數(shù)列的遞推公式教學(xué)設(shè)計高二下學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版選擇性

數(shù)列的遞推公式教學(xué)設(shè)計課題數(shù)列的遞推公式單元第一單元學(xué)科數(shù)學(xué)年級高二教材分析本節(jié)課是2019版高中數(shù)學(xué)(人教版)選擇性必修第二冊，第四章《數(shù)列》里的內(nèi)容,這一節(jié)課主要學(xué)習(xí)數(shù)列的遞推公式。主要知識點(diǎn)有數(shù)列的遞推公式、通項公式與遞推公式的區(qū)別和聯(lián)系、數(shù)列前n項和的定義及前n項和公式等。教學(xué)目標(biāo)與核心素養(yǎng)1數(shù)學(xué)抽象：遞推公式的概念、數(shù)列前n項和的概念；2邏輯推理：用遞推公式解決有關(guān)問題、前n項和與通項的關(guān)系；3數(shù)學(xué)運(yùn)算：用遞推公式求數(shù)列的項及通項、前n項和公式；4數(shù)學(xué)建模：遞推公式的概念.重點(diǎn)數(shù)列的遞推公式、前n項和與通項的關(guān)系.難點(diǎn)用遞推公式解決有關(guān)問題、用數(shù)列的前n項和與通項的關(guān)系求通項公式.教學(xué)過程教學(xué)環(huán)節(jié)教師活動學(xué)生活動設(shè)計意圖導(dǎo)入新課復(fù)習(xí)：1數(shù)列的概念是？一般地，我們把按照確定的順序排列的一列數(shù)稱為數(shù)列，數(shù)列中的每一個數(shù)叫做這個數(shù)列的項.2數(shù)列的表示主要有？①通項公式法②列表法③圖象法④一般表示法3數(shù)列的通項公式是？如果數(shù)列{an}的第n項an與它的序號n之間的對應(yīng)關(guān)系可以用一個式子來表示，那么這個式子叫做這個數(shù)列的問題：1什么叫數(shù)列的遞推公式？2由數(shù)列的遞推公式能否求出數(shù)列的項？復(fù)習(xí)導(dǎo)入復(fù)習(xí)上一節(jié)所學(xué)的內(nèi)容，為本節(jié)課的繼續(xù)學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)提出本節(jié)課的主要內(nèi)容，讓學(xué)生帶著問題聽課講授新課例3如果數(shù)列{an}的通項公式為an=n2分析：要判斷120是不是數(shù)列{an}中的項，就是要回答是否存在正整數(shù)n，使得n2解：令n2+2n=120解這個關(guān)于n的方程，得n=12(舍去)，或n=10.所以，120是數(shù)列{an}中的項，是第10新知探究例4圖4.13中的一系列三角形圖案稱為謝爾賓斯基三角形.在圖形4個大三角形中，著色的三角形的個數(shù)依次構(gòu)成一個數(shù)列的前4項，寫出這個數(shù)列的一個通項公式.解：在圖4.13（1）（2）（3）（4）中，著色三角形的個數(shù)依次為1，3，9，27，即所求數(shù)列的前4項都是3的指數(shù)冪，指數(shù)為序號減1.因此，這個數(shù)列的一個通項公式是an換個角度觀察圖4.13中的4個圖形.可以發(fā)現(xiàn)，a1=1，且每個圖形中的著色三角形都在下一個圖形中分裂為3個著色小三角形和1個無色小三角形.于是從第2個圖形開始，每個圖形中著色三角形的個數(shù)都是前一個圖形中著色三角形個數(shù)的3倍.a1=1，a2=3a1由此猜測這個數(shù)列滿足公式a像an=3an?1(n≥2)這樣，如果一個數(shù)列的相鄰兩項或多項之間的關(guān)系可以用一個式子來表示知道了首項和遞推公式，就能求出數(shù)列的每一項了.數(shù)列的遞推公式1概念：如果一個數(shù)列的相鄰兩項或多項之間的關(guān)系可以用一個式子來表示，那么這個式子叫做這個數(shù)列的遞推公式2概念解析：(1)與所有的數(shù)列不一定都有通項公式一樣，并不是所有的數(shù)列都有遞推公式．(2)遞推公式也是給出數(shù)列的一種重要方法，遞推公式和通項公式一樣都是關(guān)于項數(shù)n的恒等式，用符合要求的正整數(shù)依次去替換n，就可以求出數(shù)列的各項．(3)遞推公式通過賦值逐項求出數(shù)列的項，直至求出數(shù)列的任何一項和所需的項.(4)用遞推公式給出數(shù)列，不易了解數(shù)列的全貌，計算也不方便，所以，經(jīng)常用它推導(dǎo)出數(shù)列的通項公式或得到一個特殊數(shù)列，比如具有周期性質(zhì)的數(shù)列.（若存在一個正整數(shù)t，使得?n∈N?,an+t=a通項公式與遞推公式的區(qū)別和聯(lián)系區(qū)別聯(lián)系通項公式1直接反映了an與n之間的關(guān)系，即an是n的函數(shù)，2知道任意一個具體的n值的，就可以求出該項的值a1都可以一個確定數(shù)列2也都可以求出數(shù)列的任意一項遞推公式1間接反映了an與n之間的關(guān)系，它是數(shù)列任意兩項（或多項）相鄰項之間的關(guān)系式，不能由n直接得出a2可根據(jù)第1項（或前幾項）的值，通過一次（或多次）賦值，逐項求出數(shù)列的項，直至求出所需的a例5已知數(shù)列{an}的首項為a1=1，遞推公式為a解：由題意可知a1a2a3a4a5數(shù)列前n項和的定義、前n項和公式1把數(shù)列{an}從第1項起到第n項止的各項之和，稱為數(shù)列{an}的前n項和，記作S即Sn=2如果數(shù)列{an}的前n項和Sn與它的序號n之間的對應(yīng)關(guān)系可以用一個式子來表示，那么這個式子叫做這個數(shù)列的通項與前n項和顯然S1而Sn?1于是我們有a注：（1）已知數(shù)列{an}的前n項和Sn，求an，一般用公式（2）由Sn?Sn?1求an時，若當(dāng)n=1，a思考已知數(shù)列{an}的前n項和公式為Sn=n2+n解答：因為a1a=并且當(dāng)n=1時，a1所以{an}的通項公式是a課堂練習(xí)1填空（1）數(shù)列{an}中，a1則a（2）數(shù)列{an}中，a1則a（3）數(shù)列{an}則a答案：（1）17（2）2（3）20202（由遞推公式求數(shù)列的項）（多選題）已知數(shù)列{an}滿足a1=?12A．2B.23C.3答案：BD分析：根據(jù)遞推關(guān)系找出規(guī)律，可得數(shù)列是周期為3的周期數(shù)列，從而得出結(jié)論.解：因為數(shù)列{an}滿足a1所以a2=1a所以，數(shù)列{an}是周期為3的數(shù)列，且前3項為?1故選：BD3如圖，在三個正方形塊中，著色正方形的個數(shù)依次構(gòu)成一個數(shù)列的前三項，則這個數(shù)列的一個遞推公式為（）an+1=8aC．a(chǎn)n+1=an+答案：D解：由圖可知：a1a2a3=a2可得a故選：D4（由遞推公式求通項公式）（1）累加法求通項公式已知數(shù)列{aa1=?1求數(shù)列的通項公式an解：∵a∴aa……an以上各式累加得，a∴an∴又∵n＝1時，a1=1，∴（2）累乘法求通項公式設(shè)數(shù)列{an}中，a1=1,解：∵a1=1,∴anaa又∵n＝1時，a1=1,∴an=1拓展(1)累加法：當(dāng)an常用an=a(2)累乘法：當(dāng)anan?1常用an=5已知數(shù)列{an}的前n項和Sn則a分析：利用a4解：由已知得：a故a4通過例題，進(jìn)一步深化學(xué)生對數(shù)列概念的理解和運(yùn)用。發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)通過具體問題的思考、分析，引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識數(shù)列中的遞推公式。發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)通過數(shù)列的通項與前n項和的認(rèn)識，幫