淺談高等數(shù)學在中學數(shù)學中的應用大學論文

PAGE2PAGEIPAGEII淺談高等數(shù)學在中學數(shù)學中的應用摘要本文探討了初等數(shù)學和高等數(shù)學在知識體系上的差別以及應用上的聯(lián)系，同時也探討了他們地位上的差別和各自的重要性。通過討論可以得知，高等數(shù)學在很大程度上是初等數(shù)學的擴展。本文第三部分重點介紹了微積分，不等式，行列式，以及高等幾何等在初等數(shù)學中的應用，探討了應用高等數(shù)學的思想方法解決初等數(shù)學的有關問題。另外還探討了高等數(shù)學在高考試題上體現(xiàn)的情況和如何解決相應的問題。關鍵詞高等數(shù)學中學數(shù)學微積分行列式AbstractThisstudyofelementarymathematicsandhighermathematicsinknowledgeonthedifferencebetweensystemandapplicationlinks,alsodiscussedtheirdifferencesonthestatusandimportanceofeach.Throughdiscussioncanseethathighermathematicsistoalargeextentisanextensionofelementarymathematics.Thisarticlefocusesonthesecondpartofcalculus,inequality,determinants,aswellastheapplicationofhighergeometryinelementarymathematics,exploredtheapplicationofhighermathematicsthoughtmethodtosolveproblemsofelementarymathematics.DiscussionalsoreflectedonthecollegeentranceexaminationinhighermathematicsandhowtosolvetheproblemKeywordsadvancedmathematicsMathematicscalculus目錄TOC\o"1-4"\h\u16363摘要 I21501Abstract II10418第一章前言 1241961.1研究背景 1115601.2課題研究意義 133601.3文獻綜述 2299481.4研究方法 291651.5創(chuàng)新之處 211035第二章高等數(shù)學與初等數(shù)學的地位與聯(lián)系 3176942.1初等數(shù)學與高等數(shù)學的定位 3260472.2高等數(shù)學與中學數(shù)學的聯(lián)系 4318882.2.1中學數(shù)學與大學數(shù)學的統(tǒng)一性 4163692.2.2中學數(shù)學與大學數(shù)學的連貫性 4185612.3高等數(shù)學對初等數(shù)學的拓展 5143792.3.1代數(shù)方面 522522.3.2幾何方面 617663第三章高等數(shù)學在初等數(shù)學中的應用 880243.1高等代數(shù)在中學數(shù)學中的應用 8225013.2.1行列式的應用 8148833.2.2柯西—施瓦茲不等式應用 919603.2微積分方法在中學數(shù)學的應用 9149863.2.1微積分方法在求函數(shù)的極值、最值中的應用 999913.2.2用微積分知識直接用來處理初等數(shù)學的問題而達到簡便的目的 10290573.2.3積分在空間立體體積與表面積中的應用 1229213.2.4積分在求曲線弧長中的應用 1318973.3高等幾何在初等幾何的應用 14304493.3.1仿射變換的應用 14316673.3.2射影幾何觀點在初等幾何中的應用 1414730仿射變換的應用 152335笛沙格定理的應用 1630403點列中四點的交比 1629089線束中四條直線的交比的應用 1827349第四章高考試題中的微積分在解題中的應用 20251544.1拉格朗日中值定理 20126894.2有關級數(shù)的應用 2318123總結 2620952參考文獻 275108致謝 28廣東石油化工學院本科畢業(yè)（設計）論文：淺談高等數(shù)學在中學數(shù)學中的應用第一章前言PAGE6PAGE1前言1.1研究背景二十一世紀科學技術與社會經濟正在快速發(fā)展。這就需要初等教育為高等院校輸送大批具有綜合素質的創(chuàng)新型人才，最終培養(yǎng)成為社會需要的各級各類人才。數(shù)學教育從教學思想、教學內容、課程設置、教學方法和教學手段方面都需要進行一系列的改革試驗隨著新課程改革的不斷進行，高中數(shù)學把多科數(shù)學內容綜合為一門數(shù)學教材，注意溝通各科知識之間的內在聯(lián)系，注意數(shù)學知識的實際應用。教學中，要求體現(xiàn)數(shù)學的人文價值和科學價值，注重數(shù)學應用意識的培養(yǎng)。新課程內容的變化，無論是新增內容，還是要求處理形式、側重點上有變化的內容都需要教師認真理解，仔細分析。數(shù)學教育現(xiàn)代化要求把中學數(shù)學教學建立在現(xiàn)代數(shù)學的思想基礎上，這使得高等數(shù)學與中學數(shù)學互相促進，共同發(fā)展。有許多中學數(shù)學的概念都需要借助高等數(shù)學的知識才能解釋清楚。1.2課題研究意義隨著高等數(shù)學的知識在高考所占的比重也越來越大，研究新的課程標準、新的考試大綱，認真研究、分析高中數(shù)學中的新知識——高等數(shù)學在中學數(shù)學中的應用問題變得勢在必行。高等數(shù)學是在初等數(shù)學的基礎上發(fā)展起來的。與初等數(shù)學有著緊密的聯(lián)系。許多初等數(shù)學無法解答的問題，高等數(shù)學都給出了解答。因此，幫助學生學會用高等數(shù)學的思想、方法為工具，從不同的角度去研究初等數(shù)學的問題，而且運用高等數(shù)學的知識，從另一更高的角度重新認識初等數(shù)學中重要的概念、理論實質及其背景，還可以借助于高等數(shù)學的方法來統(tǒng)一處理和解決初等數(shù)學中一些或一類問題等等?？傊畱酶叩葦?shù)學的方法使學生對初等數(shù)學的本質，以及與高等數(shù)學之間的內在聯(lián)系，有了深刻的認識。本論文在借鑒前人所撰文章的精神的基礎之上，與中學數(shù)學同行們互相交流，對指導教學，指明方向、深度有重大的參考和借鑒價值。本文運用高等數(shù)學的先進觀點居高臨下地分析和處理中學數(shù)學內容的問題。主要表現(xiàn)為以下三個方面:一是將高等數(shù)學的思想和辦法滲透到中學數(shù)學中去；二是用具體材料來說明高等數(shù)學對中學數(shù)學的指導意義：三是指出中學數(shù)學某些難以處理的問題的高等數(shù)學背景。1.3文獻綜述文獻[5]－《例談導數(shù)的應用》是鄢堯發(fā)所編寫,這文章是備受廣大師生青睞，主要用眾多例題介紹導數(shù)，通過把導數(shù)與實際應用結合起來，以及用了很多方法，去介紹導數(shù)的應用。充分展現(xiàn)導數(shù)思想在解決問題的重要性，我在這本參考書上，主要是參考了導數(shù)在求極值的應用這部分。不過這本書在介紹導數(shù)這方面的知識與我所討論的問題有很大的區(qū)別，因此我在自己電腦的網(wǎng)站，找一些相關資料作為補充。文獻[6]－《導數(shù)在證明不等式中的應用》，本文章是劉偉的報告，本報告主要就討論一個任務，導數(shù)在不等式中的應用。主要把不等式構造成一個函數(shù)，再通過函數(shù)求導，找函數(shù)的單調性，這樣就可以證明不等式的成立。另外還利用導數(shù)證明幾個特殊的不等式?？紤]到微積分正是大學數(shù)學知識的基礎也是中學數(shù)學導數(shù)應用的一個延生，借鑒此文章是勢在必行的。但由于此文章講述的比較復雜，我只借鑒構造函數(shù)這一部分。文獻[7]-《數(shù)學分析》（第三版）是華東師范大學數(shù)學系所編．也是高等教育出版社出版的大學數(shù)學專業(yè)學生必修的一本教科書，本書分為兩本主要詳細講了極限和連續(xù)函數(shù)，微積分，實數(shù)完備性等知識點。就是通過這本書，我才能清楚的認識整個微積分與中學數(shù)學之間的緊密聯(lián)系，也是通過這道本書我才能認識到高等數(shù)學的主要思想基礎的所在。1.4研究方法到書店、圖書館、上網(wǎng)搜集大量相關的資料，并參考其他研究人員就此問題做過的相關研究資料，再結合自己的見解分析，總結最后撰寫論文1.5創(chuàng)新之處1、本論文在更具體的理論結合實際上探討了高等數(shù)學和初等數(shù)學的聯(lián)系2、本論文更全面的敘述了高等數(shù)學在初等數(shù)學中的應用3、這次課標新改后，比較深入的講述高考數(shù)學試題應用高等數(shù)學思想方法的論文廣東石油化工學院本科畢業(yè)論文：淺談高等數(shù)學在中學數(shù)學中的應用第二章高等數(shù)學與初等數(shù)學的地位與聯(lián)系PAGE23第二章高等數(shù)學與初等數(shù)學的地位與聯(lián)系大量的事實表明,通過高初結合可以更好地把握數(shù)學知識的深度,了解數(shù)學問題的背景和實質,能夠從更高的角度俯瞰初等數(shù)學及其教學,可以提高數(shù)學教師的數(shù)學素質和數(shù)學解題能力,更好地把握初等數(shù)學教學。高等數(shù)學知識在開闊中學教師的視野、指導中學數(shù)學解題等方面都有很大的作用。欲窮千里目,更上一層樓。站在高等數(shù)學的角度來看初等數(shù)學中的某些問題會更深刻、更全面。我們知道,初等數(shù)學與高等數(shù)學之間無論在觀點上還是在方法上都有著很大的區(qū)別。正是如此,有人認為:學生不需要懂得什么高等數(shù)學知識,教師只要照課本講下去就可以了。其實這是一種誤解。誠然,在課堂上不能把高等數(shù)學知識傳授給學生,但我們僅僅停留在課本上是不夠的,有時甚至連自己對一些初等數(shù)學的問題也可能感到費解,這是因為:一方面,高等數(shù)學是初等數(shù)學的繼續(xù)和提高;另一方面,初等數(shù)學里很多理論遺留問題必須在高等數(shù)學中才能得澄清.因此,高等數(shù)學在初等數(shù)學中的作用不能掉以輕心,下面談談一些初淺的體會。2.1初等數(shù)學與高等數(shù)學的定位一般來說，數(shù)學史學家把數(shù)學的發(fā)展分為四個階段：萌芽時期、初等數(shù)學時期、古典高等數(shù)學時期、現(xiàn)代高等數(shù)學時期（或五個時期，再加上當代時期）。無論何種分發(fā)，都把第二發(fā)展時期叫做“初等數(shù)學時期”，這個時期的數(shù)學知識和經驗就是“初等數(shù)學”，而把第三、第四或第三、四、五階段叫做“高等數(shù)學時期”，這些階段的數(shù)學知識和經驗就是“高等數(shù)學”。理論意義下的初等數(shù)學和高等數(shù)學是按照恩格斯（Engles）的經典分發(fā)：所謂初等數(shù)學是指常量數(shù)學，高等數(shù)學就是指變量數(shù)學，并把笛卡爾（R.Descartes）1637年發(fā)表的解析幾何看成為出現(xiàn)高等數(shù)學或進入高等數(shù)學時期的標志。而教育意義下的初等數(shù)學高等數(shù)學是依據(jù)教育的發(fā)展歷程和教育的等級加以區(qū)分的，即視普通初等、中等教育（即中、小教育）階段的數(shù)學主要內容為初等數(shù)學，視初等教育階段的數(shù)學主要內容為初等數(shù)學，視高等教育的數(shù)學主要內容為高等數(shù)學。當然，由于社會和教育的思想、方法、手段尤其是教育內容都在不斷發(fā)展，“初等數(shù)學”和“高等數(shù)學”也是一個變化的客體對象，兩者沒有嚴格的概念區(qū)別。事實上，數(shù)學科學是一個不可分割的整體，它的生命力在于各部分之間的內在聯(lián)系，這就需要深入研究初等數(shù)學，理清其中最基本的思想和方法，努力尋求初等數(shù)學和高等數(shù)學的結合點2.2高等數(shù)學與中學數(shù)學的聯(lián)系中學數(shù)學主要是常量數(shù)學,同時也包括變量數(shù)學的一些初步知識,而現(xiàn)代數(shù)學則以變項包括變量為研究對象來反映現(xiàn)實世界的空間形式與數(shù)量關系。數(shù)學的發(fā)展是一個不斷發(fā)現(xiàn)、不斷統(tǒng)一、不斷深化的過程。作為一名即將成為教師的學生應該盡可能地把握數(shù)學發(fā)展的過程,清楚地認識大學數(shù)學的學習對中學數(shù)學學習的意義，有意識地把它貫穿到今后的中學數(shù)學教學中，做到既知其然，又知其所以然。2.2.1中學數(shù)學與大學數(shù)學的統(tǒng)一性伽利略曾說過：“大自然是一本書,而這本書的語言是用數(shù)學來書寫的。”數(shù)學作為眾多自然學科的基礎,博大精深,體系龐大,分支眾多擁有著豐富的交叉學科,而如此龐大的學科內部卻有著高度的統(tǒng)一性,這種統(tǒng)一性決不是一種偶然的巧合，它反映了數(shù)學的本質，數(shù)學的統(tǒng)一性在數(shù)學各個分支之間比比皆是，它始終貫穿于數(shù)學的整個學習過程，表現(xiàn)在一些具體的實例上。中學階段最能體現(xiàn)數(shù)學統(tǒng)一性思想的就是解析幾何,笛卡爾坐標系把代數(shù)方程與圓錐曲線完美地結合在一起。而高等數(shù)學則更是從各方面體現(xiàn)著數(shù)學統(tǒng)一性思想。正如M·阿蒂亞所說:“數(shù)學最使我著迷之處,是不同的分支之間有著許許多多的相互影響,預想不到的聯(lián)系,驚人的奇跡?！?.2.2中學數(shù)學與大學數(shù)學的連貫性初等數(shù)學是高等數(shù)學基礎,二者有著本質的聯(lián)系。中學數(shù)學中遺留下來相當多的問題并不是它本身可以解決的，必須進一步學習了高等數(shù)學，掌握了更多的理論工具，對問題的本質有了更深的認識后才能作出一定合理的解釋。例如大家熟知的代數(shù)基本定理：具有復系數(shù)的一個多項式方程在復數(shù)域中至少有一個解。在中學階段是當作既成事實,但它究竟對不對，如何去證明，用中學階段的數(shù)學知識是無法解釋的。自從高斯給這一基本定理作出了證明以后，在高等數(shù)學中又給出了多種多樣的證法，可以用復變函數(shù)、代數(shù)拓撲、數(shù)理邏輯等不同的知識來加以證明。但所有這些證明都需要用到函數(shù)的連續(xù)性,對函數(shù)連續(xù)性本質的認識屬于現(xiàn)代數(shù)學的范疇。數(shù)學的研究方法與對象反復經歷了由特殊到一般,由直觀到抽象的過程.著名數(shù)學家M·阿蒂亞說:“沒有這些抽象概念,數(shù)學恐怕早就被成堆的復雜問題壓得喘不過氣來,也早就分裂成數(shù)不清的,互不關連的個別情況的研究了?！?。中學生對運算的認識是從“數(shù)”的運算開始,隨著學習的逐步深入,知道運算不僅僅局限于“數(shù)”,“式”也可以進行運算,這說明運算不僅可以在數(shù)之間進行,而且可以在數(shù)以外的其他對象之間進行。一般運算的對象可以是抽象的集合。一般運算的概念是指一個或幾個集合到一個集合的映射。代數(shù)是在幾個集合上賦予若干運算所形成的結構。最初的代數(shù)就是抽象化的,用符號代表數(shù)或其他更復雜的量；而更高層次的抽象是符號之間的運算法則和相互關系。抽象概念正是對層出不窮的新事物的要求所做出的自然的回答。2.3高等數(shù)學對初等數(shù)學的拓展2.3.1代數(shù)方面集合：眾所周知，集合論是現(xiàn)代數(shù)學的基礎，集合概念是數(shù)學中的一個原始概念。中小學數(shù)學中都貫穿了集合的思想，高中開始使用集合語言來研究問題，通過高中的學習，對集合的表示、集合之間的簡單運算應該比較熟悉，對集合與集合之間的映射等有所了解。高等數(shù)學將在此基礎上進一步考慮集合的運算，引入集合的“勢”的概念，比較兩個無窮集合的大小以及賦予集合某些數(shù)學結構（如代數(shù)結構、測度結構、拓撲），研究具有不同數(shù)學結構集合之間的映射關系。如近世代數(shù)主要是研究具有代數(shù)結構集合之間的映射，如同態(tài)、同構、群、環(huán)、域等；而實變函數(shù)論主要是研究具有勒貝格測度的集合之間的映射，如可測函數(shù)。

函數(shù)及其性質：函數(shù)是數(shù)學上的一個基本而又重要的概念，從中學數(shù)學到高等數(shù)學，函數(shù)概念逐步從直觀向抽象發(fā)展、變量說、對應說（映射說），關系說是三種主要的定義方式。用“關系”來定義函數(shù)，比較抽象，一般不容易理解，在現(xiàn)代數(shù)學（如拓撲學、泛函分析等）中使用較多。對應說（映射說）是中學數(shù)學及一般高等數(shù)學中普遍采用的方式。映射是現(xiàn)代數(shù)學中的一個基本概念，它貫穿于現(xiàn)代數(shù)學各個分支，函數(shù)，變換等都是映射的例子。

中學數(shù)學中所講的函數(shù)主要是六種基本初等函數(shù)：常值函數(shù)、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)、反三角函數(shù)，研究它們的結構與形態(tài)。高等數(shù)學在此基礎上定義了復合函數(shù)，初等函數(shù)等概念，使函數(shù)的量進一步擴展，進一步研究一般函數(shù)的奇偶性，單調性（用導數(shù)方法判斷可導函數(shù)的單調性）、周期性（給出周期函數(shù)的一般定義以求周期的方法）、有界性、極值性（用導數(shù)方法求極值）、連續(xù)性、可導性、可積性、以及多項式函數(shù)的理論。由于現(xiàn)實中應用的許多函數(shù)都是初等函數(shù)，而初等函數(shù)又具有較好的分析性質，因而常成為研究抽象函數(shù)的例子、模型。微積分中函數(shù)的主體是初等函數(shù)，由基本初等函數(shù)到初等函數(shù)，銜接是比較緊密的。

數(shù)列、極限與級數(shù)：中學數(shù)學中講到數(shù)列的定義，等差、等比數(shù)列以及它們的前n項的和與數(shù)列極限，這是數(shù)學分析中級數(shù)論的基礎。極限法是數(shù)學分析的一個主要方法，貫穿于數(shù)學分析的始終。中學數(shù)學中再給極限精確的定量定義。級數(shù)論中將研究無窮數(shù)列與函數(shù)列的和（級數(shù)）的收斂與發(fā)散，部分數(shù)列和的求法，以及函數(shù)級數(shù)的和函數(shù)的分析性質，把函數(shù)展成級數(shù)等。

復數(shù)與復變函數(shù)論:中學數(shù)學中講了復數(shù)的概念、表示法（代數(shù)形式、向量形式、三角形式）、運算。復數(shù)的引進，完滿的證明了高等代數(shù)的基本定理及多元二次型的分解等。另外，復變函數(shù)論研究的一類重要函數(shù)解析函數(shù)（包括初等函數(shù)），只有在復數(shù)域中來討論才能徹底弄清楚。因此，中學數(shù)學中的復數(shù)是復變函數(shù)論的一個重要基礎，它們之間最好是按“螺旋式”上升方式來銜接。

排列、組合、二項式定理與概率論：中學數(shù)學中排列、組合、二項式定理及概率是高等數(shù)學中概率論與數(shù)理統(tǒng)計的基礎。由于這部分內容與其它內容聯(lián)系較少，學生普遍感到難學，有的教師也可能降低要求。但大部分概率與統(tǒng)計的教材，都是在中學的基礎上來編寫的，它們是對隨機現(xiàn)象演繹的研究與對隨機現(xiàn)象統(tǒng)計規(guī)律歸納研究。因此，中學排列、組合、二項式定理的內容一點都不能削弱。

方程與方程組：中學數(shù)學中重要講了一元一次、二元、三次方程及簡單高次方程的解的情況，并沒有對一般高次方程作深入討論，方程組也大多是二元線性或三元線性方程組.高等數(shù)學中將對中學數(shù)學中的方程與方程組作推廣，高等代數(shù)對高次方程的解（根）的情況將作全面討論，明確五次（含五次）以上的方程無公式解，復系數(shù)一元二次方程必有2個根。用行列式和矩陣理論來討論一元線性方程的解（存在性、解法、結構），用微積分研究微分方程與方程組的解等。2.3.2幾何方面立體幾何與空間解析幾何：中學平面幾何主要包括相交線、平行線、三角形、四邊形、面積、相似形和圓的一些概念及性質、點的軌跡的概念等內容。立體幾何主要包括直線和平面的位置關系及其性質，多面體和旋轉體的一些概念、性質、畫法及表面積和體積的公式等內容。主要使學生會綜合性處理幾何的方法。而空間解析幾何是在具有空間結構觀念的基礎上,用向量、變量與空間直線、柱面、錐面、旋轉曲面與二次曲面及其一般理論，使學生學會解析地處理幾何的方法。

平面解析幾何與空間解析幾何：中學平面解析幾何主要講平面上直線方程、圓錐曲線（二次曲線的幾種簡單形式）方程及形態(tài)、參數(shù)方程與極坐標等內容?？臻g解析幾何將進一步研究二次曲線的一般理論（二次曲線與直線的相關位置、二次曲線的漸進方向、中心、漸進線、切線、直徑以及二次曲線的化簡與分類等）和二次曲面的一般理論（二次曲面與直線的相關位置、二次曲面的漸進方向與中心、切線與切平面、徑面與奇向、主徑面與主方向、特征方程與特征根以及二次曲面的化簡與分類等）?？臻g解析幾何是平面解析幾何的自然延伸高等幾何是對初等幾何的教學與研究有著重要的指導作用。高等幾何的主要內容包括仿射幾何、射影幾何和幾何基礎，近幾年來，關于高等幾何對初等幾何的指導作用的研究一直是幾何學教學研究方面的一個熱點，并且已經取得了不少成果。本文后部分從仿射幾何和射影幾何的一些理論與方法出發(fā)，探討它們在初等幾何中的應用。仿射幾何是高等幾何的重要組成部分，是聯(lián)結射影幾何與歐氏幾何的紐帶，是應用高等幾何知識解決初等幾何問題的一條重要通道。在初等幾何里，有大量的命題是研究圖形的仿射性質的，即并不涉及到距離、角度、面積的具體度量，而僅涉及到點線結合關系、直線的平行性、共線與平行線段之比、封閉圖形面積之比以及線段中點等概念。對于這類命題，我們可以充分地運用仿射幾何的有關理論，由特殊到一般、化繁為簡地加以解決，從而達到事半功倍的效果。這方面問題的解決，常?？梢越柚诜律渥儞Q與仿射坐標系來實現(xiàn)。第三章高等數(shù)學在初等數(shù)學中的應用PAGE24第三章高等數(shù)學在初等數(shù)學中的應用3.1高等代數(shù)在中學數(shù)學中的應用高等代數(shù)不僅是中學數(shù)學的延拓,也是現(xiàn)代數(shù)學的基礎。作為中學數(shù)學教師總感覺到大學中學的高等代數(shù)在中學教學中用不上,其理由是從初等數(shù)學到高等數(shù)學,在研究問題和處理問題的方式上存在著較大的區(qū)別；其實這是一種誤解,正因為有這樣的區(qū)別,它能使我們從中學的解題思維定勢中走出來,用一種更深遠的眼光來看中學數(shù)學問題。下面從幾個方面談談這個問題。3.2.1行列式的應用因式分解是中學數(shù)學的一個重要內容，雖然在中學數(shù)學中有很多方法可以解決因式分解問題,但對于某些因式分解問題如果構造與之對應的行列式，然后使用行列式的性質去解決，會起到事半功倍的效果。例1：解： 所以=例2：證明：又由已知可得：,所以所以,即.3.2.2柯西—施瓦茲不等式應用柯西—施瓦茲不等式是高等代數(shù)的一個重要不等式，它在中學數(shù)學中有廣泛的應用。例1：設歐式空間,令,則有（當且僅當,線性相關時等號成立）,在標準內積下,有：若,則得：例2：設a,b,c,都是正數(shù),且,求證：證明：在中使用標準內積.設,則有：由柯西不等式得：成立從上例可知,使用柯西—施瓦茲不等式重要的是構造一個合適的歐氏空間,特別是構造內積運算,并找到兩個適當?shù)南蛄?。由上兩個例子我們不難看出高等代數(shù)的很多知識完全可以作為一種工具來解決中學數(shù)學問題,而這中間構造法起了很重要的作用。高等代數(shù)應用于中學數(shù)學并不是簡單的一題多解,而是一種知識的融會貫通。高等代數(shù)方法在中學數(shù)學中的應用還有很多,方法也獨特且靈活多變。如果應用恰當,可以化難為易,收到事半功倍之效。3.2微積分方法在中學數(shù)學的應用如果將整個數(shù)學比作棵大樹,那么初等數(shù)學是樹的根,名目繁多的數(shù)學分支是樹枝,而樹干的主要部分就是微積分不論是高等數(shù)學還是初等數(shù)學,其基本方法都是相通的,那么,高等數(shù)學微積分方法在中學數(shù)學中有著怎樣的應用？下面我來舉例進行說明。3.2.1微積分方法在求函數(shù)的極值、最值中的應用利用導數(shù)求函數(shù)的極大(小)值,求函數(shù)在連續(xù)區(qū)間［a,b］上的最大最小值,或利用求導法解決一些實際應用問題是函數(shù)內容的繼續(xù)與延伸,這種解決問題的方法使復雜問題變得簡單化,因而已逐漸成為新高考的又一熱點。例：已知,在時取得極值,且（1)試求常數(shù)a、b、c的值；(2)試判斷x=±1是函數(shù)的極小值還是極大值,并說明理由。解：（1）是函數(shù)的極值點是方程即的根即即又,將上面三式聯(lián)立得：（2）時,當時,∴函數(shù)f(x)在(－∞,－1)和(1,+∞)上是增函數(shù),在(－1,1)上是減函數(shù)?！喈攛=－1時,函數(shù)取得極大值f(－1)=1。當x=1時,函數(shù)取得極小值f(1)=－1。這樣,我們就很容易地解決了這個一元三次函數(shù)的極值問題.總之,微積分它作為是一種數(shù)學思想,用它解決中學數(shù)學問題有很多便捷之處。3.2.2用微積分知識直接用來處理初等數(shù)學的問題而達到簡便的目的在初等數(shù)學中有些不能或不易解決的問題，運用高等數(shù)學的理論方法可以得到圓滿的解決。例如：中學數(shù)學中證明某些恒等式時的恒等變形過程相當繁雜，稍不小心就會出錯。如果題目再復雜一些，就更困難。使用微積分的知識，可以避免繁雜的工作。例（方程根的討論）求證有兩個相異實根，并且一個根大于，令一個根小于。證法一（采用初等方法證明）證明：將方程整理得所以方程有兩個相異的實根因為所以因此證法二（采用微積分方法證明）證明：設則因為，所以在區(qū)間和內分別存在和，使由連續(xù)函數(shù)的介值性定理，在區(qū)間和內分別存在和，使這表明和是方程的兩個相異實根，不僅如此，根據(jù)這一證法，我們還可以深化和拓廣對這一方程的研究，獲得新的結論。因為所以同樣介于方程的兩根之間，我們還可以看到，方程的右端對于本題的結論來說并非是至關重要的，關鍵是方程的右端必須是一個正數(shù)。于是綜合以上兩點可以得到更為一般的結論：設，則方程必有兩個相異實根，且均介于方程的兩根之間。注：本題用初等數(shù)學的方法證明必須分為兩步：先利用判別式證明方程有兩個相異實根，再利用求根公式求出方程的兩個根，并與比較其大小，這樣做具有一定的計算量，顯得麻煩。而采用微積分的方法，可將兩步并為一步，顯得簡捷，而且還可以得到更為深層的結論。例（不等式的證明）若，求證：證明：設則在上滿足拉格朗日中值定理，故存在使即即注不等式的證明方法多種多樣，沒有統(tǒng)一的模式，初等數(shù)學常用的方法是恒等變形、數(shù)學歸納法、利用二次型、使用重要不等式等，往往有較高的技巧。利用微積分的方法證明不等式，常利用函數(shù)的增減性、微分中值定理等有關知識，它可使不等式證明的過程大大簡化，技巧性降低，但也沒有固定模式例（代數(shù)式的化簡）化簡解：把看作變量，與看作常量．令對求導得上式兩端取不定積分得令得故原式注：對于代數(shù)式的化簡，初等數(shù)學常采用的方法是把各項展開然后合并同類項，計算量比較大，比較繁瑣。利用微積分方法可使解題過程簡化。3.2.3積分在空間立體體積與表面積中的應用例：證明：底面半徑為r，高為h的圓錐體的體積為。證明：取圓錐體頂點o為坐標原點，過頂點垂直于底面的直線為x軸，過坐標原點o且垂直于x軸的直線為y軸（如圖），則圓錐體可以看作是由直線PO于x=h及x軸圍成的直角三角形繞x軸旋轉一周得到的旋轉體直線OP的方程為則所求圓錐體的體積為。例：證明：半徑為R的圓面積為證明：（一）已知圓心在坐標原點，半徑為R圓的方程是顯然，它關于坐標原點對稱，故圓的面積為圓的第一象限內的面積的4倍。故所求圖形面積為(二)圓的面積也可以看作是由上半圓與下半圓所圍成圖形的面積，于是有(三)圓的參數(shù)方程為，于是有，例：證明：橢圓的面積為。證明：（一）由于橢圓關于兩個坐標軸對稱，故橢圓面積為橢圓在第一象限內面積的4倍。由橢圓方程得，第一象限函數(shù)表達式為。于是有。（二）橢圓的面積也可以看作是由上半橢圓與下半橢圓所圍成圖形的面積，由預備知識中公式（3）得（三）橢圓參數(shù)方程為。于是有3.2.4積分在求曲線弧長中的應用例：證明：半徑為R的圓的周長為。證明：（一）已知圓心在坐標原點半徑為R的方程為由于圓關于兩個坐標軸對稱，所以只須求出第一象限內的弧長，然后4倍，即得出圓的周長S。已知圓在第一象限的方程是且于是，圓的周長為(二)半徑為R的圓的參數(shù)方程為且于是，圓的周長為（三）半徑為R的圓的極坐標方程為所以圓的周長為以上所寫的是幾類初等數(shù)學問題用高等數(shù)學的處理，可以看出初等數(shù)學作為高等數(shù)學的基礎，高等數(shù)學在初等數(shù)學中的應用是相當廣泛的，同時，扎實的初等數(shù)學基礎對學好高等數(shù)學也是非常重要的。通過這樣的應用，既可以開拓解題思路，又可以培養(yǎng)觀察問題分析問題的能力以及綜合運用知識的能力。3.3高等幾何在初等幾何的應用3.3.1仿射變換的應用在仿射幾何里，幾何圖形在任意仿射變換下都具有保持同素性、結合性和二直線的平行性及共線三點的單比、共線或平行二線段長度之比、二封閉圖形面積之比不變的仿射不變性質和仿射不變量。因而，當我們要研究初等幾何中圖形的仿射性質時，可以在已知條件下作出它的一個較易研究的仿射對應圖形，由研究圖形的相關性質轉而得出圖形的性質3.3.2射影幾何觀點在初等幾何中的應用射影幾何在初等幾何中的應用是十分廣泛的。射影幾何是研究射影性質和射影不變量的幾何。如同素性，結合性，交比等。本文就簡單介紹了仿射變換、笛沙格定理、點列中四點的交比、線束中四條直線的交比在初等幾何中的應用。仿射變換的應用在初等幾何中有大量的命題是離不開圖形仿射性質的，即只涉及圖形的仿射性質，并不涉及距離、角度等概念。對于這類命題，我們可以充分運用仿射變換的性質化繁為簡，轉難為易，達到事半功倍的效果。如果我們把要研究某個圖形的仿射性質，常根據(jù)已知條件或條件的一部分作出圖形的比較特殊、性質顯而易見的仿射等價圖形，轉而研究上的對應性質，然后根據(jù)命題的條件變換為所要研究的圖形的性質。也就是往往先在特殊的仿射等價圖形中進行研究，然后再推廣到一般圖形。如圓和橢圓仿射等價，若要研究橢圓的某個性質，可先研究所具有的某個性質（仿射性質），然后再推廣到橢圓上去在初等幾何中應用仿射變換，是由特殊到一般的研究方法的一個范例。例：平行于平行四邊形的對角線作一直線與相交于。求證：。證明：如圖1所示，設正方形經過一個仿射變換得到,即正方形圖1由于保持平行性，結合性，所以且//而在正方形中所以有因為兩三角形的面積之比是仿射不變量，則有所以笛沙格定理的應用笛沙格定理是射影幾何的理論基礎，它的應用很廣，許多定理以它為依據(jù)。定義1平面內不共線的三點與每兩點的連線所組成的圖形叫做三點形。平面內不共點的三直線與其每兩直線的交點所組成的圖形叫做三線性。笛沙格定理如果兩個三點形對應頂點連線交于一點，則對應邊的交點在同一直線上。笛沙格定理的逆定理如果兩個三點形對應邊的交點在同一直線上，則對應頂點的連線交于一點。定義2若兩個三點形的對應頂點的連線共點，且對應邊的交點共線，則兩三點形構成透視關系。對應頂點連線的交點叫做透視中心，對應邊交點所在的直線叫做透視軸。例：如圖2所示，過三角形的三個頂點，任作三條直線，分別與對邊交于且共點.求證：若,,,則三點共線。證明：在三點形和中，因為對應頂點的連線共點。有笛沙格定理知，其對應邊的交點共線，即有共線。圖2點列中四點的交比定義1共線四點的交比定義為兩個單比與的比，記為其中A，B兩點稱為基點，C，D兩點稱為分點。根據(jù)交比的定義有不相同的共線四點的交比與點的排列順序有密切的關系。定理1兩基點與分點交換，交比的值不變。即定理2只有兩基點交換或只有兩分點交換，交比的值與原來的交比值互為倒數(shù)。即定理3交換中間兩字母順序或交換兩端字母順序所得的交比值與原來交比值和為常數(shù)1，即定理4一直線上的無窮遠點分其上的任何亮點的單比等于1.定理5已知兩個不同的普通點為直線上一點，且，則推論1若共線四點為，則其中推論2若共線四點的坐標分別為，則其中互不相等。在共線四點的交比中，交比值為-1的情況十分重要，若，則稱調和分離，或稱與調和共軛。交比值-1叫做調和比。例：設為共線三點，且,求點C的坐標。解：設代入坐標可得由得所以,即點坐標為線束中四條直線的交比的應用定義1若為線束中的四條直線，則叫做的交比，其中叫基線，叫做分線。定理1若線束中的四條直線被任意一直線截于四點，則與點列交比像是，可以得到線束交比的性質，共點四直線的交比也有24個交比值，分為六類，每類中四個交比值相等。定理2若為四條不同的普通共點直線的齊次坐標，則定理3交比經中心射影后不變，即交比為射影性質。例：中的內、外角分線交于。求證：.。證明：如圖3，記直線，分別為則由定理1得所以即得證通過仿射變換、笛沙格定理、點列中四點的交比和線束中四條直線的交比在初等幾何中的應用，可以看出，射影幾何觀點在初等幾何中的應用是十分廣泛的。第四章高考試題中的微積分在解題中的應用第四章高考試題中的微積分在解題中的應用近幾年，以高等數(shù)學為背景的高考命題成為熱點.許多省市高考試卷有關導數(shù)的題目往往可以用拉格朗日中值定理解答.本文主要先歸類總結，再通過一些具體的高考試題，利用拉格朗日中值定理解答，并與參考答案的解法作比較，體現(xiàn)高觀點解題的好處。4.1拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理：若函數(shù)滿足如下條件：（i）在閉區(qū)間上連續(xù)；（ii）在開區(qū)間內可導；則在內至少存在一點，使得.1.形如：證明或成立（其中）例：（2007年高考全國卷I第20題）設函數(shù).（Ⅱ）證明：若對所有，都有，則的取值范圍是.證明：（Ⅱ）（i）當時，對任意的，都有(ii)當時，問題即轉化為對所有恒成立.令，由拉格朗日中值定理知內至少存在一點（從而），使得，即，由于，故在上是增函數(shù)，讓得，所以的取值范圍是.評注：第(2)小題提供的參考答案用的是初等數(shù)學的方法。即令，再分和兩種情況討論。其中，又要去解方程。但這有兩個缺點：首先，為什么的取值范圍要以為分界展開。其次，方程求解較為麻煩。但用拉格朗日中值定理求解就可以避開討論，省去麻煩。2.形如：證明成立例：(2OO6年四川卷理第22題)已知函數(shù)的導函數(shù)是，對任意兩個不相等的正數(shù)，證明：（１）當時，；（２）當時，。證明：（１）不妨設，即證。由拉格朗日中值定理知，存在，則且，又，.當時，.所以是一個單調遞減函數(shù)，故從而成立，因此命題獲證。（２）由得，，令則由拉格朗日中值定理得：下面只要證明：當時，任意,都有，則有，即證時，恒成立.這等價于證明的最小值大于。由于，當且僅當時取到最小值，又，故時，恒成立。所以由拉格朗日定理得：.評注：這道題用初等數(shù)學的方法證明較為冗長，而且技巧性較強。因而思路較為突兀，大多數(shù)考生往往難以想到。相比之下，用拉格朗日中值定理證明，思路較為自然、流暢。體現(xiàn)了高觀點解題的優(yōu)越性，說明了學習高等數(shù)學的重要性。3.形如：證明或成立例：（2008年全國卷Ⅱ22題）設函數(shù)。（Ⅱ）如果對任何，都有，求的取值范圍。證明：（Ⅱ）當時，顯然對任何，都有；當時，由拉格朗日中值定理，知存在，使得?？芍?，從而.令得，；令得，.所以在上，的最大值在上，的最大值.從而函數(shù)在上的最大值是.由知，當時，的最大值為.所以，的最大值.為了使恒成立，應有.所以的取值范圍是。評注：這道題的參考答案的解法是令,再去證明函數(shù)的最小值.這與上述的思路是一樣的.但首先參考答案的解法中有個參數(shù),要對參數(shù)進行分類討論;其次為了判斷的單調性,還要求和的解,這個求解涉及到反余弦,較為復雜.而用拉格朗日中值定理就可以避開麻煩，省去討論，再次體現(xiàn)了高觀點解題的優(yōu)越性4.形如：證明成立，（其中）例：（2007年安徽卷18題）設（Ⅱ）求證：當時，恒有.證明：（Ⅱ）即證，由于，則.由拉格朗日中值定理得，存在，使得.可知，所以.令得，.令得，.故在上最小值.所以.從而.又，則成立，從而當時，成立.評注：這道題的參考答案是用（Ⅰ）中在內的極小值得到.又，所以。從而在上單調遞增,故的最小值，所以。但是如果沒有（Ⅰ），很難想到利用來判斷的單調性。而用拉格朗日中值定理證明，就不存在這個問題。拉格朗日中值定理是數(shù)學分析的一個重要定理。是解決函數(shù)在某一點的導數(shù)的重要工具。近年來，不少高考壓軸題以導數(shù)命題，往往可以用拉格朗日中值定理求解。固然，這些壓軸題用初等數(shù)學的方法也可以求解。但初等數(shù)學的方法往往計算量