北京市西城區(qū)1中高二上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)（理）試題

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精高二年級數(shù)學(xué)（理科）試題一、選擇題:本大題共10小題，每小題5分,共50分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合要求的．1。如果點(diǎn)在直線上,而直線又在平面內(nèi)，那么可以記作（）．A。，B.，C。，D.，【答案】B【解析】直線上有無數(shù)個(gè)點(diǎn),直線可看成點(diǎn)的集合，點(diǎn)在直線上，可記作，直線在平面內(nèi)，可記作，故選．2.以下命題正確的有（）．①②③④A.①②B.①②③C。②③④D.①②④【答案】A【解析】試題分析:①由線面垂直的判定定理可知結(jié)論正確；②由線面垂直的性質(zhì)可知結(jié)論正確；③中的關(guān)系可以線面平行或直線在平面內(nèi)；④中直線可以與平面平行，相交或直線在平面內(nèi)考點(diǎn):空間線面平行垂直的判定與性質(zhì)3。在下列命題中，正確的命題是（）．A。如果平面內(nèi)的一條直線垂直于平面內(nèi)的任一直線，那么B.如果平面內(nèi)一直線平行于平面，那么C。如果平面平面,任取直線，那么必有D.如果平面平面，直線，那么必有【答案】A【解析】項(xiàng)正確．項(xiàng)可能存在，項(xiàng)可能存在與是異面直線，故選．4。一個(gè)簡單幾何體的主視圖、左視圖如圖所示，則其俯視圖可能為①長方形；②正方形；③圓；④橢圓．其中正確的是(）．A.①②B.②③C。③④D。①④【答案】D【解析】由主視圖、左視圖可知，俯視圖可能是長為寬為的長方形，也可能是橢圓，故選．點(diǎn)睛：思考三視圖還原空間幾何體首先應(yīng)深刻理解三視圖之間的關(guān)系，遵循“長對正，高平齊,寬相等”的基本原則，其內(nèi)涵為正視圖的高是幾何體的高，長是幾何體的長;俯視圖的長是幾何體的長,寬是幾何體的寬；側(cè)視圖的高是幾何體的高，寬是幾何體的寬。由三視圖畫出直觀圖的步驟和思考方法：1、首先看俯視圖，根據(jù)俯視圖畫出幾何體地面的直觀圖；2、觀察正視圖和側(cè)視圖找到幾何體前、后、左、右的高度;3、畫出整體，然后再根據(jù)三視圖進(jìn)行調(diào)整.5。下列命題中，正確命題是（)．A.空間不同三點(diǎn)確定一個(gè)平面B?？臻g兩兩相交的三條直線確定一個(gè)平面C。兩組對邊相等的四邊形是平行四邊形D。和同一直線都相交的三條平行線在同一平面內(nèi)【答案】D【解析】A錯(cuò)誤。空間不共線三點(diǎn)確定一個(gè)平面；B錯(cuò)誤。如三棱錐的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的三條棱所在的直線不能確定一個(gè)平面；C錯(cuò)誤。正四面體的兩組對棱構(gòu)成的四邊形不是平行四邊形；D正確。6.如果平面外有兩點(diǎn)、,它們到平面的距離都是，則直線和平面的位置關(guān)系一定是（）．A.平行B.相交C。平行或相交D.【答案】C【解析】若兩點(diǎn)在平面同側(cè),則直線與平面平行，若在異側(cè)，則直線與平面相交，故選．7.在正方體中，如果是的中點(diǎn)，那么直線垂直于（）．A.B.C。D?！敬鸢浮緽【解析】試題分析:在正方體中,是的中點(diǎn)，設(shè)是的交點(diǎn)，則，,又，,故選B。考點(diǎn)：空間中的垂直關(guān)系8.若正四棱錐的正視圖和俯視圖如圖所示，則該幾何體的表面積是(）．A.B.C.D?！敬鸢浮緽【解析】底面積：，側(cè)面積：，表面積，故選．9.已知六棱錐的底面是正六邊形，平面．則下列結(jié)論不正確的是（）．A。平面B。平面C。平面D。平面【答案】D【解析】∵六棱錐的底面是正六邊形，平面．則，由線面平行的判定定理，可得平面,故A正確；，由線面垂直的判定定理可得平面,故B正確；，由線面平行的判定定理，可得平面，故C正確；與不垂直，故D中，平面不正確;故選D。10.在棱長為的正方體上,分別用過共頂點(diǎn)的三條棱中點(diǎn)的平面截該正方形，則截去個(gè)三棱錐后，剩下的幾何體的體積是（）．A。B.C。D?！敬鸢浮緾【解析】每個(gè)三棱錐的體積，剩下幾何體的體積，故選．點(diǎn)睛：求體積的一些特殊方法—-分割法、補(bǔ)形法、等體積法。①割補(bǔ)法：求一些不規(guī)則幾何體的體積時(shí)，常用割補(bǔ)法轉(zhuǎn)化成已知體積公式的幾何體進(jìn)行解決．②等積法:等積法包括等面積法和等體積法．等積法的前提是幾何圖形(或幾何體)的面積（或體積）通過已知條件可以得到,利用等積法可以用來求解幾何圖形的高或幾何體的高，特別是在求三角形的高和三棱錐的高時(shí)，這一方法回避了通過具體作圖得到三角形（或三棱錐)的高，而通過直接計(jì)算得到高的數(shù)值．二、填空題：本大題共6小題,每小題4分，共24分．11。已知，是兩條異面直線，，那么與的位置關(guān)系是__________．【答案】相交或異面【解析】若,則由可得到，與,是兩條異面直線矛盾,所以與可能相交；也可能異面，不可能平行,故與的位置關(guān)系為相交或異面．12。圓錐的底面半徑是，高是，則圓錐的側(cè)面積是__________．【答案】【解析】試題分析：由題圓錐的母線長為,則它的側(cè)面積是考點(diǎn)：圓錐的側(cè)面積13。如果棱長為的正方體的八個(gè)頂角都在同一個(gè)球面上，那么球的表面積是__________．【答案】【解析】設(shè)球半徑為,則，∴，球的表面積．故填.14.如圖，在四棱錐中，平面，且四邊形是矩形，那么該四棱錐的兩個(gè)側(cè)面中是直角三角形的有__________個(gè)．【答案】4【解析】∵平面，∴,，，，∴，是直角三角形，又∵在矩形中，，,∵,，∴平面,平面，∴，，∴，是直角三角形，∴、、、共個(gè)直角三角形．故填4。15.下列命題正確的有__________．①若直線與平面有兩個(gè)公共點(diǎn)，則直線在平面內(nèi);②若直線上有無數(shù)個(gè)點(diǎn)不在平面內(nèi),則與平面平行；③若直線與平面相交，則與平面內(nèi)的任意直線都是異面直線；④如果兩條異面直線中的一條與一個(gè)平面平行,則另一條直線一定與該平面相交；⑤若直線與平面平行，則與平面內(nèi)的直線平行或異面．【答案】①⑤【解析】①正確；②錯(cuò)誤，直線與平面相交時(shí),仍有無數(shù)個(gè)點(diǎn)不在平面內(nèi)．③錯(cuò)誤，直線與平面內(nèi)過該交點(diǎn)的直線不是異面直線．④錯(cuò)誤，另一條直線可能在該平面內(nèi)．⑤正確．故填①⑤。16.已知是等腰直角三角形，,是斜邊上的高，以為折痕使成直角．在折起后形成的三棱錐中，有如下三個(gè)結(jié)論：①直線平面；②側(cè)面是等邊三角形;③三棱錐的體積是．其中正確結(jié)論的序號是__________．（寫出全部正確結(jié)論的序號)【答案】①②③【解析】①∵，，點(diǎn)，,平面，∴平面．②∵在中，，，∴，同理可得，，∴是等邊三角形．，,，綜上①②③均正確．故填①②③.三、解答題：本大題共3小題，共26分．解答應(yīng)寫出文字說明,證明過程或演算步驟．17。如圖，在四棱錐中，底面，底面為矩形，點(diǎn)為的中點(diǎn)．（I)求證：平面．（II)求證：平面．【答案】(1）詳見解析；（2)詳見解析?！窘馕觥吭囶}分析:（1）矩形中，，又底面，∴,根據(jù)線面垂直的判定定理可得平面;(2）設(shè)與的交點(diǎn)為，連接，可得，由線面平行的判定定理即可證明。試題解析：（I）在矩形中，,又∵底面,∴，∵點(diǎn)，，平面，∴平面．（II）設(shè)與的交點(diǎn)為，連接,∵、分別是、中點(diǎn),∴，∵平面，平面，∴平面．點(diǎn)睛：直線與平面平行的定義：如果直線與平面沒有公共點(diǎn),則直線與平面平行，記作；直線與平面平行的判定定理:平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線互相平行，則該直線與此平面平行；判定直線和平面垂直的方法：①定義法．②利用判定定理:一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線和此平面垂直．③推論：如果在兩條平行直線中，有一條垂直于一個(gè)平面，那么另一條直線也垂直于這個(gè)平面．18。如圖，正三棱柱中，是的中點(diǎn)．（I）求證:平面平面．（II）求證:平面．【答案】(1）詳見解析;(2)詳見解析.【解析】試題分析:(1)正三角形中，,又，由線面垂直的判定定理可得平面，進(jìn)而可得平面平面；（2)取中點(diǎn)，連接，，因?yàn)?由線面平行的判定定理可得平面．試題解析：（I)∵在正三角形中，是中點(diǎn),∴，又∵在正三棱柱中，平面，∴平面,∴，∵點(diǎn),，平面，∴平面，∵平面，∴平面平面．（II）取中點(diǎn)，連接，，∵、分別是，中點(diǎn)，∴，∵平面，平面，∴平面．19.如圖，三棱錐的三個(gè)側(cè)面均為邊長是的等邊三角形，，分別為，的中點(diǎn)．（I）求的長．(II）求證:．（III)求三棱錐的表面積．【答案】（1);（2）詳見解析；(3）?！窘馕觥吭囶}分析：（1)連接，，等邊中，,，同理可得,等腰中,，；（2)由線面垂直的判定定理證明平面,則；(3）三棱錐的三個(gè)側(cè)面均為邊長為的等邊三角形,底面仍為邊長為的等邊三角形,分別求出各面的面積求和即三棱錐的表面積.試題解析:(I）連接，，∵在等邊中，是邊上中點(diǎn)，∴，，同理可得,在等腰中,為邊上中點(diǎn)，∴，∴．（II)證明：∵,，點(diǎn)，、平面，∴平面，∴．（III）∵三棱錐的三個(gè)側(cè)面均為邊長為的等邊三角形，則底面中，，∴底面仍為邊長為的等邊三角形，∴表面積．【B卷】一、選擇題（每題5分，共30分．）20.在空間四邊形中,等于（）．A。B。C.D.【答案】C【解析】,，．故選．21.下列各組向量平行的是（)．A。，B.，C.,D。，【答案】A【解析】項(xiàng)，，,,即．故選A。22。已知向量，，則等于__________．【答案】【解析】，，．故填。23。已知點(diǎn),則點(diǎn)關(guān)于軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為（）．A.B.C.D.【答案】B【解析】關(guān)于軸對稱后．故選B。24.已知，，若,則（)．A。B.C。D.【答案】C【解析】∵,∴，∴，解得．故選C。點(diǎn)睛:平面向量數(shù)量積的類型及求法：（1)求平面向量數(shù)量積有三種方法：一是夾角公式a·b＝｜a｜｜b|cosθ；二是坐標(biāo)公式a·b＝x1x2＋y1y2；三是利用數(shù)量積的幾何意義。(2）求較復(fù)雜的平面向量數(shù)量積的運(yùn)算時(shí)，可先利用平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律或相關(guān)公式進(jìn)行化簡.25。已知，，，則向量與的夾角為（）．A.B.C。D.【答案】C【解析】∵，，，∴，，∴，∴與的夾角為，故選．二、解答題:本大題共2小題，共20分．解答寫出文字說明，證明過程或演算步驟．26。（用空間向量方法）如圖，正方體的棱長為，為棱的中點(diǎn)．(I)求與所成角的大?。↖I)求與平面所成角的正弦值．（III）求平面與平面所成角的余弦值．【答案】(1);(2);(3）.【解析】試題分析:(1）建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，求出和的坐標(biāo)，代入，求出結(jié)果即可;(2）寫出的坐標(biāo)，平面是一個(gè)法向量,與平面所成角的正弦值為的絕對值;（3)求出平面的法向量,代入公式即可.試題解析：（I)如圖以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以，,分別為，，軸,建立空間直角坐標(biāo)系，，，，．∴，，，由圖知，與成角為銳角．(II)，,，平面是一個(gè)法向量，∴，∴與平面所成角的正弦值為．（III)，,，∵，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量，∴,，∴，平面與平面所成角余弦值為．點(diǎn)睛:本題考查線線角,線面角以及二面角大小的求法,屬于中檔題.利用法向量求解空間線面角的關(guān)鍵在于“四破"：第一，破“建系關(guān)",構(gòu)建恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系;第二，破“求坐標(biāo)關(guān)”，準(zhǔn)確求解相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)；第三，破“求法向量關(guān)”,求出平面的法向量;第四，破“應(yīng)用公式關(guān)".27.如圖，正方形和四邊形所在的平面互相垂直．，,，．(I）求證：平面．（II）求證:平面．（III）求二面角的大?。敬鸢浮浚?)詳見解析；（2）詳見解析；(3）.【解析】試題分析：(1)設(shè)與交于點(diǎn)，先證明四邊形為平行四邊形,可得,由線面平行的判定定理即可證明；(2)連接,判斷出四邊形為菱形，得到,又正方形中，，且平面平面,∴平面，∴,根據(jù)線面垂直的判定定理證明即可;(3）建立空間直角坐標(biāo)系,寫出各點(diǎn)坐標(biāo),求出平面和平面的法向量，代入二面角公式即可求出二面角的大小.試題解析:(I)設(shè)與交于點(diǎn)，∵，且，，∴四邊形為平行四邊形,∴,∵平面,平面，∴平面．(II）連接，∵，，，∴四邊形為菱形，∴，∴在正方形中,,且平面平面，平面平面，∴平面，∴,又