活用線在面上三思路

活用線在面上三思路在空間線面間相互平行與垂直的邏輯推理中，線若離面、面上無線，猶如魚兒離開水一般，都是無根無本、孤立靜止的閑物；線在面上，線與面形影相伴、相輔相成，看似簡單，其實不然，它是線面間平行與垂直關系相互轉(zhuǎn)化的核心紐帶；空間幾何體只有在它搭建的平臺上，同時在它的驅(qū)動下，線與線、線與面、面與面的平行與垂直關系才會激情四射、充滿生機活力，才會躍躍欲試的互動轉(zhuǎn)化.因此,如何用活線在面上，是解決這類問題的關鍵.本文依推理論證這類問題的結論與條件不同，即從證與用兩個方面，如何活用線在面上來歸納整合.一、線放面上單一的線線垂直是孤立無助的，只有融入到空間幾何體的“大家庭”，才能與唇齒相依的線面關系相輔相成，也就是把其中一直線放在一平面上，即可轉(zhuǎn)化為線面關系處理.例1如圖1所示，ABC中，ZABC=90°,SA平面ABC,又點A在SB與SC上的射影分別是點Q與P,求證：PQSC.證明：由SA平面ABCSABC,又ABBCBC平面SAB,又AQ平面SABAQBC,又AQSBAQ平面SBCAQSC,又APSCSC平面APQPQSC.評注:這證法是線面垂直與線線垂直的一個系列循環(huán)轉(zhuǎn)化，看似象做游戲一樣，其實有一條十分清晰的思路,就是要證或用線線垂直,把其中一線放在一平面，證另一線是面垂線（也可為面斜線），得線線垂直….一般地，欲證線線垂直，把其中一直線放在一平面上，若另一直線是平面垂線，它就垂直于平面內(nèi)的這條直線；若另一直線是平面斜線，只要證平面內(nèi)直線垂直于該斜線在平面內(nèi)射影；若用線線垂直條件，也要把其中一直線放在一平面上，當另一直線還垂直于面內(nèi)與該直線相交的一直線，得線面垂直；當另一直線是平面斜線，得該直線與該斜線在平面內(nèi)射影垂直.二、面上找線線面、面面關系誘發(fā)于線線關系，也歸宿于線線關系，所以，對這兩類關系的處理，在平面上找到符合條件的線是關鍵.例2如圖2,在斜三棱柱ABC-A1B1C1中，D為BC的中點，連結AD、DC1、A1B、AC1，求證:A1B〃平面ADC1.證明：連結A1C,記A1CGAC1=0,連結0D,由BD=DC,又A10二OCAIB〃0D,OD平面ADC1A1B〃平面ADC1評注:在平面上找直線的平行線，通常用平行四邊形對邊、三角形中位線或截三角形兩邊對應成比例的平行線段等方法尋找.一般地，欲證線面平行，要在平面上找該直線的平行線；證面面平行，要在其中一平面上找與另一平面內(nèi)兩相交直線的平行線；證線面垂直，要在平面上找兩條相交直線與該直線都垂直；證面面垂直,要在其中一平面上，找另一平面的垂線.若用面面垂直的條件，在其中一平面上找垂直于交線的直線，就得線面垂直.三、過線作面線線、線面關系的平行，其本質(zhì)是線線平行，由于面面相交成線，揭開這個面紗要通過平面才能完成.例3如圖3所示，已知三個平行平面a、B、丫與兩條直線m、1分別相交于A、B、C和點D、E、F.求證：ABBC二DEEF證明：連結AF,記AFA6二M,由B〃丫、平面ACFAB=BM、平面ACFAy=CFBM//CFABBC=AMMF①，又B〃a、平面FADnB=EM、平面FADna二ADEM//ADAMMF二DEEF②，由①②ABBC二DEEF■評注：由面面平行，構造與平行平面都相交的另一平面是關鍵，由于條件中有穿過平面的直線，作平面的方法較多，過其中一線與三平行平面相交的三點中的任意一點，作另一交線的平行線，或在兩直線上各取一點并連接都可以作出類似的平面.一般地，若線面平行，過直線作（或找）與該平面相交的平面,得線線平行；若面面平行，過一線作（或找）與平行平面都相交的第三個平面，得交線平行.練習：.如圖4,點P是平面ABCD外的一點，已知PA平面ABCD,ABAD,ACCD,NABC=60°,PA二AB=BC忑是PC的中點.求證：(1)CDAE；(2)PD平面ABE.如圖5,已知P、Q是單位正方體ABCD-A1B1C1D1的面A1B1BA和ABCD的中心.求證：PQ〃平面BCC1B1..(2010遼寧文數(shù)19)如圖6,棱柱ABC-A1B1C1的側(cè)面BC