線性代數(shù)練習(xí)冊(cè)2014.3詳解

線性代數(shù)練習(xí)冊(cè)（含模擬試卷）南京農(nóng)業(yè)大學(xué)數(shù)學(xué)系二○一四年三月

第一章矩陣一、選擇題1.若A,B,C為同階方陣，且可逆,則下列正確的是()AA．若BABC，則ACB．若ABCB，則ACD．若BC0，則C0C．若AB0，則B02.若A,B,C為同階方陣,且滿足ABCE,則下列正確的是()A．ACBEC．BACEB．CBAED．BCAE121AE-,BE2,則AB等于(3.設(shè)n維行向量,0,,0,,)2A．0B．C．ED．E211E,且4.設(shè)行矩陣,211,則AB()AaaaBbbbAB123123211A．2B．2C．1D．113A135.矩陣21的標(biāo)準(zhǔn)形是()10100010A．A00B．A01C．A00A01D．00000000二、填空題0為分塊矩陣，則X1BAX6.設(shè)A,B,C均為可逆方陣,=；若00A00A2Y為分塊矩陣,則Y=1；若ZB00為分塊矩陣，則CB2000Z1=.EI*沒(méi)有特別說(shuō)明,或?yàn)閱挝痪仃?2123,11123A,則An7.,.1/300ABA6ABA,且A01/401B,則8.若矩陣AB,滿足.01/509.設(shè)矩陣滿足關(guān)系式AA2E0，則A1,(A2E)1.A21212A1311的第二行與第三行得到矩陣,則中的BBPA10.對(duì)調(diào)矩陣0010P=.三、計(jì)算題11.設(shè)A,B為同階方陣，2(AB)A22ABB2,(AB)(AB)A2B2是否成立？何時(shí)成立？12.已知A10，BA3A2E，求B1.22342313.設(shè)三階方陣A,B滿足AB2AB,其中A110，求B.123310000x14.已知矩陣101y0101/20是020的逆矩陣，求實(shí)數(shù),.xy四、證明題15.設(shè)n階方陣滿足A2A,證明AEA2可逆.E2A1E2A且16.設(shè)與為n階對(duì)稱(chēng)矩陣,證明:ABBA當(dāng)且僅當(dāng)ABAB為對(duì)稱(chēng)矩陣.16.設(shè)AI,是1的非零矩陣，證明:nAA的充要條件是1;2n當(dāng)1時(shí),A是不可逆的.4

第二章行列式一、選擇題121.已知A，A*為的伴隨矩陣，則A*為A(()3442421312A．B．C．D．D．313124342.設(shè)A為n階可逆矩陣，則A*1為)A．AAB．A*C．A1A1AA*Aa1,na2,n13.n階行列式D的值為()nan1,2an,1A．a(chǎn)a1,n2,n1aan1,2n,1B．a(chǎn)aaan1,2n,11,n2,n1D．1n(n1)aan1,2n,1n(n1)aa1,n2,n1aan1,2n,1C．1aa1,n2,n1224.設(shè)Aa11a1nA11A1nB，則下列正確的是())aannAnnn1n1A．A是B的伴隨矩陣C．B是A的伴隨矩陣B．B是A的伴隨矩陣D．B不是A的伴隨矩陣5.設(shè)n階方陣A與B等價(jià)，則必有A．當(dāng)|A|a(a0)時(shí)，|B|aC．當(dāng)|A|0時(shí)，|B|0(B．當(dāng)|A|a(a0)時(shí)，|B|aD．當(dāng)|A|0時(shí)，|B|0xxx1時(shí)，線性方程組1231有唯一解？236.xxx1xxx1123A．0B．1C．-1D．異于0、1和-1的實(shí)數(shù)5二、填空題0ab0c=abacDbdcddebfcfefae=7.Dabc0,.12228.A2312,則AAAA=,MMMM=.2122232421222324111110222xx19.已知多項(xiàng)式f(x)12x1，則f(x)中x3的系數(shù)為32x,常數(shù)項(xiàng)為.11114810.方程120的全部根為.12481xxx2311.已知4階方陣A的行列式|A|2，則R(A)，2A=，(1A)1A*2A1=，2A=，4.ABn12.設(shè),為階方陣，A2，B3，則A1B*A*B1.111k1k1113.若矩陣A的秩為3，則k.11k1111k二、計(jì)算題n1111abc111n1bcb1c15.D14.aan11n1111n61aa0000001aaaa11aa121a2na11aa16.D00017.D1nnn0011aa011a1aa1a2n1231223212333112n13n12n3n18.Dn1n1n1n1n1n1n123nnn2n3nn1nnx100000000x100x19.Dn000x1axa1aaan1nn227.A20.設(shè)A(,,)，B(,24,39)若1,33123123123123求.B,,.CABA.C21.設(shè)A(,,,)B(,,,)若2，求441234324122.設(shè)n階方陣滿足AAE，|A|<0,求|AE|.A8第三章向量的線性相關(guān)性一、填空題122b1．A212,1，A與線性相關(guān)，則b=.3041時(shí),,線性相關(guān)2．設(shè)(1,1,1),(1,2,3),(1,3,t)，則t=.1231233．設(shè),,線性無(wú)關(guān)，2,,k,則k=時(shí)123112223331,,線性相關(guān).12344.已知(1,1,2,2,1),(0,2,1,5,1),(2,0,3,1,3),(1,1,0,4,1),則1234R,,,.123二、選擇題5．下列向量組線性無(wú)關(guān)的是（）3(0,1,0),(1,0,0),(0,0,0)A：B：C：D：121(0,1,0),(1,1,1),(1,1,1),(1,1,1)2341(1,2,1),(2,1,1),(1,2,1)321(2,1,1),(0,1,2),(2,1,1)326．已知n維向量組,,,（120）線性相關(guān)，則下列說(shuō)法正確的是（）1sA：對(duì)于任意一組不全為零的數(shù)k,k,,k都有kkk012s1122sssB：,,,中任意兩個(gè)向量都線性相關(guān)12112sC：存在一組不全為零的數(shù)1kk0skk,k,,k，使得2s2D：向量組s,,,中任意一個(gè)向量都可由其余向量線性表示129,7．向量可由向量組,,線性表示，不能由向量組Ⅰ:,線性表示.m112m12,記向量組Ⅱ:,,，則下列正確的是（）m112A：不能由Ⅰ線性表示，也不能由Ⅱ線性表示mB：不能由Ⅰ線性表示，但能由Ⅱ線性表示mC：可由Ⅰ線性表示，也可由Ⅱ線性表示mD：可由Ⅰ線性表示，但不能由Ⅱ線性表示m8．下面命題正確的是（）A：任何向量組B：等價(jià)向量組包含的向量個(gè)數(shù)相等C：向量組與向量組本身等價(jià)D：矩陣的行、列向量組等價(jià)都有極大無(wú)關(guān)組的任何極大無(wú)關(guān)組9．若向量組,,的秩為r，則下列正確的是（）12nA：必定rnB：任意小于r個(gè)的部分組線性無(wú)關(guān)C：向量組中任意r個(gè)向量線性無(wú)關(guān)D：向量組中任意r1個(gè)向量線性相關(guān)10．已知(1,1,2,4),(0,3,1,2),(3,0,7,14),(1,2,2,0),1234(2,1,5,10)，則該向量組的極大無(wú)關(guān)組為（）5A:,,C:,,D:,,,5B:,,123124125124三、計(jì)算證明11．證明：向量組(1,2,1),1(0,3,2)與(1,1,1),(2,1,0)等價(jià).22110,12．設(shè),,線性無(wú)關(guān)，p,t2t31123123212.123問(wèn)p,t為何值時(shí),,線性相關(guān)？312313.設(shè)三階方陣且A2,A(,,)的列向量組線性無(wú)關(guān)，1231123AA2，求A.,2123231114.14(1a,1,1,1)',(2,2a,2,2)',(3,3,3a,3)',(4,4,4,4a)'23(1)問(wèn)?時(shí),,,線性相關(guān).a1234(2)當(dāng),,,線性相關(guān)時(shí)求秩和一個(gè)極大無(wú)關(guān)組，并將其余向量1234用該極大線性無(wú)關(guān)組表示.15．A為n階矩陣，為n維列向量，Am10,Amm10,證明:,A,,A線性無(wú)關(guān).12316*.已知(1,2,0),(1,a2,3a),(1,b2,a2b),(1,3,3),12試討論當(dāng),為何值時(shí),ab（1）不能由,,線性表示.123（2）可由,,唯一地線性表示，并求出表達(dá)式.12312（3）可由,,線性表示，但表達(dá)式不唯一，并求出表達(dá)式.3第四章線性方程組一、填空選擇0xxx1232xxx0有非零解，1.齊次線性方程組則.13xxx0123132x12.方程組xt3x2x0有解的充分必要條件是.3x2x112xxx41時(shí)，線性方程組123xaxx3無(wú)解3.當(dāng)a=.23x2xx4123都是AXb(b0)的解向量，則,,,及114.設(shè)12t22tt.12tn個(gè)維向量都是齊次線性方程組AX0的解向量，則r(A)5.設(shè)任意一6.設(shè)AXb有n個(gè)未知量.~~AA,m個(gè)方程()(),rArAr,為的增廣矩陣，則()rm時(shí)方程組有唯一解Ｂ：時(shí)方程組有唯一解rnＡ：mn時(shí)方程組有解D：時(shí)方程組有無(wú)窮多解rmＣ：12,是AXb的兩個(gè)不同的解，,是AX0齊次方程組的基礎(chǔ)解系，7.已知12k,k是任意常數(shù)，則AXb的通解是（）1212212B：kk()11212kk()A：21121212212D：kk()11212kk()C：211212AX的基礎(chǔ)解系，那么基礎(chǔ)解系還可以是（）0,,8.已知是齊次方程組12323,,B：122331A：kkk1123,,112332,C：D：1223二、計(jì)算證明0xxxxxxxx2112343x2xx212342xxx4x19.解線性方程組（1）123和（2）x2x3x112344x2xx2x32345x4x3x2x412341234143xxx1223xxx2（1）無(wú)解；（2）有唯一解；10.為何值時(shí)，線性方程組13xxx2123（3）有無(wú)窮多解，并且求出此時(shí)的通解.且組AXb的三個(gè)解,,,是12(3,5,7,9),(1,2,3,4),11.已知方程3123r(A)3，求該方程組的通解.121212.設(shè)A01tt,且方程AX0的解組空間的維數(shù)為2,求1t01(1)R(A)(2)AX0的通解.15

1223AXb有無(wú)窮多解，其中13.已知非齊次線性方程組A4t3,b1,試求3112AXb的通解t的值并寫(xiě)出.,AXb14.設(shè)是非齊次線性方程組的兩個(gè)不同解,是對(duì)應(yīng)齊次線性方程組12mnAX0的一個(gè)非零解．證明：（１）線性相關(guān)12,線性無(wú)關(guān)（2）若R(A)n1,則,,11216

,12AXb的解，是對(duì)應(yīng)的齊次線性方程組15.已知是非齊次線性方程組AX0的兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的解,,線性無(wú)關(guān),試證：.12第五章特征值、特征向量及二次型一、填空題1.設(shè)階n可逆矩陣A的一個(gè)特征值，則A1的一個(gè)特征值為，A*的一個(gè)特征值為,Am的一個(gè)特征值為.21,2,則A12.設(shè)3階方陣A的特征值為特征值為,A*的特征值1317為，(AI)2的特征值為.3.A2I，則的特征值為A;A23A4I0,則的特征值為A..(1,1,1,1)，(2,1,1,3)都正交的一個(gè)單位向量為4.在R中與向量(1,1,1,1)，45.若4階矩陣1111A與B相似，矩陣A的特征值為,,,,則B1E=.23451f(x,x,x)x24x24x22xx2xx4xx正定；6.范圍為時(shí)12312321323t范圍為時(shí)f(x,x,x,x)tx2tx2tx22xx2xx2xx負(fù)定.1234123121323二、選擇題117．方陣相似于矩陣（）0210111011D：01A：02B：22C：028．實(shí)二次型fXTAX正定的充要條件是（），有XAX0X0A：對(duì)任意的A0B：使得ACC存在Cn階矩陣C：9．n階方陣A：充分必要條件D：的所有子式大于零AA具有n個(gè)不同的特征值是A與對(duì)角陣相似的()B：充分而非必要條件C：必要而非充分條件D：既非充分條件而非必要條件11410．設(shè)A1x2的特征值為0，1，2，則x=（）001A：1B：2C：3確的結(jié)論是（D：411．對(duì)于n階方陣A：一定可逆陣有n個(gè)不同的特征值B：存在B，使得B1AB為對(duì)角陣C：它的特征值一定D：屬于不同特征值的特征向量一定線性無(wú)關(guān)A,以下正）是正數(shù)12．設(shè)A是n階正定矩陣，則AI的行列式()B：1C：<1D：1A：>1三、計(jì)算證明1831,0,1對(duì)應(yīng)的特征向量為3階方陣A的特征值13．設(shè)12122P2,P2,P1，求A,A.1512322211(1,1,1)試確定參數(shù)a,b及特14.已知A是矩陣4a2的一個(gè)特征向量，1b2征向量所對(duì)應(yīng)的特征值.p(1,1,0),p(2,1,1)是2，是的特征值，1215.已知3階實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣A的秩為6AA對(duì)應(yīng)于特征值6的特征向量.(1)求A的另一個(gè)特征值和對(duì)應(yīng)的特征向量；(2)求矩陣A.19

200200A001和B0y0相似，求可逆陣1APB.P，使得P16．設(shè)方陣x001013階方陣為1，-1，2,A的特征值BA35A2，求,B和A5I.B的特征值17．設(shè)222A254化為對(duì)角陣24518．求正交矩陣T，把實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣.2019．用正交變換，將下列二次型化為標(biāo)準(zhǔn)型.f(x,x,x)x22x23x24xx4xx3（1）12312312220.二次型f(x,x,x)(1a)x2(1a)x22x22(1a)xx的秩為2,12312312(1)求a的值;(2)求正交變換xQy,把f(x,x,x)化為標(biāo)準(zhǔn)型.123021．設(shè)A為mn階實(shí)矩陣,BIAA,證明：時(shí)矩陣為正定矩陣.B21

22.(1)設(shè)A與B都是n階正交矩陣，證明AB也是正交矩陣；A0，證明AB與BA相似(2)設(shè)A與B都是n階矩陣，且.23．n階矩陣A既正定又正交，證明：AI.線性代數(shù)模擬試題（一）一、填空題11111211A，則r(A)1.設(shè)A為3階方陣，且A3，則（A*）1=111（用A表示）111則X=,X0223.若1101101aaAa1a，則當(dāng)4.設(shè)時(shí)，r(A)2.a滿足條件時(shí)，A可逆；當(dāng)a=1aa5.秩相等是兩個(gè)同維向量組等價(jià)的條件.A6.設(shè)4階方陣3，1，1，2，則A的4個(gè)特征值為xx230xx417.齊次方程組232xxx3x0的基礎(chǔ)解系是1234xxx0134f(x,x)2x22x24kxx為正定二次型，則8.設(shè)二次型1k的取值范圍為21212二、選擇題9.設(shè)n階方陣（A）必有一列元素為（C）必有一列向量是A是奇異陣，則A中0(B）必有兩列元素對(duì)應(yīng)成比例其余列向量的線性組合（D）任意一列向量是其余列向量的線性組合0BCn階可逆陣，若，則C1=10.設(shè)A和B都是A00B1A10（A）（B）0BA0110A1B10（C）（D）B100A111.若n階矩陣A的秩為n3（n4），則A的伴隨矩陣A*的秩為n2-（A）（B）0（C）1（D）不確定,,,是AX0的基礎(chǔ)解系，則12.設(shè)是非齊次方程組AXb的一個(gè)解,012r線性無(wú)關(guān),,,01r,,,(A)線性相關(guān)（B）01rAXb的解的線性組合是,,,（C）01r230AX的解的線性組合是,,,（D）01r13.n階方陣A與對(duì)角矩陣相似的充要條件是A的行列式A的秩為A0（A）矩陣A有n個(gè)特征值（B）矩陣（C）矩陣A有n個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量（D）矩陣n三、計(jì)算證明題101，求B14.設(shè)A和B都是3階方陣,ABIA2B,其中A020101xxx1115設(shè)線性方程組1232xkx2x0,（1）k為何值時(shí)，方程組有唯一解、無(wú)解；23kx2xxk123（2）k為何值時(shí)，方程組有無(wú)窮多解？并求出其通解.的線性無(wú)關(guān)都正交，,,,，非零向量與12,,,16.設(shè)向量12rr線性無(wú)關(guān),,,證明：與.12r24210A120，（1）求17設(shè)A的特征值；（2）求其特征值所對(duì)應(yīng)的特征向量.00218.化二次型f2x23x23x24xx為標(biāo)準(zhǔn)形1232319.證明：實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣A為正定矩陣的充要條件是存在可逆矩陣P，使得APP.線性代數(shù)模擬試題（二）一、填空題111211,則AB1.已知A,B20110225100A220,則(A*)12.已知34513.設(shè)A為三階方陣，A,則2A1(2A)116304022224.行列式0700,第四行各元素的代數(shù)余子式之和為5387xx2x1123X(0,1,0),X(3,2,2)是線性方程組3xx4x1的兩個(gè)解，5.已知12123axbxcxd123則此方程組的一般解是A6.設(shè)A為4階方陣，A的4個(gè)特征值為-2，-1，1，2,則二、選擇題7.設(shè)A,B為階方陣，滿足關(guān)系A(chǔ)B0，則必有n（A）AB0(B)AB0(C)A0或B0（D）AB0S,,,