函數(shù)性質(zhì)與導(dǎo)數(shù)(有答案)

姓名年級(jí)性別學(xué)校學(xué)科教師上課日期上課時(shí)間課題21函數(shù)性質(zhì)與導(dǎo)數(shù)一、函數(shù)單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)1.函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)正負(fù)的關(guān)系定義在區(qū)間3，b)內(nèi)的函數(shù)y=f(x)： f(X)的正負(fù) f(X)的單調(diào)性f'(X)>0 一 單調(diào)遞增 f'(X)<0 單調(diào)遞減 2.函數(shù)圖象的變化趨勢(shì)與導(dǎo)數(shù)值大小的關(guān)系一般地，設(shè)函數(shù)y=f(x),在區(qū)間3，b)上導(dǎo)數(shù)的絕對(duì)值函數(shù)值變化 函數(shù)的圖象 越大一快一比較“陡峭”(向上或向下) 越小 慢 比較“平緩”(向上或向下) 類型一利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性［例1］已知/(x)是函數(shù)y=fX)的導(dǎo)函數(shù)，若y=f'(X)的圖象如圖所示，則函數(shù)y=fX)的圖象可能是()即函數(shù)f(x)在(一∞,D0)上為增函數(shù)；當(dāng)0<x<2時(shí),,f'(x)<0,即函數(shù)f(x)在(0,2)上為減函數(shù)；當(dāng)x>2時(shí)，f'(x)>0,即函數(shù)f(x)在(2,+∞)上為增函數(shù).觀察選項(xiàng)易知D正確. 【答案】D方法歸納通過(guò)圖象研究函數(shù)單調(diào)性的方法：(1)觀察原函數(shù)的圖象重在找出“上升”“下降”產(chǎn)生變化的點(diǎn)，分析函數(shù)值的變化趨勢(shì)；(2)觀察導(dǎo)函數(shù)的圖象重在找出導(dǎo)函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)，分析導(dǎo)數(shù)的正負(fù).特別提醒：函數(shù)的正負(fù)與導(dǎo)數(shù)的正負(fù)沒(méi)有關(guān)系.跟蹤訓(xùn)練1設(shè)函數(shù)f(x)在定義域內(nèi)可導(dǎo)，y=f(x)的圖象如圖所示，則導(dǎo)函數(shù)y=f(x)可能為(),解析：由函數(shù)f(X)的圖象知f(x)在(一8,0)上單調(diào)遞增，.?.f(x)>0

個(gè)單調(diào)區(qū)間，故排除B,故選D.答案：D故排除A、C.又f(x)在(0,+∞)上有三類型二利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間［例2］求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.(Ifx)=x3—2X2+X； (2fX)=3X2—2lnx.【解析】(1)函數(shù)的定義域?yàn)镽,因?yàn)閒(x)=x3—2x2+x,所以f'(x)=3x2—4x+1.令f'(x)>0,解得X>1或X<1.因此f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(一1OO-，3,(1,+∞).1令f'(x)<0,解得1<X<1.因此f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是6，1).2(2)函數(shù)的定義域?yàn)?0,+∞),f'(%)=6%一—=2?

%3%2-1%令f'(%)>0,即2?3%2-1>0,解得%>￥；令f(%)<0,即2?3%2-13<0,解得0<%<W^.所以f(%)的單調(diào)遞增區(qū)間為、3單調(diào)遞減區(qū)間為［0,%%,+∞,方法歸納求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的步驟求函數(shù)定叉域?及「的解rWAar(.中出并與定義城求交集翱定單調(diào)區(qū)間［注意］①求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，必須在函數(shù)的定義域內(nèi)進(jìn)行.②函數(shù)的單調(diào)區(qū)間之間只能用“和”或“，”隔開(kāi)，不能用符號(hào)“u”連接.跟蹤訓(xùn)練2求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間:e%(^)f(%)=%—2；(2f%)=-%3+3%2.解析：(1)函數(shù)f(%)的定義域?yàn)?一∞,2)∪(2,+∞).f'(X)=e%(X—2)—e%e%(X—3)(X—2)2 (X—2)2.因?yàn)?￡(—8,2)∪(2,+8),所以e%>0,(%—2)2>0.由f'(%)>0,解得%>3,所以函數(shù)f(%)的單調(diào)遞增區(qū)間為(3,+∞);由f'(%)<0,解得%<3,又%￡(—8,2)∪(2,+8),所以函數(shù)f(%)的單調(diào)遞減區(qū)間為(-8,2)和(2,3).(2)函數(shù)f(X)的定義域?yàn)镽f'(%)=—3%2+6%=—3%(%—2).當(dāng)0<%<2時(shí)，f'(%)>0,所以函數(shù)f(%)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,2);當(dāng)%<0或%>2時(shí)，f'(%)<0,所以函數(shù)f(%)的單調(diào)遞減區(qū)間為(一8,0)和(2,+∞).二、函數(shù)極值與導(dǎo)數(shù)1.求函數(shù)y=f(X)的極值的方法解方程f(%)=0,當(dāng)f'(%0)=0時(shí)，(1)如果在%0附近的左側(cè)f(%)>0，右側(cè)f(%)<0(2)如果在%0附近的左側(cè)f(%)<0，右側(cè)f(%)>0,那么f(%0)是極大值.那么f(%0)是極小值.,類型一求函數(shù)的極值點(diǎn)和極值［例1］求下列函數(shù)的極值. (IfX)=%2+1—2(2f%)=%2e-%.【解析】(1)函數(shù)f(%)的定義域?yàn)镽f'(%)=2(X2+1)-4X2 2(X—1)(X+1)(X2+1)2:令f'(%)=0,得%=—1或%=1.(X2+1)2當(dāng)%變化時(shí)，f'(%),f(%)的變化情況如下表:(-8,一1)-1<—1,1>1(1.+∞)/G>O+O/Cr)極小W苣一3極大值一1由上表可以看出，當(dāng)%=—1時(shí)，函數(shù)有極小值，且極小值為f(—1)=—3;當(dāng)%=1時(shí)，函數(shù)有極大值，且極大值為f(1)=—1.(2)函數(shù)f(%)的定義域?yàn)镽f′(%)=2%e—%—%2e-%=%(2—%)e—%. 令f'(X)=0,得%=0或%=2.當(dāng)％變化時(shí)，f(%),f(%)的變化情況如下表：JC(-8.3O(0,2)Ξ⑵+2/(?)—O+O——/(?)規(guī)小值O極大值4e?4

由表可以看出，當(dāng)％=0時(shí)，函數(shù)有極小值，且極小值為八0)=0.當(dāng)％=2時(shí)，函數(shù)有極大值，且極大值為f(2)=—.e2方法歸納求可導(dǎo)函數(shù)f(x)極值的步驟(1)求導(dǎo)數(shù)f(x).(2)求方程f(x)=0的根.(3)檢測(cè)f(x)在方程根左右的值的符號(hào)，如果左正右負(fù)，那么f(x)在這個(gè)根處取得極大值；如果左負(fù)右正，

那么f(x)在這個(gè)根處取得極小值.3跟蹤訓(xùn)練1求函數(shù)的極值：f(x)=X+3lnx.一.3 . .. . 333(.x-D.. 一解析：函數(shù)f(x)=~+3lnx的定義域?yàn)?0,+∞),f(x)=--+^= ，令f(x)=0得X=1.X x2X X2當(dāng)X變化時(shí)，f'(X),f(X)的變化情況如下表：?C0Λ)L(1,一8)r⑺—0+/t?)極小值Z因此當(dāng)X=1時(shí)，f(X)有極小值3.無(wú)極大值.類型二已知函數(shù)極值求參數(shù)值［例2］已知函數(shù)f(x)=6lnx—ax2—8X+b(a，b為常數(shù))，且X=3為f(x)的一個(gè)極值點(diǎn).(1)求a的值；(2)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間6【解析】 (1).f(x)=—2ax-8,..f'(3)=2-6a—8=0,解得a=-1. x(2)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0,+∞).由(1)知f(x)=6lnx+X2-8X+b..*.f'(x)=6+2X-8=區(qū)“~~飄十".’ "、’X X由f(x)>0可得x>3或0<x<1,由f(x)<0可得1<x<3(x<0舍去)..函數(shù)fx)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,1)和(3,+∞),單調(diào)遞減區(qū)間為(1,3).方法歸納已知函數(shù)極值求參數(shù)的值(1)根據(jù)極值點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)為0和極值這兩個(gè)條件列方程組，利用待定系數(shù)法求解.(2)因?yàn)閷?dǎo)數(shù)值等于零不是此點(diǎn)為極值點(diǎn)的充要條件，所以利用待定系數(shù)法求解后必須驗(yàn)證根的合理性.跟蹤訓(xùn)練2已知函數(shù)fx)=x3+ax2+bx+c,當(dāng)x=—1時(shí)，取得極大值7；當(dāng)X=3時(shí)，取得極小值.求這個(gè)極小值及a,b,c的值.解析：f′(x)=3x2+2ax+b.據(jù)題意，一1,3是方程3X2+2ax+b=0的兩個(gè)根，UQ 2aJ-1+3=-手由根與系數(shù)的關(guān)系得 .a=—3,b=—9..*.fx)=x3—3X2—9X+c.,、b

l(-1)×3=3,.f(-1)=7,.C=2,極小值f(3)=33-3×32-9×3+2=-25..極小值為一25,a=—3,b=—9,c=2.課后練習(xí)：.函數(shù)y=(X2-1)3+1的極值點(diǎn)是( )A.極大值點(diǎn)％=—1B.極大值點(diǎn)％=0 C.極小值點(diǎn)％=0 D.極小值點(diǎn)％=1解析：y'=6%(%2-1)2=0有三個(gè)根，％1=-1,%2=0,%3=1,由解y'>0得％>0;由解y'<0得％<0,只有％=0是極小值點(diǎn)，故選C.答案：C.函數(shù)y=%3—3%的單調(diào)減區(qū)間是()A. (—8, 0) B.(0,+∞) C.(—1,1) D.(—8,—1),(1,+∞)解析：y' =3%2—3,由y'=3%2—3<0 得一1<%<1, .?.函數(shù)y=%3—3%的單調(diào)減區(qū)間是(一1,1).答案：C.y=%ln%在(0,5)上的單調(diào)性是()A.單調(diào)遞增 B.單調(diào)遞減c.在(0,e)上單調(diào)遞減，在@,5)上單調(diào)遞增d.在(0,d上單調(diào)遞增，在g,5)上單調(diào)遞減解析：函數(shù)的定義域?yàn)?0,+∞).因?yàn)閥'=ln%+1,令y'>0,得%>(；令y′<0,得%<1.所以函數(shù)y=%ln%在(0,J上遞減，在(；，5)上遞增.答案：C.函數(shù)f(%)=(%—3)e%的單調(diào)遞增區(qū)間是 .解析：f'(%)=(X—3)'e%+(X—3)(e%)′=(%一2)e%,令f(X)>0,解得%>2.答案：(2,十∞).已知函數(shù)f(%)=%3+a%2+(a+6)%+1有極大值和極小值，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A.—1<a<2 B.—3<a<6 C.a<—3或a>6 D.a<—1或a>2解析：由題意知f'(%)=3%2+2a%+(a+6)=0有兩個(gè)不相等的根，所以Δ>0,解得a>6或a<—3.故選C.答案：C.函數(shù)f(%)=%3—3%2+1的極小值點(diǎn)為.解析：由f'(%)=3%2—6%=0,解得%=0或%=2.列表如下：?(―OStQ)O(0⑵2(2,+∞)+OO+f(jT)攝大值極小值Z???當(dāng)%=2時(shí)，f(%)取得極小值. 答案：2三、函數(shù)最值與導(dǎo)數(shù).函數(shù)y=f(%)在閉區(qū)間［a,b］上的最值(1)能夠取得最值的前提條件：在區(qū)間［a,b］上函數(shù)y=f(%)的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線.(2)函數(shù)的最值必在極值點(diǎn)或端點(diǎn)處取得..求函數(shù)y=f(%)在［a,b］上的最值的步驟(1)求函數(shù)y=f(%)在(a,b)內(nèi)的極值;(2)將函數(shù)y=f(%)的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值f(a),f(b)比較，其中最大的一個(gè)是最大值，最小的一個(gè)是最小值.類型一求函數(shù)的最值[例1]求下列函數(shù)的最值：(1)fX)=2%3—12%,%∈L2,3];(2)f%)=2X+sin%,%∈[0,2π].【解析】(1)f%)=2%3—12%，所以f'(%)=6%2—12=6(%+?∕2)(%—J2).令f(%)=0,解得%=—也或%=、「.因?yàn)閒(—2)=8,f(3)=18,f(<2)=—8√2,f(—■：∕2)=8√2;所以當(dāng)%=\：2時(shí)，f(%)取得最小值一8√2;當(dāng)%=3時(shí)，f(%)取得最大值18.(2f'(%)=2+cos%，令f(%)=0,又%∈[0,2π]，解得%=3π或4

%=3π.計(jì)算得f(0)=0,f(2π)=π,√32.所以當(dāng)%=0時(shí)，f(X)有最小值f(0)=0;當(dāng)%=2π時(shí)，f(%)有最大值f(2π)=π.方法歸納求函數(shù)最值的四個(gè)步驟第一步，求函數(shù)的定義域.第二步，求f(X),解方程f(X)=0.第三步，列出關(guān)于X,f(X),f(x)的變化表.第四步，求極值、端點(diǎn)處的函數(shù)值，確定最值.——一,… X-1…一…跟蹤訓(xùn)練1求函數(shù)f(X)=-e^-的最值.X—1 1?eX—eX(X—1)2—X解析：函數(shù)f(x)=~~^的的定義域?yàn)閄∈Rf(X)= (eX)2 =~e1,當(dāng)f'(X)=0時(shí)，X=2,當(dāng)f'(X)>0時(shí)，X<2,當(dāng)f'(X)<0時(shí)，X>2.所以f(X)在(一∞,2)上單調(diào)遞增，在(2,+∞)上單調(diào)遞減，所以f(X)無(wú)最小值，且當(dāng)X=2時(shí)，f(X)maχ=f(2)=-1-..辨析函數(shù)的極值與最值(1)極值是對(duì)某一點(diǎn)附近(即局部)而言，最值是對(duì)函數(shù)的定義區(qū)間他，b］的整體而言.(2)在函數(shù)的定義區(qū)間［ɑ,b］內(nèi)，極大(小)值可能有多個(gè)(或者沒(méi)有)，但最大(小)值只有一個(gè).(3)函數(shù)f(X)的極值點(diǎn)不能是區(qū)間的端點(diǎn)，而最值點(diǎn)可以是區(qū)間的端點(diǎn).(4)對(duì)于可導(dǎo)函數(shù)，函數(shù)的最大(小)值必在極大(小)值點(diǎn)或區(qū)間端點(diǎn)處取得.練習(xí)：1.函數(shù)f(X)=X3—3X(―1<x<1)(A.有最大值，但無(wú)最小值C.無(wú)最大值，也無(wú)最小值)B.有最大值，也有最小值D.無(wú)最大值，但有最小值解析：f(X)=3X2—3=3(X2—1).v—1<X<1,.，?X2<1.Λ3(-2—1)<0,即f(X)<0..?.f(X)是(一1,1)上的減函數(shù)，f(1)f-)<f(—1),故f(X)在一1<-<1時(shí)既無(wú)最大值，也無(wú)最小值，故選C.答案：C2.函數(shù)f(X)=4-—-4在-￡［—1,2］上的最大值、最小值分別是()A.f(1)與f(—1) B.f(1)與f(2) C.f(—1)與f(2) D.f(2)與f(—1)解析：f'(-)=4—4-3,f’(-)>0,即