不同函數(shù)增長的差異

443不同函數(shù)增長的差異同學(xué)們，還記得我們研究函數(shù)的指導(dǎo)思想嗎？它有四個關(guān)鍵詞：現(xiàn)象、本質(zhì)、性質(zhì)、概念。你知道這四個關(guān)鍵詞的含義嗎？同學(xué)們，馬克思主義中的唯物辯證法里有幾對基本范疇：原因與結(jié)果、必然性與偶然性、可能性與現(xiàn)實(shí)性、內(nèi)容與形式、現(xiàn)象與本質(zhì)。與函數(shù)有關(guān)的主要是其中的三個概念：本質(zhì)、現(xiàn)象、性質(zhì)。本質(zhì)是事物的內(nèi)部聯(lián)系，是決定事物性質(zhì)和發(fā)展趨向的東西?，F(xiàn)象是事物的外部聯(lián)系，是本質(zhì)在各方面的外部表現(xiàn)。不同的現(xiàn)象可以具有共同的本質(zhì)，同一本質(zhì)可以表現(xiàn)為千差萬別的現(xiàn)象。地球上已發(fā)現(xiàn)的生物有數(shù)百萬種，各有其特殊的生命形態(tài),表現(xiàn)為無限復(fù)雜多樣的生命現(xiàn)象,但它們都有著共同的本質(zhì)，都是核酸和蛋白質(zhì)的存在方式。我們認(rèn)識事物是透過現(xiàn)象把握本質(zhì)。一種事物和其他事物相互聯(lián)系中所表現(xiàn)出來的特性,就是事物的性質(zhì)一事物區(qū)別于他事物的一種內(nèi)部規(guī)定性,就是事物的本質(zhì)性質(zhì)是事物具有的屬性本質(zhì)是隱藏的,要通過現(xiàn)象反映,不能直觀認(rèn)識事物的性質(zhì)和本質(zhì)不是等同的,性質(zhì)表現(xiàn)在外,本質(zhì)隱藏在內(nèi)認(rèn)識事物的性質(zhì),是認(rèn)識事物的第一個層次,認(rèn)識事物的本質(zhì),是認(rèn)識事物的第二個層次簡單講：現(xiàn)象是變化的，本質(zhì)是不變的?，F(xiàn)象是動的，本質(zhì)是靜的。運(yùn)動變化中的規(guī)律性就是性質(zhì)，變化中的不變性也是性質(zhì)。概念不等于本質(zhì)，但反映本質(zhì)。概念，本質(zhì)，現(xiàn)象，三者怎么區(qū)分？本質(zhì)指事物本身所固有的、決定事物性質(zhì)、面貌和發(fā)展的根本屬性。事物的本質(zhì)是隱蔽的,是通過現(xiàn)象來表現(xiàn)的,不能用簡單的直觀去認(rèn)識,必須透過現(xiàn)象掌握本質(zhì)。在頭腦里所形成的反映對象的本質(zhì)屬性的思維形式、把所感知的事物的共同本質(zhì)特點(diǎn)抽象出來,加以概括,就成為概念,概念都具內(nèi)涵和外延,并且隨著主觀、客觀世界的發(fā)展而變化本質(zhì)是通過概念來表達(dá)的，用概念把事物的本質(zhì)表達(dá)出來。概念是工具。也就是概念是反映事物的本質(zhì)屬性的表達(dá)工具，是對事物本質(zhì)的抽象概括。事物的性質(zhì)也用概念來表達(dá)。這就是我們研究函數(shù)的套路：本質(zhì)、現(xiàn)象、性質(zhì)。函數(shù)的現(xiàn)象千變?nèi)f化，有時(shí)冪函數(shù)、有時(shí)指數(shù)函數(shù)、有時(shí)對數(shù)函數(shù)、有時(shí)三角函數(shù)。其實(shí)一種函數(shù)可以代表一種自然現(xiàn)象或社會現(xiàn)象，有時(shí)許多自然或社會現(xiàn)象有共同的函數(shù)模型。函數(shù)的本質(zhì)比如函數(shù)的定義。單調(diào)性、奇偶性、周期性是函數(shù)的性質(zhì)。數(shù)學(xué)上有門幾何，叫分形幾何?？陀^自然界中許多事物，具有自相似的“層次”結(jié)構(gòu)，在理想情況下，甚至具有無窮層次。大家百度百科：分形幾何。國家有人大、政協(xié)，省里也有人大、政協(xié)，市里也有人大、政協(xié)、縣里也有人大、政協(xié)、一直到鎮(zhèn)也有人大、政協(xié)。國家與省自相似，省與市自相似，市與縣自相似，縣與鎮(zhèn)自相似?；蛘邍遗c鎮(zhèn)也自相似。即一個事物它的整體與部分是自相似的。，在學(xué)校管理上也有個理念，學(xué)校如國家，即學(xué)校與國家是自相似的。研究指數(shù)函數(shù)的套路與研究函數(shù)的套路是自相似，是整體與局部的自相似，也就是本質(zhì)、現(xiàn)象、性質(zhì)。同理，指數(shù)函數(shù)的現(xiàn)象也是千遍萬戶的，這里不多述了。研究對數(shù)函數(shù)的套路與研究函數(shù)的套路也是自相似，是整體與局部的自相似，也就是本質(zhì)、現(xiàn)象、性質(zhì)。同上。數(shù)學(xué)是基礎(chǔ)教育階段最為重要的學(xué)科之一，其終極培養(yǎng)目標(biāo)可以描述為：會用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界；會用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實(shí)世界；會用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界。為了能用數(shù)學(xué)語言比如函數(shù)模型更加深刻更加精確的來表達(dá)這個世界，今天我們就學(xué)習(xí)一次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)增長方式的差異?！?017版高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》修訂組組長史寧中教授認(rèn)為：注：我們使用的這套人民教育出版社A版教材就是依據(jù)《2017版高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》編的。我們?nèi)匀徊捎糜商厥獾揭话?，由具體到抽象,有簡單到復(fù)雜，有數(shù)字到符號的研究方法問題探究以函數(shù)y=2與y=2為例研究指數(shù)函數(shù)、一次函數(shù)增長方式的差異分析：1在區(qū)間-∞,0上，指數(shù)函數(shù)y=2值恒大于0，一次函數(shù)y=2值恒小于0，所以我們重點(diǎn)研究在區(qū)間0,∞上它們的增長差異2借助信息技術(shù)，在同一直角坐標(biāo)系內(nèi)列表、描點(diǎn)作圖如下：xy=2xy=2x0100.51.41411221.52.82832442.55.6575386·········y=2y=2問題探究3觀察兩個函數(shù)圖象及其增長方式：結(jié)論1：函數(shù)y=2與y=2有兩個交點(diǎn)1,2和2,4結(jié)論2：在區(qū)間0,1上，函數(shù)y=2的圖象位于y=2之上結(jié)論3：在區(qū)間1,2上，函數(shù)y=2的圖象位于y=2之下結(jié)論4：在區(qū)間2,3上，函數(shù)y=2的圖象位于y=2之上綜上：雖然函數(shù)y=2與y=2都是增函數(shù)，但是它們的增長速度不同，函數(shù)y=2的增長速度不變，但是y=2的增長速度改變，先慢后快問題探究請大家想象一下，取更大的值，在更大的范圍內(nèi)兩個函數(shù)圖象的關(guān)系？思考：隨著自變量取值越來越大，函數(shù)y=2的圖象幾乎與軸垂直，函數(shù)值快速增長，函數(shù)y=2的增長速度保持不變，和y=2的增長相比幾乎微不足道問題探究總結(jié)一：函數(shù)y=2與y=2在[0,∞上增長快慢的不同如下：雖然函數(shù)y=2與y=2在[0,∞上都是單調(diào)遞增，但它們的增長速度不同隨著的增大，y=2的增長速度越來越快，會超過并遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于y=2的增長速度盡管在的一定范圍內(nèi)，2<2，但由于y=2的增長最終會快于y=2的增長，因此，總會存在一個0，當(dāng)>0時(shí)，恒有2>2歸納總結(jié)總結(jié)二：一般地指數(shù)函數(shù)y=aa>1與一次函數(shù)y=>0的增長都與上述類似即使值遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于a值，指數(shù)函數(shù)y=aa>1雖然有一段區(qū)間會小于y=>0，但總會存在一個0，當(dāng)>0時(shí)，y=aa>1的增長速度會大大超過y=>0的增長速度歸納總結(jié)跟蹤訓(xùn)練分析：1在區(qū)間-∞,0上，對數(shù)函數(shù)y=lg沒意義，一次函數(shù)值恒小于0，所以研究在區(qū)間0,∞上它們的增長差異2借助信息技術(shù)，在同一直角坐標(biāo)系內(nèi)列表、描點(diǎn)作圖如下：xy=lgx0不存在01011201.3012301.4773401.6024501.6995601.7786