2023屆高考數(shù)學二輪復習大題專講專練第23講存在性問題探究含解析

第23講存在性問題探究所謂存在性問題是指圓錐曲線中存在某個量（點、線或參數(shù)等）使得某個幾何關系成立，這種問題有兩種?？碱}型：題型一：存在點或者參數(shù)，使得某個量為定值．解題思路：這類問題的解題思路是運用參數(shù)無關性來消參，即存在某點使得某個量和所設的參數(shù)無關，從而得到定值．題型二：存在點在曲線上．解題思路：設出點，帶錐曲線方程，看方程是否有解．解決存在性問題的一些技巧：（1）特殊值（點）法：對于一些復雜的題目，可通過其中的特殊情況，解得所求要素的必要條件，然后再證明求得的要素也使得其他情況均成立．（2）假設法：先假設存在，推證滿足條件的結(jié)論．若結(jié)論正確，則存在；若結(jié)論不正確，則不存在．存在點使向量點積為定值【例1】過點作直線交于兩點，試問：在軸上是否存在一個定點，使為定值？若存在，求出這個定點的坐標．若不存在，請說明理由．【解析】（1）當直線不與軸重合時，可設直線的方程為：，，．聯(lián)立，整理得，則，．假設存在定點，使得為定值，當且僅當,即時,.(為定值),這時,(2)當直線與軸重合時,此時,滿足題意.∴存在定點,使得對于經(jīng)過點的任意一條直線均有(恒為定值).存在點使斜率的和或積為定值【例1】設直線經(jīng)過橢圓的右焦點且與交于不同的兩點,試問:在軸上是否存在點,使得直線與直線的斜率的和為定值?若存在,請求出點的坐標.若不存在,請說明理由.【解析】若存在滿足條件的點.(1)當直線的斜率存在時,設.聯(lián)立,消得.設,則 ∴要使對任意實數(shù)為定值,則只有,此時,.(2)當直線與軸垂直時,若,也有.故在軸上存在點,使得直線與直線的斜率的和為定值0.【例2】過點且斜率不為零的直線交橢圓于兩點,在軸上是否存在定點,使得直線的斜率之積為非零常數(shù)?若存在,求出定點的坐標.若不存在,請說明理由.【解析】依題意可設直線的方程為.聯(lián)立得∴,,則,.假設存在定點,使得直線,的斜率之積為非零常數(shù),則要使為非零常數(shù),當且僅當,解得,時,.時,.∴存在兩個定點和,使直線的斜率之積為常數(shù).當定點為時,直線的斜率之積為常數(shù).當定，點為時,直線的斜率乘積是.存在點使角度相等【例】1設過橢圓:右焦點的動直線與橢圓交于兩點,試問在軸上是否存在與點不重合的定點,使得恒成立?若存在,求出定點的坐標.若不存在,請說明理由.【解析】假設存在與不重合的定點,使得恒成立,設,且,,則即整理得.設直線.聯(lián)立,消去,整理得.,∴.∵.∴∴存在與不重合的定，點,使得恒成立,且，點坐標為【例2】過橢圓的右焦點作直線與橢圓交于不同的兩點,試問在軸上是否存在定點使得為坐標原點)?若存在,求出點的坐標.若不存在,說明理由.【解析】(1)當直線非軸時,可設直線的方程為,聯(lián)立得,整理得.由1),設,定點且,由韋達定理可得,.由,可知等價于,的斜率互為相反數(shù).,即,整理得.從而可得.,即,∴當,即時,(2)當直線為軸時,也符合題意.綜上,存在軸上的定點,滿足.存在點使等式恒成立【例1】過橢圓的左焦點的直線交橢圓于兩點,為坐標原點,問橢圓上是否存在點,使得?若存在,求出直線的方程.若不存在,請說明理由.【解析】(1)當直線的斜率不存在時,直線的方程為,聯(lián)立,得,或.則點或故此時橢圓上不存在這樣的點.(2)當直線的斜率時,此時橢圓上不存在符合題意的點,.(3)當直線的斜率不為0時,設,點.,直線的方程為.聯(lián)立,消去得,故.則.則點.又點在橢圓上,則有,整理得,解得.∴橢圓上存在點,使得,此時直線的方程為.【例2】已知動直線過橢圓右焦點,且與橢圓分別交于兩點.試問軸上是否存在定點,使得.恒成立?若存在求出點的坐標.若不存在,說明理由.【解析】(1)假設在軸上存在定點,使得.(1)當直線的斜率不存在時,則,,,由,解得或.(2)當直線的?率為0時,則,,由,解得或.由(1)(2)可得,即點的坐標為(2)當時,恒成立.當直線的斜率不存在或斜率為0時,由(1)知結(jié)論成立.當直線的斜率存在且不為0時,設其方程為,.直線與橢圓方程聯(lián)立得.直線經(jīng)過橢圓內(nèi)一點,一定與橢圓有兩個交點,且.綜上所述，在軸上存在點,使得恒成立.【例3】已知橢圓,過右焦點的直線交橢圓于兩點,若直線的斜率存在,在線段上是否存在點,使得,若存在,求出的范圍.若不存在,請說明理由.【解析】當直線的斜率存在時,設,直線的方程為,①又橢圓的方程為,②由①②可得,設的中點為,即.假設存在點,使得,即在的中垂線上,則,解得.當時,為橢圓長軸的兩個端點,則,點與原點重合.當時,.綜上所述,存在點且.【例4】過點作直線與拋物線交于不同的兩點,設的中點為,問曲線上是否存在一點,使得恒成立?如果存在,求出點的坐標.如果不存在,說明理由.【解析】由題意兩點在拋物線上,設點,點.設直線的方程為.聯(lián)立得設滿足條件的點存在,設.若拋物線上的點滿足,則點在以為直徑的圓上.即.∴由題意即是恒成立,可得.∴,∴拋物線上存在點,滿足【例】是否存在斜率為2的直線，使得當直線與橢圓有兩個不同交點時,能在直線上找到一點,在橢圓上找到一點,滿足?若存在,求出直線的方程.若不存在,請說明理由.【解析】設直線的方程為,設,的中點為,聯(lián)立,消去得,且故且.由,知四邊形為平行四邊形.而點,為線段的中點,因此點,為線段的中點,可得,又,可得,因此點,不在橢圓上,故不存在滿足題意的直線.存在性使線段關系式為定值【例1】橢圓的一個焦點到直線的距離為,離心率為,拋物線的焦點與橢圓的焦點重合,斜率為的直線過的焦點與交于,與交于.(1)求橢圓及拋物線的方程.(2)是否存在常數(shù),使得為常數(shù)?若存在,求出的值.若不存在,請說明理由.【解析】(1)設橢圓,拋物線的公共焦點為.∴橢圓.(2)設直線,.聯(lián)立聯(lián)立∵是焦點弦,若為常數(shù),則,【例2】在平面直角坐標系中,橢圓的離心率為,直線與軸交于點,與橢圓交于兩點,當直線垂直于軸且點為橢圓的右焦點時,弦的長為.(1)求橢圓的方程.(2)是否存在點,使得為定值?若存在,請求出點的坐標,并求出該定值.若不存在,請說明理由.【解析】(1)依題意可得,當與軸垂直且為橢圓右焦點時,為通徑.∴橢圓的方程為.(2)假設存在