湖南省永州市耀祥中學高二數學文期末試題含解析

湖南省永州市耀祥中學高二數學文期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.命題：“若，則”的逆否命題是(

)A若則

B

若，則C若，則

D

若，則參考答案：D2.在區(qū)間[-1，1]上隨機取一個數，則的值介于0到之間的概率為

(

)A.

B.

C.

D.

參考答案：A略3.函數y=sin3x在（，0）處的切線斜率為（）A．﹣1 B．1 C．﹣3 D．3參考答案：C【考點】利用導數研究曲線上某點切線方程．【專題】對應思想；分析法；導數的概念及應用．【分析】求出函數的導數，由導數的幾何意義，結合特殊角的三角函數值，可得切線的斜率．【解答】解：函數y=sin3x的導數為y′=3cos3x，可得在（，0）處的切線斜率為3cosπ=﹣3，故選：C．【點評】本題考查導數的運用：求切線的斜率，考查導數的幾何意義，求出導數是解題關鍵，屬于基礎題．4.已知數列{}，若點

（）在經過點的定直l上，則數列{}的前9項和=(

)A.9

B.

10

C.18

D.27參考答案：D略5.已知二項式的展開式中的系數為，則的值為（

）A．

B．

C.

D．參考答案：B6.設，則的解集為(

)A. B.C. D.參考答案：C7.若a＞1，則的最小值是（）A．2 B．a C．3 D．參考答案：C【考點】基本不等式．【分析】將變形，然后利用基本不等式求出函數的最值，檢驗等號能否取得．【解答】解：因為a＞1，所以a﹣1＞0，所以=當且僅當即a=2時取“=”故選C8.給出下列四個不等式：①當x∈R時，sinx+cosx>–；②對于正實數x，y及任意實數α，有xsin

2

α

·ycos2

α

<x+y；③x是非0實數，則|x+|≥2；④當α，β∈(0，)時，|sinα–sinβ|≤|α–β|。在以上不等式中不成立的有（

）（A）0個

（B）1個

（C）2個

（D）3個參考答案：A9.如圖，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=2,AA1=1,則BC1與平面BB1D1D所成角的正弦值為A.

B.

C.

D.參考答案：D10.從甲、乙、丙三人中任選兩名代表，甲被選中的概率為（

）

A．

B．

C．

D．1參考答案：A二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知向量=（0，﹣1，1），=（4，1，0），|λ+|=且λ＞0，則λ=

．參考答案：3【考點】平面向量數量積的運算．【分析】根據所給的向量坐標寫出要求模的向量坐標，用求模長的公式寫出關于變量λ的方程，解方程即可，解題過程中注意對于變量的限制，把不合題意的結果去掉．【解答】解：∵=（0，﹣1，1），=（4，1，0），∴λ+=（4，1﹣λ，λ），∴16+（λ﹣1）2+λ2=29（λ＞0），∴λ=3，故答案為：3．12.過雙曲線﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦點F作一條直線，當直線傾斜角為時，直線與雙曲線左、右兩支各有一個交點，當直線傾斜角為時，直線與雙曲線右支有兩個不同的交點，則雙曲線離心率的取值范圍為

．參考答案：（，2）【考點】雙曲線的簡單性質．【分析】要使直線與雙曲線的右支有兩個交點，需使雙曲線的其中一漸近線方程的斜率小于直線的斜率，即＜tan60°=，求得a和b的不等式關系，進而根據b=，化成a和c的不等式關系，求得離心率的一個范圍；再由當直線傾斜角為時，直線與雙曲線左、右兩支各有一個交點，可得＞tan30°=，同樣可得e的范圍，最后綜合可得求得e的范圍．【解答】解：當直線傾斜角為時，直線與雙曲線右支有兩個不同的交點，需使雙曲線的其中一漸近線方程的斜率小于直線的斜率，即＜tan60°=，即b＜a，∵b=∴＜a，整理得c＜2a，∴e=＜2；當直線傾斜角為時，直線與雙曲線左、右兩支各有一個交點，可得＞tan30°=，即有b＞a，由＞a，整理得c＞a，∴e=＞．綜上可得＜e＜2．故答案為：（，2）．13.（5分）已知扇形OAB，點P為弧AB上異于A，B的任意一點，當P為弧AB的中點時，S△OAP+S△OBP的值最大．現有半徑為R的半圓O，在圓弧MN上依次取點（異于M，N），則的最大值為

．

參考答案：=，設∠MOP1=θ1，∠P1OP2=θ2，…，．則．∵0＜θi＜π，∴sinθi＞0，猜想的最大值為．即?sinθ1+sinθ2+…+≤（）．下面用數學歸納法證明：（1）當n=1時，由扇形OAB，點P為弧AB上異于A，B的任意一點，當P為弧AB的中點時，S△OAP+S△OBP的值最大，可知成立．（2）假設當n=k（k∈N*）時，不等式成立，即sinθ1+sinθ2+…+≤．成立．（θ1+θ2+…+，θi＞0）則當n=k+1時，左邊=即sinθ1+sinθ2+…+++…+∵，當且僅當θi=θi+1時取等號．∴左邊++…+==右邊，當且僅當θi=θi+1（i∈N*，且1≤i≤2k+1﹣1）時取等號．即不等式對于?n∈N*都成立．故答案為．利用三角形的面積計算公式和數學歸納法即可得出．14.如圖，直線是曲線在處的切線，則的值是_________參考答案：615.數列的前項和，則通項公式

。參考答案：略16.已知向量=（2m+1，3，m﹣1），=（2，m，2），且∥，則實數m的值等于．參考答案：﹣2【考點】共線向量與共面向量．【分析】根據向量共線得出方程組解出m．【解答】解：∵∥，∴=k，∴，解得k=﹣，m=﹣2．故答案為﹣2．17.已知函數f(x)＝lnx－f′()x2＋3x－4，則f′(1)＝________．參考答案：－1根據題意，函數f(x)＝lnx－f′()x2＋3x－4，

其導數，令，令，則即答案為－1.

三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.解不等式：≤x﹣1．參考答案：【考點】其他不等式的解法．【專題】計算題；轉化思想；分析法；不等式的解法及應用．【分析】原不等式轉化為x+1）（x﹣1）（x﹣3）≥0，且x≠1，再用穿根法求得它的解集．【解答】解：≤x﹣1∴﹣（x﹣1）≤0，∴≤0，∴≤0，∴（x+1）（x﹣1）（x﹣3）≥0，且x≠1，利用穿根法，如圖，解得x≥3或﹣1≤x＜1，∴不等式的解集為{x|x≥3或﹣1≤x＜1}．【點評】本題主要考查用穿根法求分式不等式、高次不等式，體現了轉化、數形結合的數學思想，屬于基礎題．19.已知函數f（x）=x3﹣x2+x+2．（1）求曲線f（x）在點（1，f（1））處的切線方程；（2）求經過點A（1，3）的曲線f（x）的切線方程．參考答案：【考點】利用導數研究曲線上某點切線方程．【分析】（1）求出f（x）的導數，可得切線的斜率和切點，運用點斜式方程可得所求切線的方程；（2）設切點為（m，n），代入f（x），求得切線的斜率和方程，代入點A（1，3），解m的方程可得m=0或1，即可得到所求切線的方程．【解答】解：（1）函數f（x）=x3﹣x2+x+2的導數為f′（x）=3x2﹣2x+1，可得曲線f（x）在點（1，f（1））處的切線斜率為3﹣2+1=2，切點為（1，3），即有曲線f（x）在點（1，f（1））處的切線方程為y﹣3=2（x﹣1），即為2x﹣y+1=0；（2）設切點為（m，n），可得n=m3﹣m2+m+2，由f（x）的導數f′（x）=3x2﹣2x+1，可得切線的斜率為3m2﹣2m+1，切線的方程為y﹣（m3﹣m2+m+2）=（3m2﹣2m+1）（x﹣m），由切線經過點（1，3），可得3﹣（m3﹣m2+m+2）=（3m2﹣2m+1）（1﹣m），化為m（m﹣1）2=0，解得m=0或1．則切線的方程為y﹣2=x或y﹣3=2（x﹣1），即為y=x+2或y=2x+1．20.已知函數（a，b為常數）且方程f(x)－x+12=0有兩個實根為x1=3,x2=4.（1）求函數f(x)的解析式；（2）設，解關于x的不等式；．參考答案：解：（1）將，得（2）不等式即為，即①當②當③．略21.已知平面直角坐標系上一動點P(x，y)到點A(－2,0)的距離是點P到點B(1,0)的距離的2倍.（Ⅰ）求點P的軌跡方程：（Ⅱ）若點P與點Q關于點(－1,4)對稱，求P、Q兩點間距離的最大值；（Ⅲ）若過點A的直線l與點P的軌跡C相交于E、F兩點，M(2,0)，則是否存在直線l，使S△EFM取得最大值，若存在，求出此時l的方程，若不存在，請說明理由.參考答案：解（Ⅰ）由已知

即（Ⅱ）設，因為點與點關于點對稱，則點坐標為點在圓上運動，點的軌跡方程為即：（Ⅲ）由題意知的斜率一定存在，設直線的斜率為，且，，則聯立方程又直線不經過點，則點到直線的距離，當時，取得最大值2，此時，直線的方程為或

22.如圖1，在三棱錐P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，AC⊥BC，D為側棱PC上一點，它的正（主）視圖和側（左）視圖如圖2所示．（1）證明：AD⊥BC；（2）求三棱錐D﹣ABC的體積．參考答案：【考點】棱柱、棱錐、棱臺的體積；由三視圖求面積、體積．【分析】（1）先證明BC⊥平面PAC，再證明AD⊥平面PBC，進而可得AD⊥BC；（2）三棱錐D﹣ABC的體積即為三棱錐B