活用圓中角 巧解中考題

活用圓中角巧解中考題角是幾何圖形中最重要的元素之一，而圓的旋轉(zhuǎn)不變性和對稱性,又賦予了角極強(qiáng)的靈活性，使得角之間的相互轉(zhuǎn)化成為了解題的關(guān)鍵要素。初中階段圓中角的常用定理有一條弧所對的圓周角等于它所對圓心角的一半；同弧或等弧所對的圓周角相等；直徑所對的圓周角是90°；圓內(nèi)接四邊形對角互補(bǔ)；靈活運(yùn)用轉(zhuǎn)化圓中的角，往往能起到事半功倍的效果。本文擬從一道初三幾何選擇題的探究與解析中讓學(xué)生體會圓中角的靈活與妙用，一題多解使試題的講解真正發(fā)揮復(fù)習(xí)的效用，讓學(xué)生思維上通下達(dá)左關(guān)右聯(lián)，引發(fā)進(jìn)一步的啟示與思考。題目：如圖(1),已知A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(2,0),(0,2),P是A0B外接圓上一點(diǎn)，且NA0P=45°,則P點(diǎn)到x軸的距離為()A.B.2c.+D.+1基本思路分析：提到求P點(diǎn)到X軸的距離，大多數(shù)學(xué)生自然會第一時(shí)間將點(diǎn)P到X軸的垂線段作出來，繼而發(fā)現(xiàn)直角三角形，通過解直角三角形求解問題?？墒遣簧賹W(xué)生對于圓中角的條件挖掘不夠，雖然做出來，但計(jì)算相對繁瑣，容易出錯。若能仔細(xì)觀察分析，活用圓中角的條件，可以簡化計(jì)算，更快速準(zhǔn)確求值。這里展示幾種不同解法供大家參考體會。圖(1)圖(2)圖(3)利用勾股定理構(gòu)造方程，此為學(xué)生常用方法。如圖(2)過點(diǎn)P作PMx軸于點(diǎn)M。ZAOB=90°,AB為AOB外接圓的直徑。NAPB=90°。又NPBA二NPOA=45°,ABP為等腰直角三角形。在RtAOB中，AB二二4,PA=2。設(shè)P歸x,則0M二PM二x,AM=2-x,在RtPMA中，x2+(2-x)2=(2)2,整理得x2-2x+2=0,解得x二±1,因此選D。多觀察一下還會發(fā)現(xiàn)，0P是NA0B的角平分線，過點(diǎn)P作PNy軸于點(diǎn)N,則PN=PM,在RtPNB中，x2+(x-2)2=(2)2,計(jì)算會簡便—^止匕J=LO法2：巧用特殊角分析：在RtPMO中，NP0M=45。，所以PM二,所以只需求出P0即可。在RtAOB中，0B=2,0A=2,利用三角函數(shù)得NBA0二30。，根據(jù)同弧所對的圓周角相等得NBP0二NBA0=30°,此時(shí)在OBP中，就有兩個角是特殊角，因此，可過點(diǎn)B向0P作垂線，使得兩個特殊角在直角三角形中發(fā)揮更大功用，進(jìn)而求出0P,如圖(3)解：過點(diǎn)B作BH垂直于0P于點(diǎn)H,在RtBHO中，NB0H=45°,0B=2,0H二BH二。在RtBHP中，ZBPH=30°,PH=BH=0P=+。在RtOPH中，ZP0H=45°PM=二+1。由法一開始部分知PA=2o在RtPMA中若能得知一個銳角，即可用三角函數(shù)求出PM,同法一法二求角的方法易得NBAO=45°,ZPAB=30°,所以NPAM=75°,借助三角函數(shù)Sin75°二二，所以PM二2XSin75°,按計(jì)算器即可得到答案的近似值，從而選出選項(xiàng)。法4：旋轉(zhuǎn)妙處多分析：因?yàn)樗倪呅蜲APC是圓內(nèi)接四邊形，所以NPAO+NPBO=180°。易知ABP為等腰直角三角形，所以PA二PB。這兩個元素為旋轉(zhuǎn)提供了非常便利的條件。等邊共頂點(diǎn)，旋轉(zhuǎn)是首選,而互補(bǔ)的角使得0、A、0'三點(diǎn)共線，更是將四邊形巧妙的轉(zhuǎn)化為了三角形，此時(shí)P0。'為等腰直角三角形，所以點(diǎn)P到x軸的距離即為等腰直角三角形斜邊00'的一半。如圖（4）。解：過點(diǎn)P作PMx軸于點(diǎn)M,同法1知ABP為等腰直角三角形。四邊形0APC是圓內(nèi)接四邊形，ZPA0+ZPB0=180°。將PB0繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得PA0',則NPA0'二NPB0,POPO',NPAO'+ZPB0=180°,0、A、0,三點(diǎn)共線，P00'為等腰直角三角形，A0'二B0二2。這里四種不同的方法，分別運(yùn)用了圓中角的常用定理，有的方法同時(shí)用到了多條。我們發(fā)現(xiàn)對圓中角的條件挖掘的越多，往往計(jì)算更為