2023-2024學(xué)年北師大版選擇性必修第一冊(cè) 　直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的交點(diǎn) 學(xué)案

§4直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的位置關(guān)系4.1直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的交點(diǎn)課標(biāo)要求1.會(huì)用代數(shù)法來(lái)判斷直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)交點(diǎn)的個(gè)數(shù).2.會(huì)由直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，求參數(shù)的范圍.素養(yǎng)要求通過(guò)直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的位置關(guān)系的判斷提升學(xué)生的邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).一、直線(xiàn)與橢圓的交點(diǎn)1.思考如何判斷直線(xiàn)l：y＝kx＋b與橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)交點(diǎn)的個(gè)數(shù)？提示由于y＝kx＋b過(guò)點(diǎn)(0，b)，而點(diǎn)(0，b)在橢圓C上，所以直線(xiàn)與橢圓有1個(gè)或2個(gè)交點(diǎn).2.思考若直線(xiàn)l與橢圓C相交，那么怎樣求交點(diǎn)坐標(biāo)？提示直線(xiàn)l的方程與橢圓C的方程聯(lián)立，通過(guò)求方程組的解確定交點(diǎn)坐標(biāo).3.填空直線(xiàn)y＝kx＋m與橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的位置關(guān)系的判斷方法：聯(lián)立eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋m，,\f(x2,a2)＋\f(y2,b2)＝1.))消去y(或x)得到一個(gè)關(guān)于x(或y)的一元二次方程位置關(guān)系解的個(gè)數(shù)Δ的取值相交兩解Δ>0相切一解Δ＝0相離無(wú)解Δ<0溫馨提醒直線(xiàn)與橢圓的位置關(guān)系只有3種，相離、相切、相交.4.做一做(1)已知直線(xiàn)l：x＋y－3＝0，橢圓eq\f(x2,4)＋y2＝1，則直線(xiàn)與橢圓的位置關(guān)系是()A.相交 B.相切C.相離 D.相切或相交答案C解析把y＝－x＋3代入橢圓方程，得5x2－24x＋32＝0，其Δ＝(－24)2－4×5×32<0，故直線(xiàn)與橢圓相離.(2)直線(xiàn)y＝x＋2與橢圓eq\f(x2,m)＋eq\f(y2,3)＝1有兩個(gè)公共點(diǎn)，則m的取值范圍是()A.(1，＋∞) B.(1，3)∪(3，＋∞)C.(3，＋∞) D.(0，3)∪(3，＋∞)答案B解析由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝x＋2，,\f(x2,m)＋\f(y2,3)＝1))消y可得(3＋m)x2＋4mx＋m＝0，∴Δ＝(4m)2－4m(3＋m)>0，解得m>1或m<0.又∵m>0且m≠3，∴m>1且m≠3.二、直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)的交點(diǎn)1.思考類(lèi)比直線(xiàn)與橢圓的位置關(guān)系，直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)有幾種位置關(guān)系？提示有三種位置關(guān)系，分別為相交、相切、相離三種情況.2.填空把直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)的方程聯(lián)立成方程組，通過(guò)消元后化為ax2＋bx＋c＝0的形式，在a≠0的情況下考察方程的判別式.(1)Δ＞0時(shí)，直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)有兩個(gè)不同的公共點(diǎn).(2)Δ＝0時(shí)，直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)只有一個(gè)公共點(diǎn).(3)Δ＜0時(shí)，直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)沒(méi)有公共點(diǎn).當(dāng)a＝0時(shí)，此時(shí)直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)平行，直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)有一個(gè)公共點(diǎn).溫馨提醒直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)的關(guān)系中：一解不一定相切，相交不一定兩解，兩解不一定同支.3.做一做(1)“直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)有唯一交點(diǎn)”是“直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)相切”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件答案B解析直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)有唯一交點(diǎn)時(shí)，直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)不一定相切(直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)可能平行)；直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)相切時(shí)，直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)一定有唯一交點(diǎn).(2)若直線(xiàn)y＝kx與雙曲線(xiàn)eq\f(x2,9)－eq\f(y2,4)＝1相交，則k的取值范圍為_(kāi)_______.答案eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)，\f(2,3)))解析把y＝kx代入eq\f(x2,9)－eq\f(y2,4)＝1，得4x2－9k2x2＝36，即(4－9k2)x2＝36，因直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)相交，∴x2＝eq\f(36,4－9k2)≥0，∴4－9k2＞0，∴－eq\f(2,3)＜k＜eq\f(2,3).三、直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的交點(diǎn)1.思考直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的位置關(guān)系有幾種.提示3種.相離、相切、相交.2.思考直線(xiàn)與拋物線(xiàn)只有一個(gè)公共點(diǎn)，那么直線(xiàn)與拋物線(xiàn)一定相切嗎？提示不一定，當(dāng)直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸平行或重合時(shí)，直線(xiàn)與拋物線(xiàn)只有一個(gè)公共點(diǎn)，但兩者相交.3.填空直線(xiàn)y＝kx＋b與拋物線(xiàn)y2＝2px(p>0)的交點(diǎn)個(gè)數(shù)取決于關(guān)于x的方程組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋b，,y2＝2px))解的個(gè)數(shù)，即方程k2x2＋2(kb－p)x＋b2＝0解的個(gè)數(shù).(1)當(dāng)k≠0時(shí)，若Δ>0，則直線(xiàn)與拋物線(xiàn)有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)，此時(shí)直線(xiàn)與拋物線(xiàn)相交；若Δ＝0，則直線(xiàn)與拋物線(xiàn)有一個(gè)公共點(diǎn)，此時(shí)直線(xiàn)與拋物線(xiàn)相切；若Δ<0，則直線(xiàn)與拋物線(xiàn)沒(méi)有公共點(diǎn)，此時(shí)直線(xiàn)與拋物線(xiàn)相離.(2)當(dāng)k＝0時(shí)，直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的軸平行或重合，此時(shí)直線(xiàn)與拋物線(xiàn)有1個(gè)公共點(diǎn)，此時(shí)直線(xiàn)與拋物線(xiàn)相交.溫馨提醒(1)直線(xiàn)與拋物線(xiàn)有一個(gè)公共點(diǎn)是直線(xiàn)與拋物線(xiàn)相切的必要不充分條件.(2)研究直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的關(guān)系時(shí)要注意直線(xiàn)斜率不存在的情況.4.做一做(1)已知直線(xiàn)y＝kx－k及拋物線(xiàn)y2＝2px(p＞0)，則()A.直線(xiàn)與拋物線(xiàn)有一個(gè)公共點(diǎn)B.直線(xiàn)與拋物線(xiàn)有兩個(gè)公共點(diǎn)C.直線(xiàn)與拋物線(xiàn)有一個(gè)或兩個(gè)公共點(diǎn)D.直線(xiàn)與拋物線(xiàn)可能沒(méi)有公共點(diǎn)答案C解析因?yàn)橹本€(xiàn)y＝kx－k＝k(x－1)，所以直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)(1，0).又點(diǎn)(1，0)在拋物線(xiàn)y2＝2px的內(nèi)部.所以當(dāng)k＝0時(shí)，直線(xiàn)與拋物線(xiàn)有一個(gè)公共點(diǎn)；當(dāng)k≠0時(shí)，直線(xiàn)與拋物線(xiàn)有兩個(gè)公共點(diǎn).故選C.(2)直線(xiàn)y＝kx＋2與拋物線(xiàn)y2＝8x有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，則k＝________.答案0或1解析當(dāng)k＝0時(shí)，直線(xiàn)與拋物線(xiàn)有唯一交點(diǎn)；當(dāng)k≠0時(shí)，聯(lián)立方程消去y得k2x2＋4(k－2)x＋4＝0，由題意Δ＝16(k－2)2－16k2＝0，所以k＝1.綜上，k＝0或k＝1.題型一直線(xiàn)與橢圓的交點(diǎn)問(wèn)題例1當(dāng)m取何值時(shí)，直線(xiàn)l：y＝x＋m與橢圓9x2＋16y2＝144分別滿(mǎn)足下列條件：(1)無(wú)公共點(diǎn)；(2)有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)；(3)有兩個(gè)公共點(diǎn).解由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝x＋m，,9x2＋16y2＝144))消去y得9x2＋16(x＋m)2＝144，整理得25x2＋32mx＋16m2－144＝0，Δ＝(32m)2－4×25×(16m2－144)＝－576m2＋14400.(1)當(dāng)Δ<0時(shí)，得m<－5或m>5，此時(shí)直線(xiàn)l與橢圓無(wú)公共點(diǎn)；(2)當(dāng)Δ＝0時(shí)，得m＝±5，此時(shí)直線(xiàn)l與橢圓有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)；(3)當(dāng)Δ>0時(shí)，得－5<m<5，此時(shí)直線(xiàn)l與橢圓有兩個(gè)公共點(diǎn).思維升華判斷直線(xiàn)與橢圓的位置關(guān)系，可以直接由直線(xiàn)方程和橢圓方程聯(lián)立后，通過(guò)消元得到關(guān)于x(或y)的一元二次方程，然后利用判別式判斷即可；有些題目可先判斷直線(xiàn)所恒過(guò)的點(diǎn)與橢圓的位置關(guān)系，從而得到直線(xiàn)與橢圓的位置關(guān)系.訓(xùn)練1若直線(xiàn)y＝x＋m與橢圓eq\f(x2,4)＋y2＝1有兩個(gè)公共點(diǎn)，求m的取值范圍.解把直線(xiàn)方程y＝x＋m與橢圓方程eq\f(x2,4)＋y2＝1聯(lián)立，消去y，得到關(guān)于x的一元二次方程5x2＋8mx＋4m2－4＝0，由Δ>0，得(8m)2－4×5×(4m2－4)>0，解得－eq\r(5)<m<eq\r(5).故m的取值范圍為(－eq\r(5)，eq\r(5)).題型二直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)的交點(diǎn)問(wèn)題例2已知雙曲線(xiàn)x2－y2＝4，直線(xiàn)l：y＝k(x－1)，試分別確定滿(mǎn)足下列條件的實(shí)數(shù)k的取值范圍.(1)直線(xiàn)l與雙曲線(xiàn)有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)；(2)直線(xiàn)l與雙曲線(xiàn)有且只有一個(gè)公共點(diǎn)；(3)直線(xiàn)l與雙曲線(xiàn)沒(méi)有公共點(diǎn).解聯(lián)立eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2－y2＝4，,y＝k（x－1），))消去y，得(1－k2)x2＋2k2x－k2－4＝0.(*)當(dāng)1－k2≠0，即k≠±1時(shí)，Δ＝(2k2)2－4(1－k2)(－k2－4)＝4(4－3k2).(1)由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4－3k2>0，,1－k2≠0))得－eq\f(2\r(3),3)<k<eq\f(2\r(3),3)且k≠±1，此時(shí)方程(*)有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，即直線(xiàn)l與雙曲線(xiàn)有兩個(gè)不同的公共點(diǎn).(2)由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4－3k2＝0，,1－k2≠0))得k＝±eq\f(2\r(3),3)，此時(shí)方程(*)有一個(gè)實(shí)數(shù)解，即直線(xiàn)l與雙曲線(xiàn)有且只有一個(gè)公共點(diǎn)；當(dāng)1－k2＝0，即k＝±1時(shí)，直線(xiàn)l與雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)平行，方程(*)化為2x＝5，故方程(*)只有一個(gè)實(shí)數(shù)解，即直線(xiàn)l與雙曲線(xiàn)相交，有且只有一個(gè)公共點(diǎn).故當(dāng)k＝±eq\f(2\r(3),3)或±1時(shí)，直線(xiàn)l與雙曲線(xiàn)有且只有一個(gè)公共點(diǎn).(3)由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4－3k2<0，,1－k2≠0))得k<－eq\f(2\r(3),3)或k>eq\f(2\r(3),3)，此時(shí)方程(*)無(wú)實(shí)數(shù)解，即直線(xiàn)l與雙曲線(xiàn)無(wú)公共點(diǎn).思維升華(1)解決直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)的公共點(diǎn)問(wèn)題，不僅要考慮判別式，更要注意二次項(xiàng)系數(shù)為0時(shí)，直線(xiàn)與漸近線(xiàn)平行的特殊情況.(2)雙曲線(xiàn)與直線(xiàn)只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，應(yīng)分兩種情況討論，直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)相切或直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)平行.(3)注意對(duì)直線(xiàn)的斜率是否存在進(jìn)行討論.訓(xùn)練2已知雙曲線(xiàn)x2－eq\f(y2,4)＝1，過(guò)點(diǎn)P(1，1)的直線(xiàn)l與雙曲線(xiàn)只有一個(gè)公共點(diǎn)，求直線(xiàn)l的斜率k.解(1)當(dāng)直線(xiàn)l的斜率不存在時(shí)，l：x＝1與雙曲線(xiàn)相切，符合題意.(2)當(dāng)直線(xiàn)l的斜率存在時(shí)，設(shè)l的方程為y＝k(x－1)＋1，代入雙曲線(xiàn)方程，得(4－k2)x2－(2k－2k2)x－k2＋2k－5＝0.當(dāng)4－k2＝0時(shí)，k＝±2，l與雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)平行，l與雙曲線(xiàn)只有一個(gè)公共點(diǎn)；當(dāng)4－k2≠0時(shí)，令Δ＝0，得k＝eq\f(5,2).綜上，k＝eq\f(5,2)或k＝±2或k不存在.題型三直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的交點(diǎn)問(wèn)題例3已知直線(xiàn)l：y＝kx＋1，拋物線(xiàn)C：y2＝4x，當(dāng)k為何值時(shí)，l與C：只有一個(gè)公共點(diǎn)；有兩個(gè)公共點(diǎn)；沒(méi)有公共點(diǎn)？解聯(lián)立eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋1，,y2＝4x，))消去y，得k2x2＋(2k－4)x＋1＝0.(*)當(dāng)k＝0時(shí)，(*)式只有一個(gè)解x＝eq\f(1,4)，∴直線(xiàn)l與C只有一個(gè)公共點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，1))，此時(shí)直線(xiàn)l平行于x軸.當(dāng)k≠0時(shí)，(*)式是一個(gè)一元二次方程，Δ＝(2k－4)2－4k2＝16(1－k).①當(dāng)Δ＞0，即k＜1，且k≠0時(shí)，l與C有兩個(gè)公共點(diǎn)，此時(shí)直線(xiàn)l與C相交；②當(dāng)Δ＝0，即k＝1時(shí)，l與C有一個(gè)公共點(diǎn)，此時(shí)直線(xiàn)l與C相切；③當(dāng)Δ＜0，即k＞1時(shí)，l與C沒(méi)有公共點(diǎn)，此時(shí)直線(xiàn)l與C相離.綜上所述，當(dāng)k＝1或0時(shí)，l與C有一個(gè)公共點(diǎn)；當(dāng)k＜1，且k≠0時(shí)，l與C有兩個(gè)公共點(diǎn)；當(dāng)k＞1時(shí)，l與C沒(méi)有公共點(diǎn).思維升華判斷直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的位置關(guān)系的方法：聯(lián)立方程組消元，當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)不等于零時(shí)，用判別式Δ來(lái)判定；當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)等于0時(shí)，直線(xiàn)與拋物線(xiàn)相交于一點(diǎn).訓(xùn)練3已知拋物線(xiàn)方程為y2＝8x，若過(guò)點(diǎn)Q(－2，0)的直線(xiàn)l與拋物線(xiàn)有公共點(diǎn)，則直線(xiàn)l的斜率的取值范圍是________.答案[－1，1]解析由題意知，直線(xiàn)l的斜率存在，設(shè)直線(xiàn)l的方