第21講 調(diào)和點(diǎn)列與極點(diǎn)極線（解析幾何）（解析版）

第21講調(diào)和點(diǎn)列與極點(diǎn)極線知識與方法以極點(diǎn)極線為背景的題目經(jīng)常出現(xiàn)在高考和各級競賽試題之中,如圓錐曲線的切線、切點(diǎn)弦、圓錐曲線內(nèi)接四邊形兩對邊延長線的交點(diǎn)軌跡等,是圓錐曲線的?？紗栴},這些問題大多和極點(diǎn)極線與調(diào)和點(diǎn)列的性質(zhì)有關(guān).熟悉調(diào)和點(diǎn)列與極點(diǎn)極線基本性質(zhì),能抓住此類問題的本質(zhì)，明確問題的目標(biāo),能更高效地解決問題.下面介紹交比、調(diào)和點(diǎn)列、完全四邊形、Apollonius圓、極點(diǎn)和極線等射影幾何的重要概念及性質(zhì),溯本求源，揭示此類與極點(diǎn)極線有關(guān)的問題的來龍去脈.（一）調(diào)和分割的概念“調(diào)和分割”又稱“調(diào)和共軛”,來源于交比，分“調(diào)和線束”和“調(diào)和點(diǎn)列”兩種,它是交比研究中的一個(gè)重要特例,也是貫穿《高等幾何》課程的一個(gè)重要概念.定義1線束和點(diǎn)列的交比:如圖,過點(diǎn)的四條直線被任意直線所截的有向線段之比稱為線束或點(diǎn)列的交比.定理1交比與所截直線無關(guān).【證明】令線束分別交于,則,又因?yàn)楦鲗?yīng)向量方向相同,故交比與所截直線無關(guān).【注】定理說明，點(diǎn)列的交比與其對應(yīng)線束的交比是相同的.保持線束不變,取另一直線交線束于,可視為對作射影變換,所得交比不變,由此說明交比是射影不變量,具有射影不變性.定義2調(diào)和線束與調(diào)和點(diǎn)列:若交比為,則稱為調(diào)和比.交比為的線束稱為調(diào)和線束,點(diǎn)列稱為調(diào)和點(diǎn)列.一般地,若且,則四點(diǎn)構(gòu)成“調(diào)和點(diǎn)列”;①叫做“基點(diǎn)”叫做“（內(nèi)、外）分點(diǎn)”.根據(jù)定義可得：如果點(diǎn)內(nèi)分線段，點(diǎn)外分線段,且,那么稱點(diǎn)調(diào)和分割線段.亦稱為調(diào)和點(diǎn)列.線段端點(diǎn)和內(nèi)外分點(diǎn),依次構(gòu)成調(diào)和點(diǎn)列.即：調(diào)和點(diǎn)列內(nèi)分比外分比.②也可以以為基點(diǎn),則四點(diǎn)仍構(gòu)成調(diào)和點(diǎn)列,故稱與調(diào)和共軛.③如圖,若構(gòu)成調(diào)和點(diǎn)列,為直線外任意一點(diǎn),則四直線為調(diào)和線束;若另一直線截此調(diào)和線束,則截得的四點(diǎn)仍構(gòu)成調(diào)和點(diǎn)列（由定理1可知）.定理2調(diào)和點(diǎn)列的性質(zhì)：若為調(diào)和點(diǎn)列,即,則:(1)調(diào)和性:證明: （2）共軛性:若構(gòu)成調(diào)和點(diǎn)列,則也構(gòu)成調(diào)和點(diǎn)列.即：若成立,則也成立;(3)等比性:①②記線段的中點(diǎn)為,則有.③記線段的中點(diǎn)為,則有(同2可證）證明:由等比性質(zhì)可知: 同理可得.定理3斜率分別為的三條直線交于軸外的點(diǎn),過作軸的垂線,則成等差數(shù)列的充要條件為成調(diào)和線束.分析：不妨設(shè)均為正數(shù),其它情況同理可證.【證明】如圖,設(shè)與軸分別交于四點(diǎn),則成調(diào)和點(diǎn)列成調(diào)和線束.定理4已知為橢圓的焦點(diǎn),為相應(yīng)的準(zhǔn)線,過任作一直線交橢圓于兩點(diǎn),交于點(diǎn),則成調(diào)和點(diǎn)列.（說明：此處圖像應(yīng)修正：點(diǎn)在橢圓上，虛線應(yīng)往上移一點(diǎn)）【證明】如圖,分別過作的垂線,垂足為,則由橢圓的第二定義及平行線的性質(zhì)可得:,故成調(diào)和點(diǎn)列.定義3阿波羅尼斯Apollonius圓：到兩定點(diǎn)距離之比為定值且）的點(diǎn)的軌跡為圓,稱為Apollonius圓（簡稱阿氏圓），為古希臘數(shù)學(xué)家Apollonius最先提出并解決.【證明】如圖,由,則在直線上有兩點(diǎn)滿足,故分別為的內(nèi)外角平分線,則,即的軌跡為以為直徑的圓（圓心為線段的中點(diǎn)）.由可知,圖中為調(diào)和點(diǎn)列.定義4完全四邊形：我們把兩兩相交,且沒有三線共點(diǎn)的四條直線及它們的六個(gè)交點(diǎn)所構(gòu)成的圖形,叫做完全四邊形.如圖，凸四邊形各邊延長交成的圖形稱為完全四邊形稱為其對角線.定理5完全四邊形對角線所在直線互相調(diào)和分割.即分別構(gòu)成調(diào)和點(diǎn)列.【證明】,即,所以為調(diào)和點(diǎn)列.其余的可由線束的交比不變性得到.（二）極點(diǎn)和極線的概念1.極點(diǎn)和極線的幾何定義如圖,為不在圓錐曲線上的點(diǎn),過點(diǎn)引兩條割線依次交圓錐曲線于四點(diǎn),連接交于,連接交于,我們稱點(diǎn)為直線關(guān)于圓錐曲線的極點(diǎn),稱直線為點(diǎn)關(guān)于圓錐曲線的極線.直線交圓錐曲線于兩點(diǎn),則為圓錐曲線的兩條切線.若在圓錐曲線上,則過點(diǎn)的切線即為極線.(1)自極三角形：極點(diǎn)一一極線；極點(diǎn)一一極線極點(diǎn)一一極線;即中,三個(gè)頂點(diǎn)和對邊分別為一對極點(diǎn)和極線,稱為“自極三角形”.(2)極點(diǎn)和極線的兩種特殊情況(1)當(dāng)四邊形變成三角形時(shí)：曲線上的點(diǎn)對應(yīng)的極線,就是切線;

(2)當(dāng)四邊有一組對邊平行時(shí),如：當(dāng)時(shí),和的交點(diǎn)落在無窮遠(yuǎn)處;點(diǎn)的極線和點(diǎn)的極線滿足:2.極點(diǎn)和極線的代數(shù)定義對于定點(diǎn)與非退化二次曲線過點(diǎn)作動(dòng)直線與曲線交于點(diǎn)與點(diǎn),那么點(diǎn)關(guān)于線段的調(diào)和點(diǎn)的軌跡是什么?可以證明:點(diǎn)在一條定直線上，如下圖.我們稱點(diǎn)為直線關(guān)于曲線的極點(diǎn);相應(yīng)地,稱直線為點(diǎn)關(guān)于曲線的極線.一般地,對于圓錐曲線設(shè)極點(diǎn),則對應(yīng)的極線為 【注】替換規(guī)則為:(1)橢圓的三類極點(diǎn)極線(1)若極點(diǎn)在橢圓外,過點(diǎn)作橢圓的兩條?線,切點(diǎn)為,則極線為切點(diǎn)弦所在直線 (2)若極點(diǎn)在橢圓上,過點(diǎn)作橢圓的切線,則極線為切線;(3)若極點(diǎn)在橢圓內(nèi),過點(diǎn)作橢圓的弦,分別過作橢圓切線,則切線交點(diǎn)軌跡為極線由此可得橢圓極線的幾何作法:(2)對于雙曲線,極點(diǎn)對應(yīng)的極線為(3)對于拋物線,極點(diǎn)對應(yīng)的極線為.3.極點(diǎn)和極線的性質(zhì)(1)引理:已知橢圓方程為,直線的方程為,點(diǎn)不與原點(diǎn)重合.過點(diǎn)作直線交橢圓于兩點(diǎn),點(diǎn)在直線上，則“點(diǎn)在直線上"的充要條件是調(diào)和分割,即.【證明先證必要性.設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為,則有.設(shè)直線的參數(shù)方程為為參數(shù)）與橢圓方程聯(lián)立,得，即,該方程有兩個(gè)不等實(shí)根,設(shè)為,則.即調(diào)和分割,也即.將以上證明過程反向推導(dǎo)，即得充分性成立.設(shè)是圓錐曲線的一個(gè)極點(diǎn),它對應(yīng)的極線為,過任意引一條直線,交于點(diǎn),交于點(diǎn),若點(diǎn)是位于間的點(diǎn),結(jié)合引理可得如下極點(diǎn)和極線的三個(gè)調(diào)和性質(zhì):(1)調(diào)和性 (2)共軌性四點(diǎn)也構(gòu)成“調(diào)和點(diǎn)列”,即.(3)等比性(1)點(diǎn)是線段的內(nèi)、外分點(diǎn),.(2)若為橢圓或雙曲線，當(dāng)直線經(jīng)過曲線中心時(shí),.4.配極原則若點(diǎn)關(guān)于圓錐曲線的極線通過另一點(diǎn),則點(diǎn)的極線也通過,稱關(guān)于調(diào)和共軛.【證明】設(shè)點(diǎn),則相應(yīng)的極線為,點(diǎn),相應(yīng)的極線為:因?yàn)檫^點(diǎn)坐標(biāo)滿足方程,即則點(diǎn)坐標(biāo)滿足方程,這也說明,也就是過點(diǎn)配極原則說明:過點(diǎn)過點(diǎn),由此可得下面推論:推論1:共線點(diǎn)的極線必然共點(diǎn)（四點(diǎn)共線,它們的極線共交點(diǎn)）;共點(diǎn)線的極點(diǎn)必然共線（直線共交點(diǎn),它們的極點(diǎn)四點(diǎn)共線）.推論2：如下圖,過極點(diǎn)作兩條直線,與桞圓分別交于點(diǎn)和,則直線的交點(diǎn)必在極線上.5.橢圓的極點(diǎn)與極線的常用性質(zhì)對于橢圓,極點(diǎn)(不是原點(diǎn))對應(yīng)的極線為,有如下性質(zhì)：性質(zhì)1:“類焦點(diǎn)"與“類準(zhǔn)線”當(dāng)極點(diǎn)在軸上時(shí)，對應(yīng)的極線平行于軸，當(dāng)極點(diǎn)在軸上時(shí)對應(yīng)的極線平行于軸;特別地,當(dāng)極點(diǎn)為橢圓的焦點(diǎn)時(shí),極線為相應(yīng)的準(zhǔn)線.性質(zhì)2：平方模型如下圖,射線OP與橢圓交于點(diǎn)D,與點(diǎn)P的極線交于點(diǎn)C,則|OP|?|OC|=|OD|2;當(dāng)點(diǎn)P在x軸上時(shí),|性質(zhì)3：共軛方向設(shè)極點(diǎn)Px0,y0不在坐標(biāo)軸上,則直線OP的斜率為kOP=y【注】性質(zhì)3表明:橢圓內(nèi)一點(diǎn)P的極線方向與以極點(diǎn)P為中點(diǎn)的弦的方向相同，稱OP與極線方向共軛.當(dāng)極點(diǎn)Px0,y0在橢圓內(nèi)時(shí)，極線l平行于以P為中點(diǎn)的弦所在直線EF（用點(diǎn)差法易證）.設(shè)直線OP與橢圓相交于點(diǎn)D,過點(diǎn)D作橢圓的切線l1,則以P為中點(diǎn)的弦所在直線EF、過點(diǎn)D的切線性質(zhì)4:平行如下圖,設(shè)四邊形ABCD為橢圓的內(nèi)接梯形,AC//BD,AD∩BC=Q,則點(diǎn)P的極線過Q,且與直線AC、BD平行.特別地,若BC//AD//性質(zhì)5:垂直設(shè)圓錐曲線Γ的一個(gè)焦點(diǎn)為F,與F相應(yīng)的準(zhǔn)線為l,若過點(diǎn)F的直線與圓雉曲線Γ相交于M,N兩點(diǎn),則Γ在M,N兩點(diǎn)處的切線的交點(diǎn)Q在準(zhǔn)線【證明】以橢圓為例證明,雙曲線與拋物線類似處理.設(shè)Px0,y0,則Px0,y0對應(yīng)的極線為MN:x0xa2+y0性質(zhì)6：等角定理如下圖,A,B是橢圓Γ的一條對稱軸l上的兩點(diǎn)(不在Γ上）,若A,B關(guān)于Γ調(diào)和共軛,過A任作Γ的一條割線,交Γ于證明：因Γ關(guān)于直線l對稱,故在Γ上存在P,Q的對稱點(diǎn)P',Q'.若P'與Q重合,則Q'與P也重合,此時(shí)P,Q關(guān)于l對稱,有∠PAB=∠QAB；若P'與Q不重合,則Q'與P也不重合,由于A,B關(guān)于Γ調(diào)和共軛,故【注】事實(shí)上,性質(zhì)6對于圓錐曲線都成立.我們還可以得到下列結(jié)論:(1)直線PB與橢圓的另一交點(diǎn)為Q',則Q'與Q關(guān)于(2)∠PAO(3)kAP典型例題類型1:判斷位置關(guān)系【例1】已知點(diǎn)M(a,b)在圓OA.相切 B.相交 C.相離 D.不確定【答案】B.【解析】因?yàn)閍x+by=1是圓x類型2:求極線方程【例2】過橢圓x29+y24=1內(nèi)一點(diǎn)M(1,2),作直線AB與橢圓交于點(diǎn)A,B,作直線CD與橢圓交于點(diǎn)C,【答案】x9【解析】該題實(shí)質(zhì)上就是求橢圓x29+y2【例3】設(shè)橢圓C:x2a2+(1)求敉圓C的方程;(2)當(dāng)過點(diǎn)P(4,1)的動(dòng)直線l于橢圓C相交于兩不同點(diǎn)A,B時(shí),在線段AB上取點(diǎn)Q,滿足|【答案】(1)x2【解析】（1）由題意得：，解得，所求橢圓方程為x24+(2)解法1:定比點(diǎn)差法設(shè)點(diǎn)Q、A由題設(shè)知|AP|,|PB|,|AQ|,|又A,P于是4=x從而:4x=x又點(diǎn)A、B在橢圓x1x2(1)+(2)×2,并結(jié)合(3)(4)得4x即點(diǎn)Q(x,解法2：構(gòu)造同構(gòu)式設(shè)點(diǎn)Q(由題設(shè)知|AP|,|PB又A,P于是x1=4?由于Ax1,y1,B整理得:x2x2(4)-(3)得:8(2x即點(diǎn)Q(x,解法3：極點(diǎn)極線由|AP|?|QB說明點(diǎn)P,Q關(guān)于桞圓調(diào)和共軛,點(diǎn)Q在點(diǎn)此極線方程為4?x4+故點(diǎn)Q總在直線2x【注】點(diǎn)Q的軌汖方程為2x類型3：證明直線過定點(diǎn)或三點(diǎn)共線【例4.】如圖,過直線l:5x?7y?70=0上的點(diǎn)P作橢圓x225+y(1)當(dāng)點(diǎn)P在直線l上運(yùn)動(dòng)時(shí),證明：直線MN恒過定點(diǎn)Q;(2)當(dāng)MN//l時(shí),定點(diǎn)Q平分線段【答案】見解析.【解析】解法1:常規(guī)解法(1)證明：設(shè)Px則橢圓過點(diǎn)M,N的切線方程分別為:因?yàn)閮汕芯€都過點(diǎn)P,則有:x1

這表明

由兩點(diǎn)確定一條直線知,式(1)就是直線MN的方程,

其中

當(dāng)點(diǎn)

代入(1)消去

變形可得

故直線MN恒過定點(diǎn)Q25

(2)當(dāng)

將此方程與橢圓方程聯(lián)立,消去

由此可得,此時(shí)MN截圓所得弦的中點(diǎn)橫坐標(biāo)恰好為點(diǎn)Q25x代入(3)式可得弦中點(diǎn)縱坐標(biāo)恰好為點(diǎn)Q25即y這就是說,點(diǎn)Q2514,?解法2:(1)動(dòng)點(diǎn)P在定直線l上,則相應(yīng)的切點(diǎn)弦過定點(diǎn),可知定點(diǎn)Q必為極點(diǎn),于是只需求極點(diǎn)即可:由5x?7y(2)由橢圓內(nèi)一點(diǎn)極線方向與以極點(diǎn)為中點(diǎn)弦的方向相同,也即OQ與極線方向共軛,即得結(jié)論(2).【注】“極點(diǎn)在已知直線上，則極線過定點(diǎn)”.這是一類?？嫉闹本€過定點(diǎn)問題.【例5】已知A,B分別為橢圓E:x2a2+y2=1(a>1)的左、右頂點(diǎn),G為E的上頂點(diǎn),(1)求E的方程;（2）證明：直線CD過定點(diǎn).【答案】(1)x2【解析】（1）易得橢圓E的方程為x2（2）利用極點(diǎn)極線角度1:如下圖,設(shè)CD交AB于Q,AD交CB于R,則QR為即點(diǎn)Q在點(diǎn)P對應(yīng)的極線上.極點(diǎn)P(6,t)即2x3+ty=1,極線恒過定點(diǎn)3角度2:如圖,設(shè)CD交AB于Q(則點(diǎn)P(6,t)在點(diǎn)Q(m,0)對應(yīng)的極線上，極點(diǎn)Q(m,0)對應(yīng)的極線方程為mx9+0?角度3:如圖,設(shè)直線x=6交x軸于點(diǎn)H|即6|OQ|=32,所以|OQ【注】本題的背景是極點(diǎn)極線,上面解法從三個(gè)不同角度進(jìn)行了“秒殺”，令人回味無窮.極點(diǎn)極線是高等幾何中的內(nèi)容,高中數(shù)學(xué)教材中雖然沒有介紹相關(guān)的定義及性質(zhì),但是以此為背景的高考和競賽試題層出不窮、?？汲Ｐ?我們用其他解法求解本題時(shí)，可以用求極線對應(yīng)極點(diǎn)的解法得到這個(gè)定點(diǎn),目標(biāo)已然心中有數(shù),那么就能降低運(yùn)算難度，避免計(jì)算錯(cuò)誤.類型4:證明兩直線垂直【例6】已知A(?2,0),B(2,0),點(diǎn)C是動(dòng)點(diǎn),且直線AC和直線BC(1)求動(dòng)點(diǎn)C的軌跡方程;(2)設(shè)直線l與（1）中軌跡相切于點(diǎn)P,與直線x=4相交于點(diǎn)Q,且F(1,0),求證:【答案】(1)x2【解析】（1）設(shè)C(x,y)所以有yx整理得x2（2）解法1:設(shè)直線l:y=3

依題意

解法2:

設(shè)

令

∴解法3:x=4為橢圓的右準(zhǔn)線,橢圓右焦點(diǎn)為F由橢圓極點(diǎn)極線性質(zhì)5可知:PF⊥FQ,即【注】模型：已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>類型5:證明向量數(shù)量積（或線段長度之積）為定值【例7】如圖,橢圓有兩頂點(diǎn)A(?1,0),B(1,0),過其焦點(diǎn)F(0,1)的直線l與橢圓交于C、D兩點(diǎn),并與x軸交于點(diǎn)P,直線(1)當(dāng)|CD|=322（2）當(dāng)點(diǎn)P異于A、B兩點(diǎn)時(shí),求證：【答案】(1)y=±【解析】解法1:設(shè)P(t,0),則點(diǎn)P的極線過Q.易得橢圓方程x2+y2于是點(diǎn)Q在直線x=1t上,設(shè)Q解法2:根據(jù)極點(diǎn)極線幾何性質(zhì),點(diǎn)p關(guān)于敉圓x2+y22設(shè)該直線交x軸于Q',由“調(diào)和點(diǎn)列”的“等比性”,可知OQ'類型6:與斜率有關(guān)的定值問題【例8】設(shè)Px0,y0為桞圓x24+y2=1內(nèi)一定點(diǎn)(1)證明:直線AB的斜率為定值;(2)過點(diǎn)P作AB的平行線,與橢圓交于E、F兩點(diǎn),證明：點(diǎn)P平分線段【答案】見解析【解析】（1）因?yàn)锳B//CD,所以點(diǎn)P對應(yīng)的極線x0即AB的斜率是?y(2)直線EF:y=?xx則x此時(shí)點(diǎn)P是EF中點(diǎn),即點(diǎn)P平分線段EF.【例9】如圖,橢圓E:x2a2+y2b2=1（a>b>0的離心率為22,直線l:y=1(1)求橢圓E的方程;(2)求證：直線MN的斜率為定值.【答案】(1)x2【解析】(1)x2(2)設(shè)點(diǎn)N的坐標(biāo)為(m,n),直線DC與則MP為點(diǎn)N對應(yīng)的極線,其方程為mx6+ny3=1.結(jié)合y=12x,得到P點(diǎn)坐標(biāo)為6所以直線MN的斜率為定值?1.【注】本題需要極點(diǎn)、極線之間的兩次轉(zhuǎn)化,通過點(diǎn)P在點(diǎn)N對應(yīng)的極線上,以及MN是點(diǎn)P對應(yīng)的極線,使問題得以解決.【例10】四邊形ABCD是橢圓x23+y22=1的內(nèi)接四邊形,AB經(jīng)過左焦點(diǎn)F1,(1)證明:k1k2【答案】見解析.

【解析】（1）設(shè)

則直線AC的方程為x=x12?從而k

故

（2）解法1:由（1）知:C2設(shè)直線CD交x軸于點(diǎn)Mx則x故直線CD過定點(diǎn)53解法2:設(shè)AB,DC交于點(diǎn)P,則P在F2對應(yīng)的極線1?x3由對稱性可知：直線CD過定點(diǎn)必在軸上，不妨設(shè)定點(diǎn)為T(t,0)由（1）知k1k2=13,得3?t類型7:等角問題【例11】設(shè)橢圓C:x22+y2=1的右焦點(diǎn)為F,過F的直線l與(1)當(dāng)l與x軸垂直時(shí),求直線AM的方程;(2)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn),證明:∠OMA【答案】（1）AM的方程為y=?22【解析】（1）由已知得F(1,0),l的方程為由已知可得,點(diǎn)A的坐標(biāo)為1,22或1,?22.所以AM的方程為（2）解法1:設(shè)直線l的方程為:x=A聯(lián)立方程組得:x=my+1x2因?yàn)辄c(diǎn)F為橢圓的右焦點(diǎn),所以方程(1)有兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為y1由韋達(dá)定理可得:y因?yàn)?k整體代入可得:k則直線AM的傾斜角與直線BM的傾斜角互補(bǔ),故∠OMA解法2:過點(diǎn)A,B分別作橢圓右準(zhǔn)線的垂線,垂足分別為

由

因?yàn)?/p>

由(1)(2)得

所以△AA1故∠OMA【例12】如圖,已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>（1）求橢圓C的方程;(2)設(shè)P(1,0),Q(4,0),過點(diǎn)Q且斜率不為零的直線與橢圓C相交于【答案】(1)x2【解析】(1)如圖,取橢圓C的左焦點(diǎn)F',連MF'MF'+|MF|=2a=4,得a=2,將點(diǎn)?1,32代入橢圓(2)設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為x1,y1解法1:y因?yàn)閤1≠所以k所以直線AP與BP的斜率互為相反數(shù),故∠APO解法2:設(shè)直線AB的方程為x=ty+4,聯(lián)立方程xt

則

所以k所以直線AP與BP的斜率互為相反數(shù),故∠APO類型8:三斜率成等差數(shù)列引理:二次曲線Γ:Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0與直線PQ交于點(diǎn)P,Q,定點(diǎn)O在直線PQ上,PQ與O點(diǎn)關(guān)于曲線C的極線交于點(diǎn)R.曲線C【證明】延長XO交BC于點(diǎn)E,由定理5可知：B,E,【例13】桞圓C:x2a2+y2b2=