理科數(shù)學(xué)全國(guó)通用版一輪復(fù)習(xí)課時(shí)跟蹤檢測(cè)第7章第1節(jié)不等關(guān)系與一元二次不等式

第七章不等式第一節(jié)不等關(guān)系與一元二次不等式A級(jí)·基礎(chǔ)過關(guān)|固根基|1.(2019屆石家莊市質(zhì)檢)已知a>0>b，則下列不等式一定成立的是()A．a(chǎn)2<－ab B．|a|<|b|C．eq\f(1,a)>eq\f(1,b) D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(a)>eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(b)解析：選C當(dāng)a＝1，b＝－1時(shí)，滿足a>0>b，此時(shí)a2＝－ab，|a|＝|b|，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(a)<eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(b)，∴選項(xiàng)A、B、D不一定成立．∵a>0>b，∴eq\f(1,a)>0>eq\f(1,b)，∴eq\f(1,a)>eq\f(1,b)一定成立．故選C．2．(2019屆南寧二中、柳州高中第二次聯(lián)考)設(shè)a>b，a，b，c∈R，則下列結(jié)論正確的是()A．a(chǎn)c2>bc2 B．eq\f(a,b)>1C．a(chǎn)－c>b－c D．a(chǎn)2>b2解析：選C當(dāng)c＝0時(shí)，ac2＝bc2，所以選項(xiàng)A錯(cuò)誤；當(dāng)b＝0時(shí)，eq\f(a,b)無意義，所以選項(xiàng)B錯(cuò)誤；因?yàn)閍>b，所以a－c>b－c恒成立，所以選項(xiàng)C正確；當(dāng)a≤0時(shí)，a2<b2，所以選項(xiàng)D錯(cuò)誤．故選C．3．(2019屆南昌市一模)已知a>0，b∈R，那么“a＋b>0”是“a>|b|成立”的()A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件解析：選B當(dāng)a＝1，b＝2時(shí)，滿足a＋b>0，但是a>|b|不成立，即充分性不成立；當(dāng)a>|b|，a>0時(shí)，一定有a＋b>0成立，所以“a＋b>0”是“a>|b|成立”的必要不充分條件，故選B．4．(2019屆成都市一診)若關(guān)于x的不等式x2＋2ax＋1≥0在[0，＋∞)上恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為()A．(0，＋∞) B．[－1，＋∞)C．[－1，1] D．[0，＋∞)解析：選B解法一：當(dāng)x＝0時(shí)，不等式1≥0恒成立；當(dāng)x>0時(shí)，x2＋2ax＋1≥0?2ax≥－(x2＋1)?2a≥－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x)))，又－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x)))≤－2，當(dāng)且僅當(dāng)x＝1時(shí)取等號(hào)，所以2a≥－2，解得a≥－1，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為[－1，＋∞)．解法二：設(shè)f(x)＝x2＋2ax＋1，函數(shù)圖象的對(duì)稱軸為直線x＝－a，當(dāng)－a≤0，即a≥0時(shí)，f(0)＝1>0，所以當(dāng)x∈[0，＋∞)時(shí)，f(x)≥0恒成立；當(dāng)－a>0，即a<0時(shí)，要使f(x)≥0在[0，＋∞)上恒成立，需f(－a)＝a2－2a2＋1＝－a2＋1≥0，解得－1≤a<0.綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍為[－1，＋∞)．5．(2019屆湖南衡陽一模)若a，b，c為實(shí)數(shù)，且a<b<0，則下列結(jié)論正確的是()A．a(chǎn)c2<bc2 B．eq\f(1,a)<eq\f(1,b)C．eq\f(b,a)>eq\f(a,b) D．a(chǎn)2>ab>b2解析：選D選項(xiàng)A，∵c為實(shí)數(shù)，∴可以取c＝0，得ac2＝bc2＝0，故選項(xiàng)A不正確；選項(xiàng)B，eq\f(1,a)－eq\f(1,b)＝eq\f(b－a,ab)，∵a<b<0，∴b－a>0，ab>0，∴eq\f(b－a,ab)>0，即eq\f(1,a)>eq\f(1,b)，故選項(xiàng)B不正確；選項(xiàng)C，∵a<b<0，∴取a＝－2，b＝－1，則eq\f(b,a)＝eq\f(－1,－2)＝eq\f(1,2)，eq\f(a,b)＝2，此時(shí)eq\f(b,a)<eq\f(a,b)，故選項(xiàng)C不正確；選項(xiàng)D，∵a<b<0，∴a2－ab＝a(a－b)>0，∴a2>ab.又∵ab－b2＝b(a－b)>0，∴ab>b2，故選項(xiàng)D正確，故選D．6．(2019屆河南濮陽3月模擬)已知不等式ax2＋bx＋c>0的解集是{x|α<x<β}(α>0)，則不等式cx2＋bx＋a<0的解集是()A．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,β)，\f(1,α))) B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,β)))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,α)，＋∞))C．(α，β) D．(－∞，α)∪(β，＋∞)解析：選B若不等式ax2＋bx＋c>0的解集是{x|α<x<β}(α>0)，則α，β是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的實(shí)數(shù)根，且a<0，∴α＋β＝－eq\f(b,a)，αβ＝eq\f(c,a).∵不等式cx2＋bx＋a<0可以化為eq\f(c,a)x2＋eq\f(b,a)x＋1>0，∴αβx2－(α＋β)x＋1>0，即(αx－1)(βx－1)>0.又0<α<β，∴eq\f(1,α)>eq\f(1,β)>0，∴不等式cx2＋bx＋a<0的解集為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x<\f(1,β)或x>\f(1,α)))))，故選B．7．(2019屆廣東梅州3月模擬)關(guān)于x的不等式x2－(m＋2)x＋2m<0的解集中恰有3個(gè)正整數(shù)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為()A．(5，6] B．(5，6)C．(2，3] D．(2，3)解析：選A關(guān)于x的不等式x2－(m＋2)x＋2m<0可化為(x－m)(x－2)<0，∵該不等式的解集中恰有3個(gè)正整數(shù)，∴不等式的解集為{x|2<x<m}，且5<m≤6，即實(shí)數(shù)m的取值范圍是(5，6]．故選A．8．(2019年天津卷)設(shè)x∈R，使不等式3x2＋x－2<0成立的x的取值范圍為________．解析：∵3x2＋x－2<0，即(3x－2)(x＋1)<0，∴－1<x<eq\f(2,3).答案：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f(2,3)))9．(2019屆河南中原名校聯(lián)考)已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù)．當(dāng)x>0時(shí)，f(x)＝x2－2x，則不等式f(x)>x的解集用區(qū)間表示為______________．解析：設(shè)x<0，則－x>0，因?yàn)閒(x)是奇函數(shù)，所以f(x)＝－f(－x)＝－(x2＋2x)＝－x2－2x.又f(0)＝0，所以f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2－2x（x>0），,0（x＝0），,－x2－2x（x<0），))于是不等式f(x)>x等價(jià)于eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x>0，,x2－2x>x))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x<0，,－x2－2x>x，))解得x>3或－3<x<0.故不等式的解集為(－3，0)∪(3，＋∞)．答案：(－3，0)∪(3，＋∞)10．(2019屆原創(chuàng)沖刺卷一)若f(x)表示x－2和3x2－5x－2中的較大者，則函數(shù)f(x)的最小值是________．解析：在同一直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)y＝x－2和函數(shù)y＝3x2－5x－2的圖象(圖略)，易知函數(shù)f(x)的最小值是－2.答案：－211．若關(guān)于x的不等式x2－ax＋1≤0的解集中只有一個(gè)整數(shù)，且該整數(shù)為1，則a的取值范圍為________．解析：令f(x)＝x2－ax＋1，由題意可得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(f（1）≤0，,f（2）>0，))解得2≤a<eq\f(5,2).答案：eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(5,2)))12．(2019屆江蘇啟東中學(xué)模考)已知△ABC的三邊長(zhǎng)分別為a，b，c，且滿足b＋c≤3a，則eq\f(c,a)的取值范圍為________．解析：由已知及三角形的三邊關(guān)系得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a<b＋c≤3a，,a＋b>c，,a＋c>b，))∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1<\f(b,a)＋\f(c,a)≤3，,1＋\f(b,a)>\f(c,a)，,1＋\f(c,a)>\f(b,a)，))∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1<\f(b,a)＋\f(c,a)≤3，,－1<\f(c,a)－\f(b,a)<1，))兩式相加得，0<2×eq\f(c,a)<4，∴eq\f(c,a)的取值范圍為(0，2)．答案：(0，2)B級(jí)·素養(yǎng)提升|練能力|13.(2019年全國(guó)卷Ⅱ)若a>b，則()A．ln(a－b)>0 B．3a<3bC．a(chǎn)3－b3>0 D．|a|>|b|解析：選C解法一：由函數(shù)y＝lnx的圖象(圖略)知，當(dāng)0<a－b<1時(shí)，ln(a－b)<0，故A不正確；因?yàn)楹瘮?shù)y＝3x在R上單調(diào)遞增，所以當(dāng)a>b時(shí)，3a>3b，故B不正確；因?yàn)楹瘮?shù)y＝x3在R上單調(diào)遞增，所以當(dāng)a>b時(shí)，a3>b3，即a3－b3>0，故C正確；當(dāng)b<a<0時(shí)，|a|<|b|，故D不正確．故選C．解法二：當(dāng)a＝0.3，b＝－0.4時(shí)，ln(a－b)<0，3a>3b，|a|<|b|，故排除A、B、D．故選C．14．(2019屆湖南湘潭3月聯(lián)考)若不等式4x2＋ax＋4>0的解集為R，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A．(－16，0) B．(－16，0]C．(－∞，0) D．(－8，8)解析：選D∵不等式4x2＋ax＋4>0的解集為R，∴Δ＝a2－4×4×4<0，解得－8<a<8，∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是(－8，8)．故選D．15．(2019屆河北正定中學(xué)月考)已知f(x)＝ax2＋x－a，a∈R.(1)若不等式f(x)>(a－1)x2＋(2a＋1)x－3a－1對(duì)任意的x∈[－1，1]恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(2)若a<0，解不等式f(x)>1.解：(1)原不等式等價(jià)于x2－2ax＋2a＋1>0對(duì)任意的x∈[－1，1]恒成立，設(shè)g(x)＝x2－2ax＋2a＋1＝(x－a)2－a2＋2a＋1，x∈[－1，1]．①當(dāng)a<－1時(shí)，g(x)min＝g(－1)＝1＋2a＋2a＋1>0，無解；②當(dāng)－1≤a≤1時(shí)，g(x)min＝g(a)＝－a2＋2a＋1>0，解得1－eq\r(2)<a≤1；③當(dāng)a>1時(shí)，g(x)min＝g(1)＝1－2a＋2a＋1>0，解得a>1.綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍為(1－eq\r(2)，＋∞)．(2)f(x)>1，即ax2＋x－a－1>0，即(x－1)(ax＋a＋1)>0，因?yàn)閍<0，所以(x－1)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(a＋1,a)))<0.因?yàn)?－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(a＋1,a)))＝eq\f(2a＋1,a)，所以當(dāng)－eq\f(1,2)