半導(dǎo)體光電子學(xué)（第3版）課件 【ch01】半導(dǎo)體中光子-電子的相互作用

半導(dǎo)體中光子-電子的相互作用第一章半導(dǎo)體光電子學(xué)

01半導(dǎo)體中量子躍遷的特點(diǎn)01受激吸收當(dāng)適當(dāng)能量的光子與半導(dǎo)體相互作用，并把能量傳遞給價(jià)帶中的電子，使之躍遷到導(dǎo)帶，從而在半導(dǎo)體中產(chǎn)生電子-空穴對(duì)，這就是受激吸收，也是光電導(dǎo)、光探測(cè)器的工作原理。03受激發(fā)射若上述導(dǎo)帶電子與價(jià)帶空穴復(fù)合過(guò)程不是自發(fā)的，而是在適當(dāng)能量的光子激勵(lì)下進(jìn)行的，則由復(fù)合產(chǎn)生的光子就與激發(fā)該過(guò)程的光子有完全相同的特性。02自發(fā)發(fā)射在熱平衡下，如果在半導(dǎo)體的導(dǎo)帶與價(jià)帶中分別有一定數(shù)量的電子與空穴，導(dǎo)帶中電子以一定的幾率與價(jià)帶中空穴復(fù)合并以光子形式放出復(fù)合所產(chǎn)生的能量。1.1增益系數(shù)與電流密度的關(guān)系突出特點(diǎn)和重要地位在半導(dǎo)體同一能帶內(nèi)處在不同激勵(lì)狀態(tài)的電子態(tài)之間存在相當(dāng)大的相互作用(或共有化運(yùn)動(dòng))。突出特點(diǎn)和重要地位在兩能級(jí)的激光系統(tǒng)中，每一處于激發(fā)態(tài)的電子有它唯一返回的基態(tài)(即某一特定的原子態(tài))。突出特點(diǎn)和重要地位半導(dǎo)體能帶中存在高的電子態(tài)密度，因而在半導(dǎo)體中有可能具有很高的量子躍遷速率。突出特點(diǎn)和重要地位半導(dǎo)體中的電子態(tài)可以通過(guò)擴(kuò)散或漂移運(yùn)動(dòng)在材料中傳播，可以將載流子直接注入發(fā)光二極管或激光器的有源區(qū)中，因而有很高的能量轉(zhuǎn)換效率。1.1增益系數(shù)與電流密度的關(guān)系02直接帶隙與間接帶隙躍遷2.1概述你的標(biāo)題在此處添加內(nèi)容在此次添加內(nèi)容在此處添加內(nèi)容在此次添加內(nèi)容。在此處添加內(nèi)容在此次添加內(nèi)容在此處添加內(nèi)容在此次添加內(nèi)容。你的標(biāo)題在此處添加內(nèi)容在此次添加內(nèi)容在此處添加內(nèi)容在此次添加內(nèi)容。在此處添加內(nèi)容在此次添加內(nèi)容在此處添加內(nèi)容在此次添加內(nèi)容。2.1概述

電子的帶間躍遷發(fā)生在導(dǎo)帶和價(jià)帶之間，如果電子躍遷的初、終態(tài)對(duì)應(yīng)著布里淵區(qū)的同一波矢量k,則在能帶圖上表現(xiàn)為豎直方向的躍遷，故稱這種躍遷為豎直躍遷，如同電子在GaAs等多數(shù)Ⅲ~V族和Ⅱ-VI族化合物半導(dǎo)體中躍遷的情況；相反，若躍遷所涉及的初、終態(tài)不對(duì)應(yīng)同一波矢量k,且其差值大于晶格常數(shù)的倒數(shù)，則由能帶圖可以看出，電子在導(dǎo)帶極小值與價(jià)帶極大值之間的躍遷為非豎直方向，因而得名非豎直躍遷，電子在Ge、Si中的躍遷就屬于這種情況。GaAs等多數(shù)半導(dǎo)體中的豎直躍遷對(duì)應(yīng)著布里淵區(qū)的中心點(diǎn)(T),此處的k=0。而另一些豎直躍遷半導(dǎo)體(如IV-VI族化合物)則有多個(gè)導(dǎo)帶能量最小值和價(jià)帶能量最大值與布里淵區(qū)中心呈對(duì)稱分布，這種簡(jiǎn)并態(tài)使同一k值的態(tài)密度增加。2.1概述

2.1概述

不管是豎直躍遷還是非豎直躍遷，也不論是吸收光子還是發(fā)射光子，量子系統(tǒng)總的動(dòng)量和能量都必須守恒，這就叫躍遷的k選擇定則。設(shè)與電子躍遷有關(guān)的初態(tài)能量和動(dòng)量分別為E,和hk;,而終態(tài)的能量和動(dòng)量分別為E和hk,進(jìn)一步假設(shè)躍遷過(guò)程只涉及一個(gè)光子，以E?>E:(電子從導(dǎo)帶高能態(tài)躍遷到價(jià)帶低能態(tài))為例，上述能量和動(dòng)量守恒定律可表示為：式中，hv為光子的能量，hk,為光子的動(dòng)量。光子的波數(shù)是很小的，如波長(zhǎng)為1μum時(shí)，k≈6×10?cm21<π/a(π/a為布里淵區(qū)邊界的波數(shù)，a為晶格常數(shù)),因而可以將光子的動(dòng)量忽略不計(jì)。2.1概述

對(duì)于間接帶隙半導(dǎo)體材料，其導(dǎo)帶底與價(jià)帶頂?shù)奈恢脤?duì)應(yīng)不同的k值，則發(fā)生在導(dǎo)帶底與價(jià)帶頂之間的躍遷就不遵守由式(1.2-2)所表示的準(zhǔn)動(dòng)量守恒，但實(shí)驗(yàn)上卻觀察到電子由價(jià)帶頂?shù)綄?dǎo)帶底躍遷所引起的吸收，所以一定有另外的過(guò)程存在，它使得電子躍遷的初態(tài)和終態(tài)不為同一k值時(shí)仍能滿足準(zhǔn)動(dòng)量守恒，這就是有聲子參與的吸收與發(fā)射過(guò)程。由于多聲子過(guò)程較單聲子過(guò)程發(fā)生的幾率小得多，故在此只考慮單聲子參與的躍遷過(guò)程。如果令聲子的波矢量為k,這時(shí)的準(zhǔn)動(dòng)量守恒變?yōu)?.1概述

對(duì)于間接帶隙半導(dǎo)體材料，其導(dǎo)帶底與價(jià)帶頂?shù)奈恢脤?duì)應(yīng)不同的k值，則發(fā)生在導(dǎo)帶底與價(jià)帶頂之間的躍遷就不遵守由式(1.2-2)所表示的準(zhǔn)動(dòng)量守恒，但實(shí)驗(yàn)上卻觀察到電子由價(jià)帶頂?shù)綄?dǎo)帶底躍遷所引起的吸收，所以一定有另外的過(guò)程存在，它使得電子躍遷的初態(tài)和終態(tài)不為同一k值時(shí)仍能滿足準(zhǔn)動(dòng)量守恒，這就是有聲子參與的吸收與發(fā)射過(guò)程。由于多聲子過(guò)程較單聲子過(guò)程發(fā)生的幾率小得多，故在此只考慮單聲子參與的躍遷過(guò)程。如果令聲子的波矢量為k,這時(shí)的準(zhǔn)動(dòng)量守恒變?yōu)?.1概述

式中，ho,表示聲子的能量，聲子實(shí)質(zhì)是晶格熱振動(dòng)能量的量子化形成的微觀粒子。符號(hào)“土”有雙重意義，由于躍遷過(guò)程是導(dǎo)帶電子躍遷到價(jià)帶并發(fā)射光子，則上式中的負(fù)號(hào)表示發(fā)射聲子，正號(hào)表示吸收聲子。若躍遷過(guò)程是由吸收光子所激發(fā)的電子由價(jià)帶到導(dǎo)帶的躍遷(受激吸收，則有聲子參與的能量和動(dòng)量守恒關(guān)系與式(1.2-4)和式(1.2-5)類似，這里不再贅述。與前面的直接帶隙躍遷相比，這種有聲子參加才滿足準(zhǔn)動(dòng)量守恒的躍遷被稱為間接帶隙躍遷或間接躍遷，由于除光子外還有聲子參與電子和空穴之間的躍遷過(guò)程，因此有四種量子參與這種躍遷過(guò)程，屬二級(jí)微擾過(guò)程，其躍遷幾率比前面所述的一級(jí)微擾過(guò)程小得多。因此，不能用間接帶隙半導(dǎo)體材料來(lái)做半導(dǎo)體激光器或發(fā)光二極管的有源材料。無(wú)疑，對(duì)理想的半導(dǎo)體光電探測(cè)器，其吸收區(qū)也宜用直接帶隙半導(dǎo)體材料。2.1概述

但對(duì)于聲子ho,所參與的躍遷過(guò)程，只要入射光子的能量ho>Eg(Eg為半導(dǎo)體材料的禁帶寬度或帶隙),那么價(jià)帶內(nèi)距價(jià)帶頂能量范圍為(h(o±O?)-E?)的電子以及導(dǎo)帶內(nèi)距導(dǎo)帶底能量范圍為(h(o±?)-Eg)的電子空態(tài)都能參與躍遷，這就使參與躍遷的狀態(tài)范圍擴(kuò)大，這在一定程度上彌補(bǔ)了間接帶隙躍遷幾率小的因素，而使總的躍遷幾率并不太小?；谶@點(diǎn)，目前硅是在短波段(0.6～1.0μm)、鍺是在長(zhǎng)波段(1.0～1.7μm)可用的光探測(cè)器的光吸收材料。

決定躍遷幾率的基本出發(fā)點(diǎn)是考慮到與半導(dǎo)體中電子相互作用的輻射場(chǎng)是一個(gè)隨時(shí)間周期變化的函數(shù)，因此，處理半導(dǎo)體中電子與光子相互作用的量子力學(xué)系統(tǒng)時(shí)要使用與時(shí)間有關(guān)的微擾論。為此，首先要確定包括微擾(把輻射場(chǎng)看成是微擾)在內(nèi)的描述量子力學(xué)系統(tǒng)能量的哈密頓量和描述該系統(tǒng)信息的波函數(shù)，再求解與時(shí)間有關(guān)的薛定諤方程.

電子在輻射場(chǎng)中所受到的力是非保守力，即它所做的功不僅與力的大小有關(guān)，還與路徑有關(guān)。2.2電子在能帶之間的躍遷幾率2.2電子在能帶之間的躍遷幾率

電子在輻射場(chǎng)中所受到的力是非保守力，即它所做的功不僅與力的大小有關(guān)，還與路徑有關(guān)。電子在輻射場(chǎng)中所受到的力是非保守力，即它所做的功不僅與力的大小有關(guān)，還與路徑有關(guān)。電子在輻射場(chǎng)中所受到的力是非保守力，即它所做的功不僅與力的大小有關(guān)，還與路徑有關(guān)。因此用矢量場(chǎng)而不用標(biāo)量場(chǎng)來(lái)表示輻射場(chǎng)。設(shè)輻射場(chǎng)的矢量勢(shì)為A,受到其微擾的量子力學(xué)系統(tǒng)的哈密頓量可表示為。如果忽略含A2的非線性項(xiàng)，并與本征量子力學(xué)(未受微擾)的哈密頓量比較就可得到微擾勢(shì)H'為2.2電子在能帶之間的躍遷幾率

2.2電子在能帶之間的躍遷幾率

2.2電子在能帶之間的躍遷幾率

010302

束縛電子的波函數(shù)可以寫成與晶格周期有關(guān)的布洛赫函數(shù)u(r)與類氫原子中的電子態(tài)波函數(shù)平(r)之積，即(r)=Yeny(r)u?(r)

與束縛態(tài)相對(duì)的能帶中自由載流子波函數(shù)可以取拋物線能帶近似中波矢為k的平面波函數(shù)。平(r)=V-V2u?(r)exp(jk?！)

矩陣元{x(r)P|us(r)是本征帶的布洛赫平均矩陣元或帶間躍遷矩陣元M。對(duì)Ⅲ-V族化合物半導(dǎo)體的|M2。Moi=MoMeny

2.3電子在淺雜質(zhì)能級(jí)和與其相對(duì)的能帶之間的躍遷

2.3電子在淺雜質(zhì)能級(jí)和與其相對(duì)的能帶之間的躍遷當(dāng)躍遷發(fā)生在淺受主能級(jí)與導(dǎo)帶之間時(shí)，式中k=(2m。E。/n2)2,其中E。是從導(dǎo)帶底算起的導(dǎo)帶電子能量。圖1.2-3給出了|MmP(V/a°)與ak,之間的關(guān)系。由圖看出，與躍遷相聯(lián)系的電子可能產(chǎn)生的躍遷主要是與那些名<1/a的空穴態(tài)相關(guān)的。隨著空穴濃度的增加，束縛電子的躍遷幾率起初成比例地增加，但隨著導(dǎo)帶低能級(jí)的占滿和高能級(jí)的M趨向零，總的躍遷(包括淺受主能級(jí)與導(dǎo)帶之間的躍遷以及價(jià)帶與導(dǎo)帶之間的躍遷)幾率將趨向一個(gè)有限值，即達(dá)到帶與帶之間的躍遷幾率。2.4重?fù)诫s時(shí)的帶-帶躍遷

早期的同質(zhì)結(jié)半導(dǎo)體激光器為了實(shí)現(xiàn)粒子數(shù)反轉(zhuǎn)，需對(duì)N區(qū)和P區(qū)分別摻以濃度高達(dá)101?/cm3的施主雜質(zhì)和101/cm3的受主雜質(zhì)。此外，幾乎在所有的半導(dǎo)體光電子器件中，也需要對(duì)與金屬接觸的半導(dǎo)體材料施以濃度大于101?/cm3的高摻雜(重?fù)诫s)。當(dāng)摻雜濃度高到一定程度時(shí)，雜質(zhì)原子外層電子的波函數(shù)(按經(jīng)典說(shuō)法是外層電子運(yùn)動(dòng)的軌道)發(fā)生相互交疊而形成雜質(zhì)能帶，當(dāng)雜質(zhì)帶與本征拋物線能帶相接時(shí)，就相當(dāng)于原來(lái)的導(dǎo)帶或價(jià)帶長(zhǎng)出了一個(gè)帶尾，相當(dāng)于帶隙變窄，因而光譜變寬。斯特恩(Stern)?]對(duì)高摻雜半導(dǎo)體中的躍遷幾率作了理論分析，為了反映出在帶尾中的半局域電子態(tài)的特點(diǎn)，提出了一個(gè)既有晶體中電子所具有的周期性特點(diǎn)，又有如束縛電子那樣其振幅隨距離雜質(zhì)中心位置指數(shù)衰減的波函數(shù)(adhoc波函數(shù))。03光子密度分布與能量分布3.1光子密度分布與能量分布

既然半導(dǎo)體光電子學(xué)涉及的是電子與光子的相互作用，則了解二者的態(tài)密度及其能量分布是基本的，這關(guān)系到電子在半導(dǎo)體能帶間的躍遷速率。本節(jié)和1.4節(jié)將分別闡述光子和電子的態(tài)密度及其能量分布。與電子相互作用的光場(chǎng)，即使是單色性好的激光，光子隨能量仍分布在一個(gè)有限的光譜范圍內(nèi)。在此用黑體輻射理論分析光子密度分布。將黑體輻射作為輻射場(chǎng)來(lái)分析兩能級(jí)系統(tǒng)中的量子躍遷特點(diǎn)是由愛因斯坦所確立和被廣泛采用的方法。分析表明，將黑體輻射作為輻射場(chǎng)來(lái)分析其與具有能帶結(jié)構(gòu)的半導(dǎo)體中電子互作用所得到的規(guī)律并不失其普遍意義。對(duì)于黑體輻射，要推導(dǎo)的物理量是單位體積、單位頻率間隔內(nèi)的光子數(shù)，即光子密度分布，這就是普朗克研究黑體輻射時(shí)早已得出的黑體輻射公式。在研究光與電子相互作用的問(wèn)題中所感興趣的是輻射場(chǎng)某一振蕩模式中的輻射(光子)密度。3.1光子密度分布與能量分布

設(shè)輻射腔為一邊長(zhǎng)為L(zhǎng)的立方光學(xué)諧振腔，取L>λ,從而就會(huì)有多個(gè)允許的振蕩模式在腔內(nèi)存在。光子在諧振腔內(nèi)能產(chǎn)生穩(wěn)定振蕩的所謂諧振條件(駐波條件)要求光子在腔內(nèi)來(lái)回一周的光程應(yīng)等于所傳播的平面波波長(zhǎng)A的整數(shù)倍，可以用波數(shù)k來(lái)表示這三維空間的駐波條件，即式中，m、p和q均為正整數(shù)，因此每個(gè)模所占體積為(π/L)3。在以k、k,和k,為直角坐標(biāo)系所表示的k空間內(nèi)，代表每一個(gè)狀態(tài)(或模式)的點(diǎn)表示為3.1光子密度分布與能量分布

式中，a、b和c分別為三個(gè)坐標(biāo)軸上的單位矢量，在k空間中，波數(shù)從k→k+δk的球殼體積為4πk2sk,因式(1.3-1)中m、p和q取正整數(shù)，所以我們只需考慮1/8球殼內(nèi)的k態(tài)數(shù)，其值為考慮到光場(chǎng)有TE與TM兩個(gè)偏振態(tài)，故1/8球殼內(nèi)的總態(tài)數(shù)應(yīng)是式(1.3-3)的兩倍。同時(shí)，光子態(tài)密度是體積V=P中單位體積中的態(tài)數(shù)，因此，光子態(tài)密度為3.1光子密度分布與能量分布

實(shí)際上，這里所討論的并不是一個(gè)空腔，而是具有折射率為n的半導(dǎo)體材料，而在半導(dǎo)體中色散又往往是不能忽略的，所以介質(zhì)中的波數(shù)k及其微分δk可寫為式中，v為光子諧振頻率，式(1.3-6)方括號(hào)內(nèi)的因子表示折射率色散。還可用光子的能量E=hv來(lái)表示k與δk3.1光子密度分布與能量分布

04電子態(tài)密度與占據(jù)幾率

4.1電子態(tài)密度與占據(jù)幾率在半導(dǎo)體導(dǎo)帶中的電子和價(jià)帶中的空穴分布通?？杀硎緸槟骋荒芰肯码娮踊蚩昭ǖ膽B(tài)密度p(E)與該能態(tài)為電子所占據(jù)的幾率f(E)之積，這類似于上一節(jié)所討論的光子態(tài)密度分布。下面還將發(fā)現(xiàn)，在推導(dǎo)電子態(tài)密度分布過(guò)程中還有一些與前面對(duì)光子態(tài)密度分布的推導(dǎo)相似之處，所不同的是電子屬費(fèi)米子，它受泡利不相容原理所制約。因此，電子與光子不同，它服從費(fèi)米-狄拉克統(tǒng)計(jì)分布。在純半導(dǎo)體中，單位能量間隔的態(tài)密度是從電子波函數(shù)得來(lái)的。在1.2節(jié)中已經(jīng)談到，本征半導(dǎo)體能帶的電子波函數(shù)是一個(gè)波矢為k的平面波。和光子能態(tài)一樣，半導(dǎo)體中電子的。每一能態(tài)也對(duì)應(yīng)著某特定波矢為k的波函數(shù)的駐波圖案。這樣，我們可以再一次在半導(dǎo)體中隔出一個(gè)邊長(zhǎng)為L(zhǎng)的立方體，在該立方體中波矢為k的平面波得到穩(wěn)定駐波圖案所需要滿足的條件同樣為

4.1電子態(tài)密度與占據(jù)幾率在k空間的每一電子態(tài)同樣占據(jù)(π/L)3的體積，在k→k+δk

的能量間隔內(nèi)單位體積的電子態(tài)數(shù)同樣由厚度為δk

的1/8球殼體積與(π/L)3之比求得顯然式(1.4-2)中的p(k)具有k空間態(tài)密度的物理意義。和光子具有兩個(gè)偏振態(tài)一樣，在式(1.4-2)中已經(jīng)計(jì)入了電子所具有的兩個(gè)自旋態(tài)。由能帶論指出，晶體中電子與自由電子的差別在于晶體中的電子有與自由電子質(zhì)量不同的有效質(zhì)量。為了用能量而不用k來(lái)表示電子的態(tài)密度，我們利用電子動(dòng)量P=hk

與其能量的關(guān)系E=P2/2m,以導(dǎo)帶底為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別寫出導(dǎo)帶電子能量E。和價(jià)帶空穴能量E,的表達(dá)式：05躍遷速率與愛因斯坦關(guān)系01

與躍遷有關(guān)的電子能級(jí)的情況。顯然電子在半導(dǎo)體能帶之間的躍遷只能始于電子的占有態(tài)而終止于電子的空態(tài)，因此躍遷速率應(yīng)正比于與躍遷有關(guān)的初態(tài)被電子占據(jù)的幾率和躍遷終態(tài)被空著的幾率。03

單位能量間隔中參與躍遷的電子態(tài)密度，這對(duì)激勵(lì)光為多模時(shí)固然重要，但即使是單色光，也同樣應(yīng)該考慮在單位能量間隔中參與光躍遷的電子態(tài)密度。因?yàn)槟骋惶囟芰康墓庾幽苁拱雽?dǎo)體能帶中一定能量范圍內(nèi)的電子躍遷。02

在受激發(fā)射與受激吸收躍遷中，躍遷速率應(yīng)正比于激勵(lì)該躍遷過(guò)程的入射光子密度。為產(chǎn)生受激躍遷，需使入射光子的能量大于或等于與躍遷有關(guān)的兩能級(jí)之間的能量差。5.1凈的受激發(fā)射速率和半導(dǎo)體激光器粒子數(shù)反轉(zhuǎn)

5.1凈的受激發(fā)射速率和半導(dǎo)體激光器粒子數(shù)反轉(zhuǎn)按照量子力學(xué)原理，光子與電子互作用時(shí)間越短或互作用過(guò)程越快，則躍遷所涉及的能量范圍就越寬。因此，在有多對(duì)能級(jí)參與躍遷的情況下，有必要在總的躍遷速率表達(dá)式中引進(jìn)有關(guān)電子的態(tài)密度。用Prea(hv)表示單位能量間隔中，兩自旋方向之一的電子參與光躍遷的密度。Pra(hv)是受選擇定則限制的。嚴(yán)格的k選擇定則要求導(dǎo)帶中每一能級(jí)只能與價(jià)帶中具有同樣電子自旋的一個(gè)能級(jí)相關(guān)。因此Pred(hv)具有折合態(tài)密度的意義，并表示為式中，δN/2是兩個(gè)自旋方向之一的電子態(tài)數(shù)的增量，這對(duì)導(dǎo)帶與價(jià)帶都是相同的；OE。和δE,分別為導(dǎo)帶與價(jià)帶中的能量增量，在此能量范圍內(nèi)有相同的態(tài)數(shù)以保證躍遷在相等k值下進(jìn)行；p.和p,分別為由式(1.4-5)和式(1.4-6)表示的電子和空穴的態(tài)密度。以后將看到，即使實(shí)際上不可能存在嚴(yán)格的k選擇定則，但這并不影響目前的討論。

5.1凈的受激發(fā)射速率和半導(dǎo)體激光器粒子數(shù)反轉(zhuǎn)決定躍遷速率的第四個(gè)因素是躍遷幾率系數(shù)，這已在1.2節(jié)中討論。它們包括受激吸收躍遷幾率B?、受激發(fā)射躍遷幾率B?和自發(fā)發(fā)射躍遷幾率A?。對(duì)于嚴(yán)格的k選擇定則，這些系數(shù)描述了在光子能量hv下所有可能發(fā)生的躍遷，因此這些系數(shù)的確定需和前面所討論的那樣，從躍遷初態(tài)到終態(tài)對(duì)分布態(tài)函數(shù)進(jìn)行積分。然而，不論所涉及的k選擇定則嚴(yán)格與否，均不影響下面將討論它們之間的關(guān)系——愛因斯坦關(guān)系，它反映了熱平衡下量子躍遷系統(tǒng)的普遍規(guī)律。基于上面這些討論，就很容易寫出三種躍遷情況的躍遷速率并確定它們之間的相互關(guān)系。因所考慮的躍遷量子系統(tǒng)處在熱平衡下，則導(dǎo)帶與價(jià)帶的準(zhǔn)費(fèi)米能級(jí)應(yīng)相等，即F.=Fy。因此描述電子占據(jù)幾率的函數(shù)f.和f,就可使用統(tǒng)一的費(fèi)米能級(jí)。若激勵(lì)該系統(tǒng)的光子能量具有連續(xù)譜，則所求的躍遷速率是單位體積、單位能量間隔的速率。對(duì)于電子從價(jià)帶向?qū)У氖芗の?，其躍遷速率為5.1凈的受激發(fā)射速率和半導(dǎo)體激光器粒子數(shù)反轉(zhuǎn)5.1凈的受激發(fā)射速率和半導(dǎo)體激光器粒子數(shù)反轉(zhuǎn)

式(1.5-8)和式(1.5-9)稱為愛因斯坦關(guān)系，它和對(duì)二能級(jí)系統(tǒng)做類似分析所得的結(jié)果是一致的。它們表示了熱平衡條件下，自發(fā)發(fā)射、受激吸收與受激發(fā)射三種躍遷幾率之間的關(guān)系。因?yàn)椴Ｉ?愛因斯坦分布函數(shù)本身表示每個(gè)態(tài)(模)中的平均光子數(shù)，所以如果激勵(lì)躍遷系統(tǒng)的是單色光，則躍遷速率只是單位體積而不是上面所說(shuō)的單位體積、單位能量間隔的躍遷速率。此時(shí)單位體積的光子數(shù)為將式(1.5-10)代替式(1.5-7)的左邊后，同樣可以得到B?=B?,只是自發(fā)發(fā)射躍遷幾率系數(shù)變?yōu)楝F(xiàn)在可以將V視為有源光學(xué)諧振腔的體積。除了上述聯(lián)系三種躍遷速率的愛因斯坦關(guān)系外，還可以進(jìn)一步分析這幾種躍遷速率之間的關(guān)系，并從這些分析中得出一些對(duì)光電子學(xué)器件的工作原理和特性具有重要意義的結(jié)論。

5.2自發(fā)發(fā)射與受激發(fā)射速率之間的關(guān)系如果被光子激勵(lì)的半導(dǎo)體能帶系統(tǒng)處在平衡態(tài)下，并且忽略導(dǎo)帶電子自發(fā)輻射復(fù)合的影響時(shí)，則受激發(fā)射速率與受激吸收速率是相等的，即有r=x?。但在有電子注入等非平衡條件下，就有可能使z>?,并令為受激發(fā)射與受激吸收速率之差，即凈的受激發(fā)射速率為

凈=721-2現(xiàn)在，我們就可和前面一樣，只需將已經(jīng)考慮了一個(gè)能量范圍內(nèi)的躍遷幾率B?(E。,hv)p。(E。)V代替式(1.5-2)和式(1.5-3)中的B??和B?,再對(duì)整個(gè)E.積分，就可得出相應(yīng)向上和向下總的躍遷速率，兩者之差即為凈的總躍遷速率，表示為式中p。(E。)表示p。為E。的函數(shù)、P,(E。-hv)表示p,為E,(=E。-hv)的函數(shù)。式(1.5-18)可簡(jiǎn)單表示為r(hv)=P(hv)W凈(hv)式中，W(hv)代表式(1.5-18)中的積分值。對(duì)于上述存在一個(gè)參與躍遷能量范圍的情況下，同樣可用價(jià)帶能量E,來(lái)表示單位能量間隔的躍遷幾率，即B?(E,,hv)p,(E,)V。此時(shí)p.以E.=E,+hv

為函數(shù)。故還可將系統(tǒng)凈的受激發(fā)射躍遷速率寫為對(duì)E,積分的表示式：=P(hv)W凈(hv)顯然，可以得到和前面同樣的受激發(fā)射條件，即f.>f。5.2自發(fā)發(fā)射與受激發(fā)射速率之間的關(guān)系

5.2自發(fā)發(fā)射與受激發(fā)射速率之間的關(guān)系

自發(fā)發(fā)射與受激發(fā)射有密切的關(guān)系。從某種意義上講，受激發(fā)射是放大的自發(fā)發(fā)射。在激光器中，引起受激發(fā)射的光子往往來(lái)源于自發(fā)發(fā)射。以后還要談到，就在每個(gè)激光模式中也包含著一定的自發(fā)發(fā)射分量，而且模式中自發(fā)發(fā)射與受激發(fā)射比率的大小將直接影響激光器的性能?？紤]到電子在能帶之間躍遷有一定的能量范圍這一特點(diǎn)，運(yùn)用和前面求凈受激發(fā)射速率式(1.5-18)和式(1.5-20)同樣的方法，可以寫出總的自發(fā)發(fā)射速率為其中已經(jīng)利用了式(1.5-9)。W。(hw)代表式(1.5-21)中的積分值。因此要知道r(hv)與r。(h)之間的關(guān)系，只需分析W(hy)與W。(hv)之間的關(guān)系。顯而易見，W(hm)與W,(hv)的比值為(f?-f)/[f.(1-f,)]且與能量無(wú)關(guān)，其值為{1-exp[(hv-(F?-F)/(kT)]},這樣就可得到

5.3凈的受激發(fā)射速率與增益系數(shù)的關(guān)系由式(1.5-13)和式(1.5-18)可知，當(dāng)滿足粒子數(shù)反轉(zhuǎn)條件時(shí)，凈的受激發(fā)射速率有正值，則光波通過(guò)處在這種狀態(tài)的介質(zhì)時(shí)將得到增益或放大。粒子數(shù)反轉(zhuǎn)程度越大，它所得到的增益也越大。顯然，粒子數(shù)反轉(zhuǎn)如變?yōu)樨?fù)值(對(duì)應(yīng)于f.<f,的情況),增益也就變?yōu)樨?fù)值，此時(shí)經(jīng)過(guò)這種介質(zhì)所傳播的光波將經(jīng)受吸收損耗。這里只討論凈受激發(fā)射速率與增益系數(shù)的關(guān)系，有關(guān)激光器的增益特性以后將詳細(xì)討論。通常將光波通過(guò)粒子數(shù)反轉(zhuǎn)區(qū)獲得的增益表示為F(z)=Fexp(gz)式中，z表示光的傳播方向，F(xiàn)(z)表示某一點(diǎn)z處單位面積的光子通量，F(xiàn)o

為光波進(jìn)入反轉(zhuǎn)區(qū)z=0時(shí)單位面積的光子通量，g為單位長(zhǎng)度的增益或增益系數(shù)。將式(1.5-23)微分就可看出g是單位面積所產(chǎn)生的附加光子通量與總光子通量之比，前者即該體積內(nèi)凈的受激發(fā)射速率r(hv),后者應(yīng)該是由式(1.3-15)表示的光子密度與光波在介質(zhì)中的傳播速度之積，因此有

5.4凈的受激吸收速率與吸收系數(shù)和凈的受激發(fā)射速率相反，凈的吸收速率就是電子在能帶系統(tǒng)中受激吸收速率?2與受激發(fā)射速率rz:之差(f?>z?)。很容易理解，它就是凈受激發(fā)射速率的負(fù)值[-(hv)],這對(duì)應(yīng)著激光器泵浦速率低或激勵(lì)水平在激光閾值以下的情況，此時(shí)式(1.5-22)中的(Fc-F)很小，從而W(hv)變?yōu)樨?fù)值，按照前面對(duì)增益系數(shù)完全類似的推導(dǎo)，可以把吸收系數(shù)a(hy)寫為式中，c/n仍為介質(zhì)中的光速。利用自發(fā)發(fā)射速率rs(hv)與W(hv)的關(guān)系式(1.5-21),并將其代入式(1.5-22)中，同時(shí)考慮到(F。-F)很小時(shí)可忽略式(1.5-22)方括號(hào)中的1,從而給出自發(fā)發(fā)射譜與吸收譜之間的關(guān)系：式中，Z(hv)代表單位能量間隔內(nèi)的態(tài)密度，為簡(jiǎn)單起見，不考慮實(shí)際存在的色散，則由式(1.3-13)可將其表示為5.4凈的受激吸收速率與吸收系數(shù)式(1.5-28)在泵浦水平未使帶間實(shí)現(xiàn)粒子數(shù)反轉(zhuǎn)以前總是能成立的。因此，可以利用半導(dǎo)體吸收譜的曲線來(lái)獲得自發(fā)發(fā)射譜。圖1.5-2就是利用這種關(guān)系對(duì)室溫下GaAs所測(cè)得的吸收譜(見圖1.5-2(a))和計(jì)算所得到的自發(fā)發(fā)射譜(見圖1.5-2(b)),所測(cè)樣品GaAs的空穴濃度為1.2×101?/cm3。半導(dǎo)體中的光吸收是一個(gè)很復(fù)雜的問(wèn)題，以上所討論的只是半導(dǎo)體增益介質(zhì)中有關(guān)光吸收的問(wèn)題，這在半導(dǎo)體激光器中將是一種損耗。除了上述帶間吸收外，還有多種機(jī)構(gòu)引起光吸收，諸如自由電子吸收，雜質(zhì)或缺陷吸收，激子吸收等。除了直接帶隙外，間接帶隙躍遷也引起光吸收。除內(nèi)部因素外，溫度、壓力等外部因素也對(duì)光吸收產(chǎn)生影響。有關(guān)半導(dǎo)體光吸收機(jī)理的分析，將在第9章做進(jìn)一步討論。06半導(dǎo)體中的載流子復(fù)合6.1自發(fā)輻射復(fù)合速率首先，我們還是從嚴(yán)格的k選擇條件得出的自發(fā)發(fā)射速率的表達(dá)式(1.5-4)出發(fā)，結(jié)合愛因斯坦關(guān)系式(1.5-9),對(duì)整個(gè)可能產(chǎn)生的光子能譜范圍寫出其總的自發(fā)發(fā)射速率R。式中，Z(hv)由式(1.5-29)給出，a為稍低于帶隙能量的積分下限。設(shè)注入的少數(shù)載流子是濃度為n的電子，則式(1.6-1)中的f.Pma(hv)d(hv)可以用dn/2代替(其中因子1/2是只考慮一個(gè)自旋方向的電子),因而可將式(1.6-1)寫為因?yàn)閆(hy)與B?(hv)實(shí)際上隨hv的變化很小而近似認(rèn)為是常數(shù)，因此在積分號(hào)內(nèi)與電子增量dn

有關(guān)的復(fù)合時(shí)間常數(shù)(即自發(fā)輻射載流子壽命)可表示如下：t=2[ZB?(1-f,)]16.1自發(fā)輻射復(fù)合速率由該式可以看出，當(dāng)f,→0時(shí)，即與導(dǎo)帶電子躍遷相關(guān)的價(jià)帶態(tài)完全是空著的，這時(shí)將有最大的躍遷速率，相應(yīng)的復(fù)合時(shí)間常數(shù)最小而接近1/(ZB?)。利用由式(1.5-29)表示的Z(hv)與由式(1.2-31)表示的B?,就可得到Ⅲ-V族化合物半導(dǎo)體非平衡電子的最小復(fù)合時(shí)間常數(shù)：式中各符號(hào)的意義都是所熟知的。作為一個(gè)例子，列出GaAlAs/GaAs激光器的一些典型數(shù)據(jù)：m.=0.067mg,A=0.87um,群折射率元=4.5,△=0.33eV,E?=1.42cV,將這些數(shù)據(jù)代入式(1.6-4)后得出Tmin=0.25(ns)前面曾經(jīng)提到由于輕空穴的有效質(zhì)量較小，因而輕空穴帶的態(tài)密度與重空穴帶相比也就很小，因此通常只需考慮非平衡電子與重空穴的復(fù)合。但如果價(jià)帶中的準(zhǔn)費(fèi)米能級(jí)足夠低而進(jìn)入輕空穴帶，此時(shí)輕空穴帶的作用就不能忽略，這時(shí)由式(1.6-4)所表示的最小復(fù)合時(shí)間需加倍。同樣，如注入的是非平衡空穴，而電子的準(zhǔn)費(fèi)米能級(jí)深入導(dǎo)帶較高的位置時(shí)，也需將tmi加倍。6.1自發(fā)輻射復(fù)合速率6.1自發(fā)輻射復(fù)合速率

載流子在半導(dǎo)體能帶之間的復(fù)合除了產(chǎn)生光輻射外，還可能產(chǎn)生俄歇非輻射復(fù)合。這種復(fù)合與載流子在表面態(tài)、異質(zhì)結(jié)界面態(tài)的復(fù)合影響相同，對(duì)半導(dǎo)體激光器、發(fā)光二極管的量子效率、可靠性和長(zhǎng)期工作的穩(wěn)定性等都帶來(lái)不利的影響。

在討論俄歇復(fù)合以前，有必要介紹一下在俄歇復(fù)合中有重要作用的自旋-軌道裂矩。前面曾提到在與光躍遷有關(guān)的價(jià)帶中，除了態(tài)密度較高的重空穴帶外，還有一個(gè)態(tài)密度較小的輕空穴帶，而且這兩個(gè)帶在價(jià)帶項(xiàng)是簡(jiǎn)并的。

對(duì)能帶結(jié)構(gòu)的進(jìn)一步分析還可發(fā)現(xiàn)，重空穴帶本身也是二重簡(jiǎn)并的。在實(shí)際晶體中，特別是討論帶間俄歇復(fù)合時(shí)，還必須考慮某一價(jià)電子的自旋磁矩與其他作軌道運(yùn)動(dòng)的價(jià)電子所產(chǎn)生的磁場(chǎng)之間的相互作用(即自旋-軌道互作用),其結(jié)果是使重空穴帶的二重簡(jiǎn)并解除。

在CCHC中，導(dǎo)帶的一個(gè)電子(C)與價(jià)帶重空穴帶上的一個(gè)空穴(H)復(fù)合后，將它們復(fù)合所放出的能量和動(dòng)量轉(zhuǎn)移到導(dǎo)帶的另一個(gè)電子(C)中，使其進(jìn)入更高的導(dǎo)帶電子能態(tài)(C)。6.2俄歇(Auger)復(fù)合6.2俄歇(Auger)復(fù)合顯然這種過(guò)程的復(fù)合速率正比于np2,n和p分別為導(dǎo)帶電子與價(jià)帶空穴的濃度。因此，我們可以將俄歇復(fù)合速率寫為式中，c.和c,分別為CCHC和CHHS俄歇復(fù)合系數(shù)。有一些學(xué)者已經(jīng)從不同的能帶結(jié)構(gòu)出發(fā)推出了復(fù)雜的俄歇復(fù)合速率表達(dá)式，但對(duì)同樣的俄歇過(guò)程由不同理論所得出的俄歇復(fù)合速率差別甚大，甚至達(dá)數(shù)量級(jí)的懸殊。6.2俄歇(Auger)復(fù)合

6.2俄歇(Auger)復(fù)合類似于前面求自發(fā)發(fā)射速率的方法，先把上述兩種帶間俄歇復(fù)合在熱平衡下的復(fù)合速率表示為式中，no、Po是平衡時(shí)的電子、空穴濃度，在非簡(jiǎn)并情況下，顯然有noPo=n2,n;為式(1.6-16)所示的本征載流子濃度。前面已提到，俄歇復(fù)合是碰撞電離的逆過(guò)程，碰撞電離的產(chǎn)生率依賴于高能電子的存在，而高能電子的數(shù)量與總的電子或空穴濃度成正比。因此，把單位時(shí)間、單