第07講 定值問題（解析幾何）（解析版）

第07講定值問題知識(shí)與方法圓錐曲線中的定值問題是近幾年高考和競(jìng)賽中的熱點(diǎn)題型，是指某些幾何量(如線段長(zhǎng)度、圖形面積、直線斜率、角的度數(shù)等)的大小或某些代數(shù)表達(dá)式的值與題目中的參數(shù)無關(guān),不依參數(shù)的變化而變化,始終是一個(gè)確定的數(shù)值.1.定值問題的解法(1)常規(guī)解法:選定參數(shù),求出題目所需的代數(shù)表達(dá)式,然后對(duì)表達(dá)式進(jìn)行計(jì)算、化簡(jiǎn)、消參,從而得到定值.步驟為:一選（選好參數(shù)）、二求(化簡(jiǎn)消參）、三定值（得到定值）.(2)特殊解法:曲線系法,仿射變換法等.2.兩個(gè)技巧定值問題的處理技巧:(1)思路：可從特殊情況入手(如直線斜率不存在時(shí)）,求出定值,再證明這個(gè)值與變量無關(guān);(2)運(yùn)算：在運(yùn)算過程中，應(yīng)盡量減少所求表達(dá)式中變量的個(gè)數(shù),以利于向目標(biāo)靠攏.3.三個(gè)定值模型(1)圓錐曲線定義相關(guān)的定值;(2)圓錐曲線垂徑定理:,詳見《垂徑定理與第三定義》一節(jié);(3)橢圓的共軛直徑性質(zhì)：詳見《橢圓的共軛直徑》一節(jié).4.八類常見的定值問題(1)斜率為定值(2)斜率之和（積）為定值(3)斜率之比為定值(4)角度為定值(5)距離為定值(6)面積為定值(7)數(shù)量積為定值(8)系數(shù)和為定值典型例題類型1:斜率為定值【例1】設(shè)橢圓的左右焦點(diǎn)分別為橢圓上點(diǎn)到兩焦點(diǎn)的距離之和為,橢圓的離心率為.(1)求橢圓的方程;(2)直線與橢圓在第一象限交于點(diǎn),點(diǎn)是第四象限的點(diǎn)且在橢圓上,線段被直線垂直平分,直線與橢圓交于點(diǎn)(異于點(diǎn)）,求證直線的斜率為定值.【答案】(1)；（2）證明見解析.【解析】(1)設(shè),由條件知,,所以,所以,故橢圓的方程為.由題得的坐標(biāo)為,直線不與軸垂直.線段被直線垂直平分,則直線與的傾斜角互補(bǔ),設(shè)直線,則直線,設(shè)將直線方程代入橢圓方程,整理可得:,方程兩根為與,由韋達(dá)定理得:,所以,同理,將換成,可得,得,所以,所以直線的斜率為定值.【注】這類問題不妨稱為“一定二動(dòng)斜率定值”模型，其高等數(shù)學(xué)背景為：當(dāng)與的傾斜角都趨向于時(shí)，直線的斜率就趨向于過的橢圓切線的斜率,過程如下:在中,兩邊對(duì)求導(dǎo)有,,把代入有:,解得.因此,可以確定所求的定值為.(1)對(duì)于“一定二動(dòng)斜率定值”這類問題，作為選擇題或者填空題時(shí)利用導(dǎo)數(shù)法可迅速得到結(jié)果;作為解答題時(shí)，則不宜利用此法，而應(yīng)該利用它檢驗(yàn)結(jié)果是否正確;(2)幾個(gè)等價(jià)條件：“直線的斜率與的斜率互為相反數(shù)”,等價(jià)于“直線與的傾斜角互補(bǔ)”,或者“直線與關(guān)于直線對(duì)稱”,或者“直線與關(guān)于直線對(duì)稱”.(3)一般性的結(jié)論如下（請(qǐng)自行證明）:結(jié)論已知是橢圓上的定點(diǎn),直線(不過點(diǎn)）與橢圓交于兩點(diǎn),且,則直線斜率為定值.結(jié)論2:已知是雙曲線上的定點(diǎn),直線(不過點(diǎn)）與雙曲線交于兩點(diǎn),且,直線斜率為定值.結(jié)論3:已知是拋物線上的定點(diǎn),直線(不過點(diǎn)）與拋物線交于兩點(diǎn),若,則直線斜率為定值.(證明過程略)【例2】過拋物線一定點(diǎn),作兩條直線分別交拋物線于若與的傾斜角互補(bǔ),求證：直線的斜率是常數(shù).【答案】見解析【解析】設(shè),直線的斜率為,直線的斜率為,設(shè)直線的斜率為,由相減得y2所以kAB=y由PA,PB傾斜角互補(bǔ)知:kP所以y1+y【注】拋物線y2=2px(p>0)上兩點(diǎn)Ax1,y【例3】已知橢圓方程為,點(diǎn),設(shè)直線經(jīng)過點(diǎn)且與交于不同的兩點(diǎn).,,試問：在軸上是否存在點(diǎn),使得與直線的斜率之和是定值？若存在請(qǐng)求出點(diǎn)的坐標(biāo)以及定值,若不存在請(qǐng)說明理由.【答案】見解析.【解析】設(shè)直線的斜率為,則其方程為,即,由圖可知,若與橢圓有兩個(gè)交點(diǎn),則...假設(shè)存在點(diǎn)滿足題意,設(shè)聯(lián)立則令為常數(shù),則對(duì)任意都成立,比較系數(shù)可得.故存在,使得為定值1.類型2:斜率之積為定值【例4】已知橢圓的上、下頂點(diǎn)分別為,點(diǎn)在橢圓上,且異于點(diǎn),直線、與直線分別交于點(diǎn),設(shè)直線的斜率分別為,求證:為定值.【答案】見解析.【解析】證明：由題設(shè)橢圓可知,點(diǎn).令,則由題設(shè)可知.∴直線的斜率的斜率為.又點(diǎn)在橢圓上,∴,從而有.【注】橢圓第三定義：已知橢圓的方程為:,過原點(diǎn)的直線交橢圓于兩點(diǎn),為橢圓上異于的任一點(diǎn),若直線的斜率均存在,則為定值.【例5】已知分別為橢圓的左、右頂點(diǎn),為直線..上的動(dòng)點(diǎn)，與的另一交點(diǎn)為與的另一交點(diǎn)為.求證:為定值.【答案】見解析.【解析】設(shè),則,所以,即,又,即,所以(定值）.類型3:斜率之比為定值【例6】已知拋物線的焦點(diǎn)為,過點(diǎn)的直線交拋物線于兩點(diǎn),直線分別與拋物線交于兩點(diǎn).求證：直線與直線的斜率之比為定值.【答案】2【解析】的斜率為，同理的斜率為,所以,設(shè)直線的方程為,聯(lián)立拋物線方程得,所以,即,同理,所以,設(shè)直線的方程為,聯(lián)立拋物線方程得,所以,所以,故直線與直線的斜率之比為定值2.【注】本題兩次利用了拋物線的性質(zhì)：設(shè)為拋物線上的任意兩點(diǎn),若直線與軸交于點(diǎn),則有.這個(gè)結(jié)論在拋物線中有著重要的地位.【例7】已知橢圓,左右頂點(diǎn)分別記為,過右焦點(diǎn)作直線交橢圓于.兩點(diǎn),記直線的斜率為,直線的斜率為.(1)求的值;(2)求證直線與直線的交點(diǎn)的在一條定直線上.【答案】（1）;（2）見解析.【解析】（1）設(shè),因?yàn)?所以,聯(lián)立,則.所以(2)設(shè)消去得:,故點(diǎn)的在定直線上.【例】如圖,已知拋物線,點(diǎn).過點(diǎn)作直線交拋物線于點(diǎn),直線分別交拋物線于另一個(gè)點(diǎn),設(shè)直線和的斜率為,則(1)直線經(jīng)過定點(diǎn);(2)為定值.【答案】見解析.【解析】設(shè)點(diǎn),則.考慮到三點(diǎn)共線,則考慮到三點(diǎn)共線,則考慮到三點(diǎn)共線,則由此得從而又由于,從而直線的方程為:故直線經(jīng)過定點(diǎn),證畢.類型4:角度為定值【例9】已知橢圓上的點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之和為,短軸長(zhǎng)為,直線與橢圓交于兩點(diǎn).(1)求橢圓的方程;(2)若直線與圓相切,探究是否為定值,如果是定值,請(qǐng)求出該定值;如果不是定值,請(qǐng)說明理由.【答案】(1)(2)【解析】（1）由題意得,所以橢圓的方程為（2）當(dāng)直線軸時(shí),因?yàn)橹本€與圓相切,所以直線方程為,當(dāng)時(shí),得兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為,當(dāng)時(shí),同理;當(dāng)與軸不垂直時(shí),設(shè),由,得,聯(lián)立,得,,∴∴綜上,（定值） 【例10】已知雙曲線的離心率為,右準(zhǔn)線方程為,設(shè)直線是圓上動(dòng)點(diǎn)處的切線,與雙曲線交于不同的兩點(diǎn),證明的大小為定值.【答案】見解析.【解析】證明:由題意,,解得,所以,∴所求雙曲的方程為.設(shè)在上,在點(diǎn)處的切線方程為,化簡(jiǎn)得.由及,得,切線與雙曲線交于不同的兩點(diǎn)，且,且,設(shè)兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別.∵,且∴的大小為.【例11】已知橢圓上的點(diǎn)到它的兩個(gè)焦的距離之和為4,以橢圓的短軸為直徑的圓經(jīng)過這兩個(gè)焦點(diǎn),點(diǎn)分別是橢圓的左、右頂點(diǎn).(1)求圓和橢圓的方程.(2)已知分別是橢圓和圓上的動(dòng)點(diǎn)位于軸兩側(cè),且直線與軸平行,直線分別與軸交于點(diǎn).求證:為定值.【答案】(1)(2）見解析.【解析】（1）依題意,得,∴圓方程,橢圓方程.（2）設(shè),∴∵方程,令時(shí),,方程為,令得,∴,∴∴.類型5：距離為定值【例12】在平面直角坐標(biāo)系中,圓過點(diǎn)和點(diǎn),圓心到直線的距離等于.（1）求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;（2）若圓心在第一象限,為圓外一點(diǎn),過點(diǎn)做圓的兩條切線,切點(diǎn)分別為,四邊形的面積為,問線段CM的長(zhǎng)是否為定值？若為定值,請(qǐng)求出定值;若不是定值,請(qǐng)說明理由.【答案】(1)或.(2)【解析】(1)因?yàn)閳A過點(diǎn)和點(diǎn),所以圓心在線段的垂直平分線上,所以可設(shè)圓心為,因?yàn)閳A心到直線的距離等于,所以,解得,當(dāng)時(shí),圓心為,半徑,圓的方程為:,當(dāng)時(shí),圓心為,半徑,圓的方程為:所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為:或.（2）由題知：因?yàn)?所以四邊形的面積,因?yàn)?所以,所以,所以，即線段的長(zhǎng)度為定值2.【例13】已知橢圓的離心率為,且過點(diǎn).(1)求的方程:(2)點(diǎn)在上,且為垂足.證明：存在定點(diǎn),使得為定值.【答案】(1)(2)詳見解析.【解析】（1）由題意可得：，解得：，故橢圓方程為：（2）設(shè)點(diǎn),因?yàn)?即(1)當(dāng)直線的斜率存在時(shí),設(shè)方程為,如圖1.代入橢圓方程消去并整理得:,(2)根據(jù),代入(1)整理可得:將(2)代入,,整理化簡(jiǎn)得,∵不在直線上,∴,∴于是的方程為,所以直線過定點(diǎn).當(dāng)直線的斜率不存在時(shí),可得,如圖2.代入,得,結(jié)合,解得或（舍）,此時(shí)直線過點(diǎn),由于AE為定值，且△ADE為直角三角形，AE所以AE中點(diǎn)Q滿足|DQ|為定值，即由于A(2，1)，E2故存在點(diǎn)Q43，【例14】如圖，在平面直角坐標(biāo)系xoy中，橢圓x2a2+y2b2=1((1)求橢圓的方程;(2)設(shè)A，B是橢圓上位于x軸上方的兩點(diǎn)，且直線AF1與直線BF2平行，(i)若AF1?(ii)求證:PF【答案】(1)x2【解析】(1)由題設(shè)知，a2=b1由點(diǎn)e，3e∴(2)由(1)得F1(?1，0)，F(xiàn)∴>0，∴∴=2同理，(i)由(1)(2)得，∵∴(ii)證明:∴由點(diǎn)同理∴由(1)(2∴∴P類型6：面積為定值【例15】已知A，B，C為橢圓E:x2(1)如果直線AB、OC的斜率都存在，求證:(2)試判斷△ABC【答案】(1)kAB【解析】(1)設(shè)直線AB:y=kx設(shè)Ax1由Δ=16線段AB中點(diǎn)D?2km2k所以kAB(2)設(shè)代λx22又=|于是:S△OAB=【注】圓錐曲線中平面圖形面積問題，如果平面圖形不是三角形，常常須將其分割為幾個(gè)三角形，然后利用弦長(zhǎng)公式求出三角形的一邊長(zhǎng)，再由點(diǎn)到直線距離公式求得三角形的高，其邊的長(zhǎng)和高常常利用直線的斜率表示，從而確定平面圖形的面積是否為定值.可以證明：本題的一般結(jié)論為：SΔ【例16】已知橢圓C:x2(1)求橢圓C的方程及離心率;(2)設(shè)P為第三象限內(nèi)一點(diǎn)且在橢圓C上，直線PA與y軸交于點(diǎn)M，直線PB與x軸交于點(diǎn)N，求證：四邊形ABNM的面積為定值.【答案】(1)x2【解析】(1)由題意得，a=2，所以橢圓C的方程x2又c=a2(2)設(shè)Px0，又A(2，0)，B(0，1)，所以，直線PA令x=0，得，yM=?直線PB的方程為y=令y=0，得xN所以四邊形ABNM的面積S==從而四邊形ABNM的面積為定值.【例17】已知橢圓C:x2a2+y2b2=1((1)求橢圓C的方程;(2)若直線l:y=kx+m與橢圓【答案】(1)x24+【解析】(1)依題意有b=由由余弦定理得又故橢圓的方程為x2(2)聯(lián)立x24+則Δ=3+4k又y由kOA?kOB=?b2整理可2m∵|=設(shè)原點(diǎn)到直線的距離為d，則d=∴S【注】一般地，可以證明：若直線l:y=kx+m與橢圓C:x2a2+y【例18】已知離心率為12的橢圓M:x(1)求橢圓M的方程;(2)若橢圓M的右焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)F的直線AC與橢圓M分別交于A，B，若直線DA，DC、【答案】(1)x24+y【解析】(1)因?yàn)闄E圓的離心率為12，所以e=c又a2=b因?yàn)辄c(diǎn)D1，32由(1)(2)解得a2=4b2=3(2)可知c=1，F(xiàn)(1，0)，可設(shè)AC由y=k設(shè)Ax1設(shè)直線DA、DB、因?yàn)锳，B，F(xiàn)三點(diǎn)共線，所以所以k1+k2=即(2k?1)(t?1)=2k(t又因?yàn)橹本€DF方程為x=1，且|所以S△類型7：數(shù)量積為定值【例19】設(shè)F1，F(xiàn)2是橢圓C:x2a2+y(1)求橢圓C的方程;(2)若線段AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為?12，求斜率(3)在x軸上是否存在定點(diǎn)M，使得MA?【答案】(1)x22+y2=1;(2)【解析】(1)由題意:e=ca=2∴橢圓C方程為x2(2)由題意：AB的斜率存在且不為0.又F1∴設(shè)AB:則由yΔ=∵AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為(3)存在M?54理由如下：設(shè)存在符合題意的點(diǎn)M(t，0)，則:當(dāng)AB所以，MA====要使當(dāng)AB的斜率不存在時(shí)，則A由M?54綜上：存在M?54，0使得【注】解題的步辰為：(1)設(shè)直線，(2)與曲線聯(lián)立，得到關(guān)于x(或y)的一元二次方程，(3)根據(jù)韋達(dá)定理，求得x1+x【例20】橢圓C:x24+(1)證明：直線PA，與直線PB，斜率之積為定值.(2)設(shè)經(jīng)過D(1，0)且斜率不為0的直線l交橢圓于M，N兩點(diǎn)，直線AM與直線BN交于點(diǎn)Q【答案】(1)證明見解析;(2)證明見解析.【解析】(1)由題意，設(shè)點(diǎn)Px則直線PA的斜率為kPA=y0x所以k又由點(diǎn)Px0，y0所以kPA?kPB=(2)由直線l過點(diǎn)D(1，0)，所以直線l的方程為l聯(lián)立方程組x=ky+1設(shè)Mx1，則y1+y又由直線AM:y=聯(lián)立方程組，可得y1整理得x+2解得x=4，即點(diǎn)又由向量OA=(?2，0)，所以O(shè)A?即OA?類型8:系數(shù)和為定值【例21】已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>【答案】見解析.【解析】解法1：定比點(diǎn)作差法如圖設(shè)A由又因?yàn)榻夥?：代點(diǎn)法由=2設(shè)由即即同理解法3:焦點(diǎn)弦性質(zhì)由橢圓焦點(diǎn)弦的性質(zhì)可得:由已知:AF可得:所以:又因?yàn)橛傻忙?【注】橢圓焦點(diǎn)弦性質(zhì)：已知點(diǎn)F為橢圓x2a2+y2b2=1(【例22】已知橢圓x25+y2=1，過橢圓C的右焦點(diǎn)F作直線l交橢圓C于A，B兩點(diǎn)，交【答案】見解析.【解析】設(shè)A、B、M的點(diǎn)的坐標(biāo)分別為Ax1，y1聯(lián)立y=k(x∴又由∴【例23】已知拋物線Γ:y2=2px(p>0)經(jīng)過點(diǎn)P(1，2)，直線l與拋物線Γ有兩個(gè)不同的交點(diǎn)A、B23.，直