專題03不等關(guān)系

專題03不等關(guān)系№專題03不等關(guān)系№考向解讀?考點精析?真題精講?模擬精練?專題訓練（新高考）備戰(zhàn)2024高考數(shù)學一輪復習（新高考）備戰(zhàn)2024高考數(shù)學一輪復習專題03不等關(guān)系命題解讀命題預測復習建議不等式是每年高考都要考察的內(nèi)容，數(shù)學就是研究各種變量間的關(guān)系的，因此可以說就是研究相等與不等的，不等式的考察主要有不等式的性質(zhì)、解法和證明應用等，常常與函數(shù)、數(shù)列、導數(shù)等相結(jié)合。在解答題中是必考的，在集合和函數(shù)的定義域、單調(diào)性、極值、最值等方面都有，因此應用比較廣泛。預計2024年的高考不等式的考察還是必須的，對于題目的難易度來說，易、中、難都有，主要是以數(shù)學運算和邏輯推理為主。集合復習策略：1.理解不等關(guān)系以及不等式的性質(zhì)，高考對不等式的考察還是比較穩(wěn)定的；2.掌握不等式的應用，高考主要是考察不等式的各種應用；3.掌握與不等式考察有關(guān)的知識點?！?考點精析←一、比較大小1．兩個實數(shù)比較大小的方法(1)作差法(2)作商法a二、不等式性質(zhì)1.對稱性:a>b?b<a(雙向性)2.傳遞性:a>b，b>c?a>c(單向性)3.可加性:a>b?a+c>b+c(雙向性)；a>b，c>d?a+c>b+d(單向性)4.可乘性:a>b，c>0?ac>bc；a>b，c<0?ac<bc；a>b>0，c>d>0?ac>bd(單向性)5.乘方法則:a>b>0?an>bn(n∈N，n≥1)(單向性)6.開方法則:a>b>0?na>n三、常見的結(jié)論(1)a>b，ab>0?eq\f(1,a)<eq\f(1,b).(2)a<0<b?eq\f(1,a)<eq\f(1,b).(3)a>b>0,0<c<d?eq\f(a,c)>eq\f(b,d).(4)0<a<x<b或a<x<b<0?eq\f(1,b)<eq\f(1,x)<eq\f(1,a).→?真題精講←1.（2020年新高考全國Ⅰ）已知a>0，b>0，且a+b=1，則A． B．C． D．【答案】ABD【解析】對于A，，當且僅當時，等號成立，故A正確；對于B，，所以，故B正確；對于C，，當且僅當時，等號成立，故C不正確；對于D，因為，所以，當且僅當時，等號成立，故D正確；故選ABD.2.（2019天津高考理科）已知，，，則的大小關(guān)系為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】，，，故，所以.故選A3.（2020江蘇省期末）若實數(shù)，滿足，則下列選項正確的是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】根據(jù)實數(shù)，滿足，取，，則可排除．因為函數(shù)在定義域上單調(diào)遞增，因為，所以，即故選C．4.（2020浙江省杭州第二中學高三其他）若，則（）A． B． C． D．【答案】B【解析】由得，所以.對于，取，不成立；對于取，不成立；對于取，不成立.故選B.→?模擬精練←1．（2023春·廣東揭陽·高三?？茧A段練習）下列推理正確的是（

）A．若，則B．若，則C．若，則D．若a，，則【答案】BC【解析】A選項，不妨設，滿足，但，A錯誤；B選項，因為，所以不等式兩邊同時乘以得：，不等式兩邊同時乘以得：，從而，B正確；C選項，因為，所以，不等式兩邊同除以得：，C正確；D選項，因為a，，故當或時，無意義，D錯誤.故選：BC2．（2023·廣東·高三校聯(lián)考階段練習）已知，則下列說法正確的是（

）A． B．C． D．【答案】BD【解析】對于A，因為，所以，故A錯誤；對于B，因為，所以，所以，即，故B正確；對于C，因為，所以，所以，故C錯誤；對于D，因為，所以，故D正確.故選：BD.3．（2023·山東青島·統(tǒng)考三模）已知實數(shù)a，b，滿足a＞b＞0，，則（

）A． B． C． D．【答案】BCD【分析】對于選項A：根據(jù)題意結(jié)合基本不等式分析判斷；對于選項B：利用作差法分析判斷；對于選項C：分析可得，結(jié)合指數(shù)函數(shù)單調(diào)性分析判斷；對于選項D：結(jié)合冪函數(shù)單調(diào)性分析判斷.【詳解】對于選項A：因為，即，解得或，所以或，故A錯誤；對于選項B：，因為a＞b＞0，則，即，且，所以，即，故B正確；對于選項C：因為a＞b＞0，且，可得同號，則有：若同正，可得，則，可得；若同負，可得，則，可得；綜上所述：，又因為在定義域內(nèi)單調(diào)遞減，所以，故C正確；對于選項D：因為a＞b＞0，則，可得在內(nèi)單調(diào)遞增，可得，且，所以，故D正確；故選：BCD.4．（2023·廣東惠州·統(tǒng)考模擬預測）已知實數(shù)，則下列結(jié)論一定正確的是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】A選項中，因為，所以，故A選項正確；B選項中，因為函數(shù)在上單調(diào)遞減且，所以，故B選項錯誤：C選項中，因為，則，故C選項錯誤；D選項中，若，，滿足，但，故D選項錯誤．故選：A．5．（2023春·廣東·高三統(tǒng)考開學考試）若正實數(shù)滿足,且,則下列不等式一定成立的是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因為,為單調(diào)遞增函數(shù),故,由于,故,或，當時,,則，此時；,故;,即,所以;當時,,則,此時,,故;,即,所以;故ABC均錯誤;對于D選項,,兩邊取自然對數(shù),,因為不管,還是,均有,所以,故只需證即可.設(且),則,令(且),則,當時,,當時,,所以,所以在且上恒成立,故(且)單調(diào)遞減,因為,所以,結(jié)論得證,所以D正確.故選:D.6．（2023·江蘇·統(tǒng)考二模）設，，，則（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)及對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可比較，構(gòu)造函數(shù)，，利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性即可得解.【詳解】因為，所以，所以，所以，令，則，所以在上單調(diào)遞增，所以，即，所以，令，則，所以函數(shù)在上遞增，所以，即，即，所以，即，綜上，.故選：A.【點睛】關(guān)鍵點點睛：構(gòu)造函數(shù)，，利用中間量來比較的大小是解決本題的關(guān)鍵.7．（2023·廣東茂名·統(tǒng)考一模）e是自然對數(shù)的底數(shù)，，已知，則下列結(jié)論一定正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【答案】BC【解析】原式變形為，構(gòu)造函數(shù)，則，∵，當時，，則，即；當時，，則，即；故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，對于A：取，則∵在上單調(diào)遞增，故，即滿足題意，但，A錯誤；對于B：若，則有：當，即時，則，即；當，即時，由在時單調(diào)遞增，且，故，則；綜上所述：，B正確；對于C：若，則有：當，即時，顯然成立；當，即時，令，∵，當且僅當，即時等號成立，∴當時，所以，即，由可得，即又∵由在時單調(diào)遞增，且，∴，即；綜上所述：，C正確；對于D：取，，則，∵在上單調(diào)遞減，故，∴故，滿足題意，但，D錯誤.故選：BC.8．（2023·江蘇南通·江蘇省如皋中學?？寄M預測）已知直線與函數(shù)的圖象恰有兩個切點，設滿足條件的k所有可能取值中最大的兩個值分別為和，且，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)結(jié)論恒成立可只考慮的情況，假設切點坐標，則只需考慮，，其中的情況，可將表示為；構(gòu)造函數(shù)，，利用導數(shù)可求得的單調(diào)性，從而對進行放縮即可求得所求范圍.【詳解】對于任意，，，的范圍恒定，只需考慮的情況，設對應的切點為，，，設對應的切點為，，，，，，只需考慮，，其中的情況，則，，其中，；又，，，；令，則，在上單調(diào)遞增，又，，又，，；令，則，令，則，在上單調(diào)遞增，，即，在上單調(diào)遞減，，，；綜上所述：.故選：C.9．（2023·江蘇鎮(zhèn)江·江蘇省鎮(zhèn)江中學?？级＃〆是自然對數(shù)的底數(shù)，，已知，則下列結(jié)論一定正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【答案】BC【分析】構(gòu)建函數(shù)根據(jù)題意分析可得，對A、D：取特值分析判斷；對B、C：根據(jù)的單調(diào)性，分類討論分析判斷.【詳解】原式變形為，構(gòu)造函數(shù)，則，∵，當時，，則，即；當時，，則，即；故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，對于A：取，則∵在上單調(diào)遞增，故，即滿足題意，但，A錯誤；對于B：若，則有：當，即時，則，即；當，即時，由在時單調(diào)遞增，且，故，則；綜上所述：，B正確；對于C：若，則有：當，即時，顯然成立；當，即時，令，∵，當且僅當，即時等號成立，∴當時，所以，即，由可得，即又∵由在時單調(diào)遞增，且，∴，即；綜上所述：，C正確；對于D：取，，則，∵在上單調(diào)遞減，故，∴故，滿足題意，但，D錯誤.故選：BC.【點睛】結(jié)論點睛：指對同構(gòu)的常用形式：（1）積型：，①構(gòu)造形式為：，構(gòu)建函數(shù)；②構(gòu)造形式為：，構(gòu)建函數(shù)；③構(gòu)造形式為：，構(gòu)建函數(shù).（2）商型：，①構(gòu)造形式為：，構(gòu)建函數(shù)；②構(gòu)造形式為：，構(gòu)建函數(shù)；③構(gòu)造形式為：，構(gòu)建函數(shù).10．（2023·廣東肇慶·統(tǒng)考二模）已知正數(shù)滿足等式，則下列不等式中可能成立的有（

）A． B．C． D．【答案】AC【解析】因為，，，所以，所以，構(gòu)造，所以，當，即時，分析即可，所以在上單調(diào)遞減，所以，所以，所以，所以，由，所以，構(gòu)造，，則，所以在上單調(diào)遞增，所以由得，所以，故此時，D選項錯誤；當時，，此時，所以可能成立，故C選項可能正確，由，即，構(gòu)造，所以，設，當時，，所以在單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且，所以當時，即，所以，構(gòu)造，則，所以在上單調(diào)遞增，所以，故A可能正確，B項錯誤；故選：AC→?專題訓練←一、用不等式表示不等關(guān)系1.鐵路乘車行李規(guī)定如下：乘動車組列車攜帶品的外部尺寸長、寬、高之和不超過Mcm.設攜帶品外部尺寸長、寬、高分別為a、b、c（單位：cm），這個規(guī)定用數(shù)學關(guān)系式可表示為（

）A．a(chǎn)+b+c≤M B．a(chǎn)+b+c>M C．a(chǎn)+b+c≥M D．a(chǎn)+b+c<M【答案】A【分析】根據(jù)長、寬、高的和不超過Mcm可直接得到關(guān)系式.【詳解】長、寬、高之和不超過Mcm，.故選：A.2.某公司準備對一項目進行投資，提出兩個投資方案：方案為一次性投資萬；方案為第一年投資萬，以后每年投資萬.下列不等式表示“經(jīng)過年之后，方案的投入不大于方案的投入”的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】由不等關(guān)系求解即可.【詳解】經(jīng)過年之后，方案的投入為，故經(jīng)過年之后，方案的投入不大于方案的投入，即故選：D3.某校在冬季長跑活動中，要給獲得一、二等獎的學生購買獎品，要求花費總額不得超過元，已知一等獎和二等獎獎品的單價分別為元、元，一等獎人數(shù)與二等獎人數(shù)的比值不得高于，且獲得一等獎的人數(shù)不能小于．設獲得一等獎的學生有人，獲得二等獎的學生有人，則滿足的不等關(guān)系為______．【答案】.【分析】根據(jù)已知可直接得到不等式組，化簡即可得到結(jié)果.【詳解】由題意得：，化簡得：.故答案為：二、有已知條件判斷所給不等式是否正確4.若，則下列說法正確的是（

）A．若，，則 B．若，則C．若，則 D．若，則<【答案】C【分析】對于AB，舉例判斷，對于CD，利用不等式的性質(zhì)判斷【詳解】對于A，若，則，所以A錯誤，對于B，若，則，所以B錯誤，對于C，因為，所以由不等式的性質(zhì)可得，所以C正確，對于D，因為，所以，所以，即，所以D錯誤，故選：C5.如果，那么下面不等式一定成立的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)依次判斷即可.【詳解】若，則，故A錯誤；若，，則，故B錯誤；若，則，故C正確；若，則，故D錯誤.故選：C.6.若a，b，c為實數(shù)，且，則下列不等關(guān)系一定成立的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)，結(jié)合特例法逐一判斷即可.【詳解】A：當時，顯然不成立；B：當時，顯然沒有意義；C：當時，顯然不成立；D：根據(jù)不等式的性質(zhì)，由能推出，故選：D三、由不等式的性質(zhì)比較數(shù)（式）的大小7.（多選）下列命題為真命題的是（

）A．若，則B．若，則C．若，則D．若，則【答案】ABC【分析】對于A：利用同向不等式相加，即可證明；對于B、C：利用不等式的可乘性可以證明；對于D：取特殊值即可否定結(jié)論.【詳解】對于A：因為，所以.因為，利用同向不等式相加，則有.故A正確；對于B：因為，所以，所以，對兩邊同乘以，則有.故B正確；對于C：因為，所以.因為，所以.對兩邊同乘以，有，所以.故C正確；對于D：取，滿足，但是，所以不成立.故D錯誤.故選：ABC8.（多選）下列命題正確的是（

）A． B．，，使得ax＞2C．a(chǎn)b=0是的充要條件 D．a(chǎn)≥b＞－1，則【答案】AD【分析】舉出一例判斷存在命題是否正確，判斷A，舉反例判斷BC，由不等式的性質(zhì)判斷D．【詳解】對A，時，，A正確；對B，時，對任意，，不成立，B錯；對C，時滿足，但此時，C錯；對D，，則，，則，D正確．故選：AD．四、作差法比較代數(shù)式的大小9.如果，那么（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】舉例判斷A，B，D錯誤，再證明C正確.【詳解】由已知可取，則，A錯，，B錯，，，D錯，因為，所以所以，故，C對，故選：C.10.（多選）已知，則下列選項正確的是（

）A． B． C． D．【答案】BD【分析】直接推導否定選項AC，直接推導證明選項BD正確.【詳解】選項A：由，可得.判斷錯誤；選項B：由，可得，則，則.判斷正確；選項C：由，可得，則，則.判斷錯誤；選項D：由，可得，則.判斷正確.故選：BD五、作商法比較代數(shù)式的大小11.（多選）對于實數(shù)，，，正確的命題是