8.1 二元一次方程組+

-PAGE13-第八章二元一次方程組單元要點分析1.本單元主要內(nèi)容有：二元一次方程，二元一次方程組，用代入法、加減法解二元一次方程組及一次方程組的應(yīng)用。方程組是方程內(nèi)容的深化和發(fā)展，二元一次方程組是方法組內(nèi)容的開端，用消元法解二元一次方程組的方法是解方程組的基本思路方法。本單元的內(nèi)容是學(xué)習(xí)二元二次方程及其他方程組的必備的基礎(chǔ)知識。二元一次方程組在教學(xué)科和實際生活中都有著廣泛的應(yīng)用。在平面幾何和立體內(nèi)何中，方程組是計算和證明幾何里的一種重要的代數(shù)解法；在函數(shù)中，方程組是確定一次函數(shù)和二次函數(shù)解析式的一種重要方法；在解析幾何中方程組是研究兩曲線位置關(guān)系的一種重要手段；在實際應(yīng)用中方程組也是解應(yīng)用題的一種重要工具。本單元教材注意讓學(xué)生通過探索、嘗試、比較等活動去發(fā)現(xiàn)二元一次方程組的解法，體會消元化歸的思想。本單元通過實例引入二元一次方程，二元一次方程組以及二元一次方程組的概念，培養(yǎng)學(xué)生對概念的理解的完整性和深刻性。二元一次方程組的兩種解法──代入法、加減法是本章的一個重點。解二元一次方程組的基本思想是“消元”，通過“消元”變“二元”為“一元”，把“未知”化為“已知”從而達到求解的目的。列二元一次方程組解決簡單的實際問題，是教學(xué)聯(lián)系實際的又一方面，同時通過這項內(nèi)容。使學(xué)生初步接觸多因素。（即需要考慮的未知因數(shù)不止一個）問題，體會到代數(shù)方法的優(yōu)越性，體會到列方程組往往比列一元方程容易，進一步培養(yǎng)學(xué)生分析、解決問題的能力和技能。2.單元知識結(jié)構(gòu)圖：3.重難點、關(guān)鍵(1)重點:①二元一次方程組的解法.②列二元一次方程組解決實際問題.(2)難點:列二元一次方程組解決實際問題.(3)關(guān)鍵:①熟練掌握二元一次方程組的關(guān)鍵在于讓學(xué)生了解情況的思想方法,并能根據(jù)未知數(shù)特點,學(xué)會靈活運用代入法、加減法.②正確地列出二元一次方程組,關(guān)鍵在于正確地找出應(yīng)用題中的兩個等量關(guān)系,并把它們表示成兩個方程.4.教學(xué)目標(biāo)(1)使學(xué)生了解二元一次方程的概念,會把二元一次方程化為用一個未知數(shù)的代數(shù)式表示另一個未知數(shù)的形式.(2)使學(xué)生了解二元一次方程組和它的解的概念,會檢驗一對數(shù)值是不是某個二元一次方程組的一個解.(3)使學(xué)生靈活地能利用代入法,加減去解二元一次方程組.(4)使學(xué)生會用二元一次方程組解決實際問題.5.課時劃分:8.1二元一次方程組………………1課時8.2消元……………4課時8.3再探實際問題與二元一次方程組……………3課時教學(xué)設(shè)計8.1二元一次方程組教學(xué)目標(biāo)1.使學(xué)生了解二元一次方程,二元一次方程組的概念.2.使學(xué)生了解二元一次方程,二元一次方程組的解的含義,會檢驗一對數(shù)是不是它們的解.3.通過引例的教學(xué),使學(xué)生進一步使用代數(shù)中的方程去反映現(xiàn)實生活中的等量關(guān)系,體會代數(shù)方法的優(yōu)越性.重點、難點1.重點:(1)了解二元一次方程,二元一次方程組以及二元一次方程以及二元一次方程的解的含義.(2)會檢驗一對數(shù)是否是某個二元一次方程組的解.2.難點:了解二元一次方程組的解的含義.教學(xué)過程一、復(fù)習(xí)提問1.什么叫做“元”？什么叫做“次”？什么叫方程？什么叫一元一次方程？2.什么叫一元一次方程的解?怎樣檢驗一個數(shù)是否是這個方程的解?3.列方程解應(yīng)用題的步驟有哪些?二、看一看出示投影,見課本P99《圖與文字》.師生共同分析題目:比賽規(guī)定勝一場得2分,負(fù)一場得1分,某隊為了爭取較好名次在全部的22場比賽中得到40分,那么這個隊勝負(fù)場數(shù)應(yīng)分別為多少?一個應(yīng)用題的出現(xiàn)首先要認(rèn)真審題:其次要找出它們的等量關(guān)系,本題等量關(guān)系應(yīng)有幾個?同學(xué)們在議論交流的基礎(chǔ)上老師歸納如下:勝的場數(shù)+負(fù)的場數(shù)=22場勝場積分+負(fù)場積分=40分這個問題可以用算術(shù)方法解決,也可以用一元一次方程來解.從題目的條件發(fā)現(xiàn)勝得場數(shù)一定在20場以下:若勝19場,則負(fù)3場,這時的得分應(yīng)是:19×2+3=41(不合題意)若勝8場則負(fù)4場,這時他們的得分應(yīng)為:18×2+4=40.也可以從一元一次方程解:設(shè)勝的場數(shù)為x場則負(fù)的場數(shù)為(22-x)場.依題意得:2x+(22-x)=402x-x=40-22x=18那么這個隊?wèi)?yīng)勝18場,負(fù)4場才能在比賽中獲得40分.教師在這里,可以提出一個問題,本題有幾個未知量?同學(xué)們回答:2個.接著老師可問既然有兩個未知量,那么能不能同時設(shè)兩個未知數(shù)呢?學(xué)生思考,議論后提出設(shè)某隊勝x場,負(fù)y場.讓學(xué)生在下列表格中填入滿足條件的數(shù)票或式子.分/場場分勝x負(fù)y根據(jù)填表結(jié)果可得:x+y=22(1)2x+y=40(2)這里的x,y要同時滿足兩個條件:勝、負(fù)的場數(shù)和是22,勝的積分與負(fù)的積分和為40,由x,y必須同時滿足方程(1)(2)因此把兩個方程合適一起并寫成.上面列出的兩個方程與一元一次方程有何區(qū)別和聯(lián)系?(1)首先它們都是包含有未知數(shù)的等式.(2)前者含有兩個未知數(shù),后者只含一個未知數(shù).(3)它們的未知數(shù)的次數(shù)都是1.象這樣含有兩個未知數(shù),并且未知數(shù)的指數(shù)是1的方程叫做二元一次方程,把上述這兩個方程(1)(2)合在一起就組成一個二元一次方程組.結(jié)合一元一次方程、二元一次方程,老師還應(yīng)對“元”與“次”作進一步的解析.“元”與“未知數(shù)”、“次”與“未知數(shù)的最高次數(shù)”。用算術(shù)與一元一次方程得到勝18場,負(fù)4場,即x=18,y=4,即滿足方程(1)18+4=22,又滿足方程(2)18×2+4=40.這樣,我們說x=18,y=4是方程組的解,并記作,進一步闡明方程解的含義.一般地,使二元一次方程組的兩個方程左右兩邊的值相等的兩個未知數(shù)的值,叫做二元一次方程組的解.三、探究滿足方程x+y=22且符合問題實際意義的x、y值有哪些?把它們填入下表:XY上表中哪對x、y的值還同時滿足2x+y=40.由上表可知:x=0時y=22,x=1時,y=22,x=2時y=20;x=3時.y=19,…x=22時,y=0,使方程x+y=22兩邊的值相等,它們是方程x+y=22的解,如果不考慮符合問題的實際意義.那么x=1,y=23;x=0.5,y=21.5;x=-0.2,y=22.2……也都是方程x+y=22的解,所以我們說:二元一次方程的解不是唯一的,只要使二元一次方程兩邊的值相等的兩個未知數(shù)的值,都是這二元一次方程的解.我們同時還發(fā)現(xiàn)x=18,y=4時,即滿足方程x+y=22,又滿足方程2x+y=40,也就是說x=18、y=4,是方程(1)、(2)的公共解,所以我們把x=18,y=4叫做二元一次方程組的解,通常記作.聯(lián)系前向問題可知,這個隊?wèi)?yīng)在全部比賽中勝18場,負(fù)4場才有可能獲40分的好成績.一般地:二元一次方程組的兩個方程的公共解,叫做二元一次方程的解.四、講例已知下列三對數(shù)值:(1)(2)(3)哪一對是方程組的解.分析:我們知道,能使二元一次方程左、右兩邊相等的一對未知數(shù)的值便是二元一次方程的一個解,能使二元一次方程組的兩個方程左、右兩邊的值都相等的一對未知數(shù)值,即它們的公共解才叫做二元一次方程組的解.解:(1)把代入方程(1)得:左右=2×2+1=5,右邊=5∴左邊=右邊即是方程(1)的解.把代入方程（2）得：左邊=3×2+4×1=10,右邊=10，∴左邊=右邊即是方程（2）的解∴是方程組的解。（2）把代入方程（1）得。左邊=2×（-2）+4=0右邊=5∴左邊≠右邊即不是方程（1）的解∴它也不是方程組的解。（3）把代入方程（1）得。左邊=2×（-1）+7=5右邊=5∴左邊=右邊即是方程解。把代入方程（2）得左邊=3×（-1）+4×7=25右邊=5∴左邊≠右邊即不是方程（2）的解∴不是方程組的解。五、練習(xí)課本P102，練習(xí)。六、作業(yè)1．課本P102Ex8.11.2.3.4.5。2．備選作業(yè):七、教后反思備選作業(yè)一、判斷題：1．是二元一次方程組。（）2．是二元一次方程組。（）3．若x+y=0,且|x|=2則y的值為2。（）4．適合方程x+y=5且x，y絕對值都小于5的整數(shù)解有5個。（）5．方程組有無數(shù)個解。（）二、填空題：1.二元一次方程4x-3y=12,當(dāng)x=0，1，2，3時y=_____________.2.在x+3y=3中用x表示y，則y=_____________。3.當(dāng)x=1,y=是二元一次方程mx-3y=-1的解時，m=_____________。4.把方程3(x+5)=5(y-1)+3,化成二元一次方程的一般形式為________________。5.二元一次方程4x-2y=13,當(dāng)x=-3時，y=_______________。6.如果xm-1+3yn+2=6,是二元一次方程則m=________,n=_________。7.如果是方程組的解，則a=________,b=______。8.方程2x+y=8的正整數(shù)解有_________組，它們分別為________。三、選擇題1．下列各式屬于二元一次方程的個數(shù)有（）個。①x+=3②y=3x③④3x-xy=5⑤x-2y2+3=8;⑥5x-7yA.1B.2C.3D.42.下列方程組是二元一次方程組的是（）A．B.C.D.3.在下列各組數(shù)中,方程組的解是()A.B.C.D.4.如果是二元一次方程3x-2ay=5的一個解,則a的值為()A.-B.C.2D.-25.方程組的解是()A.B.C.D.6.方程組的解為()A.B.C.無解D.以上都不對7.方程組可能化為方程組為()A.B.C.D.8.在下列方程組中只有一個解的是()A.B.;C.D.四、解答題1.在下面四組x,y的值中，哪些是二元一次方程3x-y=6的解？（1）（2）（3）（4）2.括號內(nèi)的x、y的值是不是左邊方程組的解。（1）（2）3.下列哪組x、y的值是方程組的解？（1）（2）（3）（4）4.判斷下列括號內(nèi)的各位數(shù)是不是它前面二元一次方程的解。（1）3x+2y=5()(2)y-3x=2()(3)x+2y=3()(4)x+y-8=0()5．判斷下列各組數(shù)是否是二元一次方程組的解。（）（1）（2）（3）8.1二元一次方程組教學(xué)目標(biāo)1、弄懂二元一次方程、二元一次方程組和它們的解的含義，并會檢驗一對數(shù)是不是某個二元一次方程組的解；2、學(xué)會用類比的方法遷移知識；體驗二元一次方程組在處理實際問題中的優(yōu)越性，感受數(shù)學(xué)的樂趣．教學(xué)難點弄懂二元一次方程組解的含義。知識重點二元一次方程、二元一次方程組及其解的含義。教學(xué)過程（師生活動）設(shè)計理念創(chuàng)設(shè)情境導(dǎo)入課題幻燈：古老的“雞兔同籠問題”“今有雞兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足．問雞、兔各幾何？”師：這是我國古代數(shù)學(xué)著作《孫子算經(jīng)》中記載的數(shù)學(xué)名題．它曾在好幾個世紀(jì)里引起過人們的興趣，這個問題也一定會使在座的各位同學(xué)感興趣．怎樣來解答這個問題呢？學(xué)生思考自行解答，教師巡視．最后，在學(xué)生動手動腦的基礎(chǔ)上，班級集體討論給出各種解決方案．方案一：算術(shù)方法把兔子都看成雞，則多出94－35×2=24只腳，每只兔子比雞多出兩只腳，故，由此可先求出兔子有24÷2=12只，進而雞有35－12=23只．或類似的也可以先求雞的數(shù)量．35×4－94=46，46÷2＝23方案二：列一元一次方程解設(shè)有x只雞，則有（35－x）只兔．根據(jù)題意，得2x十4(35－x)=94.（解方程略）教師不失時機地復(fù)習(xí)一元一次方程的有關(guān)概念，“元”是指什么？“次”是指什么？以古老的數(shù)學(xué)名題引入，可以增強學(xué)生的民族自豪感，激發(fā)學(xué)好數(shù)學(xué)的感情能用方案本來解的學(xué)生算術(shù)功底比較好，應(yīng)給予高度贊賞．方案二既是對一元一次方程的復(fù)習(xí)與鞏固，又為二元一次方程組的引出做好鋪墊在。分析問題（一）討論二元一次方程、二元一次方程組的概念師：上面的問題可以用一元一次方程來解，還有其他方法嗎？（若學(xué)生想不到，教師要引導(dǎo)學(xué)生，要求的是兩個未知數(shù)，能否設(shè)兩個未知數(shù)列方程求解呢？讓學(xué)生自己設(shè)未知數(shù)，列方程）方案三：設(shè)有x只雞，y只兔，依題意得x＋y=35，①2x＋4y=94.②針對學(xué)生列出的這兩個方程，提出如下問題：（1）、你能給這兩個方程起個名字嗎？（2）為什么叫二元一次方程呢？（3）什么樣的方程叫二元一次方程呢？結(jié)合學(xué)生的回答，教師板書定義1：含有兩個未知數(shù)，并且未知數(shù)的指數(shù)都是1的方程，叫做二元一次方程．師：在上面的問題中，雞、兔的只數(shù)必須同時滿足①②兩個方程．把①②兩個二元一次方程結(jié)合在一起，用花括號來連接．我們也給它起個名字，叫什么好呢？定義2：把兩個二元一次方程合在一起，就組成了一個二元一次方程組．（二）討論二元一次方程、二元一次方程組的解的概念探究活動：滿足x＋y=35的值有哪些？請?zhí)钊氡碇校篨…y…教師啟發(fā)：（1）若不考慮此方程與上面實際問題的聯(lián)系，還可以取哪些值？（2）你能模仿一元一次方程的解給二元一次方程的解下定義嗎？（3）它與一元一次方程的解有什么區(qū)別？定義3：使二元一次方程兩邊相等的兩個未知數(shù)的值，叫二元一次方程的解，記為師：那么什么是二元一次方程組的解呢？學(xué)生討論達成共識：二元一次方程組的解必須同時滿足方程組中的兩個方程．即：既是方程①又是方程②的解．定義4：二元一次方程組的兩個方程的公共解叫做二元一次方程組的解．比如：從方案一，我們知道，x=23，y=12使方程組中每一個方程成立．所以我們把x=23，y=12叫做的解記為：注意：二元一次方程組的解是成對出現(xiàn)的，用花括號來連接，表示“且”．議一議：將上述“雞兔同籠”問題的三種方案進行優(yōu)劣對比，你有哪些想法呢？引導(dǎo)學(xué)生利用一元一次方程進行知識的遷移與奚比，讓學(xué)生用原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)去同化新知識，符合建構(gòu)主義理念通過探究活動得出結(jié)論：1、二元一次方程的解是成對出現(xiàn)的；2、二元一次方程的解有無數(shù)多個．這與一元一次方程有顯著的區(qū)別．通過對比，讓學(xué)生體臉到從算術(shù)方法到代數(shù)方法是一種進步．而當(dāng)我們遇到求多個未知量，而且數(shù)量關(guān)系較復(fù)雜時，列二元一次方程組比列一元一次方程容易，它大大減輕了我們的思維負(fù)擔(dān)．鞏固新知例1下列各對數(shù)值中是二元一次方程x＋2y=2的解是（）ABCD解法分析：將A、B,C,D中各對數(shù)值逐一代人方程檢驗是否滿足方程，選A,B,C.變式：其中是二元一次方程組解是()解法分析：在例1的基礎(chǔ)上，進一步檢驗A、B、C中各對值是否滿足方程2x＋y=－2，使學(xué)生明確認(rèn)識到二元一次方程組的解必須同時滿足兩個方程．例2（教材102頁練習(xí)）解答過程略本例先檢驗二元一次方程的解，再檢臉二元一次方程組的解，符合從簡單到復(fù)雜的認(rèn)知規(guī)律．使學(xué)生更深刻地理解二元一次方程組的解的概念．目的在于培養(yǎng)分析等量關(guān)系并列方程組的能力；培養(yǎng)觀察估算能力；使學(xué)生進一步熟悉二元一次方程組及其解的概小結(jié)提高在學(xué)生暢所欲言話收獲的基礎(chǔ)上，通過老師進行補充的方式進行．本節(jié)課學(xué)習(xí)了哪些內(nèi)容？你有哪些收獲？（什么叫二元一次方程？什么叫二元一次方程