立體幾何復習

立體幾何復習（文）線面平行的判定定理線面平行的性質(zhì)定理面面平行的判定定理面面平行的性質(zhì)定理證明線線平行的常用方法線面垂直的判定定理線面垂直的性質(zhì)定理面面垂直的判定定理面面垂直的性質(zhì)定理證明線線垂直的常用方法1、相交垂直2、異面垂直空間角：1、線線角；2、線面角；3、面面角1．如圖所示，在棱長為2的正方體中，M是線段AB上的動點．（1）證明：平面；（2）若M是AB的中點，證明：平面平面；（3）求三棱錐的體積．2．如圖,在四棱錐中,四邊形是菱形,,為的中點.(1)求證:面；(2)求證:平面平面.3．如圖所示，在四棱錐中，，，面面．求證：（1）平面；（2）平面平面．4．如圖，四面體ABCD中，O、E分別是BD、BC的中點，（Ⅰ）求證：平面BCD；（Ⅱ）求點E到平面ACD的距離.5．如圖所示：在三棱錐中，平面平面，為等邊三角形，且，分別為的中點.（1）求證：平面平面；（2）求三棱錐的體積.7．如圖，在三棱柱中，，點，分別是，的中點，平面平面．（1）求證：；（2）求證：（1）求證：PE⊥BC；（2）求證：EF∥平面PCD.9．如圖，四棱錐中，平面，，，，點在線段上，且滿足.（1）求證:；（2）求證:平面.10．如圖，在直三棱柱中，分別為棱的中點，且（1）求證：平面平面；（2）求證：∥平面.11．如圖，AB是圓O的直徑，點C是圓O上的動點，過動點C的直線SC垂直于圓O所在的平面，D，E分別是SA，SC的中點．證明：平面ABC平面平面SBC12．如圖，在四棱錐中，底面為正方形，平面平面，，，為的中點.（1）求證：平面；（2）求四棱錐的體積.13．已知四面體中面，，垂足為，，為中點，,（1）求證：面；（2）求點到面的距離．14．在三棱錐中，，，點、分別為、的中點．（1）求證：平面；（2）求證：平面．15．如圖，在三棱錐P－ABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC=π2，PA=2，AB=AC=4，點D、E、F分別為BC、AB、AC的中點．（I）求證：EF⊥平面PAD；（II）求點A到平面PEF參考答案1．（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）．【解析】【分析】（1）利用得出平面.（2）通過證明平面，可證得平面平面.（3）利用等體積轉化求出即可.【詳解】（1）證明：因為在正方體中，，平面，平面，平面（2）證明：在正方體中，,是中點，.平面，平面，則.平面，平面，且，平面.平面，∴平面平面（3）因為平面，所以點，點到平面的距離相等.故．【點睛】本題考查了證明線面平行的判定定理和面面垂直的判定定理的應用，注意判定定理中的條件，利用等體積轉化求三棱錐的體積是常用的方法，屬于基礎題.2．（1）要證明線面平行，則可以根據(jù)線面平行的判定定理來證明．（2）對于面面垂直的證明，要根據(jù)已知中的菱形的對角線垂直，以及面來加以證明．【解析】【分析】【詳解】試題分析：（1）由題意得只需在平面AEC內(nèi)找一條直線與直線PD平行即可．設，連接EO，由三角形中位線可得即得；（2）連接PO，由題意得PO⊥AC，又底面為菱形，則AC⊥BD，由面面垂直的判定定理即得．試題解析：（1）證明：設，連接EO，因為O，E分別是BD，PB的中點，所以而，所以面（2）連接PO，因為，所以，又四邊形是菱形，所以而面，面，，所以面又面，所以面面考點：1．線面平行的判定定理；2．面面垂直的判定定理；3．（1）見解析；（2）見解析【解析】【分析】（1）由題可得根據(jù)線面平行的判斷定理可證平面；（2）由題，易得，再利用面面可得面，即得證.【詳解】(1)面,面,∴平面(2)∵∴∵面面,面面,面,∴面,又面,∴面面【點睛】本題主要考查了空間幾何中平行以及垂直的判斷定理和性質(zhì)定理，熟悉定理是解題的關鍵，屬于較為基礎題.4．（Ⅰ）詳見解析（Ⅱ）【解析】【分析】【詳解】試題分析：（Ⅰ）要證明平面BCD，需要證明，，證明時主要是利用已知條件中的線段長度滿足勾股定理和等腰三角形三線合一的性質(zhì)（Ⅱ）中由已知條件空間直角坐標系容易建立，因此可采用空間向量求解，以為坐標原點，以方向為軸，軸，軸正方向建立空間直角坐標系，求出平面的法向量和斜線的方向向量，代入公式計算試題解析：（Ⅰ）證明：為的中點，，,，，，又，，，均在平面內(nèi)，平面（Ⅱ）方法一：以為坐標原點，以方向為軸，軸，軸正方向建立空間直角坐標系，則，設為平面的法向量，則，取，，則點到平面的距離為方法二：設點在上，且，連，為的中點，平面，平面，平面，平面平面，平面平面，且交線為過點作于點，則平面分別為的中點，則平面，平面，平面，點到平面的距離即，故點到平面的距離為考點：1.線面垂直的判定；2.點到面的距離5．（1）詳見解答；（2）.【解析】【分析】（1）由已知可得，再由面面垂直定理可得平面，即可證明結論；（2）平面，用等體積法求三棱錐的體積.【詳解】（1）為中點，，平面平面，平面平面，平面，平面平面，平面平面；（2）且，分別為的中點，，平面，，.【點睛】本題考查面面垂直證明，注意空間垂直間的相互轉化，考查椎體體積，意在考查直觀想象、邏輯推理能力，屬于基礎題.6．（1）證明見解析；（2）【解析】【分析】（1）通過AC⊥BD與PD⊥AC可得平面；（2）由題先得出∠PBD是直線PB與平面ABCD所成的角，即∠PBD=45°，則可先求出菱形ABCD的面積，進而可得四棱錐P-ABCD的體積.【詳解】解：（1）因為四邊形ABCD是菱形，所以AC⊥BD，又因為PD⊥平面ABCD，平面ABCD，所以PD⊥AC，又，故AC⊥平面PBD；（2）因為PD⊥平面ABCD，所以∠PBD是直線PB與平面ABCD所成的角，于是∠PBD=45°，因此BD=PD=2.又AB=AD=2，所以菱形ABCD的面積為，故四棱錐P-ABCD的體積.【點睛】本題主要考查空間線、面關系等基礎知識，同時考查空間想象能力、推理論證能力以及運算求解能力，是基礎題.7．（1）見解析；（2）見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)平面平面，可得平面，可得結果.（2）取的中點，根據(jù)【詳解】（1）因為，平面平面，平面平面，平面，則平面．又因為平面，所以．（2）取的中點，連接，．在中，因為，分別是，的中點，所以8．（1）詳見解析；（2）詳見解析.【解析】【分析】(1)先證明平面PE⊥BC即得證.(2)取中點，連接.證明，再證明EF∥平面PCD.【詳解】（1）∵，且為的中點，∴.∵平面平面，平面平面，∴平面.∵面，∴PE⊥BC.（2）如圖，取中點，連接.∵分別為和的中點，∴，且.∵四邊形為平行四邊形，且為的中點，∴，∴，且，∴四邊形為平行四邊形，∴.又平面，平面，∴平面.【點睛】本題主要考查空間位置關系的證明，意在考查學生對這些知識的掌握水平和空間想象分析推理能力.9．（1）證明見解析（2）證明見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)已知可證得，又有，得到面，進而證明結論；（2）連結，連結，可證，結合已知可證，即可證明結論.【詳解】（1）∵四棱錐中，平面，平面，∴，又，平面，，∴面.面，∴.（2）連結，∵，，,在中，連結，∵，∴，又面，面，∴面.【點睛】本題考查線線垂直的證明，注意空間垂直之間互相轉化，考查線面線平行，屬于基礎題.10．（1）見證明；（2）見證明【解析】【分析】（1）先證明，即證平面BMN⊥平面ACC1A1.(2)取的中點，連接和，證明，再證明MN∥平面BCC1B1．【詳解】(1)證明：因為為棱的中點，且，所以，因為是直三棱柱，所以，因為，所以，又因為，且，所以，因為，所以平面.(2)取的中點，連接和，因為為棱的中點，所以，且，因為是棱柱，所以，因為為棱的中點，所以，且，所以，且，所以是平行四邊形，所以，又因為，所以.【點睛】本題主要考查空間幾何元素的平行垂直關系的證明，意在考查學生對這些知識的掌握水平和空間想象轉化能力.11．（1）詳見解析；（2）詳見解析.【解析】【分析】(1）由D，E分別是SA，SC的中點，可得DE∥AC，從而得到DE∥平面ABC；（2）由AB為圓O的直徑，得AC⊥BC，再由SC垂直于圓O所在的平面，得SC⊥AC，可得AC⊥平面SBC，利用面面垂直的判定定理即可得證．【詳解】證明：，E分別是SA，SC的中點，，又平面ABC，平面ABC，平面ABC；為圓O的直徑，，垂直于圓O所在的平面，，而，平面SBC，又平面SAC，平面平面SBC．【點睛】本題考查直線與平面平行，平面與平面垂直的判定，考查空間想象能力與思維能力，是中檔題．12．（1）證明見解析；（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)等腰三角形證明，得到答案.（2）計算得到，，再利用體積公式計算得到答案.【詳解】（1），為的中點，故，平面平面，平面平面，故平面.（2），，故，.故.【點睛】本題考查了線面垂直，四棱錐的體積，意在考查學生的空間想象能力和計算能力.13．（1）見解析；（2）【解析】【分析】（1）證明線面平行,需先證明線線平行,可從三角形的中位線定理證明線線平行,從而再證線面平行.（2）求點到面的距離用等體積法,由,分別算出、,建立體積等式關系即可求到面的距離．【詳解】、（1）因為,所以為中點,又因為是中點,所以,而面,面,所以面.（2）由已知得,,,所以三角形為直角三角形其面積,三角形的面積設點到面的距離為,因為,即解得,所以點到面的距離為.【點睛】（1）線面平行的判定定理是：若平面外的一條直線與平面內(nèi)的一條直線平行,那么這條直線與這個平面平行,即.（2）用等體積法求點到平面的距離主要是一個轉換的思想,先用簡單的方法求出四面體的體積,然后計算出底面三角形的面積,再根據(jù)四面體體積公式V=-Sh求出點到平面的距離.14．（1）見解析；（2）見解析【解析】【分析】（1）推導出，由此能證明平面．（2）推導出，，，由此能證明平面．【詳解】（1）點、分別為、的中點．，平面，平面，平面．（2），，點、分別為、的中點，，，，，平面．【點睛】本題考查線面平行、線面垂直的證明，考查空間中線線、線面、面面間的位置關系等基礎知識，考查運算求解能力，是中檔題．15．（I）見解析；（II）2【解析】【分析】（I）證明PA⊥EF，AD⊥EF得到EF⊥平面PAD.（II）設EF與AD相交于點G，連接PG，證明平面PEF⊥平面PAD，過A作AO⊥