陜西省重點中學(xué)2024屆數(shù)學(xué)九年級第一學(xué)期期末考試試題含解析

陜西省重點中學(xué)2024屆數(shù)學(xué)九年級第一學(xué)期期末考試試題注意事項1．考生要認真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題(每小題3分,共30分)1．已知反比例函數(shù)圖象如圖所示，下列說法正確的是（）A．B．隨的增大而減小C．若矩形面積為2，則D．若圖象上兩個點的坐標(biāo)分別是，，則2．如果兩個相似三角形的相似比是1:2，那么它們的面積比是()A．1:2 B．1:4 C．1: D．2:13．已知二次函數(shù)y=a(x+1)2+b(a≠0)有最大值1，則a、b的大小關(guān)系為（）A．a(chǎn)>b B．a(chǎn)<b C．a(chǎn)=b D．不能確定4．如圖是二次函數(shù)圖像的一部分，直線是對稱軸，有以下判斷：①；②＞0；③方程的兩根是2和-4；④若是拋物線上兩點，則＞；其中正確的個數(shù)有（）A．1 B．2 C．3 D．45．下列說法正確的是（）A．打開電視機，正在播放廣告是必然事件B．天氣預(yù)報明天下雨的概率為％，說明明天一定會下雨C．買一張體育彩票會中獎是可能事件D．長度分別為3，5，9厘米的三條線段不能圍成一個三角形是隨機事件6．已知：如圖，矩形ABCD中，AB＝2cm，AD＝3cm．點P和點Q同時從點A出發(fā)，點P以3cm/s的速度沿A→D方向運動到點D為止，點Q以2cm/s的速度沿A→B→C→D方向運動到點D為止，則△APQ的面積S（cm2）與運動時間t（s）之間函數(shù)關(guān)系的大致圖象是（）A． B．C． D．7．下列關(guān)系式中，y是x的反比例函數(shù)的是（）A．y＝4x B．＝3 C．y＝﹣ D．y＝x2﹣18．一艘在南北航線上的測量船，于A點處測得海島B在點A的南偏東30°方向，繼續(xù)向南航行30海里到達C點時，測得海島B在C點的北偏東15°方向，那么海島B離此航線的最近距離是（結(jié)果保留小數(shù)點后兩位）（參考數(shù)據(jù)：）（

）A．4.64海里 B．5.49海里 C．6.12海里 D．6.21海里9．如果，那么下列比例式中正確的是（）A． B． C． D．10．如圖，點A，B，C在⊙O上，∠A=36°，∠C=28°，則∠B=（）A．100° B．72° C．64° D．36°二、填空題(每小題3分,共24分)11．已知點A（m,1）與點B（3，n）關(guān)于原點對稱，則m+n=_________。12．若方程的解為，則的值為_____________．13．現(xiàn)有5張正面分別標(biāo)有數(shù)字0，1，2，3，4的不透明卡片，它們除數(shù)字不同外其余全部相同．現(xiàn)將它們背面朝上，洗勻后從中任取一張，將該卡片上的數(shù)字記為，則使得關(guān)于的一元二次方程有實數(shù)根，且關(guān)于的分式方程有整數(shù)解的概率為．14．如圖所示，矩形紙片中，，把它分割成正方形紙片和矩形紙片后，分別裁出扇形和半徑最大的圓，恰好能作一個圓錐的側(cè)面和底面，則的長為__________．

15．如圖，網(wǎng)格中的四個格點組成菱形ABCD，則tan∠DBC的值為___________.16．在一個不透明的袋子中，裝有1個紅球和2個白球，這些球除顏色外其余都相同。攪勻后從中隨機一次摸出兩個球，則摸到的兩個球都是白球的概率是____．17．已知中，，，，，垂足為點，以點為圓心作，使得點在外，且點在內(nèi)，設(shè)的半徑為，那么的取值范圍是______.18．若，則______．三、解答題(共66分)19．（10分）如圖，已知⊙O經(jīng)過△ABC的頂點A、B，交邊BC于點D，點A恰為的中點，且BD＝8，AC＝9，sinC＝，求⊙O的半徑．20．（6分）如圖，在菱形中，點是上的點，，若，，是邊上的一個動點，則線段最小時，長為___________．21．（6分）隨著科學(xué)技術(shù)的不斷進步，草莓的品種越來越多樣化，某基地農(nóng)戶計劃嘗試購進牛奶草莓和巧克力草莓新品種共5000株，其中牛奶草莓成本每株5元，巧克力草莓成本每株8元．（1）由于初次嘗試該品種草莓種植，農(nóng)戶購進兩種草莓品種的金額不得超過34000元，則牛奶草莓植株至少購進多少株？（2）農(nóng)戶按（1）中牛奶草莓的最少進貨量購進牛奶草莓巧克力草莓植株，經(jīng)過幾個月的精心培育，可收獲草莓共計2500千克，農(nóng)戶在培育過程中共花費25000元．農(nóng)戶計劃采用直接出售與生態(tài)采摘出售兩種方式進行售賣，其中直接出售牛奶草莓的售價為每千克30元，直接出售巧克力草莓的售價為每千克40元，且兩種草莓各出售了500千克．而生態(tài)采摘出售時，兩種品種幕莓的采摘銷售價格一樣，且通過生態(tài)采摘把余下的草莓全部銷售完，但采摘過程中會有0.6a%的損耗，其中生態(tài)采摘出售草莓的單價比直接出售巧克力草莓的單價還高3a%（0＜a≤75），這樣該農(nóng)戶經(jīng)營草莓的總利潤為65250元，求a的值．22．（8分）關(guān)于x的一元二次方程（k+1）x2﹣3x﹣3k﹣2＝0有一個根為﹣1，求k的值及方程的另一個根．23．（8分）如圖，在△ABC中，AB=AC．（1）若以點A為圓心的圓與邊BC相切于點D，請在下圖中作出點D；（要求：尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）（2）在（1）的條件下，若該圓與邊AC相交于點E，連接DE，當(dāng)∠BAC=100°時，求∠AED的度數(shù).24．（8分）如圖，BD為⊙O的直徑，點A是劣弧BC的中點，AD交BC于點E，連結(jié)AB．(1)求證：AB2=AE·AD；(2)若AE=2，ED=4，求圖中陰影的面積．25．（10分）為弘揚中華民族傳統(tǒng)文化，某市舉辦了中小學(xué)生“國學(xué)經(jīng)典大賽”，比賽項目為：A．唐詩；B．宋詞；C．論語；D．三字經(jīng)．比賽形式分“單人組”和“雙人組”．（1）小華參加“單人組”，他從中隨機抽取一個比賽項目，恰好抽中“論語”的概率是多少？（2）小明和小紅組成一個小組參加“雙人組”比賽，比賽規(guī)則是：同一小組的兩名隊員的比賽項目不能相同，且每人只能隨機抽取一次．則恰好小明抽中“唐詩”且小紅抽中“宋詞”的概率是多少？小明和小紅都沒有抽到“三字經(jīng)”的概率是多少？請用畫樹狀圖或列表的方法進行說明．26．（10分）經(jīng)過某十字路口的汽車，可能直行，也可能向左轉(zhuǎn)或向右轉(zhuǎn)．如果這三種可能性大小相同，求兩輛車經(jīng)過這個十字路口時，下列事件的概率：（1）兩輛車中恰有一輛車向左轉(zhuǎn)；（2）兩輛車行駛方向相同．

參考答案一、選擇題(每小題3分,共30分)1、D【分析】根據(jù)反比例函數(shù)的圖象的位置確定其比例系數(shù)的符號，利用反比例函數(shù)的性質(zhì)進行判斷即可．【題目詳解】解：A.反比例函數(shù)的圖象位于第二象限，∴k﹤0故A錯誤；

B.在第二象限內(nèi)隨的增大而增大，故B錯誤；

C.矩形面積為2，∵k﹤0,∴k=-2，故C錯誤；

D.∵圖象上兩個點的坐標(biāo)分別是，，在第二象限內(nèi)隨的增大而增大，∴，故D正確，

故選D．【題目點撥】本題考查了反比例函數(shù)的性質(zhì)，牢記反比例函數(shù)的比例系數(shù)的符號與其圖象的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．2、B【分析】根據(jù)相似三角形面積的比等于相似比的平方即可得出．【題目詳解】∵兩個相似三角形的相似比是1：2，∴它們的面積比是1：1．故選B．【題目點撥】本題是一道考查相似三角形性質(zhì)的基本題目，比較簡單．3、B【解題分析】根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)得到a＜0，b=1，然后對各選項進行判斷．【題目詳解】∵二次函數(shù)y=a（x-1）2+b（a≠0）有最大值1，∴a＜0，b=1．∴a<b，故選B．【題目點撥】本題考查了二次函數(shù)的最值：確定一個二次函數(shù)的最值，首先看自變量的取值范圍，當(dāng)自變量取全體實數(shù)時，其最值為拋物線頂點坐標(biāo)的縱坐標(biāo)；當(dāng)自變量取某個范圍時，要分別求出頂點和函數(shù)端點處的函數(shù)值，比較這些函數(shù)值，從而獲得最值4、C【分析】根據(jù)函數(shù)圖象依次計算判斷即可得到答案.【題目詳解】∵對稱軸是直線x=-1，∴，∴，故①正確；∵圖象與x軸有兩個交點，∴＞0，故②正確；∵圖象的對稱軸是直線x=-1，與x軸一個交點坐標(biāo)是（2,0），∴與x軸另一個交點是（-4,0），∴方程的兩根是2和-4，故③正確；∵圖象開口向下，∴在對稱軸左側(cè)y隨著x的增大而增大，∴是拋物線上兩點，則<，故④錯誤，∴正確的有①、②、③，故選：C.【題目點撥】此題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)函數(shù)圖象判斷式子的正負，正確理解函數(shù)圖象，掌握各式子與各字母系數(shù)的關(guān)系是解題的關(guān)鍵.5、C【分析】根據(jù)必然事件，隨機事件發(fā)生的可能性逐一判斷即可．【題目詳解】A.打開電視機，正在播放廣告是隨機事件，故錯誤；B.天氣預(yù)報明天下雨的概率為％，明天也不一定會下雨，故錯誤；C.買一張體育彩票會中獎是可能事件，故正確；D.長度分別為3，5，9厘米的三條線段不能圍成一個三角形是必然事件，故錯誤；故選：C．【題目點撥】本題主要考查隨機事件和必然事件，掌握隨機事件和必然事件發(fā)生的可能性是解題的關(guān)鍵．6、C【分析】研究兩個動點到矩形各頂點時的時間，分段討論求出函數(shù)解析式即可求解．【題目詳解】解：分三種情況討論：（1）當(dāng)0≤t≤1時，點P在AD邊上，點Q在AB邊上，∴S＝，∴此時拋物線經(jīng)過坐標(biāo)原點并且開口向上；（1）當(dāng)1＜t≤1．5時，點P與點D重合，點Q在BC邊上，∴S＝＝2，∴此時，函數(shù)值不變，函數(shù)圖象為平行于t軸的線段；（2）當(dāng)1．5＜t≤2．5時，點P與點D重合，點Q在CD邊上，∴S＝×2×（7﹣1t））＝﹣t+．∴函數(shù)圖象是一條線段且S隨t的增大而減小．故選：C．【題目點撥】本題考查了二次函數(shù)與幾何問題,用分類討論的數(shù)學(xué)思想解題是關(guān)鍵，解答時注意研究動點到達臨界點時的時間以此作為分段的標(biāo)準，逐一分析求解．7、C【分析】根據(jù)反比例函數(shù)的定義逐一判斷即可．【題目詳解】A、y＝4x是正比例函數(shù)；B、＝3，可以化為y＝3x，是正比例函數(shù)；C、y＝﹣是反比例函數(shù)；D、y＝x2﹣1是二次函數(shù)；故選：C．【題目點撥】本題考查反比例函數(shù)的定義，掌握反比例函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．8、B【解題分析】根據(jù)題意畫出圖如圖所示：作BD⊥AC，取BE=CE，根據(jù)三角形內(nèi)角和和等腰三角形的性質(zhì)得出BA=BE，AD=DE，設(shè)BD=x，Rt△ABD中，根據(jù)勾股定理得AD=DE=

x，AB=BE=CE=2x，由AC=AD+DE+EC=2

x+2x=30，解之即可得出答案.【題目詳解】根據(jù)題意畫出圖如圖所示：作BD⊥AC，取BE=CE，

∵AC=30，∠CAB=30°∠ACB=15°，

∴∠ABC=135°，

又∵BE=CE，

∴∠ACB=∠EBC=15°，

∴∠ABE=120°，

又∵∠CAB=30°

∴BA=BE，AD=DE，

設(shè)BD=x，

在Rt△ABD中，

∴AD=DE=

x，AB=BE=CE=2x，

∴AC=AD+DE+EC=2

x+2x=30，

∴x=

=

≈5.49，

故答案選：B.【題目點撥】考查了三角形內(nèi)角和定理與等腰直角三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練的掌握三角形內(nèi)角和定理與等腰直角三角形的性質(zhì).9、C【分析】根據(jù)比例的性質(zhì)，若，則判斷即可.【題目詳解】解：故選：C.【題目點撥】本題主要考查了比例的性質(zhì)，靈活的利用比例的性質(zhì)進行比例變形是解題的關(guān)鍵.10、C【題目詳解】試題分析：設(shè)AC和OB交于點D，根據(jù)同弧所對的圓心角的度數(shù)等于圓周角度數(shù)2倍可得：∠O=2∠A=72°，根據(jù)∠C=28°可得：∠ODC=80°，則∠ADB=80°，則∠B=180°-∠A-∠ADB=180°-36°-80°=64°，故本題選C．二、填空題(每小題3分,共24分)11、-1【分析】根據(jù)兩個點關(guān)于原點對稱時，它們的坐標(biāo)符號相反，可直接得到m=-3，n=-1進而得到答案．【題目詳解】解：∵點A（m，1）與點B（3，n）關(guān)于原點對稱，

∴m=-3，n=-1，

∴m+n=-1，

故答案為：-1．【題目點撥】此題主要考查了關(guān)于原點對稱點的坐標(biāo)特點，關(guān)鍵是掌握點的坐標(biāo)的變化規(guī)律．12、【分析】根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可得出、，將其代入式中即可求出結(jié)果．【題目詳解】解：∵方程的兩根是，

∴、，

∴．

故答案為：．【題目點撥】本題主要考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，牢記如果一元二次方程有兩根，那么兩根之和等于、兩根之積等于是解題的關(guān)鍵．13、【題目詳解】首先根據(jù)一元二次方程有實數(shù)解可得：4－4(a－2)≥0可得：a≤3，則符合條件的a有0,1,2,3四個；解分式方程可得：x=，∵x≠2，則a≠1，a≠2，綜上所述，則滿足條件的a為0和3，則P=.考點：(1)、概率；(2)、分式方程的解.14、cm.【分析】設(shè)AB=xcm，則DE=（6-x）cm，根據(jù)扇形的弧長等于圓錐底面圓的周長列出方程，求解即可．【題目詳解】解：設(shè)AB=xcm，則DE=（6-x）cm，

根據(jù)題意，得解得x=1．

故選：1cm．【題目點撥】本題考查了圓錐的計算，矩形的性質(zhì)，正確理解圓錐的側(cè)面展開圖與原來的扇形之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵，理解圓錐的母線長是扇形的半徑，圓錐的底面圓周長是扇形的弧長．15、3【解題分析】試題分析：如圖，連接AC與BD相交于點O，∵四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，BO=BD，CO=AC，由勾股定理得，AC==，BD==，所以，BO==，CO==，所以，tan∠DBC===3．故答案為3．考點：3．菱形的性質(zhì)；3．解直角三角形；3．網(wǎng)格型．16、.【分析】用列表法或畫樹狀圖法分析所有等可能的結(jié)果，然后根據(jù)概率公式求出該事件的概率．【題目詳解】解：畫樹狀圖如下：

∵一共有6種情況，兩個球都是白球有2種，

∴P（兩個球都是白球），

故答案為：．【題目點撥】本題考查的是用列表法或畫樹狀圖法求概率，列表法或畫樹狀圖法可以不重復(fù)不遺漏的列出所有可能的結(jié)果，適合于兩步完成的事件．用到的知識點為：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．17、【分析】先根據(jù)勾股定理求出AB的長，進而得出CD的長，再求出AD,BD的長，由點與圓的位置關(guān)系即可得出結(jié)論．【題目詳解】解：∵Rt△ABC中，∠ACB=90，AC=3，BC=，

∴AB==1．

∵CD⊥AB，∴CD=．

∵AD?BD=CD2，

設(shè)AD=x，BD=1-x，得x(1-x)=,又AD＞BD,解得x1=(舍去),x2=.∴AD=,BD=.

∵點A在圓外，點B在圓內(nèi)，∴BD＜r＜AD,

∴r的范圍是，

故答案為：．【題目點撥】本題考查的是點與圓的位置關(guān)系，熟知點與圓的三種位置關(guān)系是解答此題的關(guān)鍵．18、-1【分析】由可得，，再代入代數(shù)式計算即可．【題目詳解】∵，∴，∴原式＝，故填：－1．【題目點撥】本題考查比例的基本性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題型．三、解答題(共66分)19、⊙O的半徑為．【解題分析】如圖，連接OA．交BC于H．首先證明OA⊥BC，在Rt△ACH中，求出AH，設(shè)⊙O的半徑為r，在Rt△BOH中，根據(jù)BH2+OH2＝OB2，構(gòu)建方程即可解決問題。【題目詳解】解：如圖，連接OA．交BC于H．∵點A為的中點，∴OA⊥BD，BH＝DH＝4，∴∠AHC＝∠BHO＝90°，∵，AC＝9，∴AH＝3，設(shè)⊙O的半徑為r，在Rt△BOH中，∵BH2+OH2＝OB2，∴42+(r﹣3)2＝r2，∴r＝，∴⊙O的半徑為．【題目點撥】本題考查圓心角、弧、弦的關(guān)系、垂徑定理、勾股定理、銳角三角函數(shù)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造直角三角形解決問題．20、【分析】設(shè)菱形ABCD的邊長為x，則AB＝BC＝x，又EC＝3，所以BE＝x?3，解直角△ABE即可求得x的值，即可求得BE、AE的值，根據(jù)AB、PE的值和△ABE的面積，即可求得PE的最小值，再根據(jù)勾股定理可得的長．【題目詳解】解：設(shè)菱形ABCD的邊長為x，則AB＝BC＝x，又EC＝3，所以BE＝x?3，因為AE⊥BC于E，所以在Rt△ABE中，，∵，AE⊥BC設(shè)AE=3a，AB=5a，則BE=4a，∴cosB=∴于是5x?1＝4x，解得x＝1，即AB＝1．所以易求BE＝12，AE＝9，當(dāng)EP⊥AB時，PE取得最小值．故由三角形面積公式有：AB?PE＝BE?AE，求得PE的最小值為．在Rt△BPE中，BP=故答案為:．【題目點撥】本題考查了余弦函數(shù)在直角三角形中的運用、三角形面積的計算和最小值的求值問題，求PE的值是解題的關(guān)鍵．21、（1）牛奶草莓植株至少購進2株；（2）a的值為1．【分析】（1）設(shè)購進牛奶草莓植株x株，則購進巧克力草莓植株(5000﹣x)株，根據(jù)總價＝單價×數(shù)量結(jié)合購進兩種草莓品種的金額不得超過34000元，即可得出關(guān)于x的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出結(jié)論；（2）根據(jù)利潤＝銷售收入﹣成本﹣消耗，即可得出關(guān)于a的一元二次方程，利用換元法解一元二次方程即可求出a值，取其小于等于75的值即可得出結(jié)論．【題目詳解】解：（1）設(shè)購進牛奶草莓植株x株，則購進巧克力草莓植株(5000﹣x)株，根據(jù)題意得：5x+8(5000﹣x)≤34000，解得：x≥2．答：牛奶草莓植株至少購進2株．（2）根據(jù)題意得：500×(30+40)+(100﹣500﹣500)(1﹣0.6a%)×40(1+3a%)﹣1000﹣34000＝6510，令m＝a%，則原方程可整理得：48m2﹣64m+13＝0，解得：m1＝，m2＝，∴a1＝×100=1，a2＝×100=，∵0＜a≤75，∴a1＝1，a2＝（不合題意，舍去）．答：a的值為1．【題目點撥】本題考查了一元一次不等式的應(yīng)用、一元二次方程的應(yīng)用，根據(jù)題意正確列出不等式和方程是解答本題的關(guān)鍵．22、k＝1，x＝【分析】將x＝﹣1代入原方程可求出k值的值，然后根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系即可求出另外一根．【題目詳解】將x＝﹣1代入（k+1）x2﹣3x﹣3k﹣2＝0，∴k＝1，∴該方程為2x2﹣3x﹣5＝0，設(shè)另外一根為x，由根與系數(shù)的關(guān)系可知：﹣x＝，∴x＝．【題目點撥】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系，能熟記根與系數(shù)的關(guān)系的內(nèi)容是解題的關(guān)鍵.23、（1）詳見解析；（2）65°.【分析】(1)分析題干可知：作AD⊥BC，由于AB=AC，由等腰三角形的性質(zhì)可知當(dāng)AD平分∠BAC即可滿足：以點A為圓心的圓與邊BC相切于點D；（2）由AD平分∠BAC，可得由圓A半徑相等AD=AE，可得∠ADE=∠AED，即可得出答案.【題目詳解】解：（1）如圖所示，點D為所求（2）如圖：∵AD平分∠BAC∴在中，AD=AE，∴∠ADE=∠AED∴【題目點撥】本題考查作圖，切線的判定和性質(zhì)等知識，掌握圓的基本性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.24、(1)見解析;(2)2π-3.【解題分析】（1）點A是劣弧BC的中點，即可得∠ABC=∠ADB，又由∠BAD=∠EAB，即可證得△ABE∽△ADB，根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例，即可證得AB2=AE?AD.(2)連結(jié)OA，由S陰影=S扇形AOB-S△AOB求出即可.【題目詳解】(1)證明：∵點A是劣弧BC的中點，∴=∴∠ABC=∠ADB．又∵∠BAD=∠EAB，∴△ABE∽△ADB．∴．∴AB2=