內(nèi)蒙古烏蘭察布高三下學(xué)期3月模擬調(diào)研（一模）數(shù)學(xué)（理科）試卷

2021年內(nèi)蒙古烏蘭察布高考數(shù)學(xué)調(diào)研試卷（理科）（一模）一、選擇題（共12小題）.1．已知集合A＝{x||x﹣1|＜3}，B＝{x|x（x﹣6）＜0}，則A∩B＝（）A．（﹣2，6） B．（0，4） C．（0，6） D．（﹣2，4）2．i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z滿足：z（1+i）＝i+2i2+3i3，則z＝（）A．2 B．2i C．﹣2 D．﹣2i3．某次大學(xué)生知識大賽，某校代表隊3人參賽，答4道題，每人至少答1道題，每題僅1人作答，則不同的題目分配方案種數(shù)為（）A．24 B．30 C．36 D．424．已知α∈（o，），sinα＝，則cos（）＝（）A． B． C．﹣ D．﹣5．函數(shù)f（x）＝|x2﹣2x|，x1、x2、x3、x4滿足：f（x1）＝f（x2）＝f（x3）＝f（x4）＝m，x1＜x2＜x3＜x4且x2﹣x1＝x3﹣x2＝x4﹣x3，則m＝（）A． B． C．1 D．6．直角△ABC中，∠C＝90°，AB＝2，O為△ABC的外心，＝（）A．1 B．﹣1 C． D．﹣7．某四面體的三視圖如圖，則該多面體棱長的最大值為（）A．2 B．2 C．3 D．8．已知F是拋物線y2＝4x的焦點，點M在此拋物線上，且它的縱坐標為6，以M為圓心，|MF|為半徑作圓，過Q（﹣1，﹣4）引圓M切線QA、QB，則∠AQB＝（）A．60° B．90° C．120° D．150°9．f（x）＝2sin（2x+），x1、x2滿足x1、x2∈（0，π），且f（x1）＝f（x2），則f（x1+x2）＝（）A． B．﹣ C．或﹣ D．1或﹣110．已知a＞b，c＞d，則以下命題：①2a?2c＞2b?2d；②2a+2c＞2b+2d；③（2a）c＞（2b）d．正確的個數(shù)是（）A．0 B．1 C．2 D．311．數(shù)列{an}滿足a1＝1且對任意k∈N*，a2k+1＝a2k+1，a2k＝2a2k﹣1，則a2020＝（）A．21011 B．21011﹣2 C．21010 D．21010﹣212．四棱錐P﹣ABCD中，PD＝DA＝AB＝CD，AB∥CD，∠ADC＝90°，PD⊥平面ABCD，M為PC中點，平面ADM交PB于Q，則CQ與PA所成角的余弦值為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知x、y滿足，則z＝x+2y的最小值為．14．隨機變量X服從正態(tài)分布N（10，22），P（X＜12）+P（X＜m）＝1，則m＝．15．雙曲線（a＞0，b＞0）的左、右焦點分別為F1、F2，以線段F1F2為直徑作圓O，與雙曲線交于x軸上方的兩點為A、B，cos∠AOB＝，則雙曲線的離心率為．16．等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，a2＝10，S10≤40，則滿足Sn＞0的n的最大值為．三、解答題：共70分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程和解題步驟，第1721題為必考題.第22，23題為選考題。17．銳角△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，cos（A﹣C）+cosB＝，．（1）求∠B；（2）若a+c＝4，求△ABC的面積．18．三棱臺ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，∠BAC＝90°，AB＝AA1＝2A1B1＝2A1C1．（1）證明：AB1⊥BC1；（2）求AC1與平面A1C1B所成角的正弦值．19．大學(xué)生知識競賽中，每個代表隊有3個隊員，編號為1、2、3，答編號為1號、2號、3號的3道題，答對兩道可過關(guān)，答對3道為優(yōu)秀，如表是星火代表隊答對各題的概率分布，其中第m行第n列的數(shù)字是第m號同學(xué)能答對第n號題的概率．（1）按選手編號與題目編號相同的方式答題，求該隊過關(guān)的概率；（2）調(diào)整選手的答題次序，求出該隊優(yōu)秀的最大概率．20．橢圓C：（a＞b＞0）的左、右焦點分別為F1、F2，上頂點為B，△BF1F2為等邊三角形，且橢圓C過點（1，）．（1）求橢圓C的標準方程；（2）是否存在圓O：x2+y2＝r2的切線l交橢圓C于M、N，且∠MON＝90°，若存在，求出r；若不存在，說明理由．21．已知函數(shù)f（x）＝﹣（x+1）ln（x+1）．（1）證明：（0，+∞）上，f（x）有唯一的極小值點x0，且2＜x0＜3；（2）討論函數(shù)f（x）零點個數(shù)．選考題：共10分。請考生從22、23題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計分。[選修44：坐標系與參數(shù)方程]22．已知曲線C的參數(shù)方程為（α為參數(shù)），以坐標原點為極點，x軸的非負半軸為極軸建立極坐標系，直線l的極坐標方程為：ρcos（）＝．（1）求曲線C的普通方程和直線l的直角坐標方程；（2）設(shè)直線l與曲線C交于A、B兩點，求|AB|．[選修45：不等式選講]23．已知函數(shù)f（x）＝|x﹣2|+|x+2|．（圖中的每個方格是邊長1個單位的正方形）（1）畫出函數(shù)f（x）的圖象；（2）當a＞0時，若不等式f（x）＜f（x﹣a）的解集為{x|x＜3}，求a的取值范圍．參考答案一、選擇題（共12小題）.1．已知集合A＝{x||x﹣1|＜3}，B＝{x|x（x﹣6）＜0}，則A∩B＝（）A．（﹣2，6） B．（0，4） C．（0，6） D．（﹣2，4）解：∵A＝{x|﹣2＜x＜4}，B＝{x|0＜x＜6}，∴A∩B＝（0，4）．故選：B．2．i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z滿足：z（1+i）＝i+2i2+3i3，則z＝（）A．2 B．2i C．﹣2 D．﹣2i解：由z（1+i）＝i+2i2+3i3＝i﹣2﹣3i＝﹣2﹣2i，∴z＝．故選：C．3．某次大學(xué)生知識大賽，某校代表隊3人參賽，答4道題，每人至少答1道題，每題僅1人作答，則不同的題目分配方案種數(shù)為（）A．24 B．30 C．36 D．42解：根據(jù)題意，分2步進行分析：①將4道題分為3組，有C42＝6種分組方法，②將三組題目安排給3人作答，有A33＝6種情況，則有6×6＝36種分配方案，故選：C．4．已知α∈（o，），sinα＝，則cos（）＝（）A． B． C．﹣ D．﹣解：∵α∈（o，），sinα＝，∴cosα＝＝，則cos（）＝coscosα﹣sinαsin＝×﹣×＝，故選：A．5．函數(shù)f（x）＝|x2﹣2x|，x1、x2、x3、x4滿足：f（x1）＝f（x2）＝f（x3）＝f（x4）＝m，x1＜x2＜x3＜x4且x2﹣x1＝x3﹣x2＝x4﹣x3，則m＝（）A． B． C．1 D．解：由函數(shù)的解析式可知函數(shù)的對稱軸為x＝1，不妨設(shè)x1＝1﹣3a，x2＝1﹣a，x3＝1+a，x4＝1+3a（a＞0），由f（x4）＝f（x3）可得：|（1+3a）（3a﹣1）|＝|（1+a）（a﹣1）|，解得：（a＝0舍去）．則．故選：B．6．直角△ABC中，∠C＝90°，AB＝2，O為△ABC的外心，＝（）A．1 B．﹣1 C． D．﹣解：∵直角△ABC中，∠C＝90°，AB＝2，O為△ABC的外心，∴+＝且＝||?||?cos180°＝﹣1，∴＝﹣1+?（）＝﹣1+0＝﹣1，故選：B．7．某四面體的三視圖如圖，則該多面體棱長的最大值為（）A．2 B．2 C．3 D．解：根據(jù)幾何體的三視圖轉(zhuǎn)換為直觀圖為：該幾何體由正方體切成的四面體ABCD；如圖所示：所以AB＝，，AD＝CD＝AC＝，所以最長邊長為AB＝3．故選：C．8．已知F是拋物線y2＝4x的焦點，點M在此拋物線上，且它的縱坐標為6，以M為圓心，|MF|為半徑作圓，過Q（﹣1，﹣4）引圓M切線QA、QB，則∠AQB＝（）A．60° B．90° C．120° D．150°解：如圖，拋物線y2＝4x的準線方程為x＝﹣1，由yM＝6，求得xM＝9，|MF|＝xM+1＝10，即圓的半徑為10，又Q點在準線上，圓M與準線切于（﹣1，6），可知|QA|＝10＝r，故四邊形AQBM為正方形，∠AQB＝90°．故選：B．9．f（x）＝2sin（2x+），x1、x2滿足x1、x2∈（0，π），且f（x1）＝f（x2），則f（x1+x2）＝（）A． B．﹣ C．或﹣ D．1或﹣1解：因為x1、x2∈（0，π），且f（x1）＝f（x2），所以＜2x1+＜，＜2x2+＜，所以＝，或＝，解得x1+x2＝或x1+x2＝，所以f（x1+x2）＝2sin（2×+）＝或f（x1+x2）＝2sin（2×+）＝，所以f（x1+x2）＝．故選：A．10．已知a＞b，c＞d，則以下命題：①2a?2c＞2b?2d；②2a+2c＞2b+2d；③（2a）c＞（2b）d．正確的個數(shù)是（）A．0 B．1 C．2 D．3解：因為a＞b，c＞d，所以2a＞2b＞0，2c＞2d＞0，所以2a?2c＞2b?2d，故①正確；所以2a+2c＞2b+2d，故②正確；取a＝0，b＝﹣1，c＝1，d＝﹣2，則ac＜bd，則2ac＜2bd，即（2a）c＞（2b）d，故③錯誤，故命題正確的個數(shù)是2．故選：C．11．數(shù)列{an}滿足a1＝1且對任意k∈N*，a2k+1＝a2k+1，a2k＝2a2k﹣1，則a2020＝（）A．21011 B．21011﹣2 C．21010 D．21010﹣2解：數(shù)列{an}滿足a1＝1且對任意k∈N*，a2k+1＝a2k+1，a2k＝2a2k﹣1，則：a2k+2＝2a2k+1＝2（a2k+1）＝2a2k+2，整理得a2k+2+2＝2a2k+4＝2（a2k+2），即（常數(shù)），所以：，則，當n＝1時，a2＝2，解得：，故，故選：B．12．四棱錐P﹣ABCD中，PD＝DA＝AB＝CD，AB∥CD，∠ADC＝90°，PD⊥平面ABCD，M為PC中點，平面ADM交PB于Q，則CQ與PA所成角的余弦值為（）A． B． C． D．解：延長CB，DA相交于點N，連結(jié)MN與PB交于點Q，在△PNC中，B為CN的中點，M為PC的中點，故Q為△PNC的重心，所以PQ＝2QB，在AB上取S，使得AS＝2SB，則QS∥PA，所以∠SQC即為CQ與PA所成的角（或補角），作SH⊥DC于點H，不妨設(shè)AB＝1，則，在Rt△HSC中，，連結(jié)BD，可得，又CD＝2，所以∠CBD＝90°，又CB⊥PD，且PD∩BD＝D，PD，BD?平面PBD，所以CB⊥平面PBD，又BP?平面PBD，所以CB⊥PB，故∠PBC＝90°，則有，所以，由余弦定理可得，＝，所以CQ與PA所成角的余弦值為．故選：D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知x、y滿足，則z＝x+2y的最小值為﹣．解：作出x，y滿足表示的平面區(qū)域，得到如圖的△ABC及其內(nèi)部，其中A（0，2），B（﹣，﹣1），C（3，﹣1），設(shè)z＝F（x，y）＝x+2y，將直線l：z＝x+2y進行平移，當l經(jīng)過點B時，目標函數(shù)z達到最小值∴z最小值＝F（﹣，﹣1）＝﹣．故答案為：﹣．14．隨機變量X服從正態(tài)分布N（10，22），P（X＜12）+P（X＜m）＝1，則m＝8．解：∵隨機變量X服從正態(tài)分布N（10，22），∴P（X≥12）＝P（X≤8），∵P（X＜12）+P（X＜m）＝1，∴P（X＜m）＝1﹣P（X＜12）＝P（X≥12）＝P（X≤8），∴m＝8．故答案為：8．15．雙曲線（a＞0，b＞0）的左、右焦點分別為F1、F2，以線段F1F2為直徑作圓O，與雙曲線交于x軸上方的兩點為A、B，cos∠AOB＝，則雙曲線的離心率為．解：設(shè)F1（﹣c，0），F(xiàn)2（c，0），以線段F1F2為直徑的圓O的方程為x2+y2＝c2，①又b2x2﹣a2y2＝a2b2，②由①②可得x＝±，由于A、B關(guān)于y軸對稱，可得|AB|＝＝，在三角形ABO中，cos∠AOB＝＝＝，化為9e4﹣50e2+25＝0，解得e2＝5（舍去），所以e＝．故答案為：．16．等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，a2＝10，S10≤40，則滿足Sn＞0的n的最大值為14．解：設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，∵a2＝10，S10≤40，∴a1＝10﹣d，10a1+d≤40，可得：d≤﹣．∴Sn＝n（10﹣d）+d，由Sn＞0，可得：20+（n﹣3）d＞0，∴n＜﹣+3，∵d≤﹣，∴﹣+3≤14+，則滿足Sn＞0的n的最大值為14．故答案為：14．三、解答題：共70分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程和解題步驟，第1721題為必考題.第22，23題為選考題。17．銳角△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，cos（A﹣C）+cosB＝，．（1）求∠B；（2）若a+c＝4，求△ABC的面積．解：（1）因為cos（A﹣C）+cosB＝，所以cos（A﹣C）+cos[π﹣（A+C）]＝cos（A﹣C）﹣cos（A+C）＝，可得cosAcosC+sinAsinC﹣cosAcosC+sinAsinC＝2sinAsinC＝，可得sinAsinC＝，又，所以+＝＝＝＝，解得sinB＝，又B為銳角，所以B＝．（2）因為B＝，所以由cos（A﹣C）+cosB＝cos（A﹣C）+＝，所以cos（A﹣C）＝1，由A，C為銳角，可得A﹣C＝0，可得A＝C＝B＝，可得a＝b＝c，又a+c＝4，可得a＝c＝2，所以S△ABC＝acsinB＝＝．18．三棱臺ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，∠BAC＝90°，AB＝AA1＝2A1B1＝2A1C1．（1）證明：AB1⊥BC1；（2）求AC1與平面A1C1B所成角的正弦值．【解答】（1）證明：因為AA1⊥平面ABC，所以AA1⊥AB、AA1⊥AC，又因為∠BAC＝90°，所以AB、AC、AA1兩兩垂直，建立如圖所示的空間直角坐標系，不妨設(shè)A1B1＝1，因為AB＝AA1＝2A1B1＝2A1C1，所以AB＝AC＝2，AA1＝，A1C1＝1，＝（1，0，），＝（﹣2，1，），所以?＝（1，0，）?（﹣2，1，）＝﹣2+2＝0，所以AB1⊥BC1；（2）解：由（1）知＝（﹣2，1，），＝（0，1，0），＝（0，1，），設(shè)平面A1C1B的法向量為＝（x，y，z），，令x＝1，＝（1，0，），所以AC1與平面A1C1B所成角的正弦值為＝＝．19．大學(xué)生知識競賽中，每個代表隊有3個隊員，編號為1、2、3，答編號為1號、2號、3號的3道題，答對兩道可過關(guān)，答對3道為優(yōu)秀，如表是星火代表隊答對各題的概率分布，其中第m行第n列的數(shù)字是第m號同學(xué)能答對第n號題的概率．（1）按選手編號與題目編號相同的方式答題，求該隊過關(guān)的概率；（2）調(diào)整選手的答題次序，求出該隊優(yōu)秀的最大概率．解：（1）按選手編號與題目編號相同的方式答題，由相互獨立事件概率乘法公式得該隊過關(guān)的概率為：P××0.6＝0.294．（2）調(diào)整選手的答題次序，第一號選手答第一道題，第二號選手選第三道題，第三號選手答第二道題的概率為：P1××0.8＝0.28，第一號選手答第一道題，第二號選手選第二道題，第三號選手答第三道題的概率為：P2××0.6＝0.294．第一號選手答第三道題，第二號選手選第一道題，第三號選手答第二道題的概率為：P3××0.8＝0.224，第一號選手答第三道題，第二號選手選第二道題，第三號選手答第一道題的概率為：P4××0.8＝0.224，第一號選手答第二道題，第二號選手選第一道題，第三號選手答第三道題的概率為：P5××0.6＝0.252，第一號選手答第二道題，第二號選手選第三道題，第三號選手答第一道題的概率為：P6××0.8＝0.24．∴該隊優(yōu)秀的最大概率為0.294．20．橢圓C：（a＞b＞0）的左、右焦點分別為F1、F2，上頂點為B，△BF1F2為等邊三角形，且橢圓C過點（1，）．（1）求橢圓C的標準方程；（2）是否存在圓O：x2+y2＝r2的切線l交橢圓C于M、N，且∠MON＝90°，若存在，求出r；若不存在，說明理由．解：（1）由題意知，b＝c，a＝2c，所以橢圓的方程為+＝1，將（1，）代入橢圓的方程，解得c2＝1，所以橢圓C的標準方程為+＝1．（2）直線l的斜率不存在時，直線l的方程為x＝±r，代入橢圓C的方程得+＝1，所以y2＝3﹣，由對稱性可得3﹣＝r2，解得r2＝，若直線l的斜率存在時，設(shè)直線l的方程為y＝kx+t，因為直線l與圓O相切得＝r，（*）設(shè)M（x1，y1），N（x2，y2），聯(lián)立，得（3+4k2）x2+8ktx+4t2﹣12＝0，所以x1+x2＝﹣，x1x2＝，因為∠MON＝90°，所以x1x2+y1y2＝0，所以（1+k2）x1x2+kt（x1+x2）+t2＝0，所以（1+k2）?+kt?（﹣）+t2＝0，化簡得t2＝（k2+1），由（*）得r2＝與t2＝（k2+1），得r2＝，此時r2＜4，直線l與橢圓交于兩點，所以r＝．21．已知函數(shù)f（x）＝﹣（x+1）ln（x+1）．（1）證明：（0，+∞）上，f（x）有唯一的極小值點x0，且2＜x0＜3；（2）討論函數(shù)f（x）零點個數(shù)．解：（1）證明：令h（x）＝f′（x）＝x﹣1﹣ln（x+1），則h′（x）＝1﹣＝，當x＞0時，h′（x）＞0，h（x）單調(diào)遞增，h（2）＝1﹣ln3＜0，h（3）＝2﹣ln4＞0，所以在（0，+∞）上，f（x）有唯一的極小值點x0，且2＜x0＜3．（2）在（﹣1，0）上，h′（x）＝＜0，f′（x）為減函數(shù)，且f′（﹣1）＝＞0，f′（0）＝﹣1＜0，所以存在x1∈（﹣1，0），f′（x1）＝0，所以在（﹣1，x1）上，f′（x）＞0，在（x1，0）上，f′（x）＜0，在（0，+∞）上，h′（x）＞0，f′（x）為增函數(shù)，由（1）知，存在x2＝x0∈（0，+∞）上，f′（x2）＝0，所以在（0，x2）上，f′（x）＜0，在（x2，+∞）上，f′（x）＞0，所以（﹣1，x1）上，f（x）＞0，f（x）無零點，在（x1，x