陜西省西安市八校高三上學(xué)期第一次聯(lián)考理科數(shù)學(xué)試卷

2021年陜西省西安市八校高考數(shù)學(xué)聯(lián)考試卷（理科）（一）一、選擇題（共12小題）.1.已知集合A，全集，若，則集合A是（）A. B.C. D.————B分析：根據(jù)補(bǔ)集的定義即可求得集合A.解答：解；因?yàn)槿?，?{1,3,4}，由補(bǔ)集的定義可得，．故選：B．2.已知為奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則（）A. B. C. D.————C分析：由題意先計(jì)算，再根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)，得，即可得答案.解答：根據(jù)題意，當(dāng)時(shí)，，則，又由為奇函數(shù)，則.故選：C.3.若，且，則（）A. B. C. D.————A分析：先求出，直接帶入求出解答：解：因?yàn)閟inα+cosα=0，且，所以，所以，則sin3α=．故選：A．4.在1到100的整數(shù)中，除去所有可以表示為的整數(shù)，則其余整數(shù)的和是（）A.3928 B.4024 C.4920 D.————D分析：當(dāng)時(shí)，結(jié)合等比數(shù)列求和，求得，再由等差數(shù)列的求和公式，求得，進(jìn)而求得其余的整數(shù)的和．解答：當(dāng)時(shí)，可得所以，又由，所以在1到100的整數(shù)中，除去所有可以表示為的整數(shù)，其余的整數(shù)的和為．故選：D.5.已知雙曲線的離心率為，則雙曲線的兩條漸近線的夾角為（）A. B. C.或 D.或————B分析：利用雙曲線的離心率求出的值，可得出雙曲線的漸近線方程，由此可得出結(jié)果.解答：由于方程表示的曲線為雙曲線，則，解得或.則.①當(dāng)時(shí)，則，，則，解得，所以雙曲線的漸近線方程為，此時(shí)，該雙曲線的兩條漸近線的傾斜角分別為、，則雙曲線的兩條漸近線的夾角為；②當(dāng)時(shí)，則，，則，解得.所以雙曲線的漸近線方程為，此時(shí)雙曲線的兩條漸近線的傾斜角分別為、，則雙曲線的兩條漸近線的夾角為．綜上所述，雙曲線兩條漸近線的夾角為.故選：B．點(diǎn)撥：方法點(diǎn)睛：求雙曲線的漸近線方程的方法：（1）定義法：直接利用、求得比值，則焦點(diǎn)在軸上時(shí)，漸近線方程為，焦點(diǎn)在軸上時(shí)，漸近線方程為；（2）構(gòu)造齊次式：利用已知條件結(jié)合，構(gòu)建的關(guān)系式（或先構(gòu)建的關(guān)系式），再根據(jù)焦點(diǎn)位置寫出漸近線方程即可.6.已知，且與的夾角為，則（）A. B.2 C. D.————A分析：先求，再利用求出.解答：解：且與的夾角為，故故選：A．點(diǎn)撥：向量的模運(yùn)算的常用方法：（1）定義法；（2）坐標(biāo)法；（3）用求模.7.已知點(diǎn)在圓上，直線與兩坐標(biāo)軸的交點(diǎn)分別為，則的面積的最大值是（）A. B. C. D.————A分析：根據(jù)題意得圓心到直線的距離，然后根據(jù)計(jì)算點(diǎn)到直線的距離的最大值，再計(jì)算，利用計(jì)算面積最大值.解答：如圖，當(dāng)點(diǎn)距離直線的距離最大時(shí)，的面積最大.已知，圓的圓心到直線的距離，則圓上的點(diǎn)到直線的距離的最大值為，又直線與兩坐標(biāo)軸交點(diǎn)分別為，所以．∴面積的最大值為．故選：A.8.已知命題p：，命題q：，則（）A.“”是假命題 B.“”是真命題C.“”是假命題 D.“p∧￢q”是真命題————D分析：先命題為真命題，命題為假命題，再根據(jù)復(fù)合命題的真假判定，結(jié)合選項(xiàng)，即可求解.解答：由題意，命題p：，當(dāng)時(shí)，不等式成立，所以為真命題；命題q：，當(dāng)時(shí)，不等式不成立，所以為假命題，根據(jù)復(fù)合命題的真假判定，可得命題為真命題，為假命題；為真命題，為真命題.故選：D.9.已知，則的值域是（）A. B. C. D.————C分析：首先利用降冪公式化簡函數(shù)，再求的范圍，再求函數(shù)的值域.解答：，的值域?yàn)楣蔬x：C．10.如圖，已知底面邊長為的正四棱錐的側(cè)棱長為若截面的面積為則正四棱錐的體積等于（）A. B. C. D.————B分析：連接，交于，連接，根據(jù)截面的面積為可解得，即可求出體積.解答：解：連接，交于，連接，則底面且是中點(diǎn)，，，截面的面積為，，解得，正四棱錐的體積為：.故選：B．11.的展開式的常數(shù)項(xiàng)是（）A. B. C. D.————C分析：分兩種情形求出常數(shù)值，即可得出常數(shù)項(xiàng).解答：解：表式個(gè)因式的乘積，要得到常數(shù)項(xiàng)，有種情形：（1）個(gè)因式中每一個(gè)因式都取，可得到常數(shù)項(xiàng)，它的值為；（2）個(gè)因式中，有個(gè)因式取，一個(gè)因式取，其余的因式都取，則，綜上可得，常數(shù)項(xiàng)的值為.故選：C．12.“”是“函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.不充分也不必要條件————A分析：化簡可得，易判斷充分性成立，舉特例可判斷必要性.解答：解：，當(dāng)時(shí)，即時(shí)，函數(shù)在為增函數(shù)，即充分性成立，若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，如當(dāng)，即時(shí)，滿足題意，故必要性不成立.即“”是“函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增”的充分不必要條件.故選：．二、填空題（共4小題）.13.準(zhǔn)線方程為的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是___________.————分析：由拋物線的準(zhǔn)線方程可知，拋物線是焦點(diǎn)在軸負(fù)半軸上的拋物線，并求得值，則答案可求．解答：解：由拋物線的準(zhǔn)線方程為，可知拋物線是焦點(diǎn)在軸負(fù)半軸上的拋物線，設(shè)其方程為，則其準(zhǔn)線方程為，得．該拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是．故答案為：．點(diǎn)撥：本題考查拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，屬于基礎(chǔ)題．14.若a∈R，i為虛數(shù)單位，，則______________________．————分析：根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算，化簡得到，列出方程，即可求解.解答：根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算，可得可得，解得．故答案為：．15.將擺放在編號(hào)為五個(gè)位置上的件不同商品重新擺放，則恰有一件商品的位置不變的擺放方法數(shù)為_________．（用數(shù)字作答）————45分析：先選出件，放回原來的位置，有5種，再將剩下的四件都不在原來位置.解答：根據(jù)題意，分步進(jìn)行分析：（1）將件不同商品中選出件，放回原來的位置，有種情況，假設(shè)編號(hào)為的位置不變，（2）剩下四件都不在原來位置，即編號(hào)為的四件商品都不在原來位置，編號(hào)為商品有種放法，假設(shè)其放在了號(hào)商品原來的位置，則號(hào)商品有種放法，剩下編號(hào)為3，4的兩件商品只有種放法，則其余四件商品的放法有種，故恰有一件商品的位置不變的擺放方法有種，故答案為：45．16.已知函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)且，則直線的斜率的取值范圍是_________．————分析：由零點(diǎn)存在性定理得出關(guān)于的不等式組，畫出不等式組表示的平面區(qū)域，數(shù)形結(jié)合即可求出.解答：二次函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，且則，畫出不等式組表示的平面區(qū)域，如圖陰影部分，由圖可知，，聯(lián)立，解得．直線的斜率為，其幾何意義為可行域內(nèi)動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)連線斜率的倒數(shù)，由圖可知，，直線的斜率的取值范圍是.故答案為：．點(diǎn)撥：方法點(diǎn)睛：線性規(guī)劃常見類型，（1）可看作是可行域內(nèi)的點(diǎn)到點(diǎn)的斜率；（2），可看作直線的截距問題；（3）可看作可行域內(nèi)的點(diǎn)到點(diǎn)的距離的平方.三、解答題（本大題共5小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.第17～21題為必考題.第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.）17.已知{an}為等差數(shù)列，各項(xiàng)都為正數(shù)的等比數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Sn，且，，，．（1）求?通項(xiàng)公式；（2）求和．————（1）an=2n；bn=3n，n∈N*；（2）2n2+4n．分析：（1）根據(jù)等差等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及求和公式列出方程組求解即可；（2）變形后根據(jù)等差數(shù)列的求和公式求和即可.解答：（1）設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，等比數(shù)列{bn}的公比為q，q>0，由b1=3，S3=39，a1=b2﹣7，a40=b4﹣1，可得3+3q+3q2=39，a1=3q﹣7，a1+39d=3q3﹣1，解得q=3，d=2，a1=2，則an=2+2(n﹣1)=2n；bn=3?3n﹣1=3n，n∈N*；（2）a1+2a2+2a3+……+2an+an+1=2(a1+a2+a3+……+an+an+1)﹣a1﹣a=2?(n+1)(2+2n+2)﹣2﹣2(n+1)=2n2+4n．18.已知正四面體分別在棱上，且為棱上任意一點(diǎn)（不與重合）．（Ⅰ）求證：直線平面；（Ⅱ）求直線與平面所成角的正弦值．————（Ⅰ）證明見解析；（Ⅱ）.分析：（Ⅰ）根據(jù)等比例關(guān)系可得，即可證明；（Ⅱ）取的中點(diǎn)以為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，利用向量關(guān)系即可求出.解答：（Ⅰ）證明：又平面平面平面．（Ⅱ）解：取的中點(diǎn)連接以原點(diǎn)，所在直線分別為軸，作平面建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正四面體的棱長為則正四面體的高為，，，設(shè)平面的法向量為，則，即，令，則，，，設(shè)直線與平面所成角為，則，故直線與平面所成角的正弦值為.點(diǎn)撥：思路點(diǎn)睛：利用法向量求解空間線面角的關(guān)鍵在于“四破”：第一，破“建系關(guān)”，構(gòu)建恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系；第二，破“求坐標(biāo)關(guān)”，準(zhǔn)確求解相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)；第三，破“求法向量關(guān)”，求出平面的法向量；第四，破“應(yīng)用公式關(guān)”.19.已知橢圓，F(xiàn)1?F2分別為橢圓C的左?右焦點(diǎn)，P為橢圓C上的任一點(diǎn)，且|PF2|的最大值和最小值分別為3和1，過F2的直線為l．（1）求橢圓C的方程；（2）設(shè)直線l與橢圓C交于A?B兩點(diǎn)，求△ABF1的面積的最大值．————（1）；（2）3．分析：（1）根據(jù)|PF2|的最大值a+c和最小值ac,結(jié)合已知條件得到方程組，求得a,c的值，進(jìn)而結(jié)合a,b,c的平方關(guān)系求得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.（2）先判定直線的斜率不為零，進(jìn)而設(shè)其方程為x=my+1，與橢圓方程聯(lián)立，消去x得到關(guān)于y的一元二次方程，利用韋達(dá)定理求得關(guān)于m的函數(shù)表達(dá)式，適當(dāng)變形，利用基本不等式求得其最大值，進(jìn)而根據(jù)得到所求三角形的面積的最大值.解答：解：（1）由橢圓的性質(zhì)可知，，解得a=2，c=1，b2=a2﹣c2=3，所以橢圓方程為，（2）由題意分析可知直線l的斜率不能為零，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，l的方程為x=my+1，聯(lián)立方程，得(3m2+4)y2+6my﹣9=0△=36m2+36(3∴，，∴所以當(dāng)且僅當(dāng)m=0時(shí)|y1﹣y2|取到最大值3，≤3，即三角形ABF1面積的最大值為3．點(diǎn)撥：是十分重要的.20.西安市某街道辦為了綠植街道兩邊的綠化帶，購進(jìn)了株樹苗，這批樹苗最矮米，最高米，桉樹苗高度繪制成如圖所示頻率分布直方圖．（Ⅰ）試估計(jì)這批樹苗高度的中位數(shù)；（Ⅱ）用頻率代替概率，從這批樹苗中任取株樹苗，用表示取出的株樹苗中高度不低于米的株數(shù)，求的分布列和期望．————（Ⅰ）；（Ⅱ）分布列見解析，0.9.分析：（Ⅰ）根據(jù)頻率分布直方圖求出頻率，先判斷出中位數(shù)的范圍，再列式即可求出；（Ⅱ）可得取出的株樹苗中高度不低于米的株數(shù)，由此求出概率，即可得出分布列，求出期望.解答：解：（I）區(qū)間的頻率區(qū)間的頻率區(qū)間的頻率區(qū)間的頻率區(qū)間的頻率．由可設(shè)這批樹苗高度的中位數(shù)為則解得這批樹苗高度的中位數(shù)為．（II）區(qū)間的頻率，區(qū)間的頻率．取出的株樹苗中高度不低于米的株數(shù)，．可得X分布列為：．21.已知函數(shù)．（Ⅰ）求極值；（Ⅱ）設(shè)求證：在上有兩個(gè)零點(diǎn)．————（Ⅰ）極大值，極小值0；（Ⅱ）證明見解析.分析：（Ⅰ）求出的導(dǎo)數(shù)，令求解然后判斷導(dǎo)數(shù)正負(fù)得出單調(diào)區(qū)間，即可求出極值；（Ⅱ）令，可得，分和討論零點(diǎn)個(gè)數(shù).解答：解：（Ⅰ），，令得，所以在，上，單調(diào)遞增，在上，單調(diào)遞減，所以．（Ⅱ），令，所以，當(dāng)時(shí)，，所以，即是函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)，對(duì)于，，則有兩個(gè)零點(diǎn)，設(shè)為，則，故一正一負(fù)，又，則在僅有1個(gè)零點(diǎn)，即在僅有1個(gè)零點(diǎn)，綜上，在上有兩個(gè)零點(diǎn).點(diǎn)撥：關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的判斷，解題的關(guān)鍵是令，將函數(shù)轉(zhuǎn)化為討論.（二）選考題：共10分.請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計(jì)分.[選修44：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]22.已知曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)，)．點(diǎn)在曲線上，直線l過點(diǎn)P，且傾斜角為．（1）求點(diǎn)P在曲線上對(duì)應(yīng)的參數(shù)θ的值；（2）求直線l被曲線截得的線段的長度．————（1）；（2）6．分析：（1）由題知，再結(jié)合得；（2）根據(jù)題意得直線的方程，再把曲線化為普通方程得，進(jìn)而得直線過圓心，進(jìn)而得答案.解答：解：（1）曲線S的參數(shù)方程為(為參數(shù)，)．點(diǎn)在曲線S上，所以，由于，所以．（2）曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)，)轉(zhuǎn)換為直角坐標(biāo)方程為，直線l過點(diǎn)，且傾斜角為，所以直線的方程為，由于圓心在直線上，故直線l被曲線S截得的線段成為圓的直徑6．點(diǎn)撥：本題考查參數(shù)方程與普通方程的互化，考查直線與圓相交的弦長問題，考查運(yùn)算求解能力，本題解題的關(guān)鍵在于寫出直線l的方程，曲線的普通方程得直線l過圓心，進(jìn)而得答案.[選修45：不等式選講]23.已知．（1）解不等式；（2）設(shè)(，且)，求的值域．————（1）；（2）．分析：（1）由，可得，分類討論，即可求解.（2）化簡得到，分和兩種情況，結(jié)合基本不等式，即可求解.解答：（1）由題意，函