分塊矩陣初等變換與分塊初等矩陣結(jié)合的簡化矩陣運(yùn)算

分塊矩陣初等變換與分塊初等矩陣結(jié)合的簡化矩陣運(yùn)算

在高等代數(shù)教材中，許多問題可以通過分塊矩陣來解決，過程簡單易懂。2×2分塊矩陣形式簡單,但如果與分塊矩陣的初等變換結(jié)合起來卻變得非常有用。1等式中塊矩陣的初始變換1.1左乘某塊行與普通矩陣的初等行變換類似,分塊矩陣也有三種類型的初等行變換:(1)把一個塊行的左P倍(P是矩陣)加到另一個塊行上;(2)換兩個塊行的位置;(3)用一個可逆矩陣左乘某一塊行。類似地有分塊矩陣的初等列變換:(1)把一個塊列的右P倍(P是矩陣)加到另一個塊列上;(2)互換兩個塊列的位置;(3)用一個可逆矩陣右乘某一塊列。1.2塊初等矩陣左乘右乘一個分塊矩陣的基本概念是三種不同類型的分塊初等矩陣(其中Q是可逆矩陣)。通過直接計算可以驗(yàn)證:用分塊初等矩陣左乘(右乘)一個分塊矩陣,就相當(dāng)于對這個分塊矩陣作了一次相應(yīng)的分塊矩陣的初等行(列)變換。分塊矩陣的初等行(列)變換有直觀的優(yōu)點(diǎn),用分塊初等矩陣左乘(右乘)一個分塊矩陣可以得到一個等式,把兩者結(jié)合起來可以發(fā)揮出很大的威力。1.3等式中塊矩陣的初始等分維和矩陣的等級1.4b乘分塊矩陣法載第1塊行列p本文用“r2+P·r1”(“c2+c1·P”)表示把分塊矩陣第1塊行(列)的左(右)P倍加到第2塊行(列)上;用“r1圮r2”(“c1圮c2”)表示把分塊矩陣的第1塊行(列)和第2塊行(列)互換;用“P·r1”(“c1·P”)表示用可逆矩陣P左(右)乘分塊矩陣的第1塊行(列),等等。還約定用I表示單位矩陣,用In表示n階單位矩陣。222分塊矩陣的應(yīng)用2.1b法規(guī)定n階矩陣a,n、nb例1設(shè)A、B都是n階矩陣,證明:證明因?yàn)榘逊謮K矩陣的一個塊行的左P倍加到另一個塊行上,所得矩陣的行列式與原來矩陣的行列式值相等,所以左邊=|A||B|,右邊=|AB|·(-1)1+…+n+(n+1)+…+2n|-I|=|AB|(-1)n+2n2(-1)n=|AB|(-1)2n(n+1)=|AB|,所以|AB|=|A||B|。例2設(shè)A、B分別是s×n、n×s矩陣,證明:證明計算下列分塊矩陣的行列式:一方面,有于是有兩邊取行列式,得由此得出,n階矩陣A是對合矩陣圳rank(I-A2)=0注:例3的證明過程中用到了分塊矩陣的秩的一個性質(zhì):例4證明syvester不等式:設(shè)A、B分別是s×n、n×m矩陣,則證明只要證n+rank(AB)≥rank(A)+rank(B)。根據(jù)(3)式有作分塊矩陣的初等列變換:因此因此注:例4的證明過程中用到了不等式:2.3a稱矩陣?yán)?證明如果n階實(shí)對稱矩陣A的所有順序主子式全大于零,則A是正定矩陣。證明n=1時,A為1階矩陣(a),已知a>0,從而A正定。假設(shè)對于n-1階實(shí)對稱矩陣命題為真。現(xiàn)在看n階實(shí)對稱矩陣A=(aij)。把A寫成分塊矩陣:其中An-1是n-1階實(shí)對稱矩陣。顯然An-1的所有順序主子式是A的1階至n-1階順序主子式,由已知條件得,它們都大于零。于是據(jù)歸納假設(shè)得,An-1是正定的。因此有n-1階實(shí)可逆矩陣C1,使得由于記b=ann-α′A-1n-1α,因此由于因此從(6)式得A與合同,且|A|=|An-1|b,從而b>0。由于因此合同。由于矩陣是正定的,于是A是正定的。根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法原理,命題得證。3分塊矩陣的初等變換從上述幾個例子可以看出,應(yīng)用分塊矩陣的初等變換和2×2分塊矩陣,可以有效地簡化矩陣的運(yùn)算,因此建議在高等代數(shù)教學(xué)中加強(qiáng)對分塊矩陣內(nèi)容的教學(xué)。把單位矩陣分塊得到的矩陣經(jīng)過一次分塊矩陣的初等行(列)變換得到的矩陣稱為分塊初等矩陣。例如:由于分塊初等矩陣是可逆矩陣,因此據(jù)可逆矩陣的性質(zhì)和上述結(jié)論得到:分塊矩陣的初等變換不改變矩陣的秩。這個結(jié)論在求矩陣的秩時很有用。從