第2節(jié) 等差數(shù)列及其前n項和

第2節(jié)等差數(shù)列及其前n項和考試要求1.理解等差數(shù)列的概念.2.掌握等差數(shù)列的通項公式與前n項和公式.3.能在具體的問題情境中識別數(shù)列的等差關(guān)系，并能用等差數(shù)列的有關(guān)知識解決相應(yīng)的問題.4.了解等差數(shù)列與一次函數(shù)的關(guān)系.知識診斷·基礎(chǔ)夯實【知識梳理】1.等差數(shù)列的概念(1)定義：如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的差都等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列.數(shù)學(xué)語言表達(dá)式：an＋1－an＝d(n∈N*，d為常數(shù)).(2)等差中項：由三個數(shù)a，A，b組成的等差數(shù)列可以看成是最簡單的等差數(shù)列，這時A叫做a與b的等差中項，根據(jù)等差數(shù)列的定義可知2A＝a＋b.2.等差數(shù)列的通項公式與前n項和公式(1)若等差數(shù)列{an}的首項是a1，公差是d，則其通項公式為an＝a1＋(n－1)d.(2)前n項和公式：Sn＝na1＋eq\f(n（n－1）d,2)＝eq\f(n（a1＋an）,2).3.等差數(shù)列的性質(zhì)(1)通項公式的推廣：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*).(2)若{an}為等差數(shù)列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，則ak＋al＝am＋an.(3)若{an}是等差數(shù)列，公差為d，則ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差為md的等差數(shù)列.(4)若Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和，則數(shù)列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差數(shù)列.(5)若Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和，則數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(Sn,n)))也為等差數(shù)列.[常用結(jié)論]1.已知數(shù)列{an}的通項公式是an＝pn＋q(其中p，q為常數(shù))，則數(shù)列{an}一定是等差數(shù)列，且公差為p.2.在等差數(shù)列{an}中，a1＞0，d＜0，則Sn存在最大值；若a1＜0，d＞0，則Sn存在最小值.3.等差數(shù)列{an}的單調(diào)性：當(dāng)d＞0時，{an}是遞增數(shù)列；當(dāng)d＜0時，{an}是遞減數(shù)列；當(dāng)d＝0時，{an}是常數(shù)列.4.數(shù)列{an}是等差數(shù)列?Sn＝An2＋Bn(A，B為常數(shù)).【診斷自測】1.思考辨析(在括號內(nèi)打“√”或“×”)(1)數(shù)列{an}為等差數(shù)列的充要條件是對任意n∈N*，都有2an＋1＝an＋an＋2.()(2)等差數(shù)列{an}的單調(diào)性是由公差d決定的.()(3)數(shù)列{an}為等差數(shù)列的充要條件是其通項公式為n的一次函數(shù).()(4)等差數(shù)列的前n項和公式是常數(shù)項為0且關(guān)于n的二次函數(shù).()答案(1)√(2)√(3)×(4)×解析(3)若公差d＝0，則通項公式不是n的一次函數(shù).(4)若公差d＝0，則前n項和不是n的二次函數(shù).2.(選修二P15T4改編)已知等差數(shù)列{an}中，a4＋a8＝20，a7＝12，則a4＝________.答案6解析由題意可得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1＋3d＋a1＋7d＝20，,a1＋6d＝12，))解得a1＝0，d＝2，故a4＝a1＋3d＝6.3.已知等差數(shù)列{an}中，a1＝eq\f(1,2)，d＝－eq\f(1,6)，Sn＝－5，則n＝________.答案12解析由Sn＝na1＋eq\f(1,2)n(n－1)d，得－5＝eq\f(1,2)n＋eq\f(1,2)n(n－1)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,6)))，即n2－7n－60＝0，解得n＝12，或n＝－5(舍去).4.在等差數(shù)列{an}中，若a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝450，則a5＝________.答案90解析由a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝(a3＋a7)＋(a4＋a6)＋a5＝2a5＋2a5＋a5，得5a5＝450，即a5＝90.考點突破·題型剖析考點一等差數(shù)列基本量的求解例1(1)(2023·湖南名校聯(lián)考)設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且2a7－a11＝4，則S5＝()A.15 B.20C.25 D.30答案B解析設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，則2(a1＋6d)－(a1＋10d)＝a1＋2d＝4，所以S5＝5a1＋eq\f(5×4,2)d＝5(a1＋2d)＝5×4＝20，故選B.(2)(多選)(2023·福州一模)已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，公差d≠0，若Sn≤S6，則()A.a1＜0 B.d＜0C.a6＝0 D.S13≤0答案BD解析因為Sn≤S6，所以S5≤S6且S7≤S6，即a6＝S6－S5≥0，a7＝S7－S6≤0，因為d≠0，即a6，a7不同時為0，所以d＝a7－a6＜0，因為a6≥0，即a1＋5d≥0，所以a1＞0，S13＝eq\f(13（a1＋a13）,2)＝13a7≤0，a6不一定為零，故選BD.感悟提升1.等差數(shù)列的通項公式及前n項和公式共涉及五個量a1，an，d，n，Sn，知其中三個就能求另外兩個，體現(xiàn)了用方程的思想來解決問題.2.數(shù)列的通項公式和前n項和公式在解題中起到變量代換作用，而a1和d是等差數(shù)列的兩個基本量，用它們表示已知和未知是常用方法.訓(xùn)練1(1)(2023·蘇州、常熟抽測)已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若a2＝1，S6＝12，則a8＝________.答案5解析設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a2＝a1＋d＝1，,S6＝6a1＋15d＝12，))解得a1＝eq\f(1,3)，d＝eq\f(2,3)，所以a8＝a1＋7d＝eq\f(1,3)＋7×eq\f(2,3)＝5.(2)(2022·全國乙卷)記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和.若2S3＝3S2＋6，則公差d＝________.答案2解析由2S3＝3S2＋6，可得2(a1＋a2＋a3)＝3(a1＋a2)＋6，化簡得2a3＝a1＋a2＋6，即2(a1＋2d)＝2a1＋d＋6，解得d＝2.考點二等差數(shù)列的判定與證明例2(2021·全國甲卷)已知數(shù)列{an}的各項均為正數(shù)，記Sn為{an}的前n項和，從下面①②③中選取兩個作為條件，證明另外一個成立.①數(shù)列{an}是等差數(shù)列；②數(shù)列{eq\r(Sn)}是等差數(shù)列；③a2＝3a1.注：若選擇不同的組合分別解答，則按第一個解答計分.解①③?②.已知{an}是等差數(shù)列，a2＝3a1.設(shè)數(shù)列{an}的公差為d，則a2＝3a1＝a1＋d，得d＝2a1，所以Sn＝na1＋eq\f(n（n－1）,2)d＝n2a1.因為數(shù)列{an}的各項均為正數(shù)，所以eq\r(Sn)＝neq\r(a1)，所以eq\r(Sn＋1)－eq\r(Sn)＝(n＋1)eq\r(a1)－neq\r(a1)＝eq\r(a1)(常數(shù))，所以數(shù)列{eq\r(Sn)}是等差數(shù)列.①②?③.已知{an}是等差數(shù)列，{eq\r(Sn)}是等差數(shù)列.設(shè)數(shù)列{an}的公差為d，則Sn＝na1＋eq\f(n（n－1）,2)d＝eq\f(1,2)n2d＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a1－\f(d,2)))n.因為數(shù)列{eq\r(Sn)}是等差數(shù)列，所以數(shù)列{eq\r(Sn)}的通項公式是關(guān)于n的一次函數(shù)，則a1－eq\f(d,2)＝0，即d＝2a1，所以a2＝a1＋d＝3a1.②③?①.已知數(shù)列{eq\r(Sn)}是等差數(shù)列，a2＝3a1，所以S1＝a1，S2＝a1＋a2＝4a1.設(shè)數(shù)列{eq\r(Sn)}的公差為d，d＞0，則eq\r(S2)－eq\r(S1)＝eq\r(4a1)－eq\r(a1)＝d，得a1＝d2，所以eq\r(Sn)＝eq\r(S1)＋(n－1)d＝nd，所以Sn＝n2d2，所以n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝n2d2－(n－1)2d2＝2d2n－d2，對n＝1也適合，所以an＝2d2n－d2，所以an＋1－an＝2d2(n＋1)－d2－(2d2n－d2)＝2d2(常數(shù))，所以數(shù)列{an}是等差數(shù)列.感悟提升1.等差數(shù)列的判定與證明的常用方法(1)定義法：對任意n∈N*，an＋1－an是同一常數(shù).(2)等差中項法：2an＋1＝an＋an＋2?{an}為等差數(shù)列.(3)通項公式法：an＝an＋b(a，b是常數(shù))?{an}為等差數(shù)列.(4)前n項和公式法：Sn＝an2＋bn(a，b為常數(shù))?{an}為等差數(shù)列.2.若要判定一個數(shù)列不是等差數(shù)列，則只需找出三項an，an＋1，an＋2，使得這三項不滿足2an＋1＝an＋an＋2即可.訓(xùn)練2(2021·全國乙卷)記Sn為數(shù)列{an}的前n項和，bn為數(shù)列{Sn}的前n項積，已知eq\f(2,Sn)＋eq\f(1,bn)＝2.(1)證明：數(shù)列{bn}是等差數(shù)列；(2)求{an}的通項公式.(1)證明因為bn是數(shù)列{Sn}的前n項積，所以當(dāng)n≥2時，Sn＝eq\f(bn,bn－1)，代入eq\f(2,Sn)＋eq\f(1,bn)＝2，可得eq\f(2bn－1,bn)＋eq\f(1,bn)＝2，整理可得2bn－1＋1＝2bn，即bn－bn－1＝eq\f(1,2)(n≥2).又eq\f(2,S1)＋eq\f(1,b1)＝eq\f(3,b1)＝2，所以b1＝eq\f(3,2)，故{bn}是以eq\f(3,2)為首項，eq\f(1,2)為公差的等差數(shù)列.(2)解由(1)可知，bn＝eq\f(3,2)＋eq\f(1,2)(n－1)＝eq\f(n＋2,2)，則eq\f(2,Sn)＋eq\f(2,n＋2)＝2，所以Sn＝eq\f(n＋2,n＋1)，當(dāng)n＝1時，a1＝S1＝eq\f(3,2)，當(dāng)n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝eq\f(n＋2,n＋1)－eq\f(n＋1,n)＝－eq\f(1,n（n＋1）).又a1＝eq\f(3,2)不滿足上式.故an＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，n＝1，,－\f(1,n（n＋1）)，n≥2.))考點三等差數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用角度1項的性質(zhì)例3(1)設(shè)Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和，且4＋a5＝a6＋a4，則S9等于()A.72 B.36C.18 D.9答案B解析∵a6＋a4＝2a5，∴a5＝4，∴S9＝eq\f(9（a1＋a9）,2)＝9a5＝36.(2)在等差數(shù)列{an}中，若a5＋a6＝4，則log2(2a1·2a2·…·2a10)＝________.答案20解析由等差數(shù)列的性質(zhì)知a1＋a10＝a2＋a9＝a3＋a8＝a4＋a7＝a5＋a6＝4，則2a1·2a2·…·2a10＝2a1＋a2＋…＋a10＝25(a5＋a6)＝25×4，所以log2(2a1·2a2·…·2a10)＝log225×4＝20.角度2前n項和的性質(zhì)例4(1)(2023·重慶一診)已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且eq\f(S4,S8)＝eq\f(1,3)，則eq\f(S8,S16)等于()A.eq\f(1,8) B.eq\f(1,9)C.eq\f(1,3) D.eq\f(3,10)答案D解析法一設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，由題設(shè)，eq\f(S4,S8)＝eq\f(4a1＋6d,8a1＋28d)＝eq\f(1,3)，可得a1＝eq\f(5,2)d，∴eq\f(S8,S16)＝eq\f(8a1＋28d,16a1＋120d)＝eq\f(3,10).法二由題意知S8＝3S4，又S4，S8－S4，S12－S8，S16－S12成等差數(shù)列，且S8－S4＝2S4，故S12－S8＝3S4，故S12＝6S4，S16－S12＝4S4，得S16＝10S4，所以eq\f(S8,S16)＝eq\f(3,10).(2)(2023·西安質(zhì)檢)若等差數(shù)列{an}和{bn}的前n項和分別是Sn和Tn，且eq\f(Sn,Tn)＝eq\f(n,2n＋1)，則eq\f(a6,b6)＝________.答案eq\f(11,23)解析因為等差數(shù)列{an}和{bn}的前n項和分別是Sn和Tn，且eq\f(Sn,Tn)＝eq\f(n,2n＋1)，所以eq\f(a6,b6)＝eq\f(\f(a1＋a11,2)×11,\f(b1＋b11,2)×11)＝eq\f(S11,T11)＝eq\f(11,2×11＋1)＝eq\f(11,23).角度3前n項和的最值例5等差數(shù)列{an}中，設(shè)Sn為其前n項和，且a1＞0，S3＝S11，則當(dāng)n為多少時，Sn最大？解法一設(shè)公差為d.由S3＝S11，可得3a1＋eq\f(3×2,2)d＝11a1＋eq\f(11×10,2)d，即d＝－eq\f(2,13)a1.從而Sn＝eq\f(d,2)n2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a1－\f(d,2)))n＝－eq\f(a1,13)(n－7)2＋eq\f(49,13)a1，因為a1＞0，所以－eq\f(a1,13)＜0.故當(dāng)n＝7時，Sn最大.法二易知Sn＝An2＋Bn(A≠0)是關(guān)于n的二次函數(shù)，由S3＝S11，可知Sn＝An2＋Bn的圖象關(guān)于直線n＝eq\f(3＋11,2)＝7對稱.由法一可知A＝－eq\f(a1,13)＜0，故當(dāng)n＝7時，Sn最大.法三設(shè)公差為d.由法一可知d＝－eq\f(2,13)a1.要使Sn最大，則有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(an≥0，,an＋1≤0，))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1＋（n－1）\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,13)a1))≥0，,a1＋n\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,13)a1))≤0，))解得6.5≤n≤7.5，故當(dāng)n＝7時，Sn最大.法四設(shè)公差為d.由S3＝S11，可得2a1＋13d＝0，即(a1＋6d)＋(a1＋7d)＝0，故a7＋a8＝0，又由a1＞0，S3＝S11可知d＜0，所以a7＞0，a8＜0，所以當(dāng)n＝7時，Sn最大.感悟提升1.項的性質(zhì)：在等差數(shù)列{an}中，若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，則am＋an＝ap＋aq.2.和的性質(zhì)：在等差數(shù)列{an}中，Sn為其前n項和，則(1)S2n＝n(a1＋a2n)＝…＝n(an＋an＋1)；(2)S2n－1＝(2n－1)an.(3)依次k項和成等差數(shù)列，即Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…成等差數(shù)列.3.求等差數(shù)列前n項和的最值，常用的方法：(1)鄰項變號法，利用等差數(shù)列的單調(diào)性，求出其正負(fù)轉(zhuǎn)折項，或者利用性質(zhì)求其正負(fù)轉(zhuǎn)折項，便可求得和的最值；(2)函數(shù)法，利用公差不為零的等差數(shù)列的前n項和Sn＝An2＋Bn(A≠0)為二次函數(shù)，通過二次函數(shù)的性質(zhì)求最值.訓(xùn)練3(1)(多選)(2023·淄博調(diào)研)已知等差數(shù)列{an}的公差為d，前n項和為Sn，當(dāng)首項a1和d變化時，a2＋a8＋a11是一個定值，則下列各數(shù)也為定值的是()A.a7 B.a8C.S13 D.S15答案AC解析由題知a2＋a8＋a11＝a1＋d＋a1＋7d＋a1＋10d＝3a1＋18d＝3(a1＋6d)＝3a7，∴a7是定值，∴S13＝eq\f(13（a1＋a13）,2)＝13a7是定值，故選AC.(2)(2023·湖北十一校聯(lián)考)已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列，Sn是其前n項和，若a2a5＋a8＝0，S9＝27，則數(shù)列{an}的公差是()A.1 B.2C.3 D.4答案B解析由S9＝27＝9a5，得a5＝3，設(shè)數(shù)列{an}的公差為d，則a2a5＋a8＝(a5－3d)·a5＋(a5＋3d)＝0，解得d＝2.(3)(2023·河南五市聯(lián)考)在等差數(shù)列{an}中，eq\f(a8,a7)＜－1，且它的前n項和Sn有最小值，則當(dāng)Sn＜0時，n的最大值為________.答案13解析因為等差數(shù)列{an}的前n項和Sn有最小值，所以d＞0，又eq\f(a8,a7)＜－1，所以a7＜0，a8＞0，且a7＋a8＞0，又S13＝eq\f(13（a1＋a13）,2)＝13a7＜0，S14＝eq\f(14（a1＋a14）,2)＝7(a7＋a8)＞0，所以當(dāng)Sn＜0時，n的最大值為13.分層精練·鞏固提升【A級基礎(chǔ)鞏固】1.(2023·北京房山區(qū)調(diào)研)《周髀算經(jīng)》中有這樣一個問題：冬至、小寒、大寒、立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨、立夏、小滿、芒種這十二個節(jié)氣，自冬至日起，其日影長依次成等差數(shù)列，立春當(dāng)日日影長為9.5尺，春分當(dāng)日日影長為6尺，則立夏當(dāng)日日影長為()A.16.5尺 B.13尺C.3.5尺 D.2.5尺答案D解析設(shè)十二節(jié)氣自冬至日起的日影長構(gòu)成等差數(shù)列{an}，則立春當(dāng)日日影長為a4＝9.5尺，春分當(dāng)日日影長為a7＝6尺，所以立夏當(dāng)日日影長為a10＝2a7－a4＝2.5尺.2.(2022·開封二模)已知在公差為1的等差數(shù)列{an}中，aeq\o\al(2,5)＝a3a6.若該數(shù)列的前n項和Sn＝0，則n＝()A.10 B.11C.12 D.13答案D解析設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，則d＝1.又因為aeq\o\al(2,5)＝a3a6，所以(a1＋4d)2＝(a1＋2d)(a1＋5d)，則a1＝－6，故Sn＝na1＋eq\f(n（n－1）,2)d＝－6n＋eq\f(n（n－1）,2)＝eq\f(1,2)n2－eq\f(13,2)n＝0，解得n＝13.故選D.3.(2023·安徽十校聯(lián)盟聯(lián)考)“數(shù)列{an}，{bn}都是等差數(shù)列”是“數(shù)列{an＋bn}是等差數(shù)列”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件答案A解析若數(shù)列{an}，{bn}都是等差數(shù)列，設(shè)數(shù)列{an}，{bn}的公差分別為d1，d2，所以an＋1＋bn＋1－(an＋bn)＝(an＋1－an)＋(bn＋1－bn)＝d1＋d2為常數(shù)，所以數(shù)列{an＋bn}是等差數(shù)列.若數(shù)列{an＋bn}是等差數(shù)列，如an＋bn＝2n＋(n－2n)＝n是等差數(shù)列，而此時an＝2n，bn＝n－2n均不是等差數(shù)列，所以“數(shù)列{an}，{bn}都是等差數(shù)列”是“數(shù)列{an＋bn}是等差數(shù)列”的充分不必要條件.4.(2020·全國Ⅱ卷)北京天壇的圜丘壇為古代祭天的場所，分上、中、下三層.上層中心有一塊圓形石板(稱為天心石)，環(huán)繞天心石砌9塊扇面形石板構(gòu)成第一環(huán)，向外每環(huán)依次增加9塊.下一層的第一環(huán)比上一層的最后一環(huán)多9塊.向外每環(huán)依次也增加9塊.已知每層環(huán)數(shù)相同，且下層比中層多729塊，則三層共有扇面形石板(不含天心石)()A.3699塊 B.3474塊C.3402塊 D.3339塊答案C解析設(shè)每一層有n環(huán)，由題可知從內(nèi)到外每環(huán)之間構(gòu)成公差d＝9，a1＝9的等差數(shù)列.由等差數(shù)列的性質(zhì)知Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等差數(shù)列，且(S3n－S2n)－(S2n－Sn)＝n2d，則9n2＝729，得n＝9，則三層共有扇面形石板S3n＝S27＝27×9＋eq\f(27×26,2)×9＝3402(塊).5.(2023·江西五市九校聯(lián)考)設(shè)Sn是等差數(shù)列{an}的前n項和.若eq\f(a5,a7)＝eq\f(39,9)，則eq\f(S9,S13)＝()A.eq\f(1,3) B.eq\f(1,2)C.2 D.3答案D解析∴eq\f(S9,S13)＝eq\f(\f(9（a1＋a9）,2),\f(13（a1＋a13）,2))＝eq\f(9a5,13a7)＝eq\f(9,13)×eq\f(39,9)＝3.6.(2023·漳州檢測)已知Sn是數(shù)列{an}的前n項和，a1＝1，a2＝2，a3＝3，記bn＝an＋an＋1＋an＋2且bn＋1－bn＝2，則S31＝()A.171 B.278C.351 D.395答案C解析由bn＋1－bn＝an＋1＋an＋2＋an＋3－(an＋an＋1＋an＋2)＝an＋3－an＝2，得a1，a4，a7，…是首項為1，公差為2的等差數(shù)列，a2，a5，a8，…是首項為2，公差為2的等差數(shù)列，a3，a6，a9，…是首項為3，公差為2的等差數(shù)列，所以S31＝(a1＋a4＋…＋a31)＋(a2＋a5＋…＋a29)＋(a3＋a6＋…＋a30)＝1×11＋eq\f(11×10×2,2)＋2×10＋eq\f(10×9×2,2)＋3×10＋eq\f(10×9×2,2)＝351.7.(多選)(2023·石家莊質(zhì)檢)已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且滿足a5＝－4，S5＝－40，則()A.a10＝6 B.S10＝－30C.當(dāng)且僅當(dāng)n＝6時，Sn取最小值 D.a5＋a6＋a7＋a8＋a9＋a10＝0答案AB解析設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a5＝－4，,S5＝－40，))得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1＋4d＝－4，,5a1＋\f(5×4,2)d＝－40，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1＝－12，,d＝2，))所以an＝2n－14，Sn＝eq\f(（－12＋2n－14）n,2)＝n2－13n，則a10＝6，S10＝－30，故A，B正確；令an＝2n－14≤0，得n≤7，且a7＝0，則n＝6或n＝7時，Sn取最小值，故C不正確；因為a5＋a6＋a7＋a8＋a9＝5a7＝0，所以a5＋a6＋a7＋a8＋a9＋a10＝6≠0，故D不正確.8.設(shè)Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和，若S6＝1，S12＝4，則S18＝________.答案9解析在等差數(shù)列中，S6，S12－S6，S18－S12成等差數(shù)列，∵S6＝1，S12＝4，∴1，3，S18－4成公差為2的等差數(shù)列，即S18－4＝5，∴S18＝9.9.(2023·韶關(guān)一模)設(shè)Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和，a6＋a7＝1，則S12＝________，若a7＜0，則使得Sn＜0成立的最小整數(shù)n＝________.答案613解析根據(jù){an}為等差數(shù)列，且a6＋a7＝1，得S12＝eq\f(（a1＋a12）×12,2)＝6(a6＋a7)＝6；若a7＜0，則S13＝eq\f(（a1＋a13）×13,2)＝13a7＜0，又S12＞0，所以使Sn＜0成立的最小整數(shù)n＝13.10.(2023·昆明診斷)已知數(shù)列{an}滿足a1＝2，a2＝4，an＋2－an＝(－1)n＋3，則數(shù)列{an}的前10項和為________.答案90解析由題意，當(dāng)n為奇數(shù)時，an＋2－an＝－1＋3＝2，所以數(shù)列{a2n－1}是首項為2，公差為2的等差數(shù)列，所以a2n－1＝2＋2(n－1)＝2n.當(dāng)n為偶數(shù)時，an＋2－an＝1＋3＝4，所以數(shù)列{a2n}是首項為4，公差為4的等差數(shù)列，所以a2n＝4＋4(n－1)＝4n.設(shè)數(shù)列{an}的前10項和為S10，則S10＝a1＋a2＋…＋a10＝(a1＋a3＋…＋a9)＋(a2＋a4＋…＋a10)＝eq\f(5×（2＋10）,2)＋eq\f(5×（4＋20）,2)＝90.11.已知等差數(shù)列的前三項依次為a，4，3a，前n項和為Sn，且Sk＝110.(1)求a及k的值；(2)設(shè)數(shù)列{bn}的通項公式bn＝eq\f(Sn,n)，證明：數(shù)列{bn}是等差數(shù)列，并求其前n項和Tn.(1)解設(shè)該等差數(shù)列為{an}，則a1＝a，a2＝4，a3＝3a，由已知有a＋3a＝8，得a1＝a＝2，公差d＝4－2＝2，所以Sk＝ka1＋eq\f(k（k－1）,2)·d＝2k＋eq\f(k（k－1）,2)×2＝k2＋k，由Sk＝110，得k2＋k－110＝0，解得k＝10或k＝－11(舍去)，故a＝2，k＝10.(2)證明由(1)得Sn＝eq\f(n（2＋2n）,2)＝n(n＋1)，則bn＝eq\f(Sn,n)＝n＋1，故bn＋1－bn＝(n＋2)－(n＋1)＝1，又b1＝eq\f(S1,1)＝2，即數(shù)列{bn}是首項為2，公差為1的等差數(shù)列，所以Tn＝eq\f(n（2＋n＋1）,2)＝eq\f(n（n＋3）,2).12.(2022·全國甲卷)記Sn為數(shù)列{an}的前n項和.已知eq\f(2Sn,n)＋n＝2an＋1.(1)證明：{an}是等差數(shù)列；(2)若a4，a7，a9成等比數(shù)列，求Sn的最小值.(1)證明由eq\f(2Sn,n)＋n＝2an＋1，得2Sn＋n2＝2ann＋n，①所以2Sn＋1＋(n＋1)2＝2an＋1(n＋1)＋(n＋1)，②②－①，得2an＋1＋2n＋1＝2an＋1(n＋1)－2ann＋1，化簡得an＋1－an＝1，所以數(shù)列{an}是公差為1的等差數(shù)列.(2)解由(1)知數(shù)列{an}的公差為1.由a4，a7，a9成等比數(shù)列，得aeq\o\al(2,7)＝a4a9，即(a1＋6)2＝(a1＋3)(a1＋8)，解得a1＝－12.所以Sn＝－12n＋eq\f(n（n－1）,2)＝eq\f(n2－25n,2)＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(n－\f(25,2)))eq\s\up12(2)－eq\f(625,8)，所以當(dāng)n＝12或13時，Sn取得最小值，最小值為－78.【B級能力提升】13.(2023·濟(jì)南調(diào)研)已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn.若eq\f(S2023,2023)＝eq\f(S2022,2022)＋1且a1＝3，則()A.an＝2n＋1 B.an＝n＋1C.Sn＝2n2＋n D.Sn＝4n2－n答案A解析設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，∵Sn＝na1＋eq\f(n（n－1）,2)d，∴eq\f(Sn,n)＝a1＋eq\f(n－1,2)·d，即eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(Sn,n)))為等差數(shù)列，公差為eq\f(d,2).由eq\f(S2023,2023)－eq\f(S2022,2022)＝1知eq\f(d,2)＝1，解得d＝2，故an＝2n＋1，所以Sn＝eq\f(n（3＋2n＋1）,2)＝n2＋2n.14.(2023·湖南名校聯(lián)盟聯(lián)考)設(shè)Sn是等差數(shù)列{an}的前n項和，a2＝－7，S5＝2a1，當(dāng)|Sn|取得最小值時，n＝()A.10 B.9C.8 D.7答案C解析設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，a2＝－7，S5＝2a1，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1＋d＝－7，,5a1＋10d＝2a1，))得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1＝－10，,d＝3，))所以Sn＝－10n＋eq\f(n（n－1）,2)×3＝eq\f(3n2－23n,2)，因為f(x)＝eq\f(1,2)(3x2－23x)的零點為x＝0，x＝eq\f(23,3)，所以|Sn|的最小值是靠近函數(shù)f(x)零點處的值，又|S1|＝10，|S7|＝7，|S8|＝4，所以當(dāng)n＝8時，|Sn|取得最小值，故選C.15.(2023·?？谠\斷)在等差數(shù)列{an}中，a2＝－5，a6與a8