期中模擬卷高二上學期數(shù)學期中考試

高二數(shù)學期中復習綜合題一第I卷（選擇題）一、單項選擇題1．已知是空間向量的一種基底，則下列向量中能與，構成基底的是（）A． B． C． D．2．若是橢圓的一種焦點，是該橢圓上的動點，則的取值范圍是（）A． B． C． D．3．已知圓：和兩點，，若圓上存在點，滿足，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．4．如圖所示，空間四邊形OABC中，，，，點M在OA上，且，為中點，則等于（）A． B．C． D．5．已知向量，．若向量與向量平行，則實數(shù)m的值是（）A．2 B．-2 C．10 D．-106．已知，是橢圓的左焦點，點P是橢圓上的動點，求的最大值和最小值分別為（）A．； B．； C．； D．；7．第24屆冬季奧林匹克運動會，將在2月4日在中華人民共和國北京市和張家口市聯(lián)合舉行．這是中國歷史上第一次舉行冬季奧運會，北京成為奧運史上第一種舉行夏季奧林匹克運動會和冬季奧林匹克運動會的都市．同步中國也成為第一種實現(xiàn)奧運“全滿貫”（先后舉行奧運會、殘奧會、青奧會、冬奧會、冬殘奧會）國家．根據(jù)規(guī)劃，國家體育場（鳥巢）成為北京冬奧會開、閉幕式的場館．國家體育場“鳥巢”的鋼構造鳥瞰圖如圖所示，內外兩圈的鋼骨架是離心率相似的橢圓，若由外層橢圓長軸一端點和短軸一端點分別向內層橢圓引切線，（如圖），且兩切線斜率之積等于，則橢圓的離心率為（）A． B． C． D．8．已知點，分別為橢圓的左、右焦點，點在直線上運動，若的最大值為，則橢圓的離心率是（）A． B． C． D．二、多選題9．已知圓的一般方程為，則下列說法對的的是（）.A．圓的圓心為B．圓被軸截得的弦長為C．圓的半徑為D．圓被軸截得的弦長為10．下列說法中，對的的有（）A．過點P(1，2)且在x，y軸截距相等的直線方程為B．直線y＝3x-2在y軸上的截距為-2C．直線的傾斜角為60°D．過點(5，4)并且傾斜角為90°的直線方程為x-5＝011．如下四個命題表述對的的是（）A．圓上有且僅有個點到直線的距離都等于B．曲線與曲線，恰有四條公切線，則實數(shù)的取值范圍為C．已知圓，為直線上一動點，過點向圓引一條切線，其中為切點，則的最小值為D．已知圓，點為直線上一動點，過點向圓引兩條切線，，，為切點，則直線通過點12．已知直三棱柱中，，，O為的中點.點P滿足，其中，則（）A．對時，均有B．當時，直線與所成的角是30°C．當時，直線與平面所成的角的正切值D．當時，直線與相交于一點Q，則第II卷（非選擇題）三、填空題13．已知雙曲線C：的左.右焦點分別為，過點作直線的垂線，垂足為Q，直線與雙曲線C在第一象限的交點為P，且點P在認為直徑的圓上.則此雙曲線的離心率為____________.14．直線與直線之間的距離為__________．15．若，，，則___________.16.已知橢圓的左右焦點分別為，過右焦點的直線l與橢圓交于A，B兩點（A點在第一象限），則的周長為_______；當，直線l的斜率為________．五、解答題17．在中，已知，，．（1）求邊上的中線所在的直線方程；（2）求邊上的高的長．18．已知圓C：x2＋y2＋2x－4y＋3＝0.（1）若不過原點的直線l與圓C相切，且在x軸，y軸上的截距相等，求直線l的方程；（2）從圓C外一點P(x，y)向圓引一條切線，切點為M，O為坐標原點，且有|PM|＝|PO|，求點P的軌跡方程.19．在棱長為1的正方體中，為線段的中點，為線段的中點.（1）求點到直線的距離；（2）求直線到平面的距離.20．已知直線過圓的圓心交圓C于A?B兩點，O為坐標原點.（1）求圓C的方程；（2）求圓C在點處的切線方程；（3）求的面積.21．如圖，已知菱形與直角梯形所在的平面互相垂直，其中，，，，為的中點（1）求證：；（2）求平面與平面夾角的余弦值；（3）設為線段上一點，，若直線與平面所成角的正弦值為，求的長.22．設橢圓，橢圓的右焦點恰好是拋物線的焦點．橢圓的離心率為．（1）求橢圓E的原則方程；（2）設橢圓E的左、右頂點分別為A，B，過定點的直線與橢圓E交于C，D兩點（與點A，B不重疊），證明：直線AC，BD的交點的橫坐標為定值．參照答案1．C【分析】根據(jù)空間向量基底的定義判斷即可.【詳解】由于，，，因此ABD錯誤；由于是空間向量的一種基底，因此，，構成基底.故選：C2．B【分析】根據(jù)橢圓的原則方程可得，不妨設，運用橢圓的參數(shù)方程得出點，運用三角函數(shù)的性質即可求解.【詳解】由，可得，，因此，不妨設，，因此，由于，因此，故選：B3．C【分析】先求得以線段AB為直徑的圓的方程，再與圓的方程聯(lián)立求解.【詳解】由于點，，因此以線段AB為直徑的圓的方程為：，由于圓上存在點，滿足，聯(lián)立，得，由于，因此，即，故選：C4．B【分析】首先連接，再運用向量加減法的幾何意義求解即可.【詳解】連接，如圖所示：由于，為中點，因此.故選：B5．A【分析】運用向量共線定理即可得到，再進行向量坐標化，由向量相等得到參數(shù)值.【詳解】向量，，，向量與向量，，平行，存在實數(shù)使得，坐標化得到：，解得．故選：A．6．A【分析】根據(jù)橢圓定義可知，獲得最值時，即最值，根據(jù)可得答案.【詳解】解：由已知可得，得，根據(jù)橢圓定義：，

∴獲得最大值時，即最大，獲得最小值時，即最小，根據(jù)三角形的兩邊之差不不小于第三邊有當三點共線，且點P不在線段上時，，即如圖所示：，

當P點在線段的延長線上，即P運動到圖中點N的位置時獲得最大值．當P點在線段的延長線上，即P運動到圖中點M的位置時獲得最小值．∴的最大值和最小值分別為；.故選：A.7．B【分析】分別設內外層橢圓方程為、，進而設切線、分別為、，聯(lián)立方程組整頓并結合求、有關a、b、m的關系式，再結合已知得到a、b的齊次方程求離心率即可.【詳解】若內層橢圓方程為，由離心率相似，可設外層橢圓方程為，∴，設切線為，切線為，∴，整頓得，由知：，整頓得，同理，，可得，∴，即，故.故選：B.【點睛】要點點睛：根據(jù)內外橢圓的離心率相似設橢圓方程，并寫出切線方程，聯(lián)立方程結合及已知條件，得到橢圓參數(shù)的齊次方程求離心率.8．C【分析】設直線，的傾斜角分別為，，，且，運用差角正切公式、基本不等式求有關橢圓參數(shù)的體現(xiàn)式，結合已知求橢圓參數(shù)的數(shù)量關系，進而求離心率.【詳解】由題意知，，，直線為，設直線，的傾斜角分別為，，由橢圓的對稱性，不妨設為第二象限的點，即，，則，.，，當且僅當，即時取等號，又得最大值為，，即，整頓得，故橢圓的的離心率是.故選：C.【點睛】要點點睛：設點M坐標及，的傾斜角，由與直線，的傾斜角的數(shù)量關系，結合差角正切公式及基本不等式求有關橢圓參數(shù)的體現(xiàn)式，進而確定橢圓參數(shù)的數(shù)量關系.9．ABD【分析】將圓的一般方程化為原則方程，根據(jù)原則方程可得圓心坐標和半徑，可得A對的，C不對的，令和可得選項BD對的【詳解】由圓的一般方程，得圓的原則方程為，故圓心為，半徑為，則A選項對的、C選項錯誤，令，得或，弦長為，則D選項對的，令，得或，弦長為，則B選項對的，故選：ABD．10．BD【分析】通過討論截距為0和不為0兩種狀況求直線方程即可，從而判斷選項A；根據(jù)截距的概念即可判斷選項B；根據(jù)直線方程可得到直線的斜率，從而可求出直線的傾斜角，從而可判斷選項C；根據(jù)直線的傾斜角可得出直線的斜率不存在，從而可求出直線方程，從而可判斷選項D.【詳解】若直線在x，y軸截距相等且為0時，此時直線方程為；若直線在x，y軸截距相等且不為0時，此時設直線方程為，把點P(1，2)代入得，因此此時直線方程為.因此滿足條件的方程有和，故選項A錯誤；直線y＝3x-2在y軸上的截距為-2，選項B對的；直線的斜率，因此，因此傾斜角為，選項C錯誤；當直線的傾斜角為90°時，直線的斜率不存在，因此過點(5，4)并且傾斜角為90°的直線方程為x-5＝0，選項D對的.故選：BD.11．ACD【分析】選項A根據(jù)圓心到直線的距離與半徑的關系來確定所求點的個數(shù)；選項B根據(jù)兩曲線有四條公切線，確定曲線類型為圓，再由兩圓外離列不等式求解；選項C運用圓心與切點的連線垂直切線列等式，轉化為求圓心到直線上的點的距離的最小值問題；選項D運用切線的性質得切點弦方程，再根據(jù)切點弦方程求定點.【詳解】選項A：圓的圓心為，半徑.圓心到直線的距離，因此圓上有且僅有個點到直線的距離都等于故選項A對的；選項B：方程可化為，故曲線表達圓心為，半徑的圓.方程可化為由于圓與曲線有四條公切線，因此曲線也為圓，且圓心為，半徑()同步兩圓的位置關系為外離，有，即，解得.故選項B錯誤；選項C：圓的圓心，半徑，圓心到直線的距離，因此直線與圓相離.由切線的性質知，為直角三角形，，當且僅當與直線垂直時等號成立，因此的最小值為.故選項C對的；選項D：設點，由于點在直線上，因此，，由圓的切線性質知，直線的方程為，，整頓得，解方程得，.因此直線過定點.故選項D對的.故選：ACD.12．ACD【分析】建立空間直角坐標系，運用空間向量的垂直關系證明，可判斷A；先計算出夾角的余弦值，然后進行判斷，可判斷B；先計算出與平面一種法向量夾角的余弦值，然后即可求解出線面角的正弦值，由此可計算出線面角的正切值，可判斷C；運用中位線對應的平行關系以及線段長度關系進行闡明，可判斷D.【詳解】認為軸，建立如圖所示空間直角坐標系，設，其中，由于，因此，A.由于，因此，因此，故對的；B.當時，，因此，因此直線與所成的角不是，故錯誤；C.當時，，取平面的一種法向量為，因此，設直線與平面所成的角為，因此，因此，故對的；D.當時，如圖所示，為中點，為中點，連接，因此，因此，故對的；故選：ACD.13．【分析】由橢圓的定義知的周長為，即可求解；由題可設直線方程為，與橢圓聯(lián)立得，運用韋達定理結合已知條件可求得A，B兩點的橫坐標，進而求得，又A點在第一象限，知，即可得解.【詳解】由橢圓，得，由橢圓的定義知，又，的周長由題知直線的斜率存在，設直線方程為，設聯(lián)立，整頓得其中，①，②由，得，即③由①③解得：，，代入②解得，此時，，又A點在第一象限，，故答案為：，14．【分析】依題意畫出草圖，可得，，求出到直線的距離，即可得到，再運用勾股定理求出，由雙曲線的定義得到，即可求出雙曲線的離心率；【詳解】解：依題意可得，，因此，由于為的中點，所認為的中點，到直線的距離，因此，，因此又，即，因此，因此故答案為：15．【分析】化簡直線為，結合兩平行線間的距離公式，即可求解.【詳解】化簡直線為，根據(jù)平行線間的距離公式，可得，即直線與直線之間的距離為.故答案為：.16．3【分析】運用空間向量加法以及數(shù)量積的坐標運算，求解即可．【詳解】由于，，，因此，因此．故答案為：3．17．（1）；（2）．【分析】（1）先求出的中點坐標，結合點由兩點式可得直線的方程.；（2）求出直線的方程，由點到直線的距離公式求點到的距離即可.【詳解】（1）由于，，因此的中點為因此邊上的中線所在的直線方程為，即；（2）由于，，因此直線的方程為：，整頓可得：，設到的距離為，因此.18．（1）或；（2）.【分析】（1）由題設可得圓心，半徑為，可設直線l為，結合切線的性質列方程求參數(shù)b，進而寫出直線l的方程；（2）由題意易知，應用兩點距離公式整頓化簡即可得P的軌跡方程.【詳解】（1）圓C原則方程為，則圓心，半徑為，令，則有，解得或.∴直線l的方程為或.（2）由圓上切點的性質知：，由|PM|＝|PO|，∴，整頓得.故點P的軌跡方程為.19．（1）；（2）.【分析】（1）認為原點，所在直線分別為軸，軸，軸，建立空間直角坐標系，取，，根據(jù)空間向量點到直線距離公式，可得點點到直線的距離；（2）易證平面，則點到平面的距離為直線到平面的距離，求出平面的一種法向量，再求出，根據(jù)點到面的距離公式，可得直線到平面的距離．【詳解】認為原點，所在直線分別為軸，軸，軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，因此，，，.（1）取，，則.因此，點到直線的距離為.（2）由于，因此，因此平面.因此點到平面的距離為直線到平面的距離.設平面的法向量為，則因此因此取，則.因此，是平面的一種法向量.又由于，因此點到平面的距離為.即直線到平面的距離為.20．（1）；（2）；（3）.【分析】（1）圓的圓心為，將圓心坐標代入即可求得，從而可得圓的方程；（2）將點的坐標代入成立，即點在上，設過點的切線的斜率為，運用可求得，從而可得切線的方程；（3）由題意可知，為圓的直徑，其長度為4，運用點到直線的距離公式可求得原點到直線的距離，從而可求的面積．【詳解】解：（1）∵圓的圓心為直線過圓C的圓心，∴，∴∴圓C的方程為：（2）∵點在上，且圓心為∴設過點的切線的斜率為k，過P?C兩點的直線的斜率為，則∵∵∴，故∴切線的方程為，即（3）∵圓的半徑為2，∴點到直線的距離為∴21．（1）證明見解析；（2）；（3）.【分析】（1）取的中點，連接，作，如圖建立空間直角坐標系，求出和的坐標，計算即可求證；（2）求平面的法向量，以及平面的法向量，運用空間向量夾角公式計算的值即可求解；（3）求出的坐標即可得的坐標，由可得的坐標，設直線與平面所成角為，由求得的值，進而可得的長.【詳解】（1）取中點，連接，由于四邊形為菱形且，因此，由于平面平面，平面平面，面，因此平面，作，分別以所在直線為軸建立空間直角坐標系如圖，則，，，，，因此，，由于，因此，即；（2），，設平面的法向量，則令，則，因此平面的法向量，取平面的法向量因此，因此平面與平面夾角的余弦值為；（3