二十三　圓的一般方程

5.已知圓的方程為x2+y2+2x-4y=0,則圓的半徑為 ()A.3 B.5 C.3 D.5【解析】選B.r=4+162=52.圓心為(1,-1)且過原點的圓的一般方程是 ()A.x2+y2+2x-2y+1=0B.x2+y2-2x+2y+1=0C.x2+y2+2x-2y=0D.x2+y2-2x+2y=0【解析】選D.根據(jù)題意,要求圓的圓心為(1,-1),且過原點,且其半徑r=12+(-則其標準方程為(x-1)2+(y+1)2=2,一般方程是x2+y2-2x+2y=0.3.若圓C:x2+y2-2(m-1)x+2(m-1)y+2m2-6m+4=0過坐標原點,則實數(shù)m的值為 ()A.2或1 B.-2或-1C.2 D.1【解析】選C.若圓C:x2+y2-2(m-1)x+2(m-1)y+2m2-6m+4=0過坐標原點,則有2m2-6m+4=0,且4(m-1)2+4(m-1)2-4(2m2-6m+4)>0.解得m=2.4.當圓x2+y2+2x+2ky+2k2=0的面積最大時,圓心坐標是 ()A.(0,-1) B.(-1,0)C.(1,-1) D.(-1,1)【解析】選B.因為x2+y2+2x+2ky+2k2=0,所以(x+1)2+(y+k)2=1-k2,因此圓面積為(1-k2)π,所以k=0時圓面積最大,此時圓心坐標為(-1,0).5.(多選題)若圓x2+y2-2x-4y=0的圓心到直線x-y+a=0的距離為22,則實數(shù)a的值可以為 (A.2 B.-2 C.12 D.【解析】選AD.因為圓x2+y2-2x-4y=0的圓心為(1,2),所以圓心(1,2)到直線x-y+a=0的距離為|1-2+a|1+1=26.(多選題)已知圓M的一般方程為x2+y2-8x+6y=0,則下列說法正確的是 ()A.圓M的圓心為(-4,3)B.圓M被x軸截得的弦長為8C.圓M的半徑為5D.圓M被y軸截得的弦長為6【解析】選BCD.由圓M的一般方程為x2+y2-8x+6y=0,則圓M:(x-4)2+(y+3)2=52,故圓心為(4,-3),半徑為5,則A錯誤,C正確;令x=0,得y=0或y=-6,弦長為6,故D正確;令y=0,得x=0或x=8,弦長為8,故B正確.7.已知點M(1,t)在圓x2+y2-2ty+1=0外,則實數(shù)t的取值范圍為____________.

【解析】因為M(1,t)在圓x2+y2-2ty+1=0外,即在圓x2+(y-t)2=t2-1外,所以可得:t2-1>0,且1+t2-2t2+1>0,即1<t2<2,解得(-2,-1)∪(1,2).答案:(-2,-1)∪(1,2)8.在平面直角坐標系中,圓的方程為x2+y2+2x+6y+1=0,該圓的周長為________.

【解析】由題設(shè)可得圓的標準方程為(x+1)2+(y+3)2=9,所以圓的半徑為r=3,故周長為2πr=6π.答案:6π9.已知圓C:x2+y2+Dx+Ey+3=0,圓心在直線x+y-1=0上,且圓心在第二象限,半徑長為2,求圓的一般方程.【解析】圓心C(-D2,-E因為圓心在直線x+y-1=0上,所以-D2-E2-1=0,即D+E=-2又因為半徑長r=D2+E所以D2+E2=20.②由①②可得D=2,又因為圓心在第二象限,所以-D2<0即D>0.則故圓的一般方程為x2+y2+2x-4y+3=0.10.已知△ABC的頂點C(2,-8),直線AB的方程為y=-2x+11,AC邊上的高BH所在直線的方程為x+3y+2=0.(1)求頂點A和B的坐標;(2)求△ABC外接圓的一般方程.【解析】(1)由y可得頂點B(7,-3),又因為AC⊥BH,kBH=-13,得kAC所以設(shè)AC的方程為y=3x+b,將C(2,-8)代入得b=-14,由y=-2所以A和B的坐標分別為(5,1)和(7,-3).(2)設(shè)△ABC的外接圓方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0,將A(5,1),B(7,-3)和C(2,-8)三點的坐標分別代入,得5解得D所以△ABC的外接圓的一般方程為x2+y2-4x+6y-12=0.11.已知動點M到點(8,0)的距離等于點M到點(2,0)的距離的2倍,那么點M的軌跡方程是 ()A.x2+y2=32B.x2+y2=16C.(x-1)2+y2=16D.x2+(y-1)2=16【解析】選B.設(shè)M(x,y),則M滿足(x-8整理得x2+y2=16.12.(多選題)已知圓x2+y2+2x-4y+1=0關(guān)于直線2ax-by+2=0(a,b∈R)對稱,則下列結(jié)論正確的是 ()A.圓心是(-1,2)B.半徑是2C.a+b=1D.ab的取值范圍是(-∞,12【解析】選ABC.原方程可化為(x+1)2+(y-2)2=4,故其圓心是(-1,2),半徑是2.由已知得,該圓的圓心在直線2ax-by+2=0上,所以a+b=1,ab=a(1-a)=-a2+a=-(a-12)2+14≤所以ab的取值范圍是(-∞,14]13.設(shè)A為圓(x-1)2+y2=1上的動點,PA是圓的切線且|PA|=1,則P點的軌跡方程是____________________.

【解析】設(shè)P(x,y),圓(x-1)2+y2=1的圓心為B(1,0),則|PA|2+1=|PB|2,所以(x-1)2+y2=2.答案:(x-1)2+y2=2【補償訓練】已知圓C:x2+y2-2x+2y-3=0,AB為圓C的一條直徑,點A(0,1),則點B的坐標為________.

【解析】由x2+y2-2x+2y-3=0,得(x-1)2+(y+1)2=5,所以圓心C(1,-1).設(shè)B(x0,y0),又A(0,1),由中點坐標公式得x解得x0=2,y答案:(2,-3)14.已知a∈R,方程a2x2+(a+2)y2+4x+8y+5a=0表示圓,則圓心坐標是________,半徑是________.

【解析】因為方程a2x2+(a+2)y2+4x+8y+5a=0表示圓,所以a2=a+2≠0,解得a=-1或a=2.當a=-1時,方程化為x2+y2+4x+8y-5=0,配方得(x+2)2+(y+4)2=25,所得圓的圓心坐標為(-2,-4),半徑為5;當a=2時,方程化為x2+y2+x+2y+52=0,此時D2+E2-4F=1+4-4×52答案:(-2,-4)515.設(shè)△ABC的頂點坐標是A(0,a),B(-3a,0),C(3a,0),其中a>0,圓M為△ABC(1)求圓M的方程;(2)當a變化時,圓M是否過某一定點?請說明理由.【解析】(1)設(shè)圓M的方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0.因為圓M過點A(0,a),B(-3a,0),C(3所以a解得D=0,E=3-a,F=-3a.所以圓M的方程為x2+y2+(3-a)y-3a=0.(2)圓M的方程可化為(3+y)a-(x2+y2+3y)=0.由3+解得x=0,y=-3.所以圓M過定點(0,-3).16.討論方程λ(x2+y2)=(x-3)2+y2表示的是怎樣的圖形.【解析】將原方程整理為(λ-1)x2+(