成都重點(diǎn)高中自主招生數(shù)學(xué)模擬試題和答案匯總

.PAGE.重點(diǎn)中學(xué)自主招生數(shù)學(xué)模擬試題一一、選擇題〔共5小題，每題6分，共30分.以下每題均給出了代號(hào)為A,B,C,D的四個(gè)選項(xiàng),其中有且只有一個(gè)選項(xiàng)是正確的.請(qǐng)將正確選項(xiàng)的代號(hào)填入題后的括號(hào).不填、多填或錯(cuò)填均不得分〕1、如果關(guān)于x的方程至少有一個(gè)正根，那么實(shí)數(shù)a的取值圍是〔〕A、B、C、D、2、如圖，：點(diǎn)、分別是正方形的邊的中點(diǎn)，分別交于點(diǎn)，假設(shè)正方形的面積是240，那么四邊形的面積等于……〔〕A、26B、28C、24D、303、設(shè)是兩兩不等的實(shí)數(shù)，且滿足以下等式：，那么代數(shù)式的值是…〔〕A、0B、1C4、如圖，四邊形接于以為直徑的⊙，：，那么線段的長(zhǎng)是…〔〕A、B、7C、4+3D、3+45、某學(xué)校共有3125名學(xué)生，一次活動(dòng)中全體學(xué)生被排成一個(gè)排的等腰梯形陣，且這排學(xué)生數(shù)按每排都比前一排多一人的規(guī)律排列，那么當(dāng)取到最大值時(shí)，排在這等腰梯形陣最外面的一周的學(xué)生總?cè)藬?shù)是…〔〕A、296B、221C、225D、641二、填空題：〔共5小題，每題6分，共30分〕6、：實(shí)常數(shù)同時(shí)滿足以下兩個(gè)等式：⑴；⑵〔其中為任意銳角〕，那么之間的關(guān)系式是：。7、函數(shù)的最小值是。8、一個(gè)三角形的周長(zhǎng)和面積分別是84、210，一個(gè)單位圓在它的部沿著三邊勻速無(wú)摩擦地滾動(dòng)一周后回到原來(lái)的位置〔如圖〕，那么這個(gè)三角形的部以及邊界沒(méi)有被單位圓滾過(guò)的局部的面積是。9、：，那么可用含的有理系數(shù)三次多項(xiàng)式來(lái)表示為：=。10、設(shè)p、q、r為素?cái)?shù)，那么方程的所有可能的解p、q、r組成的三元數(shù)組(p,q,r)是。三、解答題〔共6題，共90分〕11、〔此題總分值12分〕巖，徐婷婷，磊不但是同班同學(xué)，而且是非常要好的朋友，三個(gè)人的學(xué)習(xí)成績(jī)不相伯仲，且在整個(gè)年級(jí)中都遙遙領(lǐng)先，高中畢業(yè)后三個(gè)人都如愿的考入自己心慕以久的大學(xué)．后來(lái)三個(gè)人應(yīng)母校邀請(qǐng)給全校學(xué)生作一次報(bào)告.報(bào)告后三個(gè)人還出了一道數(shù)學(xué)題：有一種密碼把英文按字母分解，英文中的個(gè)字母〔不管大小寫(xiě)〕依次用這26個(gè)自然數(shù)表示，并給出如下一個(gè)變換公式：；對(duì)于任意的實(shí)數(shù)，記號(hào)[]表示不超過(guò)的最大整數(shù)；將英文字母轉(zhuǎn)化成密碼，如，即，再如，即。他們給出以下一組密碼：，把它翻譯出來(lái)就是一句很好的臨別贈(zèng)言?，F(xiàn)在就請(qǐng)你把它翻譯出來(lái)，并簡(jiǎn)單地寫(xiě)出翻譯過(guò)程。12、〔此題總分值15分〕如果有理數(shù)可以表示成〔其中是任意有理數(shù)〕的形式，我們就稱為"世博數(shù)〞。個(gè)"世博數(shù)〞之積也是"世博數(shù)〞嗎？為什么？證明：兩個(gè)"世博數(shù)〞〔〕之商也是"世博數(shù)〞。13、〔此題總分值15分〕如圖，在四邊形中，△、△、△的面積之比是3∶1∶4，點(diǎn)在邊上，交于，設(shè)。⑴求的值；⑵假設(shè)點(diǎn)分線段成的兩段，且，試用含的代數(shù)式表示△三邊長(zhǎng)的平方和。14、〔此題總分值16分〕觀察以下各個(gè)等式：。⑴你能從中推導(dǎo)出計(jì)算的公式嗎？請(qǐng)寫(xiě)出你的推導(dǎo)過(guò)程；⑵請(qǐng)你用⑴中推導(dǎo)出的公式來(lái)解決以下問(wèn)題：：如圖，拋物線與、軸的正半軸分別交于點(diǎn)，將線段等分，分點(diǎn)從左到右依次為，分別過(guò)這個(gè)點(diǎn)作軸的垂線依次交拋物線于點(diǎn)，設(shè)△、△、△、△、…、△的面積依次為。①當(dāng)時(shí)，求的值；②試探究：當(dāng)取到無(wú)窮無(wú)盡時(shí)，題中所有三角形的面積和將是什么值？為什么？15、〔此題總分值16分〕有如下圖的五種塑料薄板〔厚度不計(jì)〕：①兩直角邊分別為3、4的直角三角形；②腰長(zhǎng)為4、頂角為的等腰三角形；③腰長(zhǎng)為5、頂角為的等腰三角形；④兩對(duì)角線和一邊長(zhǎng)都是4且另三邊長(zhǎng)相等的凸四邊形；⑤長(zhǎng)為4且寬〔小于長(zhǎng)〕與長(zhǎng)的比是黃金分割比的黃金矩形。它們都不能折疊，現(xiàn)在將它們一一穿過(guò)一個(gè)、外徑分別為2.4、2.7的鐵圓環(huán)。我們規(guī)定：如果塑料板能穿過(guò)鐵環(huán)圈，那么稱為此板"可操作〞；否那么，便稱為"不可操作〞。⑴證明：第④種塑料板"可操作〞；⑵求：從這五種塑料板中任意取兩種至少有一種"不可操作〞的概率。16、〔此題總分值16分〕定義：和三角形一邊和另兩邊的延長(zhǎng)線同時(shí)相切的圓叫做三角形這邊上的旁切圓。如下圖，：⊙是△的邊上的旁切圓，分別是切點(diǎn)，于點(diǎn)。⑴試探究：三點(diǎn)是否同在一條直線上？證明你的結(jié)論。⑵設(shè)如果△和△的面積之比等于，，試作出分別以為兩根且二次項(xiàng)系數(shù)為6的一個(gè)一元二次方程。重點(diǎn)中學(xué)自主招生數(shù)學(xué)模擬試題一參考答案與評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)一、選擇題〔共5小題，每題6分，共30分.以下每題均給出了代號(hào)為A,B,C,D的四個(gè)選項(xiàng),其中有且只有一個(gè)選項(xiàng)是正確的.請(qǐng)將正確選項(xiàng)的代號(hào)填入題后的括號(hào).不填、多填或錯(cuò)填均不得分〕1、如果關(guān)于x的方程至少有一個(gè)正根，那么實(shí)數(shù)a的取值圍是〔C〕A、B、C、D、2、如圖，：點(diǎn)、分別是正方形的邊的中點(diǎn)，分別交于點(diǎn)，假設(shè)正方形的面積是240，那么四邊形的面積等于……〔B〕A、26B、28C、24D、303、設(shè)是兩兩不等的實(shí)數(shù)，且滿足以下等式：，那么代數(shù)式的值是…〔A〕A、0B、1C4、如圖，四邊形接于以為直徑的⊙，：，那么線段的長(zhǎng)是…〔D〕A、B、7C、4+3D、3+45、某學(xué)校共有3125名學(xué)生，一次活動(dòng)中全體學(xué)生被排成一個(gè)排的等腰梯形陣，且這排學(xué)生數(shù)按每排都比前一排多一人的規(guī)律排列，那么當(dāng)取到最大值時(shí)，排在這等腰梯形陣最外面的一周的學(xué)生總?cè)藬?shù)是…〔B〕A、296B、221C、225D、641二、填空題：〔共5小題，每題6分，共30分。不設(shè)中間分〕6、：實(shí)常數(shù)同時(shí)滿足以下兩個(gè)等式：⑴；⑵〔其中為任意銳角〕，那么之間的關(guān)系式是：。7、函數(shù)的最小值是8。8、一個(gè)三角形的周長(zhǎng)和面積分別是84、210，一個(gè)單位圓在它的部沿著三邊勻速無(wú)摩擦地滾動(dòng)一周后回到原來(lái)的位置〔如圖〕，那么這個(gè)三角形的部以及邊界沒(méi)有被單位圓滾過(guò)的局部的面積是84—。9、：，那么可用含的有理系數(shù)三次多項(xiàng)式來(lái)表示為：=。10、設(shè)p、q、r為素?cái)?shù)，那么方程的所有可能的解p、q、r組成的三元數(shù)組(p,q,r)是。三、解答題〔共6題，共90分。學(xué)生假設(shè)有其它解法，也按標(biāo)準(zhǔn)給分〕11、〔此題總分值12分〕巖，徐婷婷，磊不但是同班同學(xué)，而且是非常要好的朋友，三個(gè)人的學(xué)習(xí)成績(jī)不相伯仲，且在整個(gè)年級(jí)中都遙遙領(lǐng)先，高中畢業(yè)后三個(gè)人都如愿的考入自己心慕以久的大學(xué)，后來(lái)三個(gè)人應(yīng)母校邀請(qǐng)給全校學(xué)生作一次報(bào)告。報(bào)告后三個(gè)人還出了一道數(shù)學(xué)題：有一種密碼把英文按字母分解，英文中的個(gè)字母〔不管大小寫(xiě)〕依次用這26個(gè)自然數(shù)表示，并給出如下一個(gè)變換公式：；對(duì)于任意的實(shí)數(shù)，記號(hào)[]表示不超過(guò)的最大整數(shù)。將英文字母轉(zhuǎn)化成密碼，如，即，再如，即。他們給出以下一組密碼：，把它翻譯出來(lái)就是一句很好的臨別贈(zèng)言?，F(xiàn)在就請(qǐng)你把它翻譯出來(lái)，并簡(jiǎn)單地寫(xiě)出翻譯過(guò)程。略解：由題意，密碼對(duì)應(yīng)的英語(yǔ)單詞是interest,對(duì)應(yīng)的英語(yǔ)單詞是is,對(duì)應(yīng)的英語(yǔ)單詞是best,對(duì)應(yīng)的英語(yǔ)單詞是teacher.(9分)所以，翻譯出來(lái)的一句英語(yǔ)是Interestisbestteacher,意思是"興趣是最好的教師〞?！?分〕12、〔此題總分值15分〕如果有理數(shù)可以表示成〔其中是任意有理數(shù)〕的形式，我們就稱為"世博數(shù)〞。個(gè)"世博數(shù)〞之積也是"世博數(shù)〞嗎？為什么？證明：兩個(gè)"世博數(shù)〞〔〕之商也是"世博數(shù)〞。略解：=，其中是有理數(shù)，"世博數(shù)〞〔其中是任意有理數(shù)〕，只須即可?！?分〕對(duì)于任意的兩個(gè)兩個(gè)"世博數(shù)〞，不妨設(shè)其中j、k、r、s為任意給定的有理數(shù)，〔3分〕那么是"世博數(shù)〞；〔3分〕=也是"世博數(shù)〞?！?分〕13、〔此題總分值15分〕如圖，在四邊形中，△、△、△的面積之比是3∶1∶4，點(diǎn)在邊上，交于，設(shè)。⑴求的值；⑵假設(shè)點(diǎn)分線段成的兩段，且，試用含的代數(shù)式表示△三邊長(zhǎng)的平方和。略解：⑴不妨設(shè)△、△、△的面積分別為3、1、4，∵，∴△的面積是6，△的面積是，△的面積是，△的面積為，△的面積是。〔3分〕由此可得：+=，即，∴〔3分〕∴=3〔1分〕⑵由⑴知：分別為的中點(diǎn)，又∵點(diǎn)分線段成的兩段，∴點(diǎn)是△的重心。〔2分〕而當(dāng)延長(zhǎng)到，使得，連結(jié)后便得到平行四邊形，再利用"平行四邊形的四邊平方和等于兩對(duì)角線的平方和〞就可得：，類似地有，其中點(diǎn)為邊的中點(diǎn)?！?。〔3分〕∵，，∴，∴。〔3分〕14、〔此題總分值16分〕觀察以下各個(gè)等式：。⑴你能從中推導(dǎo)出計(jì)算的公式嗎？請(qǐng)寫(xiě)出你的推導(dǎo)過(guò)程；⑵請(qǐng)你用⑴中推導(dǎo)出的公式來(lái)解決以下問(wèn)題：：如圖，拋物線與、軸的正半軸分別交于點(diǎn)，將線段n等分，分點(diǎn)從左到右依次為，分別過(guò)這個(gè)點(diǎn)作軸的垂線依次交拋物線于點(diǎn)，設(shè)△、△、△、△、…、△的面積依次為。①當(dāng)時(shí)，求的值；②試探究：當(dāng)取到無(wú)窮無(wú)盡時(shí)，題中所有三角形的面積和將是什么值？為什么？略解：⑴∵，∴當(dāng)式中的從1、2、3、…依次取到時(shí)，就可得以下個(gè)等式：〔2分〕，將這個(gè)等式的左右兩邊分別相加得：〔2分〕即=?！?分〕⑵先求得兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，∴點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為，點(diǎn)的縱坐標(biāo)分別為?！?分〕∴∴=?！?分〕∴①當(dāng)時(shí)，=；②∵∴當(dāng)取到無(wú)窮無(wú)盡時(shí)，上式的值等于，即所有三角形的面積和等于?！?分〕15、〔此題總分值16分〕有如下圖的五種塑料薄板〔厚度不計(jì)〕：①兩直角邊分別為3、4的直角三角形；②腰長(zhǎng)為4、頂角為的等腰三角形；③腰長(zhǎng)為5、頂角為的等腰三角形；④兩對(duì)角線和一邊長(zhǎng)都是4且另三邊長(zhǎng)相等的凸四邊形；⑤長(zhǎng)為4且寬〔小于長(zhǎng)〕與長(zhǎng)的比是黃金分割比的黃金矩形。它們都不能折疊，現(xiàn)在將它們一一穿過(guò)一個(gè)、外直徑分別為2.4、2.7的鐵圓環(huán)。我們規(guī)定：如果塑料板能穿過(guò)鐵環(huán)圈，那么稱為此板"可操作〞；否那么，便稱為"不可操作〞。⑴證明：第④種塑料板"可操作〞；⑵求：從這五種塑料板中任意取兩種至少有一種"不可操作〞的概率。略解：⑴由題意可知四邊形必然是等腰梯形，〔2分〕不妨設(shè)=，分別過(guò)點(diǎn)作的垂線，垂足為，那么由△∽△得到，即，解得?！啵?.4,∴第④種塑料板"可操作〞?！?分〕⑵如上圖所示，分別作直角三角形斜邊上的高、等腰三角形的腰上的高、等腰三角形底邊上的高，易求得：=2.4,=2.5.(2分)又由⑴可得等腰梯形的銳角底角是，△≌△，∴=.而黃金矩形的寬等于＞2.4，〔4分〕∴第①②④三種塑料板"可操作〞；而第③⑤兩種塑料板"不可操作〞?！鄰倪@五種塑料板中任意取兩種至少有一種"不可操作〞的概率?！?分〕16、〔此題總分值16分〕定義：和三角形一邊和另兩邊的延長(zhǎng)線同時(shí)相切的圓叫做三角形這邊上的旁切圓。如下圖，：⊙是△的邊上的旁切圓，分別是切點(diǎn)，于點(diǎn)。⑴試探究：三點(diǎn)是否同在一條直線上？證明你的結(jié)論。