2023屆高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)大題專講專練第07講向量法解決中點(diǎn)中線問題與第8講已知圖形解三角形含解析

第7講向量法解決中點(diǎn)、中線問題向量法:在中,角的對(duì)邊分別為,已知點(diǎn)是邊的中點(diǎn),則通常會(huì)利用向量,平方后解決中線相關(guān)的問題,即【例1】在△ABC中，角A,B,C的對(duì)邊分別為.已知點(diǎn)是邊的中點(diǎn),若,求.【解析】點(diǎn)是邊的中點(diǎn),,.將代入上式,整理得.解得(舍去).由余弦定理得【例2】已知的三個(gè)角的對(duì)邊分別為,點(diǎn)為邊的中點(diǎn),,求面積的最大值.【解析】即,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),等號(hào)成立.當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),取等號(hào).面積的最大值為.【例3】的角所對(duì)的邊分別為.已知,點(diǎn)為邊的中點(diǎn),且,求的最大值.【解析】第8講已知圖形解三角形這一類題目求解的核心在于找到三角形,判定是否滿足“知三求三”.所謂“知三求三”就是已知三角形中的三個(gè)量來求解其他三個(gè)量,如果不滿足上述條件,就需要找圖形中的邊角關(guān)系,來列方程求解,“知三求三”的情況如下.1.AAS/ASA:已知兩角與一邊,由及,可先求出角及,再求出.2.SAS:已知兩邊及其夾角,由,先求出,再求出角.3.SSS:已知三邊,由余弦定理可求出角.4.ASS:已知兩邊及其中一邊的對(duì)角,由正弦定理可求出另一邊的對(duì)角,由,可求出角,再由可求出.通過求角時(shí),可能有一解或兩解或無解的情況.在中,已知和角時(shí),解的情況如下表所示.注意:上表中為銳角時(shí),,無解;為鈍角或直角時(shí),均無解.求值【例1】如下圖所示,在中,點(diǎn)在邊上,.(1)求.(2)若的面積為,求.【解析】(1)在中,設(shè),,又,由余弦定理得。,即，解得..此時(shí)為等邊三角形,.(2),解得.則.如下圖所示,作交于.由(1)知,在等邊中,,,在Rt中,.在中,由正弦定理得,.【例2】如下圖所示,在中,角,的對(duì)邊分別是,,點(diǎn)在線段上,滿足.(1)求角的大小.(2)若,求的值.【解析】(1)由正弦定理得,,.又...,解得.(2),為等邊三角形.設(shè),則,在中,由余弦定理得9,解得.基本不等式求最值【例1】如下圖所示,在中,角,對(duì)應(yīng)的邊分別為,點(diǎn)在邊上,且.(1)若,求的長.(2)若,求面積的最大值.【解析】(1),.在中,設(shè),由余弦定理得.在和中,由余弦定理得整理得.由(1)(2)式得.(2),,由面積的最大值為.【例2】如下圖所示,在平面四邊形中,的平分線與交于點(diǎn),且.(1)求及的長.(2)若,求四邊形周長的最大值.【解析】(1)在中,由正弦定理得.又,則,.,,.在中,根據(jù)余弦定理得.(2)令.在中,由余弦定理得,即有,即,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),等號(hào)成立.四邊形周長的最大值為.【例3】如下圖所示,四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)共圓,,.(1)求和的值.(2)求四邊形的周長的最大值.【解析】(1)在中,,.利用余弦定理得,解得或(舍去).在中,,.由正弦定理得,即,解得..(2)由四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)共圓可知,,即.又由(1)題知,,即為中最小的角,則在中,利用余弦定理得,整理得.由不等式的基本性質(zhì)得,即.解得,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),等號(hào)成立.四邊形的周長的最大值為:函數(shù)法典型例題【例1】在如下圖所示的四邊形中,已知,,設(shè)點(diǎn)到的距離為.(1)求用表示的解析式.(2)求的最大值.【解析】(1)由已知得在中,由正弦定理得又(2)在中,由正弦定理得, ,于是當(dāng)時(shí)取得最大值【例2】如下圖所示,已知在中,角所對(duì)的邊分別為,滿足.(1)求角B的大小.(2),在直線的右側(cè)取點(diǎn),使得.當(dāng)角為何值時(shí),四邊形面積最大?【解析】(1)法一:在中,由正弦定理得.....法二:在中,由余弦定理得,整理得...(2)由(1)題知,.為等邊三角形.設(shè)角,則在中,由余弦定理得,,.四邊形的面積.,.當(dāng)即時(shí),.當(dāng)角時(shí),四邊形的面積取得最大值,最大值為.【例3】如下圖所示,在四邊形中,2,記.當(dāng)為何值時(shí),的面積有最小值?并求出最小值.【解析】四邊形的內(nèi)角和為在中在中當(dāng)時(shí),取最小值.章末總結(jié)恭喜成功打通第二關(guān),攻克了解三角形這一板塊的內(nèi)容,又成功拿下一個(gè)小