高等教育數(shù)學：數(shù)學期望例題解析

00數(shù)學期望一射手進行打靶練習，規(guī)定射入?yún)^(qū)域e(圖4-1)得2分，射人區(qū)域e得1分，脫靶,21即射人區(qū)域e，得O分，射手一次射擊得分數(shù)X是一個隨機變量.設(shè)X的分布律為0P{X=k}=p，k=0，1，2．k現(xiàn)在射擊N次,其中得0分的有a0次，得1分的有ai次，得2分的有a2次，ao+3+a2=N?他射擊N次得分的總和為a0xo+aixi+a2X2?于是平均一次射擊的得分數(shù)為kaNk=0這里，a/N是事件｛X=k｝的頻率.在第五章將會講到，當N很大時，a/N在kk定意義下接近于事件｛X=k｝的概率p量，就是說，在試驗次數(shù)很大時，隨機變量kX的觀察值的算術(shù)平均為ka/N在一定意義下接近于為kp，我們稱工kp為kkkk=0k=0k=0隨機變量X的數(shù)學期望或均值.一般，有以下的定義，定義設(shè)離散型隨機變量X的分布律為P{X=xk}=pk，k=0,1，若級數(shù)藝xpkkk=1絕對收斂，則稱級數(shù)另xp的和為隨機變量X的數(shù)學期望，記為E(X).即kkk=1(1.1)E(X)=另xkpk(1.1)k=1設(shè)連續(xù)型隨機變量X的概率密度為f(x)，若積分J?xf(x)dx-g絕對收斂，則稱積分xf(x)dx的值為隨機變量X的數(shù)學期望，記為E(X).E(X)=Jgxf(x)dx(1.2)E(X)=Jgxf(x)dx(1.2)-g數(shù)學期望簡稱期望，又稱為均值．數(shù)學期望玖X)完全由隨機變量X的概率分布所確定，若X服從某一分布，也稱玖X)是這一分布的數(shù)學期望．例l某醫(yī)院當新生兒誕生時，醫(yī)生要根據(jù)嬰兒的皮膚顏色、肌肉彈性、反應(yīng)的敏感性、心臟的搏動等方面的情況進行評分，新生兒的得分X是一個隨機變量.據(jù)以往的資料表明X的分布律為X012345678910pk0.0020.0010.0020.0050.020.040.180.370.250.120.01試求X的數(shù)學期望E(X).解E(X)=0X0.002+1X0.001+2X0.002+3X0.005+4X0.02+5x0.04+6x0.18+7x0.37+8x0.25+9x0.12+10x0.01=7.15(分)這意味著，若考察醫(yī)院出生的很多新生兒，例如1000個，那么一個新生兒的平均得分約7.15分，1000個新生兒共得分約7150分．例2有兩個相互獨立工作的電子裝置，它們的壽命(以小時計)X((k=l,2)服從同k一指數(shù)分布，其概率密度為”1—e-x0,x>0,9f(x)=<0>0.0,x<0,若將這兩個電子裝置串聯(lián)連接組成整機，求整機壽命(以小時計)N的數(shù)學期望．解X((k=l，2)的分布函數(shù)為k1-e-x0,x>0,F(x)=<0,x<0.0,x>0,x<0,由第三章§5的(5.12)式N=min{X10,x>0,x<0,F(x)二1-1-F(x)l=<min因而N的概率密度為x>0,min0,x<0.0,于是N的數(shù)學期望為E(X)=(8xf(x)dx=「2xe-2x9dx=.-8min092例3按規(guī)定，某車站每天8：00?9：00,9：00?10：00都恰有一輛客車到站，但到站的時刻是隨機的，且兩者到站的時間相互獨立．其規(guī)律為一旅客8:20到車站，求他候車時間的數(shù)學期望．到站時刻8:108:308:509:109:309:50概率132666解設(shè)旅客的候車時間為X(以分計).X的分布律為X103050709032111312p———x——x——x—k66666666在上表中，例如13P{X=70}=P(AB)=P(A)P(B)=x,66其中A為事件“第一班車在8：10到站'，B為“第二班車在9：30到站”候車時間的數(shù)學期望為TOC\o"1-5"\h\z32132玖X)=10X+30X+50X+70X+90X66363636=27.22(分)．例4某商店對某種家用電器的銷售采用先使用后付款的方式.記使用壽命為X(以年計)，規(guī)定：XW1,—臺付款1500元；1VXW2,—臺付款2000元；2vXW3,—臺付款2500元；X>3,一臺付款3000元.設(shè)壽命X服從指數(shù)分布，概率密度為f1.0—e-x10,x>0,10f(x)=<0,x<0.試求該商店一臺這種家用電器收費Y的數(shù)學期望.解先求出壽命X落在各個時間區(qū)間的概率.即有P{xW1}=-x10dx=1-e-o.i=0.0952,P{1vXW2}=J210e-xiodx=e-o」-e-o.2=0.0861,P{2vXW3}=f310e-x10dx=e-02-e-o.3=0.0779,

Y1500200025003000Pk0.09520.08610.07790.7403臺家用電器收費Y的分布律為得E(Y)=2732.15，即平均一臺收費2732.15元．例5在一個人數(shù)很多的團體中普查某種疾病，為此要抽驗N個人的血，可以用兩種方P{x>3}」=e-0.3=0.7408.€-x10dx10法進行.(i)將每個人的血分別去驗，這就需驗N次.(ii)按k個人一組進行分組，把從k個人抽來的血混合在一起進行檢驗，如果這混合血液呈陰性反應(yīng)，就說明k個人的血都呈陰性反應(yīng)，這樣，這k個人的血就只需驗一次．若呈陽性，則再對這是個人的血液分別進行化驗．這樣，k個人的血總共要化驗k+1次.假設(shè)每個人化驗呈陽性的概率為pP{x>3}」=e-0.3=0.7408.€-x10dx10解各人的血呈陰性反應(yīng)的概率為q=l-p.因而k個人的混合血呈陰性反應(yīng)的概率為qk，k個人的混合血呈陽性反應(yīng)的概率為l-qk.設(shè)以k個人為一組時，組內(nèi)每人化驗的次數(shù)為X,則X是一個隨機變量，其分布律為Xkk+1kPqk1-qkkX的數(shù)學期望為TOC\o"1-5"\h\z111E(x)=qk+(1+)(1-qk)=1-qk+.kkkN個人平均需化驗的次數(shù)為1N(1-qk+).k由此可知，只要選擇k使11-qk+<1，k則N個人平均需化驗的次數(shù)VN.當p固定時，我們選取k使得1L=1-qk+k小于1且取到最小值，這時就能得到最好的分組方法.例如，p=0.1，則q=0.9，當k=4時，L=1-qk+1取到最小值.此時得到最好的分組方k法.若N=1000,此時以k=4分組，則按第二種方法平均只需化驗1000(1-0.94+4)=594(次).這樣平均來說，可以減少40%的工作量.例6設(shè)X?兀(九)，求E(X).解X的分布律為

用=小字,k=?！?。?X的數(shù)學期望為E(x)=ke—E(x)=ke—九k!k=0L九k-1=九e-尢乙q_1^=k=1即E(X)=九.例7設(shè)X?U(a,b),求E(X).解X的概率密度為a<x<b其他.a<x<b其他.b一a'0,f(x)=<0,X的數(shù)學期望為E(x)=(8xf(x)dx=ja-dx=a+b.-8bb一a2即數(shù)學期望位于區(qū)間(a,b)的中點.我們經(jīng)常需要求隨機變量的函數(shù)的數(shù)學期望，倒如飛機機翼受到壓力W=kV2(V是風速，k>0是常數(shù))的作用，需要求W的數(shù)學期望，這里W是隨機變量V的函數(shù).這時,可以通過下面的定理來求W的數(shù)學期望.定理設(shè)Y是隨機變量X的函數(shù)：Y=g(X)(g是連續(xù)函數(shù)).如果X是離散型隨機變量,它的分布律為P{X=x}=p,k=0,1,2,…,若藝g(x)pkkkkk=1絕對收斂,則有E(Y)=E[g(X)]=另g(x)p.(1.3)kkk=1如果X是連續(xù)型隨機變量，它的概率密度為f(x)，若J8g(x)f(x)dx絕對收斂，一8則有E(Y)=E[g(X)]=J8g(x)f(x)dx(1.4)一8定理的重要意義在于當我們求E(Y)時，不必算出Y的分布律或概率密度，而只需利用X的分布律或概率密度就可以了,定理的證明超出了本書的范圍.我們只對下述特殊情況加以證明.

證設(shè)X是連續(xù)型隨機變量，且y=g(x)滿足第二章§5中定理的條件.由第二章§5中的(5.2)式知道隨機變量y=g(X)的概率密度為flh(y)]h'(y)1，a<x<p，xf(y)=<Y0,其他.于是E(Y)=J*8yf(y)dy=jpyflh(y)]h'(y)dy..-8Yax當h'(y)恒>0時E(Y)=jpyf[h(y)]h'(y)dy=j8g(x)f(x)dx.ax—8當h'(y)恒<0時E(Y)=－jpyf[h(y)]h'(y)dyax=－j-8g(x)f(x)dx=j8g(x)f(x)dx.8—8綜合上兩式，(1.4)式得證．上述定理還可以推廣到兩個或兩個以上隨機變量的函數(shù)的情況．例如，設(shè)Z是隨機變量X,Y的函數(shù)Z=g(X,Y)(g是連續(xù)函數(shù))，那么，Z是一個一維隨機變量?若二維隨機變量(X,Y)的概率密度為f(x,y)，則有E(Y)=E[g(X,Y)]=卜卜g(x,y)f(x,y)dxdy,(1.5)這里設(shè)上式右邊的積分絕對收斂.又若(X，Y)為離散型隨機變量，其分布律為P{X=x,Y=y)=p,i,j=l,2,..,則有iiijE(Z)=E[g(X,Y)E(Z)=E[g(X,Y)]=無藝j=1i=1g(x,y)p，ijij(1.6)即具有概率密度即具有概率密度0<u<a,其他.這里設(shè)上式右邊的級數(shù)絕對收斂.例8設(shè)風速V在(0,a)上服從均勻分布,

a，f2)=<0,又設(shè)飛機機翼受到的正壓力w是V的函數(shù)：W=kV2(k>0,常數(shù))，求w的數(shù)學期望.解由(1.4)式有E(W)=jsku2f(u)du=jaku2—du=-ka2.—80a3例9設(shè)隨機變量(X,Y)的概率密度32x332x3y2f(x,y)=<0,1—<y<x,x>x其他.1,求數(shù)學期望E(Y),E求數(shù)學期望E(Y),E(丄).XY解由(1.5)式得E(Y)=JsJsyf(x,y)dydxJ”—g—s1xdydx2x3y=3Js丄tlnyldx=3Js^dx21x3丄1x3x3Inx3Inx2x2ss+—J2i1E)=JsJs—f(x,y)dydx=JsdxJx3dy=3.XY—s—sxyi丄2x4y35x例10某公司計劃開發(fā)一種新產(chǎn)品市場,并試圖確定該產(chǎn)品的產(chǎn)量.他們估計出售一件產(chǎn)品可獲利m元，而積壓一件產(chǎn)品導致n元的損失.再者，他們預(yù)測銷售量Y(件)服從指數(shù)分布,其概率密度為~1—e-y9,y>0,0f(y)=\0>0,Y0,y<0.Y<x,Y>x.問若要獲得利潤的數(shù)學期望最大，應(yīng)生產(chǎn)多少件產(chǎn)品(m,n，0均為已知)？解設(shè)生產(chǎn)xY<x,Y>x.q=q(x)=r—n(x-y),

Imx,Q是隨機變量，它是Y的函數(shù)，其數(shù)學期望為E(Q)=JsQf(y)dy0Y=JxImy9dy00+Jsmx丄e-y0dyx0=(m+n)0—(m+n)0e-x0—nx.

—E(Q)=(m+n)e-x0-n=0dxx=-0Ind2d2E(Q)=-(m+")e-x0<0,0n故知當x=-0In時玖Q)取極大值，且可知這也是最大值.m+n1e10000,y>0,10000例如，若f(y)=<Y0,y<0,且有m=500元，n=2000元，則x=-10000Inx=-10000In2000500+2000=2231.4.取x=2231件.例11某甲與其他三人參與一個項目的競拍，價格以千美元計，價格高者獲勝.若甲中標，他就將此項目以10千美元轉(zhuǎn)讓給他人.可認為其他三人的競拍價是相互獨立的，且都在7?11千美元之間均勻分布.問甲應(yīng)如何報價才能使獲益的數(shù)學期望為最大(若甲中標必須將此項目以他自己的報價買下).解設(shè)X,X,X是其他三人的報價，按題意X,X,X相互獨立，且在區(qū)間(7,11)123123上服從均勻分布，其分布函數(shù)為0,u<7,u-7F(u)J,7<u<11,41,u>11.以Y記三人最大出價，即Y=max{X1，X2，X3}.y的分布函數(shù)為F(u)=<Y0,(u-7Y<丁F(u)=<Y0,(u-7Y<丁)1,7<u<11,u>11.若甲的報價為x,按題意7WxW10，知甲能贏得這一項目的概率為p=P&p=P&<x}=F(x)=Y(7WxW10).—g—g—g—g—g以G(x)記甲的賺錢數(shù)，G(x)足一個隨機變量，它的分布律為G(x)10-x0概率1x—7丫1-1x—7丫:4丿:4丿于是甲賺錢數(shù)的數(shù)學期望為得x=37/4,x=7(舍去).又知也Edx2又知也Edx2x=x37/4<0．故知當甲的報價為x=37/4千美元時，他賺錢數(shù)的數(shù)學期望達到極大值，還可知這也是最大值．現(xiàn)在來證明數(shù)學期望的幾個重要性質(zhì)①(以下設(shè)所遇到的隨機變量的數(shù)學期望存在).1。設(shè)C是常數(shù)，則有玖C)=C.2。設(shè)X是一個隨機變量，C是常數(shù)，則有E(CX)=CE(X).3。設(shè)X，Y是兩個隨機變量，則有E(X+Y)=E(X)十E(Y).這一性質(zhì)可以推廣到任意有限個隨機變量之和的情況.4。設(shè)X，Y是相互獨立的隨機變量，則有E(XY)=E(X)E(Y).這一性質(zhì)可以推廣到任意有限個相互獨立的隨機變量之積的情況證1。、2。由讀者自己證明.我們來證3。和4。.①這里我們只對連續(xù)型隨機變量的情況加以證明，讀者只要將證明中的“積分”用“和式”代替，就能得到離散型隨機變量情況的證明.設(shè)二維隨機變量(X,Y)的概率密度為f(x,y)?其邊緣概率密度為匚(x)，f(y)?由(1.5)式E(X+Y)=JgJg(x+y)f(x,y)dxdy—g—g=JgJgxf(x,y)dxdy+JgJgyf(x,y)dxdy

3。得證.E(X)十3。得證.E(X)十E(Y).又若X和Y相互獨立,E(XY)=J?卜xyf(x,y)dxdy=J?J?xyf(x)f(y)dxdy一8XY=卜xf(x)dxjf8yf(y)dy=E(X)E(Y).—