新教材數(shù)學人教A版教案5-4三角函數(shù)的圖象與性質5-4-1正弦函數(shù)余弦函數(shù)的圖象

5.4.1正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象正弦函數(shù)與的圖像性質關系周期定義域RR最大值1，當取得A，當取得最小值1，當取得A，當取得單調增區(qū)間單調減區(qū)間對稱軸對稱中心類比于研究y＝sinx的性質，只需將y＝Asin(ωx＋φ)中的ωx＋φ看成y＝sinx中的x，但在求y＝Asin(ωx＋φ)的單調區(qū)間時，要特別注意A和ω的符號，通過誘導公式先將ω化為正數(shù)．研究函數(shù)y＝Acos(ωx＋φ)，y＝Atan(ωx＋φ)的性質的方法與其類似，也是類比、轉化．與的圖像性質關系周期定義域RR最大值1，當取得A，當取得最小值1，當取得A，當取得單調增區(qū)間單調減區(qū)間對稱軸對稱中心例1：函數(shù)y=2sin（3x+），x∈R的最小正周期是（）A． B． C． D．π解：,故選B。例2：已知函數(shù)f（x）=sin（ωx+）（ω＞0）的最小正周期為π，則函數(shù)f（x）的圖象（）A．關于直線x=對稱B．關于直線x=對稱C．關于點（，0）對稱 D．關于點（，0）對稱解：由函數(shù)f（x）=sin（ωx+）（ω＞0）的最小正周期為π，可得求得ω=2，f（x）=sin（2x+）．由于當時，函數(shù)f（x）取得最大值為1，故函數(shù)f（x）的圖象關于直線對稱，故選：B．例3：設函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）（A≠0，ω＞0，﹣的圖象關于直線x=對稱，它的最小正周期為π，則（）A．f（x）的圖象過點 B．f（x）在上是減函數(shù)C．f（x）的一個對稱中心是 D．f（x）的一個對稱中心是解：由題意可得，∴ω=2，可得f（x）=Asin（2x+φ）．再由函數(shù)關于對稱，故，取，故函數(shù)f（x）=Asin（2x+）．根據(jù)公式可求得函數(shù)的減區(qū)間為[kπ+，kπ+]，B錯，由于A不確定，故選項A不正確．對稱中心為，即（，0），時，選項C正確．選項D不正確．例4：（2015?安徽）已知函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）（A，ω，φ均為正的常數(shù)）的最小正周期為π，當x=時，函數(shù)f（x）取得最小值，則下列結論正確的是（）f（2）＜f（﹣2）＜f（0） B．f（0）＜f（2）＜f（﹣2）C．f（﹣2）＜f（0）＜f（2） D．f（2）＜f（0）＜f（﹣2）解：依題意得，函數(shù)f（x）的周期為π，∵ω＞0，∴，∴ω=2，又∵當時，函數(shù)f（x）取得最小值，∴f（x）=Asin（2x+2kπ+）=Asin（2x+）．∴f（﹣2）=f（﹣2+2π），f（2）=f（π+2）=Asin（4+）＜0，f（0）=f（）＞0，根據(jù)公式可求得函數(shù)的減區(qū)間為[kπ+，kπ+]，又∵＞π+2＞﹣2+2π＞，∴f（2）＜f（﹣2）＜f（0）故選：A．例5：函數(shù)f（x）=2sin（2x+）在[﹣，]上對稱軸的條數(shù)為（）A．1 B．2 C．3 D．0解：，∵﹣≤x≤，∴函數(shù)的對稱軸為：，故選B。例6：函數(shù)y=2sin（3x﹣）的圖象中兩條相鄰對稱軸之間的距離是．解：兩條相鄰對稱軸之間有半個周期，即。例7：同時具有性質①最小正周期是π；②圖象關于直線x=對稱；③在[﹣，]上是增函數(shù)的一個函數(shù)是（）A．y=sin（+） B．y=cos（2x+） C．y=sin（2x﹣） D．y=cos（﹣）解：求得ω=2，排除A、D，在B選項中，對稱軸為直線，單調增區(qū)間為不能滿足題意，C選項中對稱軸為直線，單調增區(qū)間為故選C。例8：函數(shù)y=sin（﹣2x+）的單調遞增區(qū)間是（）A．[﹣+2kπ，+2kπ]（k∈Z） B．C．[﹣+kπ，+kπ]（k∈Z） D．解：，根據(jù)題意，只需求出的單調減區(qū)間即可，，故答案選D。例9：設函數(shù)f（x）=sinωπx（ω＞0）的圖象在區(qū)間[0，]上有兩個最高點和一個最低點，則（）A．3≤ω＜5 B．4≤ω＜6 C．5≤ω＜7 D．6≤ω＜8解：由題意，結合函數(shù)圖像可知，故選C。秒殺秘籍:五點法求解三角函數(shù)圖像（1）找到相應的中兩點；（2）尋找兩點聯(lián)立方程例10:已知函數(shù)（）的一段圖象如下圖所示，求函數(shù)的解析式．20解：由圖像可知，最大值為2，最小值為2，故20圖中已知的兩點為，故可聯(lián)立方程組例11:已知函數(shù)在同一周期內，當時，取得最大值，當時，取得最小值，則該函數(shù)的解析式是（）A.B.C.D.解：由題意可知，最大值為，最小值為，故，已知的兩點為，故可聯(lián)立方程組選B。例12：若函數(shù)，求在上的最大值和最小值．解：，則區(qū)間包含最大值為2，在單調遞增，在單調遞減，由于遞減區(qū)間寬度大于遞增區(qū)間寬度，故最小值為（如圖）。例13：如圖所示，函數(shù)f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的部分圖象，已知x1，x2∈（，π），且f（x1）=f（x2），則f（x1+x2）=（）A．﹣1 B． C． D．解：，x1，x2∈（，π），且f（x1）=f（x2），故，。例14：若函數(shù)，且f（α）=﹣2，f（β）=0，|α﹣β|的最小值是，則f（x）的單調遞增區(qū)間是（）A． B．C． D．解：由題意可知，最大值為2，最小值為，已知的兩點為，故可聯(lián)立方程組故單調增區(qū)間為選D。例15：如圖是函數(shù)圖象的一部分，對不同的x1，x2∈[a，b]，若f（x1）=f（x2），有，則φ的值為（）A． B． C． D．解：由圖像可知：A=2，又，選D。例16：（1）若函數(shù)對任意的，則等于（）A．B．C． D．（2）若，對任意實數(shù)都有，且，則實數(shù)的值等于()A.±1B.±3C.－3或1D.－1或3定理：關于直線對稱；關于點對稱；解：（1）由題意可得：關于直線對稱；故（2）由題意可得：關于直線對稱；故例17：函數(shù)f（x）=sin（ωx+φ）（ω，φ是常數(shù)，ω＞0）．若f（x）在區(qū)間[，1]上具有單調性，且f（0）=f（）=﹣f（1），則下列有關f（x）的每題正確的有（請?zhí)钌纤姓_命題