2023屆高考數(shù)學(xué)重難點(diǎn)專(zhuān)題訓(xùn)練專(zhuān)題16數(shù)列求和-分組求和并項(xiàng)求和

專(zhuān)題16數(shù)列求和—分組求和（并項(xiàng)求和）已知公差不為的等差數(shù)列中，，是和的等比中項(xiàng)．

求數(shù)列的通項(xiàng)公式：

保持?jǐn)?shù)列中各項(xiàng)先后順序不變，在與之間插入，使它們和原數(shù)列的項(xiàng)構(gòu)成一個(gè)新的數(shù)列，記的前項(xiàng)和為，求的值．2.記為數(shù)列的前項(xiàng)和，已知，，且數(shù)列是等差數(shù)列．證明：是等比數(shù)列，并求的通項(xiàng)公式設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和．3.已知數(shù)列是等差數(shù)列，記為的前項(xiàng)和，是等比數(shù)列，．求記，求數(shù)列的前項(xiàng)和．已知等比數(shù)列的公比為，前項(xiàng)和，，，．

求；

記數(shù)列中不超過(guò)正整數(shù)的項(xiàng)的個(gè)數(shù)為，求數(shù)列的前項(xiàng)和．已知數(shù)列中，且

求證：數(shù)列為等比數(shù)列

求數(shù)列的前項(xiàng)和．已知等差數(shù)列滿(mǎn)足．

Ⅰ求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

Ⅱ若數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，且，求數(shù)列的前項(xiàng)和．7.數(shù)列的前項(xiàng)和為，且若數(shù)列不是等比數(shù)列，求若，在和中插入個(gè)數(shù)構(gòu)成一個(gè)新數(shù)列，，，，，，，，，，，插入的所有數(shù)依次構(gòu)成首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，求的前項(xiàng)和．8.已知數(shù)列滿(mǎn)足，，．

令，求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；

設(shè)，若對(duì)一切都有，求的值；

在的條件下，求數(shù)列的前項(xiàng)和．

答案和解析1.【答案】解：設(shè)等差數(shù)列的公差為，

由是和的等比中項(xiàng)，得，即，

解得．

；

保持?jǐn)?shù)列中各項(xiàng)先后順序不變，在與之間插入，

則新數(shù)列的前項(xiàng)為：

，，，，，，，，，，，，，，，，，，，．

則

．

【解析】本題考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及前項(xiàng)和，以及分組法求和，是較易題．

設(shè)等差數(shù)列的公差為，由題意列關(guān)于的方程，求解，再由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求解；

由題意得新數(shù)列的前項(xiàng)，分組后由等差數(shù)列與等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式求解．

2.【答案】解：，，，，設(shè)，則，，又?jǐn)?shù)列為等差數(shù)列，，，．當(dāng)時(shí)，，，又，，即：，又，是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，，即：．，且，

．

【解析】本題主要考查等比數(shù)列的判定與證明，考查分組求和，屬于中檔題．

3.【答案】解：由題意得，，又是等比數(shù)列，，，，又，故，又是等差數(shù)列，故為等比數(shù)列，首項(xiàng)，公比，的通項(xiàng)公式為．，，令，則，記的前項(xiàng)和為，，數(shù)列的前項(xiàng)和為．

【解析】本題考查分組求和法，屬于中檔題．

4.【答案】解：由得：，

即，

因?yàn)?，所以，所以?/p>

又因?yàn)?，所以?/p>

所以，

所以．

由題設(shè)及得，

且當(dāng)時(shí)，，

即，，

，，，

所以．

【解析】本題考查等比數(shù)列、求和，考查學(xué)生的邏輯思維能力和運(yùn)算能力，屬中檔題．

根據(jù)等比數(shù)列的定義和求和公式，列出方程組，解出和公比，則可求出其通項(xiàng)公式；

由可求得，且當(dāng)時(shí)，，可依次求出的值，再求和即可．

5.【答案】解：證明：，，

，

，

當(dāng)時(shí)，也符合上式，

是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列；

由得，，

，，

【解析】本題主要考查由數(shù)列的遞推關(guān)系式求數(shù)列的通項(xiàng)以及分組求和的應(yīng)用，屬于中檔題．

把已知的遞推關(guān)系式整理即可證明結(jié)論；

先利用的結(jié)論求出通項(xiàng)公式，再直接利用分組求和即可求解．

6.【答案】解：Ⅰ設(shè)等差數(shù)列的公差為，

由，

可得，

即有，，

解得，，

則；

Ⅱ若數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，且，

，

則，

由Ⅰ可得，

所以

．

【解析】Ⅰ設(shè)等差數(shù)列的公差為，由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和恒等式的性質(zhì)，解方程可得首項(xiàng)和公差，進(jìn)而得到所求；

Ⅱ由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可得，進(jìn)而得到，再由數(shù)列的分組求和，結(jié)合等差數(shù)列和等比數(shù)列的求和公式，計(jì)算可得所求和．

本題考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式的運(yùn)用，以及數(shù)列的分組求和，考查方程思想和運(yùn)算能力，屬于中檔題．

7.【答案】解：由，得，則，所以．當(dāng)時(shí)，不是等比數(shù)列，符合題意當(dāng)時(shí)，，所以，所以是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，與已知矛盾．綜上，，從而，即．因?yàn)?，則，由知是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，，所以．設(shè)插入的所有數(shù)構(gòu)成數(shù)列，則，因?yàn)椋?，，，所以，，，，中包含的前?xiàng)及的前項(xiàng)，所以．

【解析】本題考查數(shù)列的遞推關(guān)系，等比數(shù)列的判定，等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式，等差數(shù)列的求和公式，屬于較難題．

化簡(jiǎn)和變形關(guān)系式，可得，討論是否為即可求解；

由可得，通過(guò)等差數(shù)列的求和公式以及比較大小，得出，，，中包含的前項(xiàng)及的前項(xiàng)，分組求和即可．

8.【答案】解：，

即

，

即

，

是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，

；

由已知

，

；

由知，

，

，

令，

，