角和定理，根據(jù)已知得出β的度數(shù)是解題關(guān)鍵．三、解答題（共86分）17．（6分）一個(gè)多邊形的內(nèi)角和比它的外角和的3倍少180°，求這個(gè)多邊形的邊數(shù)．【分析】多邊形的外角和是360度，根據(jù)多邊形的內(nèi)角和比它的外角和的3倍少180°，即可得到多邊形的內(nèi)角和的度數(shù)．根據(jù)多邊形的內(nèi)角和定理即可求得多邊形的邊數(shù)．【解答】解：設(shè)這個(gè)多邊形的邊數(shù)是n，依題意得（n﹣2）×180°＝3×360°﹣180°，n﹣4＝6﹣1，n＝5．∴這個(gè)多邊形的邊數(shù)是7．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了多邊形的內(nèi)角和與外角和定理，任意多邊形的外角和都是360°，與邊數(shù)無關(guān)．18．（8分）已知a，b，c是三角形的三邊長(zhǎng)，化簡(jiǎn)：|a+c﹣b|﹣|a+b+c|+|2b+c|．【分析】三角形兩邊之和大于第三邊，正數(shù)的絕對(duì)值是它本身，負(fù)數(shù)的絕對(duì)值是它的相反數(shù)，由此即可求解．【解答】解：∵a，b，c是三角形的三邊長(zhǎng)，∴a+c＞b，|a+c﹣b|﹣|a+b+c|+|2b+c|＝a+c﹣b﹣（a+b+c）+2b+ca+c﹣b﹣a﹣b﹣c+3b+c＝c．【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角形三邊關(guān)系，絕對(duì)值，關(guān)鍵是掌握三角形三邊關(guān)系定理，絕對(duì)值的意義．19．（8分）如圖在△ABC中，BO、CO分別是∠ABC、∠ACB的角平分線，證明：∠BOC＝90°+【分析】根據(jù)角平分線的定義可得∠OBC＝∠ABC，∠OCB＝∠ACB，然后表示出∠OBC+∠OCB，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和等于180°列式整理即可得證．【解答】證明：∵∠ABC與∠ACB的平分線相交于點(diǎn)O，∴∠OBC＝∠ABC∠ACB，∴∠OBC+∠OCB＝（∠ABC+∠ACB），在△OBC中，∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝180°﹣（180°﹣∠A）＝90°+∠A，即：∠BOC＝90°+∠A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理，角平分線的定義，注意角的轉(zhuǎn)換．20．（8分）如圖，BA＝BE，BC＝BD求證：∠C＝∠D．【分析】結(jié)合圖形根據(jù)角之間的和差關(guān)系由∠ABD＝∠EBC推出∠ABC＝∠EBD，從而利用全等三角形的判定定理推出△ABC≌△EBD，進(jìn)而根據(jù)全等三角形的性質(zhì)證明即可．【解答】證明：∵∠ABD＝∠EBC，∴∠ABD﹣∠CBD＝∠EBC﹣∠CBD，即∠ABC＝∠EBD，在△ABC和△EBD中，，∴△ABC≌△EBD（SAS），∴∠C＝∠D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查全等三角形的判定定理及性質(zhì)，應(yīng)熟練掌握全等三角形的判定定理及其相關(guān)性質(zhì)，注意運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想方法，從圖形中尋找等量關(guān)系．21．（8分）如圖，CE⊥AD，垂足為E【分析】先根據(jù)直角三角形兩銳角互余可得∠C+∠D＝90°；再求出∠A+∠D＝90°，進(jìn)而得到∠ABD＝90°，再判定即可．【解答】證明：∵CE⊥AD，∴∠CED＝90°，∴∠C+∠D＝90°，∵∠A＝∠C，∴∠A+∠D＝90°，∴∠ABD＝90°，∴△ABD是直角三角形．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了直角三角形兩銳角互余的性質(zhì)，垂直的定義，是基礎(chǔ)題，熟記性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．22．（10分）如圖，△ABC中，∠B＞∠A，CE平分∠ACB，證明：∠DCE＝（∠B﹣∠A）．【分析】根據(jù)題意和圖形，可以寫出∠DCE，∠A，∠B之間的等量關(guān)系，然后再寫出推導(dǎo)過程即可．【解答】證明：∵∠ACB+∠A+∠B＝180°，∴∠ACB＝180°﹣∠A﹣∠B，∵CE平分∠ACB，∴∠BCE＝（180°﹣∠A﹣∠B），∵CD⊥AB，∴∠BCD＝90°﹣∠B，∴∠DCE＝∠BCE﹣∠BCD＝（180°﹣∠A﹣∠B）﹣（90°﹣∠B）＝90°﹣∠B﹣90°+∠B＝，即∠DCE＝（∠B﹣∠A）．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了三角形內(nèi)角和定理，熟記三角形內(nèi)角和定理是解題的關(guān)鍵．23．（12分）如圖，在三角形ABC中，AD為中線，AC＝2，AD為整數(shù)【分析】延長(zhǎng)AD到E，使AD＝DE，連接BE，證△ADC≌△EDB，推出AC＝BE＝2，在△ABE中，根據(jù)三角形三邊關(guān)系定理得出AB﹣BE＜AE＜AB+BE，代入求出即可．【解答】解：延長(zhǎng)AD到E，使AD＝DE，∵AD是BC邊上的中線，∴BD＝CD，在△ADC和△EDB中，，∴△ADC≌△EDB（SAS），∴AC＝BE＝2，在△ABE中，AB﹣BE＜AE＜AB+BE，∴4﹣8＜2AD＜4+7，∴1＜AD＜3，∵AD是整數(shù)，∴AD＝6，【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，三角形的三邊關(guān)系定理的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的推理能力．24．（12分）如圖1，像我們常見的學(xué)習(xí)用品——圓規(guī)，我們把這樣圖形叫做“規(guī)形圖”．（1）觀察“規(guī)形圖”，試探究∠BDC與∠A、∠B、∠C之間的關(guān)系，并說明理由；（2）請(qǐng)你直接利用以上結(jié)論，解決以下三個(gè)問題：①如圖2，把一塊直角三角尺XYZ放置在△ABC上，使三角尺的兩條直角邊XY、XZ恰好經(jīng)過點(diǎn)B、C，則∠ABX+∠ACX＝36°；②如圖3，DC平分∠ADB，EC平分∠AEB，∠DBE＝β，請(qǐng)用含α和β的式子表示∠DCE的度數(shù)．【分析】（1）連接AD并延長(zhǎng)，用兩次外角定理即可．（2）①依據(jù)（1）中的結(jié)論即可解決問題．②依據(jù)（1）中的結(jié)論，結(jié)合整體思想即可解決問題．【解答】解：（1）∠BDC＝∠BAC+∠B+∠C．連接AD并延長(zhǎng)到點(diǎn)E，∵∠BDE是△ABD的外角，∴∠BDE＝∠B+∠BAD．同理，∠CDE＝∠C+∠CAD，則∠BDE+∠CDE＝∠BAD+∠CAD+∠B+∠C．又∠BDE+∠CDE＝∠BDC，∠BAD+∠CAD＝∠BAC，∴∠BDC＝∠BAC+∠B+∠C．（2）①由（1）中的結(jié)論可知，∠X＝∠ABX+∠A+∠ACX．又∠A＝54°，∠X＝90°，∴∠ABX+∠ACX＝36°．故答案為：36．②由（1）中的結(jié)論可知，∠DBE＝∠CDB+∠DCE+∠CEB，則∠CDB+∠CEB＝∠DBE﹣∠DCE．又DC平分∠ADB，EC平分∠AEB，∴∠ADC＝∠CDB，∠AEC＝∠CEB．則∠ADC+∠AEC＝∠CDB+∠CEB．又∠DCE＝∠ADC+∠DEA+∠AEC，∴∠DCE＝∠DBE﹣∠DCE+∠DAE．即∠DCE＝．又∠DAE＝α，∠DBE＝β，所以∠DCE＝．【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角形內(nèi)角和定理，巧妙的利用三角形和外角定理及整體思想是解題的關(guān)鍵．25．（14分）我們定義：在一個(gè)三角形中，若一個(gè)角的度數(shù)是另一個(gè)角度數(shù)的4倍，則這樣的三角形