習(xí)題六.樣本及抽樣分布解答

樣本及抽樣分布一、填空題.設(shè)來自總體X的一個(gè)樣本觀察值為：2.1,5.4,3.2,9.8,3.5,則樣本均值二4.8,樣本方差二2.7162；.在總體X~N(5,16)中隨機(jī)地抽取一個(gè)容量為36的樣本，則均值X落在4與6之間的概率=0.9332；.設(shè)某廠生產(chǎn)的燈泡的使用壽命X~N(1000,02)(單位:小時(shí))，抽取一容量為9的樣本，得到x=940,s=100，貝IP(X<940)=.設(shè)X,X，…,X為總體X~N(0,0.52)的一個(gè)樣本，則P(XX2>4)=0.025；1 2 7 i i=1TOC\o"1-5"\h\z.設(shè)X,X，…,X為總體X~N(0,1)的一個(gè)樣本，且cY服從%2分布，這里，12 6Y=(X+X+X)2+(X+X+X)2，則c=1/3；1 2 3 4 5 6 .設(shè)隨機(jī)變量X,Y相互獨(dú)立，均服從N(0,32)分布且X,X，…,X與Y,Y,...,Y分1 2 9 12 9別是來自總體X,Y的簡單隨機(jī)樣本，則統(tǒng)計(jì)量U=X1+…+工服從參數(shù)為9JY2+...+Y2

：1 9的t分布。.設(shè)X,X,X,X是取自X~N(0,22)正態(tài)總體的簡單隨機(jī)樣本且1234Y=a(X—2X)2+b(3X—4X)2,,貝|a=0.05,b=0.01時(shí)，統(tǒng)計(jì)量Y服! 2 3 4 從%2分布，其自由度為2；.設(shè)總體X服從正態(tài)分布X~N(0,22)，而X,X，…,X是來自總體的簡單隨機(jī)1 2 15樣本,則隨機(jī)變量Y=2(匯:X2)服從」分布,參數(shù)為3L；11 15.設(shè)隨機(jī)變量X~t(n)(n>1),Y=A,則Y~F(n,1)X2 10.設(shè)隨機(jī)變量10.設(shè)隨機(jī)變量X~F(n,n)且P(|X|>A)=0.3,A為常數(shù)，則P(X>1)=0.7A TOC\o"1-5"\h\z11若工，…,工是取自正態(tài)總體N卬,O2)的一個(gè)樣本，則，=12;服從 。1n nii=112樣本(X,…,X)的函數(shù)f(X,…,X)稱為 ，其中f(X,…,X)不含未n 1 n 1 n知參數(shù)。13設(shè)總體X服從N(N,。2)，X和S2分別為來自總體X的樣本容量為n的樣本均值和方(X—X)2乂? ， (n—1)S2TOC\o"1-5"\h\z差，則a ?, ?。O2 O214設(shè)隨機(jī)變量X和Y相互獨(dú)立且都服從正態(tài)分布N(0,32),而X，…,X和Y，…,Y分別1 91 9X+…+X是來自總體X和Y簡單隨機(jī)樣本，則統(tǒng)計(jì)量U=,1 9服從 分布。t(9)丫Y2+…+Y2丫1 915設(shè)隨機(jī)變量X和Y相互獨(dú)立且都服從正態(tài)分布N(0,32),而X，…,X和Y，…,Y分別1 91 9X2+???+X2是來自總體X和Y的簡單隨機(jī)樣本，則統(tǒng)計(jì)量V=-1 7d服從 分布。Y2+…+Y219F(9,9)二、選擇題1.設(shè)總體X服從正態(tài)分布N(口e2),其中O為未知參數(shù)，(X,X,X)是取自總體X的123TOC\o"1-5"\h\z一個(gè)容量為3的樣本,下列不是統(tǒng)計(jì)量的是 ( )A.X+X+XB.max{X,X,X}C.-1(X+X+X)D,1(X+X+X)2 3 1 2 3Q123 41231市— 4X—8.設(shè)X,X,,X是來自正態(tài)總體N(2,q2)的一個(gè)樣本，X= 2X，則 ~1 2 16 16i Qi=1( ).A. t(15) B.t(16) C. X2(15) D.N(0,1)???3.設(shè)X,X,,X是取自正態(tài)總體X~N⑴,Q2)的一個(gè)樣本，X=12x,12 n ni _ i=1S2=—2(X—X”，貝IY=-—!—""服從的分布是( ).nni… S=1 nA. t(n—1) B.t(n) C. X2(n—1) D.4.設(shè)X,X4.設(shè)X,X,...,X是來自總體N⑴,Q2)的簡單隨機(jī)樣本，X是樣本均值，12 n記S2=12(X—X)2,S2=12(X—X)2,S2=-L-2(X—^)2,n—1 i2ni3n—1ii=1i=1i=1S2=1工(X-^)2,則服從自由度n-1的t分布的隨機(jī)變量是T=(A)；4nii=1X一旦 X-旦 X-N X-NA? ^^^^^b B? ^^^^^c C? ^^^^^d D? s、jn—1sn—-1sn—-1s n—-15.設(shè)F(x)是經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)，基于來自總體X的樣本，而F(x)是X總體的—分布函數(shù)，則下列命題錯(cuò)誤的為，對于每個(gè)給定的x,F(x)(B)—A.是分布函數(shù) 8.依概率收斂于F(x)C.是一個(gè)統(tǒng)計(jì)量C.是一個(gè)統(tǒng)計(jì)量D.其數(shù)學(xué)期望是F(x)6.設(shè)總體X服從6.設(shè)總體X服從0—1分布B．X-(1-p)X1Z(X-從)2ii=11￡(X-X)2—ii=1TOC\o"1-5"\h\zX,X，…,X是來自總體X的樣本，X是樣本12 5均值，則下列各選項(xiàng)中的量不是統(tǒng)計(jì)量的是(B)A．min{X,X,X,X,X}12345C.max{X,X,X,X,X}D.X-5X12345 5.設(shè)X,X，…,X是正態(tài)總體N(從,a2)的一個(gè)樣本，其中日已知而02未知，12 —則下列各選項(xiàng)中的量不是統(tǒng)計(jì)量的是(C)。>,XD.min{X}iC.乙(一D.min{X}i0i=1.設(shè)X,X，…,X和Y,Y,...,Y分別來自兩個(gè)正態(tài)總體N(-1,22)和N(2,5)的1 2 — 12 —樣本，且相互獨(dú)立，S2,S2分別為兩個(gè)樣本的樣本方差，則服從F(7,9)的統(tǒng)計(jì)量12是(B)A.B.5S2/1'4A.B.5S2/1'4S2- 2C.4S2//5S2- 2D 5S2/D ￥2S2- 29.設(shè)X9.設(shè)X,X，…,X12 —是正態(tài)總體N(從,o2)的一個(gè)樣本，X和S2分別為樣本均值和樣本方差，則下面結(jié)論不成立的有(D)X,X,S相互獨(dú)立;X與(——1)S2相互獨(dú)立;C.X與-1X（XC.X與-1X（X-X）2相互獨(dú)立D.X與—X（X-^）2相互獨(dú)立。O2i=1O2i=110.設(shè)X,X，…,X12是正態(tài)總體N（從,。2）的一個(gè)樣本S2=—X(X-—)2,

n-1ii=1則D（S2）等于（A°4A.nB,竺A°4A.nB,竺nc.Hn-1D.史n-111.設(shè)X,X，…,X12 n是正態(tài)總體N（從,°2）的一個(gè)樣本，X和S2分別為樣本均值和樣本方差，則服從自由度為n-1的方一分布的隨機(jī)變量是（C）A.孚B.等「nXC.S12.設(shè)X,X，…,X1值和樣本方差2則(是正態(tài)總體N（從,。2）的一個(gè)樣本，X和S2分別為樣本均A.(A.(n-1)X2?F(1,n-1)S2X2——?F(1,n-1)S2C.nX-~F(1,n-1)S2.D(n+1)X2?F(1,n-1)S213.設(shè)隨機(jī)變量X,Y都服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布則（）。（A）X+Y服從正態(tài)分布。⑻X2+Y2服從X2分布。。X2和Y2都服從X2分布。（D）X2/Y2服從F分布。）。）。14.設(shè)總體-1 …(O.-9-?N(0,1)服從N（19,X-1 …(O.-9-?N(0,1)X-1-1―?N(0,1)X-1-?N(0,1)X-1 …(d)—~3~?N(0,1)15.設(shè)XJ…X”是來自正態(tài)總體N（01的簡單隨機(jī)樣本，X和S分別為樣本的均值和標(biāo)準(zhǔn)差，則有（）。準(zhǔn)差，則有（）。nX?N(0,1)X?N(0,1)(C)三?nX?N(0,1)X?N(0,1)(C)三?t(nT)S(D)Zx2i?X2(n)i=116.設(shè)X,Y相互獨(dú)立，X?N(日,o2),Y?N(R,a2),

11 22X，…X為X的樣本，1 n1Y，…Y為Y的樣本，則有(1n)?！?O2O2X-Y?N(Ji+R,—I-+—2-)1 2nn12-- o2o2X-Y?N(1—1,—+—2-)1 2nn12- - o2o2 — —(C)X-Y?N(1—1,—1-——2-) (D)X一Y?1 2nn12：o2o2N(1—1，=十-2-)1 2\,nn1 1 2三、解答題1.設(shè)X,X,X是總體N(1,o2)的一個(gè)樣本，其中1已知而o>0未知，則以下123的函數(shù)中哪些為統(tǒng)計(jì)量？為什么？X+X+X；是123X+31；是3(3)X；是(4)1X2；是ZX/i=i'/ ；不是/o2(6)max{X}；是i(7)o+X；不是3.在總體N(52,6.32)中隨機(jī)地抽取一個(gè)容量為36的樣本，求樣本均值X落在50.8與53.8之間的概率。，一_ 6.32解：X~N(52,——)36

p{5O.8<X<53.8)=p{-1.142<^~52<1.714)6.3/6=0(1.714)-0(-1.142)=0.8293.對下列兩種情形中的樣本觀測值，分別求出樣本均值的觀測值工與樣本方差的觀測值S2,由此你能得到什么結(jié)論?(1)5,2,3,5,8： x=4.6旌=2.0592(2)105,102,103,105,108 x=104.6 §2=2.05924.設(shè)X,X,…,X是取自總體X的一個(gè)樣本.在下列三種情形下，分別寫出樣1 2 n本X*，…,X的概率函數(shù)或密度函數(shù)：1 2 n⑴x?5(Lp)；X?Exp(k)；X?。(0,0),0>0。解:P(X=x)=px.(l-p)i-x.,i=0,1iP(X=X,X=X,X=%)=n2卷(1—p)lr,=p^'(l—p)"5112 2, nni=l/Qxj、1九e/,x>。0,x<0TOC\o"1-5"\h\z/(N, ,x)二川(x)二 巴"三子>。"12 ,〃)2 n i ，=1 i=ii=i1°, 0.x<0(/=1,2,,n)V ?I/、>。…⑶/(X)-4o0,0<0 ...1 2 n ii=lOJ0<x1 2 n ii=l0,aw

5.設(shè)X,X，…,X是取自總體X的一個(gè)樣本.在下列三種情形下，分別求出12 nE(X),D(X),E(S2)5.設(shè)X,X，…,X是取自總體X的一個(gè)樣本.在下列三種情形下，分別求出12 nE(X),D(X),E(S2).(1)X~B(1,p)； E(X)=p,D(X)=P(1-P),E(S2)=p(1-p)n- - -1-1 1⑵X~Exp(k)； E(X)=,D(X)=—,E(S2)=-人 nk2 k29-92 92⑶X~U(0,9),9>0。E(X)=,D(X)= ,E(S2)=-2 12n 126.設(shè)X,X，…,X是獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量12 n且都服從N（0,。2）,試證：（1）—Ex2~X2(n)；。2i

i=1（2）—(￡X)2~X2(1)n。2 ii=1解：（1）X,X,...,X是獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量，12 nXX—~N（0,1）,—（i=1,2 n）獨(dú)立，。。且都服從N（0,。2）（2）-1￡x2二。2ii=1EnX乙(一)2~X2(n)。i=1￡nXiii=1X~N(0,n。2),4=^。nn~N(0,1)len。2i=1X)2=i￡Xi~殍(1)7.設(shè)X,X是取自總體X的一個(gè)樣本.12試證：X-X與X-X相關(guān)系數(shù)等

12于-1.解：

TOC\o"1-5"\h\zX+X1 1 1———2)=Lcov(X,X)+cov(X,X)]=92+0)=O22 2 11 12 2 2/ —、，、，一、 一0-1 1(X—X) (X)+(X) XVo+-2—o2=_021 1 1 22 2同理cov(X,X)=-o2,(X—X)-o222 2 2cov(X—X,X—X)=cov(X,X)-cov(X,X)-cov(X,X)+cov(X,X)1 2 12o2o2o2 o2=0————+—二一—o2o2o2Tcov(X-X,X-X)P_ _=_ 1 2 —X1-X,X2-X弋D(X1-X八:D(X2-X)8.設(shè)X,X，…,X是取自正態(tài)總體N（口,o2）的一個(gè)樣本，試求統(tǒng)計(jì)量iLcX的\o"CurrentDocument"1 2 n iii=1分布，其中c（i=1,2,...,n）是不全為零的已知常數(shù)。i解：ZcX~N(工口,工2o2)ii i i9.設(shè)X,X,...,X12 n9.設(shè)X,X,...,X12 n和Y,Y,...,Y分別是取自正態(tài)總體N（口,o2）和N（口,o2）的

12m 11 22樣本，且相互獨(dú)立，試求統(tǒng)計(jì)量U=aX+bY的分布，其中a,b是不全為零的已知常數(shù)；解：o2 — a2o2TOC\o"1-5"\h\zX?N(N,o2),i=1,2,,n,X?N(從，一),aX?N(aR,—)i 11 1n 1no2 b2o2Y?N(N,o2),j=1,2，…，m,Y?N(從,T,bX?N(bR,—^)j 2 2 2n 2n—— a2o2b2o2aX+bX?N(aN+bN*;- + 2-)1 2n n10.設(shè)X,X,...,X是取自正態(tài)總體N(0,o2)的一個(gè)樣本,試證:12 5(1)當(dāng)k=3時(shí)，k.X1+X2=t(3)；；2 J：X2+X2+X23 4 5

(2)當(dāng)k=■_時(shí)k (X1+X2)2-F(1,3);\，62 ~t(3)，即；'||.Xi+，62 ~t(3)，即；'||.Xi+X2 ~t(3),二K=；|'X2+X2+X2 \2J：X2+X2+X2 2:-3 4 5- 43 4 5*3 4 5解：(1)X~N(0,02),i=1,25iX+XX1+X2~N(0,202),i_2~N(0,1)X-0 1X X2+X2+X2—i——~N(0,1),i=3,4,5,乙(T)2~x2(3),即T 4 5?Z2(3)0 0 02i=3(X+X)2 1 2—202~x2(1),X2+(X+X)2 1 2—202~x2(1),X2+X2+X2―3 3 3-02~x2(3)(X+X)2——1 2—202X2+X2+X2

—3 3 33023(X+X)2 1 2 2X2+X2+X23333~F(1,3),aK=-11.設(shè)X,X，…,X是獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量，且它們都服從N(0,4),12 4a=—,b=—時(shí)，a(X-2X)2+b(3X-4X)2?x2(2).20 100 1 2 3 4X 2X解：X-2X~N(0,20),1—2~N(0,1)1 2