浙江省杭州市臨安區(qū)2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期開學(xué)檢測數(shù)學(xué)試題（PDF版含答案）

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高二年級數(shù)學(xué)學(xué)科試題

考生須知：

1.本卷滿分150分，考試時間120分鐘；

2.答題前，在答題卷指定區(qū)域填寫班級、姓名、考場號、座位號及準(zhǔn)考證號并填涂相應(yīng)數(shù)

字；

3.所有答案必須答在答題卷上，寫在試卷上無效；

4.考試結(jié)束后，只需上交答題卷.

一.選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項

是符合題目要求的。

1．在空間四邊形OABC中，OAABBC等于（）

A．OAB．ABC．OCD．AC

2.直線3x2y10的一個方向向量是（）

A.2,3B.2,3C.3,2D.3,2

3．已知命題p：直線ax3y40與xa2y20平行，命題q:a3，則q是p的

（）

A．充分不必要條件B．必要不充分條件

C．充要條件D．既不充分也不必要條件

4．若平面，的法向量分別為n11,3,5，n21,1,4，則（）

A．//B．C．，相交但不垂直D．以上均不正確

5．向量p在基底a,b,c下的坐標(biāo)為(1,2,3)，則p在基底ab,bc,ca下的坐標(biāo)為（）

A．(0,1,2)B．(0,2,1)C．(2,1,0)D．(1,2,1)

6．與直線2x3y60關(guān)于點1,1對稱的直線方程是（）

A．3x2y20B．2x3y70C．3x2y120D．2x3y80

7．已知四棱錐PABCD的底面為正方形，PA平面ABCD，PAAB1，點E是BC的

中點，則點E到直線PD的距離是（）

A5B5．．C232．D．

4224

8．已知x,yR，滿足2xy2，則xx2y2的最小值為（）

{#{ABKQogAoABIAAQhCXACEAQkBAAAKoGhEAIIAABwQFABAA=}#}

48

ABC1D12．．．．

553

二．選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項中，有多項

符合題目要求。全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分。

9．a(chǎn),b,c是空間的一個基底，與ab、ac構(gòu)成基底的一個向量可以是（）

A．bcB．bcC．bD．3ab2c

10．已知直線l:kx2y4k10，則下列表述正確的是（）

A．當(dāng)k2時，直線的傾斜角為45

1

B．當(dāng)實數(shù)k變化時，直線l恒過點4,

2

C．當(dāng)直線l與直線x2y40平行時，則兩條直線的距離為1

D．直線l與兩坐標(biāo)軸正半軸圍成的三角形面積的最小值為4

11．在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中，A1,0,0，B1,2,2，C2,3,2，則（）

A

．OCAB12B．AB23

C．異面直線OC與AB36所成角的余弦值為D．點O到直線AB的距離是

43

12．對于兩點A(x1,y1)，B(x2,y2)，定義一種“距離”：ABx1x2y1y2，則（）

A．若點C是線段AB的中點，則AB2AC

222

B．在ABC中，若C90，則ACCBAB

C．在ABC中，ACCBAB

D．在正方形ABCD中，有ABBC

三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分。

13．已知向量a1,2,3，b1,x,0，且ab，則x．

14．已知空間向量a(1,0,1)

，b(2,1,2)，則向量b在向量a上的投影向量是__________．

15．點0,1到直線ykx2的距離的最大值是．

16．A是直線l:y3x上的第一象限內(nèi)的一點，B3,2為定點，直線AB交x軸正半軸于點C，

當(dāng)AOC面積最小時，點A的坐標(biāo)是__________．

{#{ABKQogAoABIAAQhCXACEAQkBAAAKoGhEAIIAABwQFABAA=}#}

四．解答題：本題共5小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17．平行六面體ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD是邊長為1的正方形，側(cè)棱AA12，且

A1ADA1AB60

，M為BD中點，P為BB1中點，設(shè)AB=a，ADb，AA1c；

(1)用向量a，b，c表示向量PM；(2)求線段PM的長度．

18．設(shè)復(fù)數(shù)zabi48ia，bR)，i為虛數(shù)單位，且滿足|z|z．

i

（1）求復(fù)數(shù)z；（2）復(fù)數(shù)z是關(guān)于x的方程x2pxq0的一個根，求實數(shù)p，q的值．

19．如圖，面積為8的平行四邊形ABCD，A為原點，點B的坐標(biāo)為(2,-1)，點C，D在第

一象限．

(1)求直線CD的方程；(2)若BC13，求點D的橫坐標(biāo)．

{#{ABKQogAoABIAAQhCXACEAQkBAAAKoGhEAIIAABwQFABAA=}#}

20.已知在ABCccosC中，a，b，c分別是內(nèi)角A，B，C所對的邊，且．

2bacosA

（1）求C；

（2）若acosBbcosA2，且ABC為銳角三角形，求ABC面積的取值范圍．

21．如圖，四棱錐PABCD中，側(cè)面PAD為等邊三角形且垂直于底面ABCD，四邊形ABCD

為梯形，AD2BC，BADABC90.

(1)若M為PA的中點，求證：BM//平面PCD；

(2)若直線PC與平面PAB15所成角的正弦值為，求平面PAB與平面PCD所成銳二面角的

10

余弦值.

22.已知函數(shù)fxa2x1x12x1，

（1）當(dāng)a1時，求fx的單調(diào)遞減區(qū)間；

（2）若fx有三個零點x1，x2，x3，且x1x2x3，

111

求證：①x

a3

②axx1.

ax213；

{#{ABKQogAoABIAAQhCXACEAQkBAAAKoGhEAIIAABwQFABAA=}#}臨安區(qū)2022學(xué)年第二學(xué)期高一年級數(shù)學(xué)學(xué)科答案

班級:_________姓名：_____________學(xué)號：_______

一.選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項

是符合題目要求的。

1．在空間四邊形OABC中，OAABBC等于（）

A．OAB．ABC．OCD．AC

【答案】C

2.直線3x2y10的一個方向向量是（）

A.2,3B.2,3C.3,2D.3,2

【答案】A

3．已知命題p：直線ax3y40與xa2y20平行，命題q:a3，則q是p的

（）

A．充分不必要條件B．必要不充分條件

C．充要條件D．既不充分也不必要條件

【答案】A

4．若平面，的法向量分別為n11,3,5，n21,1,4，則（）

A．//B．C．，相交但不垂直D．以上均不正確

【答案】C

pa,b,c

5．已知向量在基底下的坐標(biāo)為(1,2,3)p，則在基底ab,bc,ca下的坐標(biāo)為

（）

A．(0,1,2)B．(0,2,1)C．(2,1,0)D．(1,2,1)

【答案】B

6．與直線2x3y60關(guān)于點(1,-1)對稱的直線方程是（）

A．3x2y20B．2x3y70C．3x2y120D．2x3y80

【答案】D

7．已知四棱錐PABCD的底面為正方形，PA平面ABCD，PAAB1，點E是BC的

中點，則點E到直線PD的距離是（）

A5B5232．．C．D．

4224

{#{ABKQogAoABIAAQhCXACEAQkBAAAKoGhEAIIAABwQFABAA=}#}

【答案】D

8．已知x,yR，滿足2xy2，則xx2y2的最小值為（）

48

ABC1D12．．．．

553

【答案】B

二．選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項中，有多項

符合題目要求。全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分。

9．a(chǎn),b,c是空間的一個基底，與ab、ac構(gòu)成基底的一個向量可以是（）

A．bcB．bcC．bD．3ab2c

【答案】AC

10．已知直線l:kx2y4k10，則下列表述正確的是（）

1

A．當(dāng)k2時，直線的傾斜角為45B．當(dāng)實數(shù)k變化時，直線l恒過點4,

2

C．當(dāng)直線l與直線x2y40平行時，則兩條直線的距離為1

D．直線l與兩坐標(biāo)軸正半軸圍成的三角形面積的最小值為4

【答案】ABD

11．在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中，A1,0,0，B1,2,2，C2,3,2，則（）

A

．OCAB12B．AB23

C36．異面直線OC與AB所成角的余弦值為D．點O到直線AB的距離是

43

【答案】BD

12．對于兩點A(x1,y1)，B(x2,y2)，定義一種“距離”：ABx1x2y1y2，則（）

A．若點C是線段AB的中點，則AB2AC

222

B．在ABC中，若C90，則ACCBAB

C．在ABC中，ACCBAB

D．在正方形ABCD中，有ABBC

【答案】ACD

{#{ABKQogAoABIAAQhCXACEAQkBAAAKoGhEAIIAABwQFABAA=}#}

三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分。

13．已知向量a1,2,3，b1,x,0，且ab，則x．

1

【答案】

2

14．已知空間向量a(1,0,1)

，b(2,1,2)，則向量b在向量a上的投影向量是__________．

【答案】(2,0,2)

15．點0,1到直線ykx2的距離的最大值是．

【答案】5

16．A是直線l:y3x上的第一象限內(nèi)的一點，B3,2為定點，直線AB交x軸正半軸于點C，

當(dāng)AOC面積最小時，點A的坐標(biāo)是__________．

4

【答案】,4

3

四.解答題：本題共5小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17．平行六面體ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD是邊長為1的正方形，側(cè)棱AA12，且

A1ADA1AB60，M為BD中點，P為BB1中點，設(shè)AB=a，ADb，AA1c；

(1)用向量a，b，c表示向量PM；(2)求線段PM的長度．

【答案】（1）因為M為BD中點，P為BB1中點，AB=a，ADb，AA1c，

1111111

所以PMPBBMB1BBDBB1(ADAB)ADABBB22222221

1

(ADABAA1)

1

(bac)；

22

（2）因為平行六面體ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD是邊長為1的正方形，側(cè)棱AA12，

{#{ABKQogAoABIAAQhCXACEAQkBAAAKoGhEAIIAABwQFABAA=}#}

且A1ADA1AB60，

所以ab1，c2，ab0,acbc12

1

1，

2

2

PM=1

22213

所以(b

1

ac)2(bac2ab2bc2ac)(114022)

4442

6

所以PM，即線段PM6長為.

22

18zabiabR)i|z|z48i．設(shè)復(fù)數(shù)，，為虛數(shù)單位，且滿足．

i

（1）求復(fù)數(shù)z；（2）復(fù)數(shù)z是關(guān)于x的方程x2pxq0的一個根，求實數(shù)p，q的值．

【答案】（1）設(shè)zabi(a，bR)，

|z|za2b2abi4+8i）i)84i84i，

i)i)1

a2b2a8a3

，即，z34i；

b4b4

（2）z34i是方程的一個解，

它的共軛復(fù)數(shù)z34i也是方程的一個解，

根據(jù)韋達定理：

p34i34i6

，

q34i)34i)25

p6，q25．

19．如圖，面積為8的平行四邊形ABCD，A為原點，點B的坐標(biāo)為(2,-1)，點C，D在第

一象限．

(1)求直線CD的方程；(2)若BC13，求點D的橫坐標(biāo)．

【答案】（1）因為四邊形ABCD是平行四邊形，

1

所以AB//CD，則kCDkAB．2

{#{ABKQogAoABIAAQhCXACEAQkBAAAKoGhEAIIAABwQFABAA=}#}

1

設(shè)直線CD的方程為yxm（m0），即x2y2m0．

2

8

因為平行四邊形ABCD的面積為8，AB5，故AB與CD之間的距離為．

5

2m8

由題圖知：直線AB的方程為x2y0，于是，解得m4．

12225

由C，D在第一象限知：m0，所以m4，

故直線CD的方程為x2y80．

（2）設(shè)點D的坐標(biāo)為a,b，由BC13，則AD13．

6

a2b80

a

5a26

所以22，解得或b3，故點D的橫坐標(biāo)為或

2．

ab13b175

5

20.已知在ABCccosC中，a，b，c分別是內(nèi)角A，B，C所對的邊，且．

2bacosA

（1）求C；

（2）若acosBbcosA2，且ABC為銳角三角形，求ABC面積的取值范圍．

ccosCsinCcosC

【答案】（1）由及正弦定理得，

2bacosA2sinBsinAcosA

∴sinCcosA2sinBcosCsinAcosC，即sin(AC)2sinBcosC，

1

∴sinB2sinBcosC．∵sinB0，∴cosC，

2

π

∵0Cπ，∴C．

3

（2）設(shè)ABC的外接圓半徑為R．

∵acosBbcosA2，∴2RsinAcosB2RsinBcosA2，即2RsinC2c．

ba2

由正弦定理可得sinBsinA3，

2

4343

∴asinA，bsinB43sin2πA

3333

．

∴ABC1的面積SabsinC3ab43sinAsin2πA

2433

{#{ABKQogAoABIAAQhCXACEAQkBAAAKoGhEAIIAABwQFABAA=}#}

43

sinA3cosA

1

sinA43311

322

sin2Acos2A

3444

23

sin2A

π3

．363

∵π2πABC是銳角三角形，∴0A，0Aπππ，∴A，

23262

ππ5π1π23

∴2A，∴sin2A1，∴S,3，666263

23

即銳角ABC面積的取值范圍是,3．

3

21．如圖，四棱錐PABCD中，側(cè)面PAD為等邊三角形且垂直于底面ABCD，四邊形ABCD

為梯形，AD2BC，BADABC90.

(1)若M為PA的中點，求證：BM//平面PCD；

(2)若直線PC與平面PAB15所成角的正弦值為，求平面PAB與平面PCD所成銳二面角的

10

余弦值.

【答案】（1）取PD中點N，連接MN,CN，

{#{ABKQogAoABIAAQhCXACEAQkBAAAKoGhEAIIAABwQFABAA=}#}

M,N分別為PA,PD

1

中點，MN//AD，MNAD，

2

BADABC90

1

，BC//AD，又BCAD，

2

BC//MN，BCMN，四邊形BCNM為平行四邊形，BM//CN，

BM平面PCD，CN平面PCD，BM//平面PCD.

（2）取AD中點O，連接PO,CO，

1AO//BC，AOBCAD，四邊形ABCO為平行四邊形，

2

又BAD90，COA90，即COAD；

QVPAD為等邊三角形，POAD，

又平面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，PO平面PAD，

PO平面ABCD；

則以O(shè)為坐標(biāo)原點，OC,OD,OP正方向為x,y,z軸，可建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，

設(shè)ABmm0，BC1，則A0,1,0，Bm,1,0，Cm,0,0，P0,0,3，D0,1,0，

AP0,1,3，ABm,0,0，PD0,1,3，PCm,0,3，

設(shè)平面PAB的法向量nx,y,z，

AP

ny3z0

則，令z1，解得：x0，y3，n0,3,1，

ABnmx0

PCn315

cosPC,n，解得：m2，PC2,0,3；

PCn2m2

310

設(shè)平面PCD的法向量ma,b,c，

{#{ABKQogAoABIAAQhCXACEAQkBAAAKoGhEAIIAABwQFABAA=}#}

PCm2a3c0

則，令c2，解得：a3，b6，m3,6,2；

PDmb3c0

mn

cosm,n222