類循環(huán)矩陣n階y-z-u類循環(huán)矩陣行列式的計算方法

類循環(huán)矩陣n階y-z-u類循環(huán)矩陣行列式的計算方法

1可逆矩陣及相關(guān)定理循環(huán)矩陣是一個重要的特殊矩陣，在許多領(lǐng)域都得到了廣泛應(yīng)用。在文獻(xiàn)的基礎(chǔ)上，本文討論了更廣泛的類似于循環(huán)矩陣的類循環(huán)矩陣行列式的計算公式。定義1設(shè)a1,a2,…,an為n個復(fù)數(shù),如果矩陣A=(aij)n×n滿足aij={aj+1-i(j≥i)an+j+1-i(j<i)(i,j=1,2,?,n),則稱矩陣A為n階循環(huán)矩陣.引理1設(shè)A是以a1,a2,…,an為元素的n階循環(huán)矩陣,則矩陣A的行列式|A|=f(ω1)f(ω2)…f(ωn),其中f(x)=a1+a2x+a3x2+…+anxn-1,ωni=1(i=1,2,…,n).定義2設(shè)a1,a2,…,an為n個復(fù)數(shù),如果矩陣A=(aij)n×n滿足aij={aj+1-i(j≥i)Yan+j+1-i(j<i)(i,j=1,2,?,n),其中Y為確定的非零復(fù)數(shù),那么稱矩陣A為n階Y-類循環(huán)矩陣,簡記為[a1,a2,…,an]Y.注當(dāng)Y=1時,就是n階循環(huán)矩陣A;當(dāng)y=-1,就是通常的反循環(huán)矩陣.定理1設(shè)A=[a1,a2,…,an]Y為n階Y-類循環(huán)矩陣,則矩陣A的行列式|A|=f(ω1)f(ω2)…f(ωn),其中f(x)=a1+a2x+a3x2+…+anxn-1,ωni=Y(i=1,2,…,n).推論1設(shè)n階Y-類循環(huán)矩陣A=[a1,a2,…,an]Y,則A可逆的充分與必要條件是f(x)=a1+a2x+a3x2+…+anxn-1與xn-Y互素,即(f(x),xn-Y)=1.定義3設(shè)a1,a2,…,an為n個復(fù)數(shù),如果矩陣A=(aij)n×n滿足aij={aj+1-i(j>i)Ya1(j=1)Yan+j+1-i(j<i)(i,j=1,2,?,n),其中Y是任意確定的非零復(fù)數(shù),稱矩陣A為n階Y-Y-類循環(huán)矩陣,簡記為[a1,a2,…,an]Y-Y(注:當(dāng)Y=1時就是n階循環(huán)矩陣A).定理2設(shè)n階Y-Y-類循環(huán)矩陣A=[a1,a2,…,an]Y-Y,則矩陣A的行列式|A|=n∏i=1f(ωi),其中f(x)=Ya1+a2x+…+anxn-1,ωni=Y(i=1,2,…,n).推論2設(shè)n階Y-Y-類循環(huán)矩陣A=[a1,a2,…,an]Y-Y,則A可逆的充要條件是f(x)=Ya1+a2x+…+anxn-1與xn-Y互素,即(f(x),xn-Y)=1.定義4設(shè)a1,a2,…,an為n個復(fù)數(shù),如果矩陣A=(aij)n×n滿足aij={aj+1-i(j>i)Ya1(j=1)Ζan+j+1-i(j<i)(i,j=1,2,?,n),其中Y,Z是兩個確定的復(fù)數(shù)且Z≠0,則稱矩陣A為n階Y-Z-類循環(huán)矩陣,簡記為[a1,a2,…,an]Y-Z(注:當(dāng)Y=Z時矩陣A為n階Y-Y-類循環(huán)矩陣;Y=Z=1就是n階循環(huán)矩陣A).定理3設(shè)n階Y-Z-類循環(huán)矩陣A=[a1,a2,…,an]Y-Z,則矩陣A的行列式|A|=n∏i=1f(ωi),其中f(x)=Ya1+a2x+…+anxn-1,ωni=Z(i=1,2,…,n).推論3設(shè)n階Y-Z-類循環(huán)矩陣A=[a1,a2,…,an]Y-Z,則A可逆的充要條件是f(x)=Ya1+a2x+…+anxn-1與xn-Z互素,即(f(x),xn-Z)=1.2an-1xn-2a3an定義5設(shè)a1,a2,…,an為n個復(fù)數(shù),如果矩陣A=(aij)n×n滿足aij={aj+1-iYa1ΖanUan+j+1-i(j>i)(j=1)(j+1=i)(i-j>1)(i=1,2,?,n),其中Y,Z,U是3個確定的復(fù)數(shù)且U≠0,則稱矩陣A為n階Y-Z-U-類循環(huán)矩陣,簡記為A=[a1,a2,…,an]Y-Z-U(注:當(dāng)Z=U時,矩陣A為n階Y-Z-類循環(huán)矩陣;Y=Z=U矩陣A為n階Y-Y-類循環(huán)矩陣;特別當(dāng)Y=Z=U=1時就是n階循環(huán)矩陣).定理4設(shè)n階Y-Z-U-類循環(huán)矩陣A=[a1,a2,…,an]Y-Z-U,則矩陣A行列式|A|=n∏i=1f(ωi){1+(U-Ζ)ann∏i=1ω-1in∑t=1[(-1)t+1f(ωt)(∏1≤s(≠t)≤nω2s)(∏1≤e<t≤n1ωt-ωe)(∏1≤t<f≤n1ωf-ωt)]},其中f(x)=Ya1+a2x+a3x2+…+an-1xn-2+(Z/U)anxn-1,ωni=U(i=1,2,…,n).證明設(shè)f(x)=Ya1+a2x+a3x2+…+an-1xn-2+(Z/U)anxn-1,令Vn=(111?11ω1ω2ω3?ωn-1ωnω21ω22ω23?ω2n-1ω2n??????ωn-11ωn-12ωn-13?ωn-1n-1ωn-1n),且ωni=U(i=1,2,…,n),所以|AVn|=|(Ya1a2a3?an-2an-1anΖa1Ya1a2?an-3an-2an-1Uan-1ΖanYa1?an-4an-3an-2???????Ua2Ua3Ua4?Uan-1ΖanYa1)?(111?111ω1ω2ω3?ωn-2ωn-1ωnω21ω22ω23?ω2n-2ω2n-1ω2n???????ωn-11ωn-12ωn-13?ωn-1n-2ωn-1n-1ωn-1n)|=|f(ω1)+(1-Ζ/U)anωn-11f(ω2)+(1-Ζ/U)anωn-12?f(ωn)+(1-Ζ/U)anωn-1nω1f(ω1)ω2f(ω2)?ωnf(ωn)????ωn-11f(ω1)ωn-12f(ω2)?ωn-1nf(ωn)|=|f(ω1)f(ω2)?f(ωn)ω1f(ω1)ω2f(ω2)?ωnf(ωn)????ωn-11f(ω1)ωn-12f(ω2)?ωn-1nf(ωn)|+(1-ΖU)an|ωn-11ωn-12?ωn-1nω1f(ω1)ω2f(ω2)?ωnf(ωn)????ωn-11f(ω1)ωn-12f(ω2)?ωn-1nf(ωn)|=n∏i=1f(ωi)∏1≤i<j≤n(ωj-ωi)+(1-ΖU)an?U?n∏i=11ωi|11?1ω21f(ω1)ω22f(ω2)?ω2nf(ωn)????ωn1f(ω1)ωn2f(ω2)?ωnnf(ωn)|=n∏i=1f(ωi)∏1≤i<j≤n(ωj-ωi)+(U-Ζ)an?n∏i=1f(ωi)ωi|1/f(ω1)1/f(ω2)?1/f(ωn)ω21ω22?ω2n????ωn1ωn2?ωnn|=n∏i=1f(ωi)∏1≤i<j≤n(ωj-ωi)+(U-Ζ)ann∏i=1f(ωi)ωin∑t=1[(-1)t+1f(ωt)(∏1≤s(≠t)≤nω2s)(∏1≤e<f≤n(e,f≠t)(ωf-ωe))].又由于|Vn|=∏1≤i<j≤n(ωj-ωi)≠0,所以|A|=n∏i=1f(ωi)+(U-Ζ)ann∏i=1f(ωi)ωin∑t=1[(-1)t+1f(ωt)(∏1≤s(≠t)≤nω2s)×(∏1≤e<t≤n1ωt-ωe)?(∑1≤t<f≤n1ωf-ωt)]=n∏i=1f(ωi){1+(U-Ζ)ann∏i=1ω-1in∑t=1[(-1)t+1f(ωt)(∏1≤s(≠t)≤nω2s)(∏1≤e<t≤n1ωt-ωe)?(∏1≤t<f≤n1ωf-ωt)]}.3矩陣a+2a2en,3a/4-3a/3a的n-in,n-1en,n-in,n-in,n-1en,n-in,n-2en,n-1en,n-2e,n,n-2en,n-2,n-2,n-2,n-2,n-2,n-2,n-3,2,n-2,n-3,2,n-2,3en,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n例1已知矩陣A=[0,a,a,a,…,a]Y=b/a,求矩陣A的行列式值|A|=|0aa?ab0a?abb0?a?????bbb?0|.解設(shè)f(x)=a(x+x2+…+xn-1),經(jīng)過變形化簡得f(x)=a(xn-x)/(x-1),且ωin=b/a(i=1,2,…,n),所以f(ωi)=a(ωin-ωi)ωi-1=a(b/a-ωi)ωi-1.由定理2知|A|=∏i=1nf(ωi)=∏i=1na(b/a-ωi)ωi-1=[(-1)nan∏i=1n(ωi-ba)]/∏i=1n(ωi-1)=(-1)nan[ω1ω2?ωn+(-b/a)n](-1)n×(-b/a)+(-1)n=(-1)nan[(-1)n×(-b/a)+(-b/a)n](-1)n(1-b/a)=(-1)n-1ab(an-1-bn-1)/(a-b).例2已知矩陣A=[1,2,…,n]2-3-3,求矩陣A的行列式|A|=|2234?n-1n3n223?n-2n-13(n-1)3n22?n-3n-2???????9121518?22691215?3n2|.解設(shè)f(x)=2+2x+3x2+…+nxn-1,經(jīng)過變形化簡得f(x)-1=[(n+1)(x-1)xn-xn+1+1]/(x-1)2,所以f(ωi)-1=[3(n+1)(ωi-1)-3ωi+1]/(ωi-1)2.令ωin=3(i=1,2,…,n),即f(ωi)=(ωi+3n/2-1+2+9n2/4)(ωi+3n/2-1-2+9n2/4)/(ωi-1)2(i=1,2,?,n).由定理4知|A|=∏i=1nf(ωi)=∏i=1n(ωi+32n-1+2+94n2)∏i=1n(ωi+32n-1-2+94n2)/∏i=1n(ωi-1)2=[(-1)n×(-3)+(3n/2-1+1+9n2/4)n][(-1)n×(-3)+(3n/2-1-1+9n2/4)