第五章課件2-自動控制原理

第五章課件2-自動控制原理第一頁，共59頁。一、奈氏判據(jù)的數(shù)學基礎(chǔ)復變函數(shù)中的幅角原理是奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)的數(shù)學基礎(chǔ)，幅角原理用于控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析首先需要選擇輔助函數(shù)。1．輔助函數(shù)F(s)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為

第一頁第二頁，共59頁。選擇復變函數(shù)F(s)為閉環(huán)特征多項式和開環(huán)特征多項式之比，并稱之為輔助函數(shù)，即輔助函數(shù)F(s)具有如下特點：(1)F(s)的零點為閉環(huán)傳遞函數(shù)的極點，F(xiàn)(s)的極點為開環(huán)傳遞函數(shù)的極點；(2)F(s)的零點和極點的數(shù)目相同；(3)F(s)和G(s)H(s)只差常數(shù)1。

第二頁第三頁，共59頁。2．幅角原理系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為：其輔助函數(shù)是：在s平面上任取一點，如

則在F(s)平面上的象為：

第三頁第四頁，共59頁。第四頁第五頁，共59頁。S平面F(S)平面設(shè)F(s)的零極點分布如左下圖所示，如果在s平面上任選一條不穿過F(s)的任一零點和極點的封閉曲線，通過F(s)的映射關(guān)系，則在F(s)平面上必有對應的一條封閉曲線，見右下圖。

第五頁第六頁，共59頁。由F(s)的表達式可知，輔助函數(shù)F(s)的相角為

當s沿封閉曲線變化時，F(xiàn)(s)的相角變化為第六頁第七頁，共59頁。幅角原理：

設(shè)s平面上的封閉曲線包圍了F(s)的Z個零點和P個極點，則s沿順時針運動一圈時，在F(s)平面上，F(xiàn)(s)沿曲線按逆時針方向包圍坐標原點的圈數(shù)R滿足下式：第七頁第八頁，共59頁。二、奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性取決于系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)的極點即輔助函數(shù)F(s)的零點位置，為了應用幅角原理確定s右半平面上F(s)的零點數(shù)，選擇封閉曲線按順時針方向包圍了s平面的整個右半平面，即封閉曲線是由圖中所示的虛軸和半徑R→∞半圓組成。幅角原理表達式中的P和Z則分別表示輔助函數(shù)F(s)位于右半s平面的極點和零點數(shù)。第八頁第九頁，共59頁。鑒于輔助函數(shù)F(s)的第三個特點，從下圖中可以看出，F(xiàn)(s)曲線按逆時針方向包圍坐標原點的圈數(shù)R就是開環(huán)傳遞函數(shù)G(s)H(s)曲線按逆時針方向包圍點(-1,j0)的圈數(shù)。[F][GH]001(-1,j0)第九頁第十頁，共59頁。

按順時針方向包圍了s平面的整個右半平面的曲線由三部分組成。第一部分是正虛軸，即

第二部分是半徑為無窮大的右半圓；第三部分是負虛軸，即

第十頁第十一頁，共59頁。在此，幅角原理表達式R=P–Z中的R、P和Z分別有如下含義：R——奈氏曲線[即s沿虛軸-j∞到+j∞取值，頻率特性G(jω)H(jω)的幅相曲線]逆時針包圍臨界點(-1,j0)的圈數(shù)；P——輔助函數(shù)F(s)的右半s平面極點數(shù)，即開環(huán)傳遞函數(shù)在右半s平面的極點數(shù)；Z——輔助函數(shù)F(s)的右半s平面零點數(shù)，即閉環(huán)傳遞函數(shù)在右半s平面的極點數(shù)。第十一頁第十二頁，共59頁。奈氏判據(jù)

反饋控制系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是奈氏曲線逆時針包圍臨界點(-1,j0)的圈數(shù)

R

等于開環(huán)傳遞函數(shù)右半s平面極點數(shù)P

，即R=P；否則閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定，閉環(huán)正實部特征根的個數(shù)Z為：

第十二頁第十三頁，共59頁。例7若兩個單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)分別為第十三頁第十四頁，共59頁。三、開環(huán)系統(tǒng)含有積分環(huán)節(jié)時奈氏判據(jù)的應用小半圓的表達式為ⅠⅡⅢⅣ第十四頁第十五頁，共59頁。

開環(huán)系統(tǒng)含有積分環(huán)節(jié)時的幅相曲線的繪制方法為：第十五頁第十六頁，共59頁。開環(huán)系統(tǒng)中v=1、2、3的幅相曲線第十六頁第十七頁，共59頁。為了簡單起見，用奈氏判據(jù)判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性時，通常只需要繪制ω從0到+∞時的開環(huán)幅相曲線，然后按其包圍(-1,j0)點的圈數(shù)N(逆時針方向包圍N為正，順時針方向包圍N為負)和開環(huán)傳遞函數(shù)在右半s平面的極點數(shù)P，根據(jù)公式，確定閉環(huán)特征方程正實部根的個數(shù)。若Z等于零，閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定；否則，閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。第十七頁第十八頁，共59頁。

通過確定開環(huán)幅相曲線在(-1,j0)點左側(cè)負實軸上的穿越次數(shù)而獲得N的方法。如果用表示正穿越次數(shù)與半次正穿越次數(shù)的和，用表示負穿越次數(shù)與半次負穿越次數(shù)的和，則開環(huán)幅相曲線逆時針包圍(-1,j0)點的圈數(shù)為第十八頁第十九頁，共59頁。例9第十九頁第二十頁，共59頁。例10

已知系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為試用奈氏判據(jù)判斷當時系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解

穩(wěn)定不穩(wěn)定臨界穩(wěn)定第二十頁第二十一頁，共59頁。四、對數(shù)頻率穩(wěn)定判據(jù)對數(shù)頻率穩(wěn)定判據(jù)實際上是奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)的另一種形式，它是利用開環(huán)系統(tǒng)的對數(shù)頻率特性來判別閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。由于開環(huán)對數(shù)頻率特性又可以通過實驗獲得，因此，在工程上獲得了廣泛的應用。將奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)引申到Bode圖上，以Bode圖的形式表現(xiàn)出來，就成為對數(shù)頻率穩(wěn)定判據(jù)。

第二十一頁第二十二頁，共59頁。兩種特性曲線之間存在的對應關(guān)系：

①幅相頻率特性圖上的單位圓對應對數(shù)頻率特性圖上的0分貝線，即對數(shù)幅頻特性曲線的橫坐標。②幅相頻率特性圖上的負實軸對應于對數(shù)相頻特性圖上的-180°線。第二十二頁第二十三頁，共59頁。對數(shù)頻率穩(wěn)定判據(jù)表述如下：一個反饋控制系統(tǒng)，其閉環(huán)特征方程正實部根個數(shù)Z，可以根據(jù)開環(huán)傳遞函數(shù)右半s平面極點數(shù)P和開環(huán)對數(shù)幅頻特性為正值的所有頻率范圍內(nèi)，對數(shù)相頻特性曲線與-180°線的正負穿越數(shù)之差確定，Z=P-2N。Z為零，閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定；否則，閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。第二十三頁第二十四頁，共59頁。例11

用對數(shù)頻率穩(wěn)定判據(jù)判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性第二十四頁第二十五頁，共59頁。5-5穩(wěn)定裕度控制系統(tǒng)穩(wěn)定與否是絕對穩(wěn)定性的概念。

對一個穩(wěn)定的系統(tǒng)而言，還有一個穩(wěn)定的程度，即相對穩(wěn)定性的概念。

相對穩(wěn)定性與系統(tǒng)的動態(tài)性能指標有著密切的關(guān)系。在設(shè)計一個控制系統(tǒng)時，不僅要求它必須是絕對穩(wěn)定的，而且還應保證系統(tǒng)具有一定的穩(wěn)定程度。只有這樣，才能不致因系統(tǒng)參數(shù)變化而導致系統(tǒng)性能變差甚至不穩(wěn)定。第二十五頁第二十六頁，共59頁。由于位于臨界點附近的開環(huán)幅相曲線對系統(tǒng)穩(wěn)定性影響很大。因此開環(huán)幅相曲線靠近(-1,j0)點的程度表征了系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性，它距離(-1,j0)點越遠，閉環(huán)系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性越高。

第二十六頁第二十七頁，共59頁。

系統(tǒng)在頻域的相對穩(wěn)定性即穩(wěn)定裕度常用幅值裕度和相角裕度來表征。一、穩(wěn)定裕度的定義1.幅值裕度系統(tǒng)開環(huán)相頻特性為時，系統(tǒng)開環(huán)頻率特性幅值的倒數(shù)定義為幅值裕度。即第二十七頁第二十八頁，共59頁。對于穩(wěn)定的系統(tǒng)，幅值裕度h>1對于不穩(wěn)定的系統(tǒng)，幅值裕度h<1第二十八頁第二十九頁，共59頁。幅值裕度的物理意義是：對于閉環(huán)穩(wěn)定系統(tǒng)，如果系統(tǒng)的開環(huán)增益再放大h倍，則系統(tǒng)將處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)。如果用分貝表示幅值裕度，則有第二十九頁第三十頁，共59頁。對于穩(wěn)定的系統(tǒng)，幅值裕度h>1，h(dB)>0對于不穩(wěn)定的系統(tǒng)，幅值裕度h<1，h(dB)<0第三十頁第三十一頁，共59頁。2.相角裕度系統(tǒng)開環(huán)頻率特性的幅值為1時，系統(tǒng)開環(huán)頻率特性的相角與180°之和定義為相角裕度。即相角裕度的物理意義是：對于閉環(huán)穩(wěn)定系統(tǒng)，如果系統(tǒng)開環(huán)相頻特性再滯后度，則系統(tǒng)將處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)。第三十一頁第三十二頁，共59頁。相角裕度從負實軸算起，逆時針為正，順時針為負。對于穩(wěn)定的系統(tǒng)，其相角裕度為正，對于不穩(wěn)定的系統(tǒng)，其相角裕度為負，第三十二頁第三十三頁，共59頁。對于穩(wěn)定的系統(tǒng)，，γ必在-180°線以上。

對于不穩(wěn)定的系統(tǒng)，，γ必在-180°線以下。

第三十三頁第三十四頁，共59頁。二、穩(wěn)定裕度的計算1.幅值裕度的計算

方法1：將系統(tǒng)的開環(huán)幅相頻率特性化為實部和虛部表示，令虛部等于零，求出相位穿越頻率，代入實部求出與實軸的交點坐標，便可以求解幅值裕度。方法2：根據(jù)系統(tǒng)的相頻特性，用試探法求出相位穿越頻率，便可以求解幅值裕度。2.相角裕度的計算截止頻率的確定對計算系統(tǒng)的相角裕度至關(guān)重要，求解較方便的方法是先由開環(huán)幅相頻率特性繪制對數(shù)幅頻特性曲線，由與0dB線的交點確定。然后便可以求解相角裕度。第三十四頁第三十五頁，共59頁。例12

某單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為計算系統(tǒng)的相角裕度和幅值裕度。解計算相角裕度第三十五頁第三十六頁，共59頁。計算幅值裕度等式兩邊取正切：

第三十六頁第三十七頁，共59頁。5-6閉環(huán)系統(tǒng)的頻域性能指標利用開環(huán)頻率特性分析和設(shè)計控制系統(tǒng)是很方便的，但在全面分析系統(tǒng)的控制性能時也常常需要知道系統(tǒng)閉環(huán)頻率特性的形狀和性能指標。閉環(huán)系統(tǒng)的幅頻特性曲線的一般形狀如圖所示。在圖中，閉環(huán)幅頻特性曲線的低頻部分變化比較平緩，但隨著ω的增加，M(ω)不斷增大，出現(xiàn)諧振峰值以后將以較大的陡度衰減至零。閉環(huán)幅頻特性的特點常用幾個特征量來表示，即諧振峰值、諧振頻率、帶寬頻率和剪切速度。這些特征量又稱為頻域性能指標，它們在很大程度上能間接地反映系統(tǒng)時域響應的品質(zhì)，與時域性能指標直接有關(guān)。

第三十七頁第三十八頁，共59頁。1.諧振峰值——諧振峰值是閉環(huán)系統(tǒng)幅頻特性的最大值，它反映了系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性。2.諧振頻率——諧振頻率是閉環(huán)系統(tǒng)幅頻特性出現(xiàn)諧振峰值時所對應的頻率，它在一定程度上反映了系統(tǒng)瞬態(tài)響應的速度。諧振頻率越大，瞬態(tài)響應越快。

第三十八頁第三十九頁，共59頁。3.帶寬頻率——系統(tǒng)的帶寬反映了系統(tǒng)對噪聲的濾波特性，同時也反映了系統(tǒng)的響應速度。帶寬越大，瞬態(tài)響應速度越快，但對高頻噪聲的過濾能力越差。4.剪切速度——剪切速度是指在高頻時頻率特性衰減的快慢。在高頻區(qū)衰減越快，對于信號和干擾兩者的分辨能力越強。

第三十九頁第四十頁，共59頁。一、開環(huán)頻率特性與閉環(huán)頻率特性的關(guān)系單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性為閉環(huán)頻率特性工程上常采用尼柯爾斯圖線，直接由開環(huán)頻率特性曲線繪制閉環(huán)頻率特性曲線，這種方法比較方便實用。第四十頁第四十一頁，共59頁。二、尼柯爾斯圖線尼柯爾斯圖線是繪制在對數(shù)幅相坐標中，是由閉環(huán)頻率特性的等M軌跡和等α軌跡構(gòu)成的曲線簇，如圖所示。圖中橫坐標為開環(huán)相頻特性[度]，縱坐標為開環(huán)對數(shù)幅頻特性[dB]。第四十一頁第四十二頁，共59頁。第四十二頁第四十三頁，共59頁。采用尼柯爾斯圖線，由開環(huán)頻率特性確定閉環(huán)系統(tǒng)頻率特性時，首先要繪制出開環(huán)系統(tǒng)的對數(shù)幅相頻率特性曲線，然后將其重疊在尼柯爾斯圖線上，那么開環(huán)對數(shù)幅相頻率特性曲線與等M軌跡和等α軌跡的交點，就給出了每一個頻率點上閉環(huán)系統(tǒng)頻率特性的幅值M和相角α的數(shù)值。如果開環(huán)對數(shù)幅相頻率特性與等M軌跡相切，則切點就是閉環(huán)頻率響應的諧振峰值，切點的頻率就是諧振頻率。第四十三頁第四十四頁，共59頁。第五章小結(jié)本章重點：

通過本章學習，應重點掌握頻率特性的基本概念、典型環(huán)節(jié)及系統(tǒng)開環(huán)頻率特性曲線的繪制和分析方法、控制系統(tǒng)穩(wěn)定性的頻域分析法、系統(tǒng)穩(wěn)定裕度的概念和計算方法。線性定常系統(tǒng)在正弦函數(shù)作用下，系統(tǒng)的頻率響應與輸入正弦信號的復數(shù)比稱為系統(tǒng)的頻率特性。頻率特性是傳遞函數(shù)的一種特殊形式，將系統(tǒng)(或環(huán)節(jié))傳遞函數(shù)中的復數(shù)s換成純虛數(shù)jω，即可得出系統(tǒng)(或環(huán)節(jié))的頻率特性。

第四十四頁第四十五頁，共59頁。頻率特性圖形因其采用的坐標不同而分為幅相特性(極坐標圖)、對數(shù)頻率特性(Bode圖)和對數(shù)幅相特性(Nicols圖)等形式。各種形式之間是互通的，每種形式有其特定的適用場合。開環(huán)幅相特性在分析閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性時比較直觀，理論分析時經(jīng)常采用；伯德圖在分析典型環(huán)節(jié)參數(shù)變化對系統(tǒng)性能的影響時最方便，實際工程應用最廣泛。奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)是頻域法的重要理論基礎(chǔ)。利用奈氏穩(wěn)定判據(jù)