(完整版)數(shù)字信號處理教案(東南大學)

PAGEPAGE1數(shù)字信號處理緒論一、從模擬到數(shù)字1、信號：信號傳遞信息的函數(shù)也是獨立變量的函數(shù)，這個變量可以是時間、空間位置等。2、連續(xù)信號：在某個時間區(qū)間，除有限間斷點外所有瞬時均有確定值。3、模擬信號是連續(xù)信號的特例。時間和幅度均連續(xù)。4、離散信號：時間上不連續(xù)，幅度連續(xù)。5、數(shù)字信號：幅度量化，時間和幅度均不連續(xù)。A/DA/D變換器通用或?qū)Ｓ糜嬎銠C采樣保持器D/A變換器模擬低通濾波器模擬信號數(shù)字信號模擬信號數(shù)字信號處理系統(tǒng)連續(xù)時間信號連續(xù)時間信號模擬信號的數(shù)字化模擬信號的數(shù)字化數(shù)字信號數(shù)碼量化電平模擬信號采樣保持信號量化電平數(shù)碼數(shù)碼量化電平數(shù)字信號D/A輸出信號模擬信號數(shù)字信號轉(zhuǎn)化成模擬信號模擬濾波輸出D/A模擬濾波輸出D/A輸出二、數(shù)字信號處理的主要優(yōu)點數(shù)字信號處理采用數(shù)字系統(tǒng)完成信號處理的任務(wù)，它具有數(shù)字系統(tǒng)的一些共同優(yōu)點，例如抗干擾、可靠性強，便于大規(guī)模集成等。除此而外，與傳統(tǒng)的模擬信號處理方法相比較，它還具有以下一些明顯的優(yōu)點：1、精度高在模擬系統(tǒng)的電路中，元器件精度要達到10-3以上已經(jīng)不容易了，而數(shù)字系統(tǒng)17位字長可以達到102、靈活性強數(shù)字信號處理采用了專用或通用的數(shù)字系統(tǒng)，其性能取決于運算程序和乘法器的各系數(shù)，這些均存儲在數(shù)字系統(tǒng)中，只要改變運算程序或系數(shù)，即可改變系統(tǒng)的特性參數(shù)，比改變模擬系統(tǒng)方便得多。3、可以實現(xiàn)模擬系統(tǒng)很難達到的指標或特性例如：有限長單位脈沖響應數(shù)字濾波器可以實現(xiàn)嚴格的線性相位；在數(shù)字信號處理中可以將信號存儲起來，用延遲的方法實現(xiàn)非因果系統(tǒng)，從而提高了系統(tǒng)的性能指標；數(shù)據(jù)壓縮方法可以大大地減少信息傳輸中的信道容量。4、可以實現(xiàn)多維信號處理利用龐大的存儲單元，可以存儲二維的圖像信號或多維的陣列信號，實現(xiàn)二維或多維的濾波及譜分析等。5、缺點（1）增加了系統(tǒng)的復雜性。他需要模擬接口以及比較復雜的數(shù)字系統(tǒng)。（2）應用的頻率范圍受到限制。主要是A/D轉(zhuǎn)換的采樣頻率的限制。（3）系統(tǒng)的功率消耗比較大。數(shù)字信號處理系統(tǒng)中集成了幾十萬甚至更多的晶體管，而模擬信號處理系統(tǒng)中大量使用的是電阻、電容、電感等無源器件，隨著系統(tǒng)的復雜性增加這一矛盾會更加突出。三、發(fā)展特點(1)由簡單的運算走向復雜的運算，目前幾十位乘幾十位的全并行乘法器可以在數(shù)個納秒的時間內(nèi)完成一次浮點乘法運算，這無論在運算速度上和運算精度上均為復雜的數(shù)字信號處理算法提供了先決條件；(2)由低頻走向高頻，模數(shù)轉(zhuǎn)換器的采樣頻率已高達數(shù)百兆赫，可以將視頻甚至更高頻率的信號數(shù)字化后送入計算機處理；(3)由一維走向多維，像高分辨率彩色電視、雷達、石油勘探等多維信號處理的應用領(lǐng)域已與數(shù)字信號處理結(jié)下了不解之緣。（4）各種數(shù)字信號處理系統(tǒng)均幾經(jīng)更新?lián)Q代在圖像處理方面，圖像數(shù)據(jù)壓縮是多媒體通信、影碟機(VCD或DVD)和高清晰度電視(HDTV)的關(guān)鍵技術(shù)。國際上先后制定的標準H.261、JPEG、MPEG—1和MPEG—2中均使用了離散余弦變換(DCT)算法。近年來發(fā)展起來的小波(Wavelet)變換也是一種具有高壓縮比和快速運算特點的嶄新壓縮技術(shù)，應用前景十分廣闊，可望成為新一代壓縮技術(shù)的標準。年代 特點 $/MIPS60年代 大學探索 $100-$1,00070年代 軍事運用 $10-$10080年代 商用成功 $1-$1090年代 進入消費類電子$0.1-$1今后 生活用品 $0.01-$0.1四、各種數(shù)字信息系統(tǒng)數(shù)字信號處理不斷開辟新的應用領(lǐng)域在機械制造中，基于FFT算法的頻譜分析儀用于振動分析和機械故障診斷；醫(yī)學中使用數(shù)字信號處理技術(shù)對心電(ECG)和腦電(EEG)等生物電信號作分析和處理；數(shù)字音頻廣播(DAB)廣泛地使用了數(shù)字信號處理技術(shù)?？梢哉f，數(shù)字信號處理技術(shù)已在信息處理領(lǐng)域引起了廣泛的關(guān)注和高度的重視。五、數(shù)字信號處理系統(tǒng)的實現(xiàn)軟件實現(xiàn)軟件實現(xiàn)是用一臺通用的數(shù)字計算機運行數(shù)字信號處理程序。其優(yōu)點是經(jīng)濟，一機可以多用；缺點是處理速度慢，這是由于通用數(shù)字計算機的體系結(jié)構(gòu)并不是為某一種特定算法而設(shè)計的。在許多非實時的應用場合，可以采用軟件實現(xiàn)方法。例如，處理一盤混有噪聲的錄像(音)帶，我們可以將圖像(聲音)信號轉(zhuǎn)換成數(shù)字信號并存入計算機，用較長的時間一幀幀地處理這些數(shù)據(jù)。處理完畢后，再實時地將處理結(jié)果還原成一盤清晰的錄像(音)帶。通用計算機即可完成上述任務(wù)，而不必花費較大的代價去設(shè)計一臺專用數(shù)字計算機。硬件實現(xiàn)硬件實現(xiàn)是針對特定的應用目標，經(jīng)優(yōu)化，設(shè)計一專用的軟硬件系統(tǒng)。其優(yōu)點是容易做到實時處理，缺點是設(shè)備只能專用。片上系統(tǒng)（SOC,SystemonaChip）隨著大規(guī)模集成電路的發(fā)展，一個復雜數(shù)字信號處理系統(tǒng)已可以集成在一個芯片上。SOC包含有數(shù)字和模擬電路、模擬和數(shù)字轉(zhuǎn)換電路、微處理器、微控制器以及數(shù)字信號處理器等。與傳統(tǒng)的集成電路不同的是，嵌入式軟件的設(shè)計也被集成到了SOC的設(shè)計流程中，SOC的設(shè)計方法將以組裝為基礎(chǔ)，采用自上至下的設(shè)計方法，在設(shè)計過程中大量重復使用自行設(shè)計或其他第三方擁有知識產(chǎn)權(quán)的IP(IntelligentProperty)模塊。SOC要充分考慮如何合理劃分軟件和硬件所實現(xiàn)的系統(tǒng)功能以及如何實現(xiàn)軟、硬件之間的信息傳遞。SOC將是數(shù)字信號處理系統(tǒng)的一個新型的實現(xiàn)方法。并行、復用和流水并行是指為了完成同一個任務(wù)，幾個處理器同時工作，使系統(tǒng)能勝任單個處理器所不能完成的任務(wù)；當一個處理器完成單個任務(wù)(比如一個濾波器)有很大的富余量時，可讓其完成多個任務(wù)，這就是復用；流水結(jié)構(gòu)也是多處理器完成同一任務(wù)，它與并行結(jié)構(gòu)的主要區(qū)別在于并行的各個處理器之間數(shù)據(jù)交換不多，而流水結(jié)構(gòu)類似于生產(chǎn)中的流水線，數(shù)據(jù)經(jīng)一道道“工序”處理。采用并行或流水結(jié)構(gòu)，完全取決于數(shù)字信號處理的運算結(jié)構(gòu)。研究內(nèi)容

經(jīng)典的數(shù)字信號處理限于線性時不變系統(tǒng)理論,數(shù)字濾波和FFT是常用方法。

目前DSP研究熱點：時變非線性系統(tǒng)、非平穩(wěn)信號、非高斯信號

處理方法的發(fā)展：自適應濾波、離散小波變換、高階矩分析、盲處理、分形、混沌理論課程介紹基礎(chǔ)理論：離散時間信號與系統(tǒng)（ch1）Z變換（ch2）

離散傅立葉變換DFT（ch3）

快速傅立葉變換FFT（ch4）

數(shù)字濾波器

無限長單位脈沖響應（IIR）濾波器(ch5)

有限長單位脈沖響應（FIR）濾波器(ch6)

第一章離散時間信號離散時間信號線性移不變系統(tǒng)常系數(shù)線性差分方程連續(xù)時間信號的抽樣學習要求：熟練掌握和運用采樣定理；掌握離散時間信號與系統(tǒng)的定義；會判定系統(tǒng)的因果性和穩(wěn)定性。1.1離散時間信號一、主要常用序列（１）單位脈沖序列...0...0123-1nu(n)1……1……N-1n（３）矩形序列（４）實指數(shù)序列（５）正弦序列x(n)=sin（nω0注意：正弦型序列不一定是周期序列（6）復指數(shù)序列當時x(n)的實部和虛部，分別是余弦和正弦序列。二、序列的運算1、序列的移位y(n)=x(n-m)當m為正時，x(n-m)表示依次右移m位；x(n+m)表示依次左移m位。2、序列的相加z(n)=x(n)+y(n)是指同序號n的序列值逐項對應相加得一新序列。3、序列的相乘f(n)=x(n)y(n)是指同序號(n)的序列值逐項對應相乘。4、序列的翻褶如果有x(n),則x(-n)是以n=0為對稱軸將x(n)加以翻褶的序列。5、序列的累加表示n以前的所有x(n)的和。6、前向差分和后向差分（先左移后相減）；（先右移后相減）7、序列的尺度變換抽取：x(n)x(mn),m為正整數(shù)；插值：x(n)x(n/m),m為正整數(shù)。圖1-1序列x(n)及超前序列x(n+1)圖1-5序列x(n)及其累加序列y(n)圖1-2兩序列相加圖1-3序列x(n)及翻褶后的序列x(-n)圖1-7某序列及其抽取序列8、序列的卷積和設(shè)序列x(n),h(n),它們的卷積和y(n)定義為卷積和計算分四步：折迭(翻褶),位移,相乘,相加。圖1-8x(n)和h(n)的卷積和圖解三、序列的周期性如果存在一個最小的正整數(shù)N,滿足x(n)=x(n+N),則序列x(n)為周期性序列,N為周期。四、用單位抽樣序列表示任意序列1、任意序列可表示成單位抽樣序列的位移加權(quán)和.2.、x(n)亦可看成x(n)和δ(n)的卷積和五、序列的能量x(n)的能量定義為1-2線性移不變系統(tǒng)一、線性系統(tǒng)系統(tǒng)實際上表示對輸入信號的一種運算，所以離散時間系統(tǒng)就表示對輸入序列的運算，即x(n)x(n)離散時間系統(tǒng)T[x(n)]y(n)y(n)=T[x(n)]線性系統(tǒng)具有均勻性和迭加性：*加權(quán)信號和的響應=響應的加權(quán)和。*先運算后系統(tǒng)操作=先系統(tǒng)操作后運算。二、移不變系統(tǒng)如T[x(n)]=y(n),則T[x(n-m)]=y(n-m),滿足這樣性質(zhì)的系統(tǒng)稱作移不變系統(tǒng)。即系統(tǒng)參數(shù)不隨時間變化的系統(tǒng)，亦即輸出波形不隨輸入加入的時間而變化的系統(tǒng)。*系統(tǒng)操作=函數(shù)操作三、單位抽樣響應與卷積和四.線性移不變系統(tǒng)的性質(zhì)1.交換律2.結(jié)合律3.對加法的分配律五.因果系統(tǒng)某時刻的輸出只取決于此刻以及以前時刻的輸入的系統(tǒng)稱作因果系統(tǒng)。*實際系統(tǒng)一般是因果系統(tǒng)；*對圖象、已記錄數(shù)據(jù)處理以及平均處理的系統(tǒng)不是因果系統(tǒng)；*y(n)=x(-n)是非因果系統(tǒng),因n<0的輸出決定n>0時的輸入;線性移不變因果系統(tǒng)的充要條件為h(n)=0，n<0。六.穩(wěn)定系統(tǒng)有界的輸入產(chǎn)生有界的輸出系統(tǒng)。線性移不變穩(wěn)定系統(tǒng)的充要條件是1-3常系數(shù)線性差分方程離散變量n的函數(shù)x(n)及其位移函數(shù)x(n-m)線性疊加而構(gòu)成的方程.一.表示法與解法1.表示法*常系數(shù)：a0,a1,…,aN;b0,b1,…,bM均是常數(shù)（不含n）.*階數(shù)：y(n)變量n的最大序號與最小序號之差，如N=N-0.*線性：y(n-k),x(n-m)各項只有一次冪,不含它們的乘積項。2.解法時域：迭代法，卷積和法;變換域：Z變換法.二.用迭代法求解差分方程1.“松弛”系統(tǒng)的輸出起始狀態(tài)為零的系統(tǒng)，這種系統(tǒng)用的較多，其輸出就是。因此，已知h(n)就可求出y(n)，所以必須知道h(n)的求法.2.迭代法（以求h(n)為例）例:已知常系數(shù)線性差分方程為y(n)-ay(n-1)=x(n)，試求單位抽樣響應h(n).解：因果系統(tǒng)有h(n)=0,n<0;方程可寫作:y(n)=ay(n-1)+x(n)

注意：1.一個常系數(shù)線性差分方程并不一定代表因果系統(tǒng)，也不一定表示線性移不變系統(tǒng)。這些都由邊界條件（初始）所決定。2.我們討論的系統(tǒng)都假定：常系數(shù)線性差分方程就代表線性移不變系統(tǒng)，且多數(shù)代表因果系統(tǒng)。三.系統(tǒng)結(jié)構(gòu)1.系統(tǒng)的輸入與輸出的運算關(guān)系的表述方法。2.差分方程可直接得到系統(tǒng)結(jié)構(gòu)。例：y(n)=b0x(n)-a1y(n-1)用⊕表示相加器；用表示乘法器；用表示一位延時單元。例：差分方程y(n)=b0x(n)-a1y(n-1)表示的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)為：1-4連續(xù)時間信號的抽樣一.抽樣器與抽樣1.抽樣器2.抽樣對信號進行時間上的量化，這是對信號作數(shù)字化處理的第一個環(huán)節(jié)。問題：信號經(jīng)采樣后發(fā)生的變化（如頻譜的變化）；信號內(nèi)容是否丟失（采樣序列能否代表原始信號、如何不失真地還原信號）；由離散信號恢復連續(xù)信號的條件？2.實際抽樣與理想抽樣實際抽樣：p(t)為脈沖序列抽樣器一般由電開關(guān)組成，開關(guān)每隔Ｔ秒短暫地閉合一次，將連續(xù)信號接通，實現(xiàn)一次采樣。如開關(guān)每次閉合τ秒，則采樣器的輸出是一串重復周期為T，寬度為τ的脈沖，脈沖的幅度是這段時間內(nèi)信號的幅度，如圖1.1(d)，這一采樣過程可看作是一個脈沖調(diào)幅過程，脈沖載波是一串周期為T、寬度為τ的矩形脈沖，以P(t)表示,調(diào)制信號是輸入的連續(xù)信號xa(t)，則采樣輸出為Xp(t)=Xa(t)P(t)一般τ很小,τ越小，采樣輸出脈沖的幅度越接近輸入信號在離散時間點上的瞬時值。理想抽樣：（沖激序列）當抽樣器的電開關(guān)閉合時間τ→0時，為理想采樣。采樣序列表示為沖激函數(shù)的序列，這些沖激函數(shù)準確地出現(xiàn)在采樣瞬間，其積分幅度準確地等于輸入信號在采樣瞬間的幅度，即：理想采樣可看作是對沖激脈沖載波的調(diào)幅過程。理想采樣信號的數(shù)學表示：用M(t)表示沖擊載波，

則有理想采樣信號可表示為：說明：實際情況下，τ＝0達不到，但τ<<T時，實際采樣接近理想采樣，理想采樣可看作是實際采樣物理過程的抽象，便于數(shù)學描述，可集中反映采樣過程的所有本質(zhì)特性，理想采樣對Z變換分析相當重要。3.采樣信號的頻譜1)頻譜延拓問題：理想采樣信號的頻譜有何特點，它與連續(xù)信號頻譜的關(guān)系？對理想采樣信號進行傅立葉變換，可以證明，理想采樣信號的頻譜是連續(xù)信號頻譜的周期延拓，重復周期為Ws(采樣頻率)，即其中為理想采樣信號的頻譜，為連續(xù)信號的付氏變換。顯然，是頻率Ω的連續(xù)函數(shù)。數(shù)字角頻率

如果定義并且將的自變量用ω表示，周期用ωs表示，則ωs=ΩsT=2π即的周期為2π。ω即為數(shù)字角頻率，它是模擬域頻率對采樣頻率fs的歸一化。數(shù)字角頻率代表了序列值變化快慢的速率，它只有相對的時間意義，而沒有絕對時間和頻率的意義。2)采樣定理

如果信號xa(t)是實帶限信號，且最高頻譜不超過Ws/2，即那么理想采樣頻譜中，基帶頻譜以及各次諧波調(diào)制頻譜彼此是不重迭的，用一個帶寬為Ws/2的理想低通濾波器，可以將各次諧波調(diào)制頻譜濾除，保留不失真的基帶頻譜，從而不失真地還原出原來的連續(xù)信號。如果信號最高頻譜超過Ws/2,那么在理想采樣頻譜中,各次調(diào)制頻譜就會互相交疊,出現(xiàn)頻譜的“混淆”現(xiàn)象，如圖。為簡明起見，圖中將Xa(jW)作為標量處理，一般Xa(jW)為復數(shù),交疊也是復數(shù)相加。當出現(xiàn)頻譜混淆后，一般就不可能無失真地濾出基帶頻譜，用基帶濾波恢復出來的信號就要失真。因此，稱采樣頻率的一半Ws/2為折疊頻率，它好像一面鏡子，信號頻譜超過它時，就會被折迭

回來，

造成頻譜混淆。奈奎斯特采樣定理：要使實信號采樣后

能夠不失真還原，采樣頻率必須大于信號最高頻率的兩倍

，即Ωs≥2Ωmax。實際工作中，為避免頻譜混淆，采樣頻率總是選得

比兩倍信號最高頻率Wmax更大些，如Ws>(3~5)Wmax。

同時，為避免高于折疊頻率的雜散頻譜進入采樣器造成頻譜混淆，采樣器前常常加一個保護性的前置低通濾波器（抗混疊濾波器），阻止高于WS/2頻率分量進入。抗混疊濾波器抗混迭濾波器：理想采樣信號的頻譜是連續(xù)信號頻譜以采樣頻率為周期的周期延拓，為避免采樣信號頻譜混迭產(chǎn)生失真而處理頻帶外的高頻分量。

3)采樣信號的拉氏變換

理想采樣后，信號的拉氏變換在S平面上沿虛軸周期延拓，也即在S平面上的虛軸上是周期函數(shù)。4、采樣的恢復（恢復信號）如果理想采樣滿足奈奎斯特定理，信號最高頻率不超過折迭頻率，即則理想采樣的頻譜就不會產(chǎn)生混疊，因此有，│W│<WS

可見，將采樣信號通過一個理想低通濾波器（只讓基帶頻譜通過），其帶寬等于折迭頻率WS/2，頻率特性如圖1.5。采樣信號通過此濾波器后，就可濾出原信號的頻譜：也就恢復了模擬信號：y(t)=xa(t)。

實際上，理想低通濾波器是不可能實現(xiàn)的，但在滿足一定精度的情況下，總可用一個可實現(xiàn)網(wǎng)絡(luò)去逼近。5、采樣內(nèi)插公式問題：如何由采樣信號表示連續(xù)信號，采樣信號通過理想低通濾波器G(jW)的響應是什么？內(nèi)插公式推導理想低通G(jW)的沖激響應為頻域相乘對應時域卷積，利用卷積公式，則采樣信號經(jīng)理想低通后的輸出為這里，g(t-nT)稱為內(nèi)插函數(shù)，其特點為：在采樣點nT上，函數(shù)值為1，其余采樣點上為零。

將內(nèi)插函數(shù)代入前面的卷積公式，可得采樣內(nèi)插公式：

采樣內(nèi)插公式告訴我們，連續(xù)函數(shù)xa(t)可以由它的采樣值xa(nT)來表示，它等于xa(nT)乘上對應的內(nèi)插函數(shù)的總和，即其中為內(nèi)插函數(shù)，如圖1.6。

圖1.7為由采樣內(nèi)插恢復的連續(xù)信號。圖中，在每一個采樣點上，由于只有該采樣值對應的內(nèi)插函數(shù)不為零，所以保證了各采樣點上信號值不變，而采樣之間的信號則由各采樣值內(nèi)插函數(shù)的波形延伸迭加而成。內(nèi)插公式表明只要滿足采樣頻率高于兩倍信號最高頻率，整個連續(xù)信號就可以用它的采樣值完全代表，而不損失任何信息，這就是奈奎斯特定律?？偨Y(jié)：要想抽樣后能不失真的還原出原信號，抽樣頻率必須大于等于兩倍原信號最高頻率分量。即這就是奈奎斯特取樣定理。例1.已知一模擬信號x(t)=3cos(20πt)+5sin(60πt)+10cos(120πt)，fs=50Hz。試求：抽樣后的x(n)，若從x(n)信號恢復成連續(xù)信號，是否與原模擬信號一樣，為什么？例3.一個聲音信號x(t)=2Acos(10000πt)+2Bcos(30000πt)+2Ccos(50000πt)+2Dcos(60000πt)試問（1）這個信號是由哪些頻率構(gòu)成的？(t:ms)（2）信號的哪些部分是可以聽到的，為什么？（3）如果前置濾波器的截止頻率為20kHz，聽到的是什么？x(tx(t)y(n)ya(t)y(t)fs=40kHz抽樣器D/A前置濾波器H（f）第一章習題分類：§1.1——1，2，3，4§1.2——5，6，7，8§1.3——9，10§1.4——11綜合題：12提高題：13補充題：14第二章z變換Z變換Z反變換Z變換性質(zhì)Z變換，拉氏變換與DFT傅里葉變換之間的關(guān)系系統(tǒng)響應與頻率響應學習要求：熟練掌握付氏變換、Z變換和系統(tǒng)函數(shù)。2-1引言信號與系統(tǒng)的分析方法有時域、變換域兩種。一.時域分析法1.連續(xù)時間信號與系統(tǒng)：信號的時域運算，時域分解，經(jīng)典時域分析法，近代時域分析法，卷積積分。2.離散時間信號與系統(tǒng)：序列的變換與運算，卷積和，差分方程的求解。二.變換域分析法1.連續(xù)時間信號與系統(tǒng)：信號與系統(tǒng)的頻域分析、復頻域分析。2.離散時間信號與系統(tǒng)：Z變換，DFT(FFT)。Z變換可將差分方程轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程。2.2Z變換一、Z變換的定義利用差分方程可求離散系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)及瞬態(tài)解。為了分析系統(tǒng)的另外一些重要特性，如穩(wěn)定性和頻率響應等，需要研究離散時間系統(tǒng)的z變換（類似于模擬系統(tǒng)的拉氏變換），它是分析離散系統(tǒng)和離散信號的重要工具。

一個離散序列x（n）的Z變換定義為，其中z為復變量，是一個以實部為橫坐標，虛部為縱坐標構(gòu)成的平面上的變量，這個平面也稱z平面。雙邊z變換定義為：

單邊z變換定義為：，即只對單邊序列（n>=0部分）進行z變換。

單邊z變換可以看成是雙邊z變換的一種特例，即因果序列情況下的雙邊z變換。二、z變換的收斂域一般，序列的Z變換并不一定對任何z值都收斂，z平面上使上述級數(shù)收斂的區(qū)域稱為“收斂域”。一般Z變換的收斂域為：Rx-〈|z|〈Rx+

我們知道，級數(shù)一致收斂的條件是絕對值可和，因此z平面的收斂域應滿足因為對于實數(shù)序列，因此，|z|值在一定范圍內(nèi)才能滿足絕對可和條件，這個范圍一般表示為Rx-〈|z|〈Rx+。這就是收斂域，一個以Rx-和Rx+為半徑的兩個圓所圍成的環(huán)形區(qū)域，Rx-和Rx+稱為收斂半徑，Rx-和Rx+的大小，即收斂域的位置與具體序列有關(guān)，特殊情況為Rx-或Rx+等于0，這時圓環(huán)變成圓或空心圓。四種序列的Z變換收斂域a.有限長序列

序列,其Z變換,收斂域為0<|z|<∞。

因為X(z)是有限項的級數(shù)和，只要級數(shù)每一項有界，有限項和也有界，所以有限長序列z變換的收斂域取決于|z|-n<∞，n1≤n≤n2

顯然|z|在整個開域（0，∞）都能滿足以上條件，因此有限長序列的收斂域是除0及∞兩個點（對應n>0和n<0不收斂）以外的整個Z平面：0<|z|<∞。如果對n1，n2加以一定的限制，如n1≥0或n2≤0，則根據(jù)條件|z|-n<∞（n1≤n≤n2），收斂域可進一步擴大為包括0點或∞點的半開域：例1、序列x(n)=δ(n)由于n1=n2=0，其收斂域為整個閉域子平面，0例2．矩形序列x（n）=RN（n）等比級數(shù)求和b.右邊序列指x（n）只在n≥n1，有值，而n〈n1時，x（n）=0，這時其收斂域為收斂半徑Rx-以外的z平面，即|z|>Rx-。右邊序列中最重要的一種序列是“因果序列”即n1=0的右邊序列，因果序列只在n≥0有值，n〈0時，x（n）=0，其z變換為：z變換的收斂域包括∞點是因果序列的特征。證明：

如果n1<0,則選擇任一整數(shù)n2>0,使得由于第一項為有限長序列的Z變換，在（0，∞）收斂。對于第二項，總能在（0，∞）找到|z|=R（如R≥2MAX[X(n)])滿足所以X(z)在|z|=R上收斂。

由此可進一步證明，在R圓以外，即R<|z|<∞，x（Z）也必收斂。

再看第二項，由于n>n2≥0，|Z|>R，因此|z|-n<R-n，故

∴由此證明右邊序列的收斂域為|z|〉Rx-。c.左邊序列

序列x（n）只在n≤n2有值，n〉n2時，x（n）=0其收斂域在收斂半徑為Rx+的圓內(nèi)，即|Z|〈Rx+。證明：

如x（z）在|z|=R上收斂，即則在0〈|z|〈R上也必收斂，任選一整數(shù)n1≤0，∴整個級數(shù)在|z|〈R上有收斂域|z|<Rx+。d.雙邊序列

可看作一個左邊序列和一個右邊序列之和，因此雙邊序列z變換的收斂域是這兩個序列z變換收斂域的公共部分。

如果Rx+>Rx-，則存在公共的收斂區(qū)間，X（z）有收斂域，Rx-<|z|<Rx-如果Rx+<Rx-，無公共收斂區(qū)間，X（z）無收斂域，不收斂。z變換收斂域的特點：收斂域是一個圓環(huán)，有時可向內(nèi)收縮到原點，有時可向外擴展到∞，只有x（n）=δ（n）的收斂域是整個z平面；在收斂域內(nèi)沒有極點，x（z）在收斂域內(nèi)每一點上都是解析函數(shù)。z變換表示法：級數(shù)形式；解析表達式（注意只表示收斂域上的函數(shù)，同時要注明收斂域）。2.3反Z變換已知函數(shù)X(z)及其收斂域，反過來求序列x(n)的變換稱為逆z變換，常用Z-1[X(z)]表示。若則逆z變換的一般公式為逆z變換是一個對X（z）zn-1進行的圍線積分，積分路徑C是一條在X（z）收斂環(huán)域（Rx-，Rx+）以內(nèi)反時針方向繞原點一周的單圍線。證明：設(shè)積分路徑C在半徑為R的圓上，k=n-m，即z=Rejθ，Rx-<R<Rx+，則這個公式稱為柯西積分定理。因此或直接計算圍線積分比較麻煩，一般不采用此法求Z反變換。

求解逆z變換的常用方法有：冪級數(shù)留數(shù)定律法部分分式法

如果得到的z變換是冪級數(shù)形式的，則可以看出，序列值x(n)是冪級數(shù)中z-n項的系數(shù)，如果已經(jīng)給出X(z)的函數(shù)表示，我們常?？梢酝茖膬缂墧?shù)展開式或者利用已知的冪級數(shù)展開式。用長除法可獲得冪級數(shù)展開式。

對于有理的z變換，圍線積分通?？捎昧魯?shù)定律計算，x(n)＝∑Res[X(z)zn-1，zk]，即為X(z)zn-1在圍線C內(nèi)所有極點{zk}上留數(shù)值的總和。

如果zk是單階極點，則Res[X(z)zn-1，zk]＝(ｚ－zk)X(z)zn-1=zk；

如果zk是N階極點，則。

常用序列z變換：2.4z變換的性質(zhì)

z變換的許多重要性質(zhì)在數(shù)字信號處理中常常要用到。序列z變換收斂域1)x(n)X(z)Rx-<|z|<Rx+2)y(n)Y(z)Ry-<|z|<Ry+3)ax(n)+by(n)aX(z)＋bY(z)max[Rx-+Ry-]<|z|<min[Rx+,Ry+]4)x(n+no)znoX(z)Rx-<|z|<Rx+5)anx(n)X(a-1z)|a|Rx-<|z|<|a|Rx+6)nx(n)Rx-<|z|<Rx+7)x*(n)X*(z*)Rx-<|z|<Rx+8)x(-n)X(1/z)1/Rx-<|z|<1/Rx+9)x(n)*y(n)X(z)Y(z)max[Rx-+Ry-]<|z|<min[Rx+,Ry+]10)x(n)y(n)Rx-Ry-<|z|<Rx+Ry+11)x(0)=x(∞)(因果序列)|z|>Rx-12)x(∞)=Res[X(z),1](z-1)X(z)收斂于|z|≥1

z變換的性質(zhì)可由正反z變換的定義直接推導而得。

例：性質(zhì)5）

性質(zhì)6）帕塞伐爾（Parseval）定理——z變換的重要性質(zhì)之一

若有兩序列x（n），y（n），且X（z）=Z[x（n）]Rx-〈|z|〈Rx+Y（z）=Z[y（n）]Ry-〈|z|〈Ry+

它們的收斂域滿足條件：Rx-Ry-〈1，Rx+Ry+〉1則，C所在收斂域在X(v)和Y*(1/v*)兩者收斂區(qū)域的重迭范圍內(nèi)Max[Rx-,1/Ry+]<|v|<min[Rx+,1/Ry-]。證明：令w（n）=x(n)*y(n)

利用復序列共軛及復數(shù)乘積特性：則由于假設(shè)條件中已規(guī)定收斂域滿足

Rx-Ry-〈1〈Rx+Ry+因此|z|=1在收斂域內(nèi)，即W(z)在單位圓上收斂，W(z)|z=1存在， 又因因此。

證畢。如果X(v)、Y(v)在單位圓上收斂，則選取單位圓為圍線積分途徑，這時v=ejω序列能量的計算：

Parseval定理的一個重要應用是計算序列能量。因

可見，時域中對序列求能量與頻域中求能量是一致的。2.5Z變換，拉氏變換與DFT傅里葉變換之間的關(guān)系序列的z變換：即連續(xù)時間信號的Laplace變換：即連續(xù)時間信號的Fourier變換：即一.Z變換與拉氏變換的關(guān)系1.理想抽樣信號的拉氏變換設(shè)為連續(xù)信號，為其理想抽樣信號，它們的Laplace變換分別為：則而故序列x(n)的z變換為，考慮到,顯然，當時，序列x(n)的z變換就等于理想抽樣信號的拉氏變換。2.Z變換與拉氏變換的關(guān)系(S、Z平面映射關(guān)系）S平面用直角坐標表示為：Z平面用極坐標表示為：又由于所以有：因此， ;這就是說，Z的模只與S的實部相對應,Z的相角只與S虛部Ω相對應。(1).r與σ的關(guān)系σ=0,即S平面的虛軸r=1,即Z平面單位圓；σ<0,即S的左半平面r<1,即Z的單位圓內(nèi)；σ>0,即S的右半平面r>1,即Z的單位圓外。(2).ω與Ω的關(guān)系（ω=ΩT）Ω=0，S平面的實軸， ω=0，Z平面正實軸；

(常數(shù))，S:平行實軸的直線，,Z:始于原點的射線；

S:寬 的水平條帶，整個z平面.二.Z變換和傅氏變換的關(guān)系連續(xù)信號經(jīng)理想抽樣后,其頻譜產(chǎn)生周期延拓，即我們知道,傅氏變換是拉氏變換在虛軸S=jΩ的特例,因而映射到Z平面上為單位圓。因此,這就是說,（抽樣）序列在單位圓上的Z變換,就等于理想抽樣信號傅氏變換。用數(shù)字頻率ω作為Z平面的單位圓的參數(shù)，ω表示Z平面的輻角，模擬頻率Ω為s平面虛軸，則有所以，序列在單位圓上的Z變換為序列的傅氏變換。2.6系統(tǒng)函數(shù)與頻率響應一、系統(tǒng)函數(shù)1、定義

我們知道，用單位脈沖響應h(n)可以表示線性時不變離散系統(tǒng)，這時y（n）=x（n）*h（n）兩邊取z變換

Y(z)=X(z)H(z)則定義為系統(tǒng)函數(shù)。它是單位脈沖響應的z變換。單位圓上的系統(tǒng)函數(shù)z=ejω就是系統(tǒng)的頻率響應。所以可以用單位脈沖響應的z變換來描述線性時不變離散系統(tǒng)。2、幾種常用系統(tǒng)因果系統(tǒng)——單位脈沖響應h（n）是因果序列的系統(tǒng)，其系統(tǒng)函數(shù)H(z)具有包括∞點的收斂域：Rx-<|Z|≤∞穩(wěn)定系統(tǒng)：單位脈沖響應h（n）滿足絕對可和，

因此穩(wěn)定系統(tǒng)的H（z）必須在單位圓上收斂，即H(ejω)存在。因果穩(wěn)定系統(tǒng)：最普遍最重要的一種系統(tǒng)，其系統(tǒng)函數(shù)H（z）必須在從單位圓到∞的整個領(lǐng)域收斂，即1≤∣Z|≤∞，H（z）的全部極點在單位圓以內(nèi)。因此，因果穩(wěn)定系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)的全部極點必須在單位圓以內(nèi)。3、差分方程與系統(tǒng)函數(shù)

我們知道，線性時不變離散系統(tǒng)也可用差分方程表示，考慮N階差分方程兩邊取z變換：于是上式的分子與分母多項式也可用因子的形式來表示式中{ci}是H（z）在z平面上的零點，{di}是H（z）在z平面上的極點，因此，除比例常數(shù)A以外，整個系統(tǒng)函數(shù)可以由全部零、極點來唯一確定。4、系統(tǒng)函數(shù)的收斂域

用系統(tǒng)函數(shù)H（z）表示一個系統(tǒng)時，H（z）的收斂域?qū)Υ_定系統(tǒng)性質(zhì)很重要。相同的系統(tǒng)函數(shù),收斂域不同,所代表的系統(tǒng)可能完全不同。

例1：已知系統(tǒng)函數(shù)為求系統(tǒng)的單位脈沖響應及系統(tǒng)性質(zhì)。

系統(tǒng)函數(shù)H（z）有兩個極點，z1=0.5,z2=10。收斂域包括∞點，因此系統(tǒng)一定是因果系統(tǒng)，但單位圓不在收斂域內(nèi)，因此可判定系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。

例2：系統(tǒng)函數(shù)不變,但收斂域不同求單位脈沖響應及系統(tǒng)性質(zhì)。

解:收斂域是包括單位圓而不包括∞點的有限環(huán)域，判定系統(tǒng)是穩(wěn)定的,但是非因果的。

用留數(shù)定理求H(z)的反變換:注意到極點z2=10在積分圍線（收斂域內(nèi)的圍線）以外,并且要考慮n<0時,有一n階極點出現(xiàn)在z=0處，因此由于存在u(-n-1)項，因此系統(tǒng)是非因果的，同時也不難證明h(n)是絕對可積的，所以系統(tǒng)是穩(wěn)定的.以上兩例表明,同一個系統(tǒng)函數(shù),由于收斂域不同,它們所代表的系統(tǒng)完全不同。二、系統(tǒng)頻響的幾何確定法

用極點和零點表示系統(tǒng)函數(shù)的優(yōu)點是，它提供了一種有效的求系統(tǒng)頻率響應的幾何方法。

一個N階的系統(tǒng)函數(shù)可用它的零極點表示為系統(tǒng)的頻響為:在z平面上,ejω-ci可用一根由零點ci指向單位圓上ejω點的向量來表示，而ejω-di可用極點di指向ejω的向量表示。于是令則

分析上式表明，頻響的模函數(shù)由從各零、極點指向ejω點的向量幅度來確定，而頻響的相位函數(shù)則由這些向量的幅角來確定，當頻率ω由0—2π時，這些向量的終端點沿單位圓反時針方向旋轉(zhuǎn)一圈，由此可估算出整個系統(tǒng)的頻響來。

其基本原理是，當單位圓上的ejω點在極點di附近時，向量最短，qi出現(xiàn)極小值，頻響在這附近可能出現(xiàn)峰值，且極點di越靠近單位圓，qi的極小值越小，頻響出現(xiàn)的峰值越尖銳，當di處在單位圓上時，qi的極小值為零，相應的頻響將出現(xiàn)∞，這相當于在該頻率處出現(xiàn)無耗（Q=∞）諧振，當極點超出單位圓時系統(tǒng)就處于不穩(wěn)定狀態(tài)。對于現(xiàn)實系統(tǒng)，這是不希望的。

對于零點位置，頻響將正好相反，ejω點越接近某零點ci，頻響越低，因此在零點附近，頻響出現(xiàn)谷點，零點越接近單位圓，谷點越接近零，零點處于單位圓上時，谷點為零，即在零點所在頻率上出現(xiàn)傳輸零點，零點可以位于單位圓以外，不受穩(wěn)定性約束。

這種幾何方法為我們認識零、極點分布對系統(tǒng)性能的影響提供了一個直觀的概念，這一概念對系統(tǒng)的分析和設(shè)計都十分重要。例3.有限長單位脈沖響應0<a<1求其頻率響應特性。

解：如果a為正實數(shù)，H（z）的零點為這些零點分布在|z|=a的圓周上，對圓周進行M等分，它的第一個零點k=0，恰好與分母上的極點（z-a）抵消，因此，整個函數(shù)H（z）共有

左圖給出M=8，0〈a〈1時的系統(tǒng)特性，幅頻的峰值出現(xiàn)在ω=0，因為該處無零點（被極點對消），每一零點附近的頻率響應均有陷落，呈現(xiàn)出M次起伏，當M無限增大時，波紋趨于平滑，系統(tǒng)函數(shù)趨于書上例4一階系統(tǒng)的結(jié)果。

第三章離散付里葉變換離散付里葉級數(shù)（DFS）——周期序列離散付里葉變換（DFT）學習要求：熟練掌握和運用DFT及其有關(guān)性質(zhì)。引言：一、DFT是重要的變換1.分析有限長序列的有用工具。2.在信號處理的理論上有重要意義。3.在運算方法上起核心作用，譜分析、卷積、相關(guān)都可以通過DFT在計算機上實現(xiàn)。二、DFT是現(xiàn)代信號處理橋梁 DFT要解決兩個問題：一是離散與量化，二是快速運算。傅氏變換的幾種可能形式：非周期連續(xù)時間、連續(xù)頻率的傅氏變換傅氏變換周期連續(xù)時間、離散頻率的傅里葉變換傅氏級數(shù)*時域周期為Tp,頻域譜線間隔為2π/Tp離散時間、周期連續(xù)頻率的傅氏變換序列的傅氏變換離散時間、離散頻率的傅氏變換DFT結(jié)論:時間函數(shù) 頻率函數(shù) 連續(xù)、非周期性 非周期、連續(xù)連續(xù)、周期性 非周期、離散離散、非周期性周期、連續(xù)離散、周期性周期、離散3-1周期序列的離散付里葉級數(shù)（DFS）前面我們討論用付里葉變換和z變換來描述一般的序列和線性時不變離散系統(tǒng)。但有時序列是有限長序列，如FIR系統(tǒng)的單位脈沖響應就是一個有限長序列。對于這種情況，正如本章要討論的，可以導出另一種付里葉表示式，稱作離散付里葉變換(DFT)。離散付里葉變換是有限長序列付里葉表示式，它本身也是一個序列，而不是一個連續(xù)函數(shù)，它相當于把信號的付里葉變換進行等頻率間隔取樣。離散付里葉變換除了作為有限長序列的一種付里葉表示式在理論上相當重要外，由于存在計算離散付里葉變換有效算法，因而其在實現(xiàn)各種數(shù)字信號處理算法時起著核心作用。為了便于更好地理解DFT的概念，先討論周期序列及其離散付里葉級數(shù)（DFS）表示。離散付里葉級數(shù)（DFS）

我們用來表示一個周期為N的周期序列，即，k為任意整數(shù)，N為周期。

一個周期序列的離散付里葉級數(shù)為：系數(shù)本身也是一個周期序列，周期為N。（系數(shù)的求解）

說明：周期序列不能進行Z變換，因為其在n=-￥到+￥都周而復始永不衰減，在整個z平面上任何地方找不到一個衰減因子│z│能使序列絕對可和：即z平面上沒有收斂域。但是，正象連續(xù)時間周期信號可用付氏級數(shù)表達，周期序列也可用離散的付氏級數(shù)來表示，也即用周期為N的正弦序列來表示。

周期為N的正弦序列其基頻成分為：

K次諧波序列為：

但離散級數(shù)所有諧波成分中只有N個是獨立的，這是與連續(xù)付氏級數(shù)的不同之處，因為因此

將周期序列展成離散付里葉級數(shù)時，只要取k=0到(N-1)這N個獨立的諧波分量，N以上的部分都可合并到這N個獨立的諧波分量中，所以一個周期序列的離散付里葉級數(shù)只需包含這N個復指數(shù)。

周期序列的離散付里葉級數(shù)(DFS)變換對：說明。習慣上：記，稱為旋轉(zhuǎn)因子，則DFS變換對可寫為DFS[·]——離散付里葉級數(shù)變換IDFS[·]——離散付里葉級數(shù)反變換

DFS變換對公式表明，一個周期序列雖然是無窮長序列，但是只要知道它一個周期的內(nèi)容（一個周期內(nèi)信號的變化情況），其它的內(nèi)容也就都知道了，所以這種無窮長序列實際上只有N個序列值的信息是有用的，因此周期序列與有限長序列有著本質(zhì)的聯(lián)系。DFS的主要特性。假設(shè)都是周期為N的兩個周期序列，各自的離散付里葉級數(shù)為：a,b為任意常數(shù)

1）線性

2）序列移位移位序列——證明因為及都是以N為周期的函數(shù)，所以有

由于與對稱的特點，同樣的方法可證明

3）周期卷積

若，則，或。證明：

這是一個卷積公式，但與前面討論的線性卷積的差別在于，這里的卷積過程只限于一個周期內(nèi)（即m=0~N-1），所以稱為周期期卷積。

由于DFS與IDFS的對稱性，對周期序列乘積，存在著頻域的周期卷積公式：若則

3-2離散付里葉變換（DFT）

從上節(jié)的討論，我們知道周期序列實際上只有有限個序列值有意義，因此它的許多特性可沿用到有限長序列上。離散付里葉變換周期序列的主值區(qū)間和主值序列。定義一個有限長序列x(n)，長為N，（只有n=0～N-1個點上有非零值，其余為零.）

為了利用周期序列的特性，假定周期序列，是由有限長序列x(n)以周期為N延拓而成的，它們的關(guān)系為：對于周期序列，定義其第一個周期n=0～N-1為的“主值區(qū)間”，主值區(qū)間上的序列為主值序列x(n)。x(n)與的關(guān)系可描述為：數(shù)學表示式為：其中RN（n）為矩形序列，符號（（n））N是余數(shù)運算表達式，表示n對N求余數(shù)。

例：是周期為N=8的序列，求n=11和n=-2對N的余數(shù)因此的主值區(qū)間和主值序列：

周期序列的離散付氏級數(shù)也是一個周期序列，因而也可給它定義一個主值區(qū)間0≤k≤N-1和主值序列X(k)。有限長序列離散付里葉變換?？紤]到周期序列的離散付里葉級數(shù)變換（DFS）和反變換（IDFS）公式中，求和都只限于主值區(qū)間（求和0～N-1），它們完全適用于主值序列x(n)與X(k)，因而我們可得到一個新的定義——有限長序列離散付里葉變換定義。

長度為N的有限長序列x(n)，其離散付里葉變換X(k)仍是一個長度為N的頻域有限長序列，它們的關(guān)系為

x(n)與X(k)是一個有限長序列離散付里葉變換對，已知x(n)能唯一地確定X(k)，同樣已知X(k)也能唯一地確定x(n)，實際上x(n)與X(k)都是長度為N的序列（復序列）都有N個獨立值，因而具有等量的信息。

例：是一個N=12的有限長序列，由DFT得。DFT特性

DFT的一些主要特性都與周期序列的DFS有關(guān)。

假定x(n)與y(n)是長度為N的有限長序列，其各自的離散付里葉變換分別為X(k)=DFT[x(n)]，Y(k)=DFT[y(n)](1)線性性

DFT[ax(n)+by(n)]=aX(k)+bY(k),a,b為任意常數(shù)(2)圓周移位

有限長序列x(n)的圓周移位定義為：f(n)=x((n+m))NRN(n)

圖的說明：x((n+m))N表示x(n)的周期延拓序列的移位：x((n+m))N=

x((n+m))NRN(n)表示對移位的周期序列取主值序列。所以f(n)仍然是一個長度為N的有限長序列。f（n）實際上可看作序列x（n）排列在一個N等分圓周上，并向左旋轉(zhuǎn)m位。

序列圓周移位后的DFT為：F(k)=DFT[f(n)]=WN-mkX(k)

證：利用周期序列的移位特性：利用

實際上，利用WN-mk的周期性，將f(n)=x((n+m))NRN(n)代入DFT定義式，同樣很容易證明。

同樣，對于頻域有限長序列X(k)的圓周移位，有如下反變換特性IDFT[X((k+l))NRN(k)]=WnlNx(n)

(3)圓周卷積

若F（k）=X（k）Y（k）

則

或

證：這個卷積可看作是周期序列卷積后再取其主值序列。將F（k）周期延拓，得

則根據(jù)DFS的周期卷積公式：

因0≤m≤N-1時，x((m))N=x(m)，因此經(jīng)過簡單的換元可證明這一卷積過程與周期卷積是一樣的，只是在這里只取結(jié)果的主值序列。由于卷積過程只在主值區(qū)間0≤m≤N-1內(nèi)進行，所以，y((n-m))N實際上就是y（m）的圓周移位，上面的卷積稱為“圓周卷積”，習慣上常用符號""表示圓周卷積，以區(qū)別于線性卷積。

同樣，若f(n)=x(n)y(n)則所以，離散時間序列（或離散傅立葉變換）的圓周卷積與離散傅立葉變換（或離散時間序列）的乘積相對應。這就說明圓周卷積的運算可利用離散傅立葉變換轉(zhuǎn)換成乘積實現(xiàn)。（傅立葉變換的應用）

(4)有限長序列的線性卷積與圓周卷積（圓周卷積的應用）

有限長序列的線性卷積等于圓周卷積，而不產(chǎn)生混淆的必要條件是延拓周期L≥N+M-1,其中N、M為兩個有限長序列的長度。

問題的產(chǎn)生：

實際應用中，大多數(shù)是求解線性卷積，如信號x（n）通過系統(tǒng)h（n），其輸出就是線性卷積y（n）=x（n）*h（n）。而圓周卷積比起線性卷積，在運算速度上有很大的優(yōu)越性，它可以采用離散傅立葉變換的乘積實現(xiàn)，而快速付里葉變換（FFT）技術(shù)又大大提高了離散傅立葉變換的計算速度，所以若能利用圓周卷積求線性卷積，會帶來很大的方便。

問題：如果x（n）和h（n）為有限長序列，在什么條件下，x（n）與h（n）的線性卷積能用圓周卷積代替而不產(chǎn)生失真？

分析：

假定x（n）為有限長序列，長度為N

y（n）為有限長序列，長度為M它們的線性卷積f（n）=x（n）*y（n）也應是有限長序列，

對于x（m），其非零區(qū)間為0≤m≤N-1，對于y(n-m)其非零區(qū)間為0≤n-m≤M-1。這兩個不等式相加，得：0≤n≤N+M-2，在這區(qū)間以外不是x（m）=0，就是y（n-m）=0，因而f（n）=0。因此f（n）是一個長度為N+M-1的有限長序列。

再看圓周卷積，重新構(gòu)造兩個序列x（n）、y（n），均為長度為L≧max{N,M}的有限長序列，在這兩個L長序列中，x（n）只有前N個是非零值，后L-N個為補充的零值，同樣，y（n）只有前M個是非零值，后L-M個為補充的零值。為了分析x（n）與y（n）的圓周卷積，先看x（n），y（n）的周期延拓：它們的周期卷積為其中f（n）就是線性卷積，也就是說，x（n）、y（n）周期延拓后的周期卷積是x（n）、y（n）線性卷積的周期延拓，周期為L。

根據(jù)前面的分析，f（n）具有N+M-1個非零序列值，因此，如果周期卷積的周期L<N+M-1，那么f（n）周期延拓后，必然有一部分非零序列值要重疊，出現(xiàn)混淆現(xiàn)象，只有L≥N+M-1時，才不會產(chǎn)生交疊，這時f（n）的周期延拓中每一個周期L內(nèi)，前N+M-1個序列值是f（n）的全部非零序列值，而剩下的L-（N+M-1）點上的序列則是補充的零值。而圓周卷積正是周期卷積取主值序列：

所以使圓周卷積等于線性卷積而不產(chǎn)生混淆的必要條件是L≥N+M-1。

(5)共軛對稱性

設(shè)x*(n)為x(n)的共軛復數(shù)序列，則DFT[x*(n)]=X*(N-k)證明：DFT[x*(n)]0≤k≤N-1

由于

因此DFT[x*(n)]]

值得說明的是，當k=0時，應為X*(N-0)=X*(0)，因為按定義X（k）只有N個值，即0≤k≤N-1，而X(N)已超出主值之間，但一般習慣于認為X（k）是分布在N等分的圓周上，它的末點就是它的起始點，即X(N)=x(0)，因此仍采用習慣表示式DFT[x*（n）]=X*(N-k)。

今后在所有對稱特性討論中，凡遇到X(N)均應理解為X(N)=x(0)。

DFT形式下的Paseval定理

可利用圓周卷積和共軛對稱特性證明之。

顯然，當y（n）=x（n）時，即為有限長序列的能量

復序列的實部與虛部的DFT變換：以xr(n)和xi(n)表示序列x(n)的實部與虛部，則

顯然，證明因x(n)=xr(n)+jxi(n)，所以以Xe（k）和X0（K）表示實部與虛部序列的DFT，則Xe(k)與Xo(k)對稱特性：

因

故,因此Xe(k)具有共軛偶對稱特性，稱Xe(k)為X(k)的共軛偶對稱分量。

同樣的方法可得到X0(k)=-X*0(N-k),即Xo(k)具有共軛奇對稱特性，稱Xo(k)為X(k)的共軛奇對稱分量。

對于純實數(shù)序列x（n），即x（n）=xr（n），X（k）只有共軛偶對稱部分，即X（k）=Xe（k），所以，實數(shù)序列的DFT滿足共軛對稱性，利用這一特性，只要知道一半數(shù)目的X（k），就可得到另一半的X（k），這一特點在DFT運算中可以加以利用，以提高運算效率。

X（k）的實部、虛部與x（n）的共軛偶部與共軛奇部的關(guān)系：根據(jù)x（n）與X（k）的對稱性，同樣可找到X（k）的實部、虛部與x（n）的共軛偶部與共軛奇部的關(guān)系。

分別以xe（n）及x0（n）表示序列x（n）的圓周共軛偶部與圓周共軛奇部：

同樣應從圓周意義上理解x（N-0）=x（0）?？梢宰C明:DFT[xe（n）]=Re[X（k）]

DFT[x0（n）]=jIm[X（k）](6)選頻性

對復指數(shù)函數(shù)進行采樣得復序列x(n)0≤n≤N-1其中q為整數(shù)。當ω0=2π/N時，,其離散付里葉變換為

可見，當輸入信號的頻率為qω0時，X(K)的N個值中只有X（q）=N，其余皆為零，如果輸入信號為若干個不同頻率的信號的組合，經(jīng)離散付里葉變換后，不同的k上，X（k）將有一一對應的輸出，因此，離散付里葉變換實質(zhì)上對頻率具有選擇性。（7）DFT與Z變換

有限長序列可以進行z變換。

比較z變換與DFT變換，可見，當z=w-kN時，,即

，是z平面單位圓上幅角為的點，即將z平面上的單位圓N等分后的第k點，所以X(k)也就是z變換在單位圓上等距離的采樣值，如圖2.4所示。同樣，X（k）也可看作是序列付氏變換X（ejω）的采樣，采樣間隔為ωN=2π/N,小結(jié)：第一章討論的采樣定律，采樣定律告訴我們，一個頻帶有限的信號，可以對它進行時域采樣而不丟失任何信息，現(xiàn)在DFT變換進一步告訴我們，對于時間有限的信號（有限長序列），也可以對其進行頻域采樣，而不丟失任何信息，這正反應了傅立葉變換中時域、頻域的對稱關(guān)系。但是它卻有十分重要的意義，我們看到，由于時域上的采樣，使我們能夠采用數(shù)字技術(shù)來處理這些時域上的信號（序列），而DFT理論使得不僅在時域，在頻域也可采用數(shù)字處理技術(shù)。第四章快速傅里葉變換（FFT）按時間抽選（DIT）的基-2FFT算法線性卷積與線性相關(guān)的FFT算法學習要求：掌握FFT的基本思想和運算規(guī)律；能熟練運用FFT進行信號頻譜分析?？焖俑独锶~變換（FFT）是計算DFT的一種快速有效方法。

從前面的討論中看到，有限長序列在數(shù)字技術(shù)中占有很重要的地位。有限長序列的一個重要特點是其頻域也可以離散化，即離散付里葉變換（DFT）。

數(shù)字信號處理中DFT運算的用途：在FIR濾波器設(shè)計中，經(jīng)常要由h（n）求H（k），或從H(k)求h(n)；因為信號序列的DFT本身就是信號頻譜的采樣集，所以DFT可直接用于分析信號的頻譜。頻譜分析在數(shù)字信號處理中用途廣泛：如通過語言信號的頻譜分析實現(xiàn)語音通訊的頻帶壓縮、聲納信號的頻譜分析用以區(qū)分水面與水下目標、在各種測量儀器中，頻譜分析用得更多，這些都需要DFT運算。雖然頻譜分析和DFT運算很重要，但在很長一段時間里，由于DFT運算復雜，并沒有得到真正的運用，而頻譜分析仍大多采用模擬信號濾波的方法解決，直到1965年首次提出DFT運算的一種快速算法以后，情況才發(fā)生了根本變化，人們開始認識到DFT運算的一些內(nèi)在規(guī)律，從而很快地發(fā)展和完善了一套高速有效的運算方法——快速付里變換（FFT）算法，F(xiàn)FT的出現(xiàn)，使DFT的運算大大簡化，運算時間縮短一～二個數(shù)量級，使DFT的運算在實際中得到廣泛應用。4-1按時間抽選（DIT）的基-2FFT算法DFT運算的特點

首先分析對限長序列x（n）進行一次DFT運算所需的運算量。一般，x(n)和wnkN都是復數(shù)，因此，每計算一個X（k）值，要進行N次復數(shù)相乘，和N-1次復數(shù)相加，X（k）一共有N個點，故完成全部DFT運算，需要N2次復數(shù)相乘和N（N-1）次復數(shù)相加，在這些運算中，乘法比加法復雜，需要的運算時間多，尤其是復數(shù)相乘，每個復數(shù)相乘包括4個實數(shù)相乘和2個實數(shù)相加，每個復數(shù)相加包括2個實數(shù)相加，例如所以，每計算一個X（k）要進行4N次實數(shù)相乘和2N+2(N-1)=2(2N-1)次實數(shù)相加，因此，整個DFT運算需要4N2實數(shù)相乘和2N（2N-1）次實數(shù)相加。

從上面的分析看到，在DFT計算中，不論是乘法和加法，運算量均與N2成正比，因此，N較大時，運算工作是十分可觀，例，計算N=10點的DFT，需要100次復數(shù)相乘，而N=`1024點時，需要1048576（一百多萬）次復數(shù)乘法，如果信號要求實時處理，則要求有很快的計算速度才能完成上述計算量。反變換IDFT與DFT的運算結(jié)構(gòu)相同，只是多乘一個常數(shù)1/N，所以二者的計算量相同。FFT算法的基本思想：

仔細考察DFT與IDFT的運算發(fā)現(xiàn)，利用以下兩個特性可減少運算量：

1）系數(shù)是一個周期函數(shù)，它的周期性和對稱性可利用來改進運算，提高計算效率。

例，又如因此

利用這些周期性和對稱性，DFT運算中有些項可合并；

2）利用WNnk的周期性和對稱性，把長度為N點的大點數(shù)的DFT運算分解為若干個小點數(shù)的DFT。因為DFT的計算量正比于N2，N小，計算量也就小。

FFT算法正是基于這樣的基本思想發(fā)展起來的。它有多種形式，但基本上可分為兩類，時間抽取法和頻率抽取法。按時間抽取的FFT（N點DFT運算的分解）

先從一個特殊情況開始，假定N是2的整數(shù)次方，N=2M，M：正整數(shù)

將N點的DFT分解為兩個N/2點的DFT：

首先將序列x（n）分解為兩組，一組為偶數(shù)項，一組為奇數(shù)項

r=0,1，…，N/2-1將DFT運算也相應分為兩組：

(1)其中X1（k）和X2（k）分別是x1（r）和x2（r）的N/2點DFT。推導因為故其中X1（k）和X2（k）分別是x1（r）和x2（r）的N/2點DFT：

可見，一個N點的DFT可以分解為兩個N/2點的DFT，這兩個N/2點的DFT再按照上面（1）式合成為一個N點DFT，注意到，X1（k），X2（k）有N/2個點，即k=0，1，…，N/2-1，由（1）式得到X（k）只有N/2點，而實際上X（k）有N個點，即k=0，1，…，N-1，要用X1（k），X2（k）表示全部X（K）值，還必須應用系數(shù)w的周期性和對稱性。X(k)的(N/2)～N-1點表示：

由X(k)=X1（k）+wkNX2（k）,k=0,1,2,…,N/2-1（2a）

得：，因為,

且

同樣。

考慮到WNk對稱性：。

故（2b）

（2a）式表示了X（k）前半部分k=0～N/2-1時的組成方式，（2b）式則表示了后半部分k=N/2～N-1時的組成方式。這兩式所表示的運算過程可用一個稱作蝶形的信號流圖來表示。蝶形信號流圖：

如圖1（a）所示，圖中左面兩支為輸入，中間以一個小圓圈表示加、減運算，右上支為相加輸出，右下支為相減輸出，如果在某一支路上信號需要進行乘法運算，則在該支路上標以箭頭，并將相乘的系數(shù)標在簡頭邊，這樣（2a），（2b）所表示的運算，可用圖1（b）所表示的“蝶形結(jié)”來表示。采用這種表示法，可將以上以討論的分解過程用計算流圖來表示。圖2.6所示為N=23=8的例子。通過這樣分解以后，每一個N/2點DFT只需要(N/2)2=N2/4次復數(shù)乘法運算，兩個N/2點的DFT需要2(N/2)2=N2/2次復乘，再加上將兩個N/2點DFT合成為N點DFT時，在蝶形結(jié)前的N/2次復乘，共需要(N/2)2+N/2≈N2/2次復乘，由此可見，經(jīng)過這樣的分解處理，運算量差不多節(jié)省了一倍。將N/2點的DFT分解為兩個N/4點的DFT：

既然這樣分解是有效的，由于N=2M，N/2仍然是偶數(shù)，因此可對兩個N/2點的DFT再分別作進一步分解，例如對x1（r）和x2（r）可以再按其偶數(shù)部分及奇數(shù)部分分解為兩個N/4點的DFT，

l=0,1,…，N/4-1而同樣X2(k)也可這樣分解，并且將系數(shù)統(tǒng)一為，這樣一個8點DFT就可分解為四個2點的DFT，如圖2.7所示。2點DFT的表示：

最后剩下的是2點DFT，它可以用一個蝶形結(jié)表示，例如，x（0），x（4）所組成的2點DFT就可表示式：這樣，一個8點的完整的按時間抽取運算的流圖如圖2.8所示。

由于這種方法每一步分解都是按輸入時間序列是屬于偶數(shù)還是奇數(shù)來抽取的，所以稱為“按時間抽取法”或“時間抽取法”。時間抽取法FFT的運算特點：（1）蝶形運算對于任何一個2的整數(shù)冪N=2M，總是可以通過M次分解最后完全成為2點的DFT運算。這樣的M次分解，就構(gòu)成從x(n)到X(k)的M級運算過程。從上面的流圖可看到，每一級運算都由N/2個蝶形運算構(gòu)成。因此每一級運算都需要（1/2）次復乘和N次復加(每個結(jié)作加、減各一次)，這樣，經(jīng)過時間抽取后M級運算總共需要的運算：復乘復加N·M=Nlog2N當然，實際運算量與這個數(shù)字稍有出入，因為W這幾個系數(shù)實際上都不用乘法運算，因此在上面N=8的例子中，實際上只有兩個系數(shù)WN1及WN3是需要乘法運算的。

用時間抽取法所需的計算量，不論是復乘還是復加都與Nlog2N成正比，而直接運算時則與N2成正比。例N=2048，N2=4194304，(N/2)log2N=11264，N2/[(N/2)log2N]=392.4倍。FFT顯然要比直接法快得多。（2）原位計算

當數(shù)據(jù)輸入到存儲器中以后，每一級運算的結(jié)果仍然儲存在同一組存儲器中，直到最后輸出，中間無需其它存儲器，這叫原位計算。

例如，N=8的FFT運算，輸入x(0)，x(4)，x(2)，x(6)…，x(7)可分別存入A(1)，A(2)，…，A(8)這8個存儲單元中，在第一級運算中，首先是存儲單元A(1)，A(2)中x(0)，x(4)進入蝶形運算，x(0)，x(4)輸入運算器后，其數(shù)值不再需要保存，因此蝶形運算的結(jié)果可仍然送回存儲單元A(1)，A(2)中保存，然后A(3)，A(4)中x(2)，x(6)再進入蝶形運算，其結(jié)果再送回A(3)，A(4)，一直到算完A(7)，A(8)，則完成了第一級運算過程。第二級運算仍可采用這種原位的方式，但是進入蝶形結(jié)的組合關(guān)系不同，首先進入蝶形結(jié)的是A(1)、A(3)存儲單元中的數(shù)據(jù)，運算結(jié)果仍可送回A(1)、A(3)保存，然后進入蝶形結(jié)的是A(2)、A(4)…，依此類推，每一級運算均可在原位進行，這種原位運算結(jié)構(gòu)可節(jié)省存儲單元，降低設(shè)備成本，還可節(jié)省找地址的時間。（3）序數(shù)重排對按時間抽取FFT的原位運算結(jié)構(gòu)，當運算完畢時，這種結(jié)構(gòu)存儲單元A(1)、A(2)，…，A(8)中正好順序存放著X(0)，X(1)，X(2)，…，X(7)，因此可直接按順序輸出，但這種原位運算的輸入x(n)卻不能按這種自然順序存入存儲單元中，而是按X(0)，X(4)，X(2)，X(6)，…，X(7)的順序存入存儲單元，這種順序看起來相當雜亂，然而它也是有規(guī)律的。當用二進制表示這個順序時，它正好是“碼位倒置”的順序。例如，原來的自然順序應是x(1)的地方，現(xiàn)在放著x(4)，用二進制碼表示這一規(guī)律時，則是在x(001)處放著x(100)，x(011)處放著x(110)。即將自然順序的二進制碼位倒置過來，第一位碼變成最末位碼，這樣倒置以后的順序正是輸入所需要的順序。下表列出N=8時按碼位倒置規(guī)律所得的順序，其結(jié)果與按時間抽取FFT流圖中的輸入順序是一致的。表碼位倒置順序自然順序二進碼表示碼位倒置碼位倒置順序0000000010011004201001023011110641000011510110156110010371111117

在實際運算中，一般直接將輸入數(shù)據(jù)x（n）按碼位倒置的順序排好輸入很不方便，總是先按自然順序輸入存儲單元，然后再通過變址運算將自然順序的存儲轉(zhuǎn)換成碼位倒置順序的存儲，然后進行FFT的原位計算。目前有許多通用DSP芯片支持這種碼位倒置的尋址功能。（4）蝶形類型隨迭代次數(shù)成倍增加觀察8點FFT的三次迭代運算第一級迭代，只有一種類型的蝶形運算系數(shù)W08第二級迭代，有二種類型的蝶形運算系數(shù)W08、W28，參加運算的兩個數(shù)據(jù)點間隔為2。第三級迭代，有四類蝶形運算系數(shù)W08、W18、W28、W38，參加運算的兩個數(shù)據(jù)點間隔為4。

所以，每次迭代的蝶形類型比上一次蝶代增加一倍，數(shù)據(jù)點間隔也增大一倍。4-2FFT應用用FFT估計信號的頻譜

在離散付里葉變換一節(jié)，我們講到，離散付里葉變換X(k)可看成是z變換在單位圓上的等距離采樣值同樣，X（k）也可看作是序列付氏變換X（ejω）的采樣，采樣間隔為ωN=2π/N由此看出，離散付里葉變換實質(zhì)上是其頻譜的離散頻域采樣，對頻率具有選擇性（ωk=2πk/N），在這些點上反映了信號的頻譜。

我們知道，采樣定律說明一個頻帶有限的信號，可以對它進行時域采樣而不丟失任何信息，DFT變換則說明對于時間有限的信號（有限長序列），也可以對其進行頻域采樣，而不丟失任何信息。所以只要時間序列足夠長，采樣足夠密，頻域采樣也就可較好地反映信號的頻譜趨勢，所以FFT可以用以進行連續(xù)信號的頻譜分析。

當然，這里作了幾次近似處理：

1）用離散采樣信號的傅立葉變換來代替連續(xù)信號的頻譜，只有在嚴格滿足采樣定理的前提下，頻譜才不會有畸變，否則只是近似；

2）用有限長序列來代替無限長離散采樣信號。實數(shù)序列的FFT

以上討論的FFT算法都是復數(shù)運算,包括序列x(n)也認為是復數(shù),但大多數(shù)場合,信號是實數(shù)序列,任何實數(shù)都可看成虛部為零的復數(shù),例如,求某實信號y(n)的復譜,可認為是將實信號加上數(shù)值為零的虛部變成復信號(x(n)+j0),再用FFT求其離散付里葉變換。這種作法很不經(jīng)濟,因為把實序列變成復序列,存儲器要增加一倍,且計算機運行時,即使虛部為零,也要進行涉及虛部的運算,浪費了運算量。合理的解決方法是利用復數(shù)據(jù)FFT對實數(shù)據(jù)進行有效計算,下面介紹兩種方法。（1）一個N點FFT同時計算兩個N點實序列的DFT

設(shè)x1(n),x2(n)是彼此獨立的兩個N點實序列,且X1(k)=DFT[x1(n)]，X2(k)=DFT[x2(n)]

可通過一次FFT運算同時獲得X1(k),X2(k)。算法如下：

首先將x1(n),x2(n)分別當作一復序列的實部及虛部,令x(n)=x1(n)+jx2(n)通過FFT運算可獲得x(n)的DFT值X(k)=DFT[x1(n)]+jDFT[x2(n)]=X1(k)+jX2(k)利用離散付里葉變換的共軛對稱性有了x(n)的FFT運算結(jié)果X(k),由上式即可得到X1(k),X2(k)的值。

(2)用一個N點的FFT運算獲得一個2N點實序列的DFT設(shè)x(n)是2N點的實序列,現(xiàn)人為地將x(n)分為偶數(shù)組x1(n)和奇數(shù)組x2(n)

x1(n)=x(2n)n=0,1,…,N-1

x2(n)=x(2n+1)n=0,1,…,N-1然后將x1(n)及x2(n)組成一個復序列y(n)=x1(n)+jx2(k)通過N點FFT運算可得到Y(jié)(k)=X1(k)+jX2(k)

根據(jù)前面的討論，得到為求2N點x（n）所對應的X（k），需求出X（k）與X1（k），X2（k）的關(guān)系而

所以X(k)=X1(k)+W2NkX2(k)。

這樣，由x1(n)及x2(n)組成復序列，經(jīng)FFT運算求得Y(k)后，再利用共軛對稱性求出X1(k),X2(k)，最后利用上式求出X(k),從而達到了用一個N點的FFT計算一個2N點實序列DFT的目的。用FFT計算相關(guān)函數(shù)相關(guān)概念很重要，互相關(guān)運算廣泛應用于信號分析與統(tǒng)計分析，如通過相關(guān)函數(shù)峰值的檢測測量