2023屆高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)大題專(zhuān)講專(zhuān)練第10講證明垂直含解析

第10講證明垂直證明垂直,一般通過(guò)降維的手段,最終歸結(jié)為證明線線垂直.線線垂直是問(wèn)題的核心,具體線線垂直的證明方式總結(jié)如下.（1）共面直接證明1.勾股定理:在中,,則.2.三線合一:在中,是的中點(diǎn),則.3.矩形:找到或者證明一個(gè)四邊形是矩形,則可得鄰邊相互垂.（2）性質(zhì)定理轉(zhuǎn)化證明1.線面垂直:若要證明的直線為異面直線,通常轉(zhuǎn)化為線面垂直,利用線面垂直的性質(zhì)證明線線垂直2.面面垂直：若題目中給了面面垂直，通常是要找到兩平面交線和垂直于交線的直線，利用面面垂直性質(zhì)轉(zhuǎn)化為線面垂直.勾股定理證明垂直【例1】如下圖所示,在三棱柱中,.證明:平面.【解析】證明：如下圖所示,連接.由可得為等邊三角形.,,.又,且平面,平面.【例2】如下圖所示,在四棱錐中,平面,四邊形是平行四邊形,是邊長(zhǎng)為的等邊三角形,.證明:平面.【解析】證明：平面,且,平面.在Rt中,,.在Rt中,..四邊形是平行四邊形,.平面平面,.又,平面.【例3】如下圖所示,已知在四棱錐中,底面是邊長(zhǎng)為2的菱形,,側(cè)棱,過(guò)點(diǎn)的平面與側(cè)棱分別相交于點(diǎn),且滿足.證明:平面.【解析】證明：(1)如下圖所示,連接,.,連接..又底面是菱形,.平面..又.由已知條件得.由余弦定理得,.,.與相交,且都在平面AEMF內(nèi),平面.【例4】如下圖所示,在四棱錐中,平面,點(diǎn)在線段上,且平面.證明:平面平面.【解析】證明：如下圖所示,連接交于點(diǎn),連接.平面平面,平面平面,.由知,.又..在中,,由余弦定理得,即,故,.平面平面,.又平面.又平面,平面平面PAD.三線合一證明垂直【例1】如下圖所示,在四棱錐中,底面是正方形,若.證明:平面平面.【解析】證明：如下圖所示,取的中點(diǎn)為,連接..,.在正方形中,.,為直角三角形且.,平面.平面,平面平面.【例2】如下圖所示,在三棱柱中,,點(diǎn)為的中點(diǎn),.證明:平面平面.【解析】證明：如下圖所示,取的中點(diǎn)為,連接,則.在中,,.,平面.平面,.根據(jù)已知,,又,.,平面.又平面,平面平面.性質(zhì)定理證明垂直【例1】如下圖所示,在三棱柱中,,平面平面.證明:平面平面.【解析】證明：∵且四邊形為平行四邊形,四邊形為菱形..又平面平面,平面平面,平面.又平面,平面平面.【例2】如下圖所示,底邊是正方形,平面平面.證明:平面平面.【解析】證明：∵平面平面，平面平面,平面,平面.平面,.又四邊形是正方形,.平面,平面,平面.又平面,平面平面.特殊四邊形證明垂直【例1】如下圖所示,在三三棱柱中,底面是等邊三角形,側(cè)面為菱形,且平面平面,點(diǎn)為棱的中點(diǎn).證明:平面.【解析】證明：設(shè)的中點(diǎn)為與的交點(diǎn)為,連接,如下圖所示.由為的中點(diǎn)可得.又平面平面,平面平面,平面.又為的中點(diǎn),且.又且,且.因此四邊形為平行四邊形,且,平面.又四邊形為菱形,.又平面,平面,平面.【例2】如下圖所示,在直四棱柱中,底面是菱形,分別為的中點(diǎn).證明:平面.【解析】證明：如下圖所示,連接交于點(diǎn),連接.四邊形為菱形,且,為的中點(diǎn).為的中