線性代數(shù)習(xí)題冊(cè)答案

線性代數(shù)習(xí)題冊(cè)(答案)x12x2x3x412．已知線性方程組2x22x36x42，寫出其增廣矩陣，并將增廣矩陣通過初等行變2x3x2x9241換化為階梯形、行最簡(jiǎn)形。2103．已知A，將A化成原則形。并寫出P、Q，使A的原則形等于PAQ。1320214．已知A213，運(yùn)用矩陣的初等變換，求A1。3345117A113236411011，AX2XA，求X。5．已知A0101練習(xí)二班級(jí)學(xué)號(hào)姓名1.選擇題：1）Amn的行階梯形中只有前r（r＜m且r＜n）行為非零行，則R(A)為（C）（A）0；（B）m；（C）r；（D）n.2）非零矩陣Amn（m＜n）中的所有的2階子式全為0，則A的原則形為（D）Em（A）00000010；（B）；（C）；（D）0E00000mnmnmnmmn3）方陣An的秩R(A)=n，則An必然不滿足（D）（A）An可逆；（B）An與E等價(jià)；（C）R(A)n；（D）存在BO,使ABO4）An為奇異矩陣，下列的錯(cuò)誤的是（C）T（A）R(A)R(A)；（B）R(A)n；（C）A0；（D）An不與單位陣E等價(jià)31022.已知矩陣A1121，求R(A)。1344R(A)=2123k3.設(shè)A12k3，問k為何值時(shí)，可分別使（1）（2）（3）R(A)=1；R(A)=2；R(A)=3？k234.已知n階方陣A，使A2E為不可逆矩陣，求證：A不為零矩陣。練習(xí)三班級(jí)學(xué)號(hào)姓名1．選擇題：1）當(dāng)（D）時(shí)，齊次線性方程組Amnx0一定有非零解。（A）m≠n；（B）m＝n；（C）m＞n；（D）m＜n.2）設(shè)A為n（≥2）階方陣，且R(A)=n-1，1,2是Ax0的兩個(gè)不一樣的解向量，k為任意常數(shù)，則AxO的通解為（C）（A）k1；（B）k2；（C）k(12)；（D）k(12).2．填空題:1）設(shè)4階方陣A(1234)，且1234，則方程組Ax的一種解向量為(1111)。2）設(shè)方程組A(n1)nxb有解，則其增廣矩陣的行列式Abx1x2a1xxa2323）若有解，則常數(shù)a1,a2,a3,a4應(yīng)滿足條件xxa334x4x1a4ai14i01x11124）已知方程組23a2x23無解，則a=-1。1a2x031112111223a2301a11a2000(a3)(a1)a3x1x2x503．求齊次線性方程組x1x2x30的解。xxx03454．解矩陣方程：12310X23101x1x2x315．取何值時(shí)，非齊次線性方程組x1x2x3（1）有唯一解；（2）無解；（3）有2x1x2x3無窮多解？并在有解時(shí)，求解。解：112111r1r3A111111211111r2r1r3r101101122213112r3r201120022132112011(1)200(2)(1)(1)(1)112（1）當(dāng)2,1時(shí)，有唯一解；A0112(1)0012x1(1)2(1)3221001110222x1(1)2(1)20100102222(1)2(1)2(1)2x3001001222（2）當(dāng)2時(shí)，無解；1111（3）當(dāng)1時(shí)，有無窮多解。A0000，0000x1111xc1c（其中c1,c2是任意實(shí)數(shù)）21200，x0103自測(cè)題1．選擇題：1）設(shè)A為n（≥2）階奇異方陣，A中有一元素aij的代數(shù)余子式Aij0，則方程組AxO的基礎(chǔ)解系所含向量個(gè)數(shù)為（B）（A）i；（B）1；（C）j；（D）n.x1x22x302）方程組x1x2x30的系數(shù)矩陣記為A，若存在三階方陣BO，xxx0312使得ABO，則（A）（A）1，B0；（B）1，B0；（C）1，B0；（D）1，B0.3）設(shè)A與B是n階方陣，齊次線性方程組AxO，BxO有相似的基礎(chǔ)解系1,2,3，則如下方程組以1,2,3為基礎(chǔ)解系的是（D）（A）(AB)xO；（B）ABxO；（C）BAxO；（D）AxO.B2．判斷題:1）初等矩陣與初等變換是一一對(duì)應(yīng)的（√）Er2）任一秩為r的矩陣A必與OTO等價(jià)（√）O3）AxO與AAxO為同解方程組（√）4）方程組Axb有無窮多種解的充足必要條件是Axb有兩個(gè)不一樣的解（√）3．設(shè)n階方陣A的列向量為i（i=1，2，3，…，n），n階方陣B的列向量為12,23,,n1n,n1，試問：當(dāng)R(A)n時(shí)，BxO與否有非零解？試證明你的結(jié)論。4．若齊次線性方程組AmnxO的解均為齊次線性方程組BlnxO的解，試證明R(A)R(B)。5．求方程組x1x20x1x2x30與的非零公共解。x2x40x2x3x40解：11001100101010101r3r1r32r20A11100210r4r2001110111010r4r3001001101r1r2000120000110101200000101010120121x1非零公共解為x2c1（c0,c是任意實(shí)數(shù)）2x3x46．設(shè)非齊次線性方程組Amnxb的系數(shù)矩陣Amn的秩為r，1,2,,nr是Amnx0的一種基礎(chǔ)解系，是Amnxb的一種解。證明：Amnxb的任一解可表達(dá)為xk1(1)k2(2)knr(nr)knr1,(k1k2knr11)7．設(shè)1,2,3,4,為四維列向量，A(1,2,3,4)，已知Ax的通解為11111*****xk1k2，其中，為對(duì)應(yīng)的齊次方程組的基礎(chǔ)解系，k1,k2為2010111010任意常數(shù)，令B(1,2,3)，試求By的通解。第四章向量組的線性有關(guān)性練習(xí)一班級(jí)學(xué)號(hào)姓名1．已知向量1,1,0,1,2,1,1,2,1,2,0,1，試求向量32.解：3231,1,0,122,1,1,21,2,0,1(6,3,2,6)2．已知向量組A:10,1,2,3,23,0,1,2,32,3,0,1,TTTB:12,1,1,2,20,2,1,1,34,4,1,3,證明B組能由A組線性表達(dá)，但A組不能由B組線性表達(dá)。解：TTT01AB23410312400**********03220XX年321220571612814479100041161570002051525041350031241615704135000000312R(A)3R(AB)，因此B組能由A組線性表達(dá)。2012BA11211000114032114103030*****3321012110311324121101121121011110100002100021000111010021000000R(B)2,R(BA)3，因此A組不能由B組線性表達(dá)。3．設(shè)可由1,2,,m線性表達(dá)，但不能由1,2,,m1線性表達(dá)，證明：m可由1,2,,m1,線性表達(dá)，而不能由1,2,,m1線性表達(dá)。4．已知11,4,0,2,22,7,1,3,30,1,1,a,3,10,b,4，問：（1）a,b取何值時(shí)，不能由1,2,3線性表達(dá)？（2）a,b取何值時(shí)，可由1,2,3線性表達(dá)？并寫出此體現(xiàn)式。解：TTTT14A1,2,3,023120371100112011b11b3a401a2201000311120000b20a1002031120a1000b220（1）當(dāng)a1,b2或a1,b2時(shí)，R(A)R(A)，不能由1,2,3線性表達(dá)。10（2）當(dāng)a1,b2時(shí)，A0031112000a10000020001102010000R(A)R(A)3，可由1,2,3線性表達(dá)，1220310當(dāng)a1,b2時(shí)，A003111200000000021112，00000002R(A)R(A)2，可由1,2,3線性表達(dá)。(12k)1(2k)2k3（kR）練習(xí)二班級(jí)學(xué)號(hào)姓名1．判斷向量組11,1,0,0,20,1,1,0,30,0,1,1,41,0,0,1的線性有關(guān)性。TTTT2．討論向量組11,1,0,21,3,1,35,3,t的線性有關(guān)性？即t取何值時(shí)，向量組線性無關(guān)？t又取何值時(shí)，向量組線性有關(guān)？TTT3．已知向量組1,2,3線性無關(guān)，判斷2132,233,123的線性有關(guān)性。4．假如向量可以用向量組1,2,,r線性表達(dá)，試證表達(dá)措施是唯一的充要條件是1,2,,r線性無關(guān)。練習(xí)三班級(jí)學(xué)號(hào)姓名1．已知向量組11,2,3,4,22,3,4,5,33,4,5,6,44,5,6,7，求該向量組的秩。2．求向量組11,1,2,4,20,3,1,2,33,0,7,14,41,2,2,0的秩和最大無關(guān)組，并把其他向量用此最大無關(guān)組線性表達(dá)。133．運(yùn)用初等行變換求矩陣24324142的列向量組的一種最大無關(guān)組，并把其他列向量342139用最大無關(guān)組線性表達(dá)。4．設(shè)A為n階矩陣（n≥2），A為A的伴隨矩陣，證明：n,當(dāng)R(A)nR(A)1,當(dāng)R(A)n10,當(dāng)R(A)n2練習(xí)四班級(jí)學(xué)號(hào)姓名x1x23x4x50x1x22x3x4x501．求齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系。4x2x6x5xx0*****2x14x22x34x416x50x13x23x32x4x532x6xx3x212342．求非齊次線性方程組的通解。x13x22x3x4x513x19x24x35x4x553．已知1,2,3是四元非齊次線性方程組Axb的解，R(A)2，且11220112,23,31,求該方程組的通解。0121234．設(shè)是齊次線性方程組Axb的一種解，1,2,,nr是對(duì)應(yīng)的齊次線性方程組的一種基礎(chǔ)解系，證明：（1）,1,2,,nr線行無關(guān)；（2）,1,2,,nr線行無關(guān)。練習(xí)五班級(jí)學(xué)號(hào)姓名1．試鑒定集合V(x1,x2,,xn)x1x2xn1,xiR與否構(gòu)成向量空間？2．求向量空間R4的基11,2,1,0,21,1,1,1,31,2,1,1,41,1,0,1,20,1,2,到基12,1,0,12,3坐標(biāo)變換公式。2,1,1,4,21,3,1,2的過渡矩陣和向量的自測(cè)題一、選擇題：1．設(shè)向量組（1）：1,：1,2等價(jià)，則（A）。2,3與向量組（2）（A）向量組（1）線性有關(guān)；（B）向量組（2）線性無關(guān)；（C）向量組（1）線性無關(guān)；（D）向量組（2）線性有關(guān)。2．設(shè)n維向量組1,2,,m線性無關(guān)，則（B）。（A）向量組中增長(zhǎng)一種向量后仍線性無關(guān)；（B）向量組中去掉一種向量后仍線性無關(guān)；（C）向量組中每個(gè)向量都去掉第一種分量后仍線性無關(guān)；（D）向量組中每個(gè)向量都任意增長(zhǎng)一種分量后仍線性無關(guān)。3．設(shè)三階行列式Daij0，則（A）。（A）D中至少有一行向量是其他行向量的線性組合；（B）D中每一行向量都是其他行向量的線性組合；（C）D中至少有兩行向量線性有關(guān)；（D）D中每一行向量都線性有關(guān)。4．設(shè)A:1,2,,4是一組n維向量，且1,2,3線性有關(guān)，則（D）。（A）A的秩等于4；（B）A的秩等于n；（C）A的秩等于1；（D）A的秩不不小于等于3。5．設(shè)不能由非零向量1,2,,s線性表達(dá)，則（D）。（A）1,2,,s線性有關(guān)；（B）1,2,,s,線性有關(guān)；（C）與某個(gè)i線性有關(guān)；（D）與任一i都線性無關(guān)。二、填空題：1．設(shè)n維向量1,2,3線性有關(guān)，則向量組12,23,31的秩。2．向量組,,線性有關(guān)的充足必要條件為。3．設(shè)1,2線性無關(guān)，而1,2,3線性有關(guān)，則向量組1,22,33的極大無關(guān)組