四年級(jí)數(shù)學(xué)奧數(shù)培優(yōu)講義-專題12商的變化規(guī)律的實(shí)際應(yīng)用（含解析）

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在除法中，若除數(shù)不變，被除數(shù)乘（或除以）幾，商也乘（或除以）兒；若被除數(shù)不變，除數(shù)來(lái)（或除以）幾，商反而除以（或乘）幾；被除數(shù)和除數(shù)同時(shí)乘或除以相同的數(shù)（0除外），商不變。這些都是商的變化規(guī)律，運(yùn)用商的變化規(guī)律可以判斷商的變化情況，也可以運(yùn)用商不變的性質(zhì)使一些除法計(jì)算簡(jiǎn)便。

1．小明說(shuō)：“根據(jù)商不變性質(zhì)，因?yàn)?3÷2＝6……1，所以130÷20＝6……1”。你同意小明的說(shuō)法嗎？請(qǐng)寫出你的理由。

2．解釋說(shuō)明商不變的規(guī)律。

（1）根據(jù)64÷32＝2，寫出一組商為2的除法算式（至少寫3道）。

（2）根據(jù)你寫的算式，說(shuō)說(shuō)它們的商為什么都是一樣的？

3．計(jì)算980÷50時(shí)，李林是這樣做的：

（1）他這樣做的依據(jù)是什么？

（2）請(qǐng)你幫李林驗(yàn)算下，他的答案是否正確？如果不正確，幫他改正一下。

4．一個(gè)分?jǐn)?shù)的分母不變，分子乘5，這個(gè)分?jǐn)?shù)的大小有什么變化？如果分子不變，分母除以3呢？

5．我國(guó)是一個(gè)缺水的國(guó)家，人均淡水資源量約是2300立方米，世界人均淡水資源量約是9200立方米。世界人均淡水資源量約是我國(guó)人均淡水資源量的多少倍？

6．小紅算完這個(gè)題組后，有了如下想法，她的想法對(duì)嗎？寫出你的理由。

7．小馬虎在計(jì)算一個(gè)數(shù)除以6.85時(shí)，忘記寫除數(shù)的小數(shù)點(diǎn)，結(jié)果得到的商是0.096，寫出這個(gè)除法算式，并算一算正確的商是多少？

8．根據(jù)聰聰和明明的想法，完成“270÷45”的簡(jiǎn)便計(jì)算。

270÷45270÷45

9．下面是小強(qiáng)計(jì)算400÷25的過(guò)程：

400÷25＝（400×4）÷（25×4）＝1600÷100＝16

請(qǐng)你解釋這樣計(jì)算的理由。

10．計(jì)算下面三組題，計(jì)算后觀察，你發(fā)現(xiàn)了什么？

540÷27＝144÷16＝180÷36＝

540÷9÷3＝144÷2÷8＝180÷6÷6＝

（1）請(qǐng)你用自己的語(yǔ)言描述你的發(fā)現(xiàn)。

（2）請(qǐng)你再寫出一組算式驗(yàn)證你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律。

11．一輛汽車每小時(shí)行50千米，行200千米需要多少小時(shí)？行400千米、600千米、800千米呢？把下面的表格填寫完整。

行駛的路程/千米200400600800

行駛的時(shí)間/時(shí)

你有什么發(fā)現(xiàn)？把你的發(fā)現(xiàn)寫在下面。

12．皮皮的外婆家養(yǎng)了很多豬。外婆問(wèn)：“開始咱家養(yǎng)了6頭豬，一個(gè)月吃了540千克飼料。如今，咱家養(yǎng)了18頭豬，每個(gè)月大約要吃掉多少千克飼料？”你能想出幾種做法。

13．王叔叔帶900元買了25箱果汁，平均每箱果汁多少元？如果果汁的價(jià)錢降到原來(lái)的一半，王叔叔可以買多少箱？

14．我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了積的變化規(guī)律。想一想：有沒(méi)有商的變化規(guī)律、和的變化規(guī)律、差的變化規(guī)律呢？請(qǐng)你選擇其中的一個(gè)，先提出猜想，再進(jìn)行驗(yàn)證。

我的猜想：

我的驗(yàn)證：

我的結(jié)論：

15．在計(jì)算275÷25時(shí)，小通是這樣做的：

275÷25

（1）你能解釋小通這樣做的道理嗎？請(qǐng)寫一寫。

（2）請(qǐng)你再舉一個(gè)例子，說(shuō)明這個(gè)道理是成立的。

16．學(xué)校要買25個(gè)籃球，每個(gè)102元。李老師帶了3000元錢，夠嗎？同學(xué)們用不同的方法解決了這道題，誰(shuí)的解答方法是不正確的？請(qǐng)說(shuō)明錯(cuò)誤的理由。

奇思：300010230↓10030＞25答：李老師的錢夠。淘氣：300025＝（30004）（254）＝12000100＝120（元）120＞102答：李老師的錢夠。妙想：25102＝251002＝25002＝5000（元）3000＜5000答：李老師的錢不夠。

17．兩數(shù)相除，得到的商是3，余數(shù)為20，如果被除數(shù)和除數(shù)同時(shí)擴(kuò)大8倍，商是多少？余數(shù)是多少？你能從中發(fā)現(xiàn)什么？

18．善于觀察分析，尋找規(guī)律，并根據(jù)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)加以分析驗(yàn)證。這是一個(gè)非常好的學(xué)習(xí)方法。下面是淘氣計(jì)算400÷25的過(guò)程，觀察思考。

400÷25＝（400×4）÷（25×4）＝1600÷100＝16

①淘氣是怎樣算的？

②他這樣算的目的是什么？

③這樣算，正確嗎？為什么？

④你能利用這樣的思想方法計(jì)算下面各題嗎？

6000÷125＝

2700÷15＝

19．小剛在計(jì)算一道除法題時(shí)，把除數(shù)15錯(cuò)看成了45，結(jié)果得到的商是24。

20．在探究0.4÷0.08如何計(jì)算時(shí)，兩位同學(xué)分別想出了下面方法。

你認(rèn)為（）的方法不合理，把原因?qū)懺谙旅妗?/p>

21．本學(xué)期我們學(xué)習(xí)了“商的變化規(guī)律”，積累了探索規(guī)律的經(jīng)驗(yàn)。如果被除數(shù)乘一個(gè)數(shù)，除數(shù)同時(shí)除以相同的數(shù)（0除外），則商會(huì)怎樣變化？請(qǐng)你探索規(guī)律，并完成下面的問(wèn)題。

如果：被除數(shù)÷除數(shù)＝100

那么：（被除數(shù)×2）÷（除數(shù)÷2）＝（）

舉例：

我發(fā)現(xiàn)：

22．（1）計(jì)算下面兩組題目的得數(shù)。

（2）你有什么發(fā)現(xiàn)？用語(yǔ)言或數(shù)學(xué)符號(hào)概括你發(fā)現(xiàn)的結(jié)論。

（3）試著從數(shù)學(xué)的角度分析這個(gè)結(jié)論背后的原因。

23．（1）計(jì)算時(shí)，四年級(jí)的張博同學(xué)想用商不變的規(guī)律計(jì)算，請(qǐng)你幫他把計(jì)算過(guò)程補(bǔ)充完整：＝÷（）＝（）。

（2）趙鵬也利用商不變的規(guī)律計(jì)算下面這道題：

＝＝＝

你認(rèn)為趙鵬這樣做的結(jié)果對(duì)嗎？請(qǐng)說(shuō)明道理。

24．說(shuō)理題。

根據(jù)商不變規(guī)律，計(jì)算940÷40時(shí)可以想成94÷4。下面是小紅的計(jì)算過(guò)程，你認(rèn)為小紅說(shuō)得對(duì)嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由。

25．王麗在計(jì)算1.8除以一個(gè)兩位小數(shù)時(shí)，發(fā)現(xiàn)：如果被除數(shù)不變，僅把除數(shù)當(dāng)成整數(shù)來(lái)算，結(jié)果是0.024，這個(gè)兩位小數(shù)是多少？

26．本學(xué)期我們通過(guò)觀察、猜想、驗(yàn)證探究了商不變的規(guī)律。

（1）小林是一個(gè)愛(ài)思考的學(xué)生，他想：“既然除法有商不變的規(guī)律，那么減法會(huì)有類似的規(guī)律嗎？”請(qǐng)觀察下面這組算式：

20－10＝1025－15＝1030－20＝10

我發(fā)現(xiàn)：（）。

（2）請(qǐng)你舉例驗(yàn)證這個(gè)規(guī)律是否正確。（至少寫出三個(gè)算式）

答：通過(guò)探究，我認(rèn)為這個(gè)規(guī)律是（）的。（填正確或不正確）

27．根據(jù)第一行題的商快速寫出下面兩行題的商，再回答問(wèn)題。

28÷7＝481÷9＝9

280÷70＝810÷90＝

2800÷700＝8100÷900＝

（1）被除數(shù)擴(kuò)大10倍，要使商不變，除數(shù)應(yīng)該（）。

（2）如果把除數(shù)擴(kuò)大8倍，要使商不變，被除數(shù)應(yīng)該（）。

28．200÷50的商是多少？如果被除數(shù)和除數(shù)同時(shí)擴(kuò)大到原來(lái)的10倍，商是多少？如果被除數(shù)和除數(shù)同時(shí)縮小到原來(lái)的呢？

29．觀察發(fā)現(xiàn)：

你發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律：

。

30．已知A4紙每包約厚5厘米，可知規(guī)格是500張/包。算一算1億張這樣的A4紙摞起來(lái)大約有多厚？

31．有兩捆同樣規(guī)格的鐵絲，其中一捆鐵絲長(zhǎng)5米，重250克。另一捆鐵絲重1000克，這捆鐵絲長(zhǎng)多少米？

32．列豎式計(jì)算。

亮亮的想法：

在亮亮的算法中，橫線上的這一步的依據(jù)是（），你的豎式算式和亮亮的算式的共同點(diǎn)是先把除數(shù)（），再計(jì)算。

33．除數(shù)是20，增加100以后，要使商不變，被除數(shù)應(yīng)該要擴(kuò)大多少倍？

34．佳佳在計(jì)算時(shí)，采用了下面的簡(jiǎn)便方法。他的做法對(duì)嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由。

35．兩個(gè)數(shù)相除，商是8，余數(shù)是5，如果被除數(shù)擴(kuò)大到原來(lái)的3倍，除數(shù)也擴(kuò)大到原來(lái)的3倍，那么商是多少？余數(shù)是多少？余數(shù)是原來(lái)的多少倍？（請(qǐng)舉例說(shuō)明）

36．兩個(gè)數(shù)相除的商是15，如果被除數(shù)乘5，除數(shù)除以2，那么現(xiàn)在的商是多少？

37．小馬虎在計(jì)算一道除法題時(shí)，把被除數(shù)25.6寫成了256，結(jié)果比正確的商多1.8，正確的商是多少？

38．下面是妙妙計(jì)算的過(guò)程，觀察計(jì)算的每一步，你受到什么啟發(fā)？

你能用這個(gè)方法計(jì)算下面各題嗎？

39．紅紅和亮亮誰(shuí)說(shuō)得對(duì)？你能驗(yàn)證一下并說(shuō)明理由嗎？

40．一個(gè)數(shù)除以500，利用商不變的規(guī)律，被除數(shù)和除數(shù)的末尾同時(shí)去掉兩個(gè)0，這時(shí)商不變，還是5，但余數(shù)減少了99。原來(lái)的被除數(shù)和余數(shù)分別是多少？

41．根據(jù)商不變性質(zhì)可知“9700÷300＝97÷3”，又因?yàn)椤?7÷3＝32……1”所以聰聰認(rèn)為“9700÷300＝32……1”。你認(rèn)同聰聰?shù)挠^點(diǎn)嗎？請(qǐng)?jiān)谙旅娼忉屇愕木唧w想法。

42．探索與發(fā)現(xiàn)。奇思想既然乘法有分配律，是不是除法也有分配律呢？讓我們一起來(lái)探索吧。

①（A＋B）÷C與A÷C＋B÷C相等嗎，請(qǐng)舉個(gè)例子試試。

②生活中的例子：五（1）班有男生20人，女生24人，乘船游西湖，每條船乘坐4人，一共需要多少條船？（用兩種方法計(jì)算，驗(yàn)證是否相等）

③如果調(diào)換位置后，C÷（A＋B）與C÷A＋C÷B還相等嗎？請(qǐng)舉例驗(yàn)證。

43．在計(jì)算“120÷15”時(shí)，為使計(jì)算簡(jiǎn)便，小英同學(xué)是這樣做的：

（1）小英這樣做對(duì)嗎？為什么？

（2）如果用簡(jiǎn)便方法計(jì)算“210÷42”，你打算怎樣計(jì)算？請(qǐng)你把計(jì)算過(guò)程寫出來(lái)。

44．如圖是小明計(jì)算820÷50時(shí)的過(guò)程與結(jié)果。他做得對(duì)嗎？為什么？請(qǐng)說(shuō)明你的理由。

1．不同意，理由見詳解

【分析】根據(jù)商不變性質(zhì)可知，被除數(shù)和除數(shù)同時(shí)乘10，商不變，仍是6，余數(shù)要乘10，不是1，而是10?？梢愿鶕?jù)被除數(shù)＝除數(shù)×商＋余數(shù)驗(yàn)證小明的說(shuō)法是否正確。

【詳解】20×6＋1

＝120＋1

＝121

20×6＋10

＝120＋10

＝120

則我不同意小明的說(shuō)法，因?yàn)楸怀龜?shù)和除數(shù)同時(shí)乘10，商不變，余數(shù)也要乘10，正確計(jì)算應(yīng)是：130÷20＝6……10。

【分析】本題考查商不變的性質(zhì)：被除數(shù)和除數(shù)同時(shí)擴(kuò)大相同倍數(shù)，商不變，余數(shù)也同時(shí)擴(kuò)大相同倍數(shù)。

2．見詳解

【分析】被除數(shù)和除數(shù)同時(shí)乘或除以一個(gè)相同的數(shù)（0除外），商不變。根據(jù)商的變化規(guī)律可解此題。

【詳解】（1）64÷32＝2，被除數(shù)，除數(shù)同時(shí)除以2，商不變：32÷16＝2

64÷32＝2，被除數(shù)，除數(shù)同時(shí)除以4，商不變：16÷8＝2

64÷32＝2，被除數(shù)，除數(shù)同時(shí)乘2，商不變：128÷64＝2（答案不唯一）

（2）根據(jù)商不變性質(zhì)可得，被除數(shù)和除數(shù)同時(shí)乘或除以一個(gè)相同的數(shù)（0除外），商不變。

【分析】商的變化規(guī)律

（1）被除數(shù)和除數(shù)同時(shí)乘或除以相同的數(shù)（0除外），商不變。

（2）除數(shù)不變，被除數(shù)乘或除以一個(gè)數(shù)（0除外），商就乘或除以這個(gè)數(shù)。

（2）被除數(shù)不變，除數(shù)乘或除以一個(gè)數(shù)（0除外），商反而除以或乘這個(gè)數(shù)。

3．（1）見詳解過(guò)程

（2）不正確；

改正如下：

【分析】（1）根據(jù)商不變的性質(zhì)，在除法算式中，被除數(shù)、除數(shù)同時(shí)乘或除以幾（0除外），商不變，所以980÷50可以看作98÷5，這樣被除數(shù)和除數(shù)同時(shí)除以10，商不變，運(yùn)用的是商不變的性質(zhì)；

（2）在有余數(shù)除法中，當(dāng)被除數(shù)、除數(shù)同時(shí)乘或除以幾（0除外），商不變，但余數(shù)也隨之乘或除以幾（0除外），商×除數(shù)＋余數(shù)＝被除數(shù)，由此判斷改正即可。

【詳解】（1）依據(jù)是：980÷50可以看作98÷5，這樣被除數(shù)和除數(shù)同時(shí)除以10，商不變，運(yùn)用的是商不變的性質(zhì)。

（2）19×50＋3

＝950＋3

＝953

所以他的答案不正確。

改正如下：

【分析】本題主要考查商不變的規(guī)律在有余數(shù)的除法算式中的靈活應(yīng)用。注意余數(shù)的變化。

4．見詳解

【分析】分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系：分子相當(dāng)于被除數(shù)，分母相當(dāng)于除數(shù)，分?jǐn)?shù)線相當(dāng)于除號(hào)。

商的變化規(guī)律：除數(shù)不變，被除數(shù)乘幾，商就乘幾；被除數(shù)除以幾，商就除以幾；

被除數(shù)不變，除數(shù)乘幾，商反而除以幾；除數(shù)除以幾，商反而乘幾。

【詳解】（1）一個(gè)分?jǐn)?shù)的分母不變，分子乘5，相當(dāng)于除數(shù)不變，被除數(shù)乘5；

根據(jù)商的變化規(guī)律可知，商要乘5，即這個(gè)分?jǐn)?shù)擴(kuò)大到原來(lái)的5倍。

（2）如果分子不變，分母除以3，相當(dāng)于被除數(shù)不變，除數(shù)除以3；

根據(jù)商的變化規(guī)律可知，商要乘3，即這個(gè)分?jǐn)?shù)擴(kuò)大到原來(lái)的3倍。

答：一個(gè)分?jǐn)?shù)的分母不變，分子乘5，這個(gè)分?jǐn)?shù)擴(kuò)大到原來(lái)的5倍；如果分子不變，分母除以3，這個(gè)分?jǐn)?shù)擴(kuò)大到原來(lái)的3倍。

【分析】根據(jù)分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系以及商的變化規(guī)律，得出分子或分母變化，分?jǐn)?shù)大小相應(yīng)的變化。

5．4倍

【分析】求一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的幾倍，用除法計(jì)算。據(jù)此可知，要求世界人均淡水資源量約是我國(guó)人均淡水資源量的多少倍，用世界人均淡水資源量除以我國(guó)人均淡水資源量，再根據(jù)商的變化規(guī)律解答即可。

【詳解】9200÷2300

＝（9200÷100）÷（2300÷100）

＝92÷23

＝4

答：世界人均淡水資源量約是我國(guó)人均淡水資源量的4倍。

【分析】商的變化規(guī)律：被除數(shù)和除數(shù)同時(shí)擴(kuò)大（或縮?。┫嗤稊?shù)，商不變。

6．不對(duì)；理由見詳解

【分析】計(jì)算700÷40時(shí)，被除數(shù)和除數(shù)末尾同時(shí)劃掉1個(gè)0，商不變，所得余數(shù)末尾添上1個(gè)0后得到實(shí)際的余數(shù)?？梢愿鶕?jù)除法的驗(yàn)算方法判斷小紅想法是否正確，也可以根據(jù)兩個(gè)算式的余數(shù)表示的意義判斷，還可以根據(jù)商的變化規(guī)律進(jìn)行判斷。

【詳解】她的想法不對(duì)。

理由：第一，我通過(guò)驗(yàn)算發(fā)現(xiàn)這樣的想法不對(duì)。70÷4＝17……2，17×4＋2＝70，計(jì)算正確。17×40＋2＝682，則700÷40的結(jié)果不是17……2。17×40＋20＝700，700÷40的結(jié)果是17……20。

第二，70÷4的余數(shù)表示2個(gè)一，700÷40的余數(shù)表示2個(gè)十，二者只有商相同，余數(shù)是不同的；

第三，根據(jù)商的變化規(guī)律：被除數(shù)和除數(shù)同時(shí)乘或除以一個(gè)相同的數(shù)（0除外），只是商不變，余數(shù)會(huì)變。則70÷4與700÷40的商相同，余數(shù)不同。

【分析】本題考查被除數(shù)和除數(shù)末尾有0的除法計(jì)算，計(jì)算時(shí)，被除數(shù)和除數(shù)末尾同時(shí)劃掉幾個(gè)0后，商不變，應(yīng)在所得余數(shù)末尾添上相同個(gè)數(shù)的0，即可得到實(shí)際的余數(shù)。

7．9.6

【分析】商的變化規(guī)律：被除數(shù)不變，除數(shù)擴(kuò)大多少倍，商反而縮小多少倍；6.85的小數(shù)點(diǎn)沒(méi)點(diǎn)，是擴(kuò)大了100倍，此時(shí)的商相當(dāng)于除以了100，所以原來(lái)的商應(yīng)該是0.096×100。

【詳解】0.096×（685÷6.85）

＝0.096×100

＝9.6

答：正確的商是9.6。

【分析】本題考查小數(shù)除法、商的變化規(guī)律，解答本題的關(guān)鍵是掌握商的變化規(guī)律。

8．見詳解

【分析】根據(jù)商的變化規(guī)律可知，聰聰?shù)南敕ㄊ潜怀龜?shù)和除數(shù)同時(shí)除以一個(gè)相同的數(shù)，則被除數(shù)和除數(shù)可以同時(shí)除以9，被除數(shù)變?yōu)?0，除數(shù)變?yōu)?，再進(jìn)行計(jì)算。明明的想法是被除數(shù)和除數(shù)同時(shí)乘一個(gè)相同的數(shù)，則被除數(shù)和除數(shù)可以同時(shí)乘2，被除數(shù)變?yōu)?40，除數(shù)變?yōu)?0，再進(jìn)行計(jì)算。

【詳解】270÷45＝（270÷9）÷（45÷9）＝30÷5＝6

270÷45＝（270×2）÷（45×2）＝540÷90＝6

【分析】商的變化規(guī)律：被除數(shù)和除數(shù)同時(shí)乘或除以一個(gè)不為0的數(shù)，商不變。

9．見詳解

【分析】被除數(shù)和除數(shù)同時(shí)乘或除以相同的不為0的數(shù)，商不變；據(jù)此可知，400÷25＝（400×4）÷（25×4）＝1600÷100＝16，小強(qiáng)在計(jì)算的過(guò)程中正確的應(yīng)用了商的變化規(guī)律。

【詳解】400÷25

＝（400×4）÷（25×4）

＝1600÷100

＝16

根據(jù)“被除數(shù)和除數(shù)同時(shí)乘或除以相同的不為0的數(shù)，商不變”可知，小強(qiáng)這樣計(jì)算應(yīng)用了商不變的性質(zhì)，使計(jì)算簡(jiǎn)便。

【分析】正確理解商的變化規(guī)律，是解答此題的關(guān)鍵。

10．20；9；5

20；9；5

（1）被除數(shù)除以除數(shù)，當(dāng)除數(shù)可以寫成兩個(gè)數(shù)相乘的形式時(shí)，可以用被除數(shù)連續(xù)除以這兩個(gè)數(shù)，商不變。

（2）360÷12＝30

360÷2÷6＝180÷6＝30

【分析】先根據(jù)整數(shù)除法計(jì)算出結(jié)果，再觀察規(guī)律。

（1）觀察上下兩個(gè)算式，發(fā)現(xiàn)被除數(shù)相同，除數(shù)27＝9×3；16＝2×8；36＝6×6，商也相同，由此得出規(guī)律。

（2）按規(guī)律寫出算式即可。（答案不唯一）

【詳解】540÷27＝20144÷16＝9180÷36＝5

540÷9÷3＝60÷3＝20144÷2÷8＝72÷8＝9180÷6÷6＝30÷6＝5

（1）被除數(shù)除以除數(shù)，當(dāng)除數(shù)可以寫成兩個(gè)數(shù)相乘的形式時(shí)，可以用被除數(shù)連續(xù)除以這兩個(gè)數(shù)，商不變。

（2）360÷12＝30

360÷2÷6＝180÷6＝30

【分析】一個(gè)數(shù)連續(xù)除以兩個(gè)數(shù)，可以除以這兩個(gè)數(shù)的積。

11．4；8；12；16

我的發(fā)現(xiàn)：除數(shù)不變，被除數(shù)擴(kuò)大幾倍，商就擴(kuò)大幾倍。

【分析】時(shí)間＝路程÷速度，據(jù)此分別求出所需時(shí)間，填入表中即可；規(guī)律就是：除數(shù)不變，被除數(shù)擴(kuò)大幾倍，商就擴(kuò)大幾倍。

【詳解】200÷50＝4（小時(shí)），400÷50＝8（小時(shí)），600÷50＝12（小時(shí)），800÷50＝16（小時(shí)）。填入表中如下：

行駛的路程/千米200400600800

行駛的時(shí)間/時(shí)481216

我的發(fā)現(xiàn)：除數(shù)不變，被除數(shù)擴(kuò)大幾倍，商就擴(kuò)大幾倍。

【分析】此題考查商的變化規(guī)律，以及速度、時(shí)間、路程的關(guān)系及應(yīng)用。

12．1620千克

【分析】第一種方法，先求出每頭豬一個(gè)月吃飼料的重量為540÷6千克，再用每頭豬一個(gè)月吃飼料的重量乘豬的數(shù)量解答，即18頭豬每個(gè)月大約要吃掉540÷6×18千克飼料。

第二種方法，一個(gè)月吃飼料的總重量÷豬的數(shù)量＝每頭豬一個(gè)月吃飼料的重量，因?yàn)槊款^豬一個(gè)月吃飼料的重量是不變的，根據(jù)商的變化規(guī)律可知，豬的數(shù)量從6頭變成18頭，18÷6＝3，除數(shù)擴(kuò)大了3倍，要使商不變，則被除數(shù)也擴(kuò)大3倍，即18頭豬一個(gè)月吃飼料的總重量變成540×3千克。

【詳解】（1）540÷6×18

＝90×18

＝1620（千克）

（2）540×（18÷6）

＝540×3

＝1620（千克）

答：18頭豬每個(gè)月大約要吃掉1620千克飼料。

【分析】第一種方法考查的歸一問(wèn)題，先求單一量，再求總量；第二種方法考查商的變化規(guī)律：被除數(shù)和除數(shù)同時(shí)擴(kuò)大（或縮?。┫嗤稊?shù)，商不變。

13．36元；50箱

【分析】用王叔叔帶的錢除以箱數(shù)等于每箱果汁的價(jià)錢；總價(jià)不變，單價(jià)降到原來(lái)的一半，根據(jù)商的變化規(guī)律，箱數(shù)要乘2。

【詳解】900÷25＝36（元）

25×2＝50（箱）

答：平均每箱果汁36元，如果果汁的價(jià)錢降到原來(lái)的一半，王叔叔可以買50箱。

【分析】熟練掌握總價(jià)、單價(jià)和數(shù)量及商的變化規(guī)律是解答本題的關(guān)鍵。

14．見詳解

【分析】可以選擇其中一個(gè)，先寫出規(guī)律，再用算式進(jìn)行驗(yàn)證。

【詳解】我的猜想：商的變化規(guī)律是，除數(shù)不變，被除數(shù)乘（或除）幾，商就乘（或除以）幾；被除數(shù)不變，除數(shù)乘（或除以）幾，商就除以（或乘）幾；被除數(shù)和除數(shù)同時(shí)乘（或除以）幾，商不變。

我的驗(yàn)證：320÷16＝20

除數(shù)不變，被除數(shù)乘（或除）幾，商就乘（或除以）幾，640÷16＝40，160÷16＝10；

被除數(shù)不變，除數(shù)乘（或除以）幾，商就除以（或乘）幾，320÷32＝10，320÷8＝40；

被除數(shù)和除數(shù)同時(shí)乘（或除以）幾，商不變，640÷32＝20，160÷8＝20；

我的結(jié)論：猜想正確。

【分析】本題主要考查學(xué)生對(duì)商的變化規(guī)律、和的變化規(guī)律、差的變化規(guī)律的掌握，選取其中一個(gè)規(guī)律進(jìn)行猜想和驗(yàn)證是解決本題的關(guān)鍵。

15．（1）被除數(shù)和除數(shù)同時(shí)乘或除以同一個(gè)數(shù)（0除外），商不變。

（2）見詳解

【分析】（1）商不變的規(guī)律：被除數(shù)和除數(shù)同時(shí)乘或除以同一個(gè)數(shù)（0除外），商不變；

（2）按照商不變的規(guī)律寫出算式即可。

【詳解】（1）小通運(yùn)用了除法中商不變的規(guī)律，將被除數(shù)和除數(shù)同時(shí)乘4，這樣將被除數(shù)變成幾千幾百數(shù)，除數(shù)變成整百數(shù)，商不變，計(jì)算更加方便。

（2）用豎式計(jì)算210÷42，如下：

210÷42

＝（210÷7）÷（42÷7）

＝30÷6

＝5

所以商不變的規(guī)律是成立的。

（答案不唯一）

【分析】熟練掌握商不變的規(guī)律是解答此題的關(guān)鍵。

16．妙想；因?yàn)樗麤](méi)有掌握乘法分配律的特點(diǎn)，脫式計(jì)算的第一步計(jì)算錯(cuò)誤了。

【分析】單價(jià)×數(shù)量＝總價(jià)，總價(jià)÷單價(jià)＝數(shù)量，總價(jià)÷數(shù)量＝單價(jià)，此題中數(shù)量為25個(gè)，單價(jià)是102元，總價(jià)是3000元，依此計(jì)算并解答即可。

【詳解】奇思是根據(jù)“總價(jià)÷單價(jià)＝數(shù)量”計(jì)算的：

102≈100

3000÷100＝30

即3000÷102≈30

30個(gè)＞25個(gè)，夠，因此奇思的解答方法是正確的；

淘氣是根據(jù)“總價(jià)÷數(shù)量＝單價(jià)”計(jì)算的：

3000÷25

＝（3000×4）÷（25×4）

＝12000÷100

＝120（元）

120元＞102元，夠，因此淘氣的解答方法是正確的；

妙想是根據(jù)“單價(jià)×數(shù)量＝總價(jià)”計(jì)算的：

25×102

＝25×（100＋2）

＝25×100＋25×2

＝2500＋50

＝2550（元）

2550元＜3000元，夠，因此妙想的解答方法是不正確的；

答：妙想的解答方法是不正確的；因?yàn)樗麤](méi)有掌握乘法分配律的特點(diǎn)，脫式計(jì)算的第一步計(jì)算錯(cuò)誤了。

【分析】此題考查的是經(jīng)濟(jì)問(wèn)題的計(jì)算，應(yīng)熟練掌握乘法分配律的特點(diǎn)，商的變化規(guī)律，以及總價(jià)、單價(jià)、數(shù)量之間的關(guān)系。

17．3；160；商不變，余數(shù)與被除數(shù)、除數(shù)擴(kuò)大的倍數(shù)相同

【解析】略

18．①淘氣是根據(jù)商不變的規(guī)律進(jìn)行計(jì)算；

（2）為了簡(jiǎn)便計(jì)算；

（3）正確，因?yàn)楸怀龜?shù)和除數(shù)同時(shí)乘或除以相同的數(shù)（0除外），商不變；

（4）48；180

【分析】（1）淘氣根據(jù)商不變的規(guī)律，先算小括號(hào)里的，再算小括號(hào)外的；

（2）他這樣算的目的是為了簡(jiǎn)便計(jì)算；

（3）這樣算正確，因?yàn)楦鶕?jù)商不變的規(guī)律：被除數(shù)和除數(shù)同時(shí)乘或除以相同的數(shù)（0除外），商不變；

（4）根據(jù)商不變的規(guī)律，6000÷125被除數(shù)和除數(shù)同時(shí)乘8，2700÷15被除數(shù)和除數(shù)同時(shí)除以3，即可解答。

【詳解】①淘氣是根據(jù)商不變的規(guī)律進(jìn)行計(jì)算；

（2）為了簡(jiǎn)便計(jì)算；

（3）正確，因?yàn)楸怀龜?shù)和除數(shù)同時(shí)乘或除以相同的數(shù)（0除外），商不變；

（4）6000÷125＝（6000×8）÷（125×8）＝48000÷1000＝48

2700÷15＝（2700÷3）÷（15÷3）＝900÷5＝180

【分析】本題主要考查商不變規(guī)律的靈活應(yīng)用，牢記規(guī)律，結(jié)合算式的特點(diǎn)，能正確進(jìn)行解答。

19．72

【分析】由題意可知，把除數(shù)15錯(cuò)看成了45，被除數(shù)不變，所以先用得到的商乘上除數(shù)45，求出被除數(shù)，再用被除數(shù)除以除數(shù)15即可。

【詳解】45×24÷15

＝1080÷15

＝72

答：正確的商是72。

【分析】本題關(guān)鍵是理解題意，求出不變的被除數(shù)，再用被除數(shù)除以正確的除數(shù)即可。

20．亮亮，原因見詳解

【分析】剛剛的方法是把0.4和0.08都看成以米為單位的數(shù)據(jù)，根據(jù)長(zhǎng)度單位之間的換算，把單位米換算成厘米，小數(shù)轉(zhuǎn)化為整數(shù)，按照整數(shù)的除法進(jìn)行計(jì)算，方法正確；亮亮如果想要把被除數(shù)和除數(shù)同時(shí)轉(zhuǎn)化為整數(shù)進(jìn)行計(jì)算，根據(jù)商不變的性質(zhì)，被除數(shù)和除數(shù)需要同時(shí)乘100，才能保證結(jié)果正確，據(jù)此答題即可。

【詳解】由分析可知，亮亮的方法不合理，原因如下：

根據(jù)商不變的性質(zhì)，被除數(shù)和除數(shù)需要同時(shí)乘100，正確的解法為：

0.4÷0.08

＝（0.4×100）÷（0.08×100）

＝40÷8

＝5

【分析】掌握小數(shù)除法的計(jì)算方法是解題的關(guān)鍵。

21．400；舉例和發(fā)現(xiàn)均見詳解；（舉例答案不唯一）

【分析】在商不為0的除法算式里，如果被除數(shù)乘一個(gè)數(shù)，除數(shù)同時(shí)除以相同的數(shù)（0除外），則商就乘這兩個(gè)相同數(shù)的積，依此解答。

【詳解】2×2＝4，100×4＝400，

（被除數(shù)×2）÷（除數(shù)÷2）＝400

舉例：400÷4＝100

（400×2）÷（4÷2）＝800÷2＝400

我發(fā)現(xiàn)：在商不為0的除法算式里，被除數(shù)乘一個(gè)數(shù)，除數(shù)同時(shí)除以相同的數(shù)（0除外），則商要乘這兩個(gè)相同數(shù)的積。

【分析】熟練掌握商的變化規(guī)律是解答此題的關(guān)鍵。

22．（1）見詳解

（2）見詳解

（3）見詳解

【分析】（1）按照小數(shù)乘法、除法的計(jì)算法則，計(jì)算出各算式的得數(shù)。

（2）觀察左邊的乘法算式，發(fā)現(xiàn)其中一個(gè)因數(shù)不變；觀察右邊的除法算式，發(fā)現(xiàn)被除數(shù)不變；結(jié)合計(jì)算結(jié)果以及各算式的特點(diǎn)，找出題中的規(guī)律，從而概括出發(fā)現(xiàn)的結(jié)論。

（3）根據(jù)積的變化規(guī)律、商的變化規(guī)律來(lái)解釋。

【詳解】（1）

（2）因數(shù)2.5不變，另一個(gè)因數(shù)越大，積就越大；另一個(gè)因數(shù)越小，積就越小。

被除數(shù)15.2不變，除數(shù)越大，商越??；除數(shù)越小，商反而越大。

（3）兩數(shù)相乘，如果一個(gè)因數(shù)不變，另一個(gè)因數(shù)擴(kuò)大到原來(lái)的幾倍，積也擴(kuò)大到原來(lái)的幾倍；另一個(gè)因數(shù)縮小到原來(lái)的幾分之一，積也縮小到原來(lái)的幾分之一。

兩數(shù)相除，被除數(shù)一定時(shí)，除數(shù)越大，商就越??；除數(shù)縮小到原來(lái)的幾分之一，商反而擴(kuò)大到原來(lái)的幾倍。

【分析】通過(guò)計(jì)算，發(fā)現(xiàn)積的變化規(guī)律、商的變化規(guī)律，并總結(jié)規(guī)律是解題的關(guān)鍵。

23．（1），28；

（2）趙鵬這樣做的結(jié)果不對(duì)，因?yàn)樵谟杏鄶?shù)的除法里，被除數(shù)和除數(shù)都乘相同的數(shù)或都除以相同的數(shù)（0除外），商不變，但余數(shù)也隨著乘或除以相同的數(shù)。

【分析】商的變化規(guī)律：被除數(shù)不變，除數(shù)乘幾或除以幾（0除外），商就除以幾或乘幾；除數(shù)不變，被除數(shù)乘幾或除以幾，商就乘幾或除以幾；被除數(shù)和除數(shù)都乘或者除以相同的數(shù)（0除外），商不變；有余數(shù)的除法里，被除數(shù)和除數(shù)都乘相同的數(shù)或都除以相同的數(shù)（0除外），商不變，但余數(shù)也隨著乘或除以相同的數(shù)，據(jù)此解答。

【詳解】（1）計(jì)算時(shí)，四年級(jí)的張博同學(xué)想用商不變的規(guī)律計(jì)算，請(qǐng)你幫他把計(jì)算過(guò)程補(bǔ)充完整：＝÷＝（28）。

（2）趙鵬也利用商不變的規(guī)律計(jì)算下面這道題：

＝＝＝

趙鵬這樣做的結(jié)果不對(duì)，因?yàn)樵谟杏鄶?shù)的除法里，被除數(shù)和除數(shù)都乘相同的數(shù)或都除以相同的數(shù)（0除外），商不變，但余數(shù)也隨著乘或除以相同的數(shù)。

【分析】本題考查商的變化規(guī)律，熟練掌握并靈活運(yùn)用。

24．不對(duì)，理由見解析

【分析】在有余數(shù)的整數(shù)除法里，被除數(shù)和除數(shù)同時(shí)擴(kuò)大或縮小相同的倍數(shù)（0除外），商不變，但是余數(shù)也同時(shí)擴(kuò)大或縮小相同的倍數(shù)（0除外）。

【詳解】計(jì)算錯(cuò)誤，正確的是：

940÷40＝23……20

【分析】此題需要學(xué)生熟練掌握兩位數(shù)除兩、三位數(shù)的豎式計(jì)算方法。

25．0.75

【詳解】1.8÷（0.024×100）

＝1.8÷2.4

＝0.75

答：這個(gè)兩位小數(shù)是0.75。

26．（1）被減數(shù)和減數(shù)同時(shí)加上或者減去相同的數(shù)，差不變

（2）40－20＝20

45－25＝20

50－30＝20

正確

【分析】根據(jù)被減數(shù)和減數(shù)同時(shí)加上或者減去相同的數(shù)，差不變。結(jié)合題意分析解答即可。

【詳解】（1）我發(fā)現(xiàn)：被減數(shù)和減數(shù)同時(shí)加上或者減去相同的數(shù)，差不變。

（2）舉例驗(yàn)證：

40－20＝20

45－25＝20

50－30＝20（答案不唯一）

答：通過(guò)探究，我認(rèn)為這個(gè)規(guī)律是正確的。

【分析】本題考查了商的變化規(guī)律知識(shí)以及減法計(jì)算知識(shí)，旨在考查學(xué)生觀察算式之間的關(guān)系，總結(jié)規(guī)律，再依據(jù)規(guī)律解答。

27．4；9

4；9

（1）擴(kuò)大10倍

（2）擴(kuò)大8倍

【分析】商的變化規(guī)律：被除數(shù)和除數(shù)同時(shí)擴(kuò)大（或縮?。┫嗤稊?shù)，商不變。據(jù)此解答即可。

【詳解】28÷7＝481÷9＝9

280÷70＝（280÷10）÷（70÷10）＝28÷7＝4810÷90＝（810÷10）÷（90÷10）＝81÷9＝9

2800÷700＝（2800÷100）÷（700÷100）＝28÷7＝48100÷900＝（8100÷100）÷（900÷100）＝81÷9＝9

（1）被除數(shù)擴(kuò)大10倍，要使商不變，除數(shù)應(yīng)該擴(kuò)大10倍。

（2）如果把除數(shù)擴(kuò)大8倍，要使商不變，被除數(shù)應(yīng)該擴(kuò)大8倍。

【分析】熟練掌握商的變化規(guī)律是解決本題的關(guān)鍵。

28．4；4；4

【分析】根據(jù)商不變的性質(zhì)，被除數(shù)和除數(shù)同時(shí)乘或除以一個(gè)相同的數(shù)（0除外），商不變。據(jù)此解答即可。

【詳解】200÷50＝4

（200×10）÷（50×10）

＝2000÷500

＝4

（200÷10）÷（50÷10）

＝20÷5

＝4

答：200÷50的商是4，如果被除數(shù)和除數(shù)同時(shí)擴(kuò)大到原來(lái)的10倍，商還是4，如果被除數(shù)和除數(shù)同時(shí)縮小到原來(lái)的，商還是4。

【分析】本題考查商不變的性質(zhì)，熟記商不變的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵。

29．2；2；2；2；在除法算式里，被除數(shù)和除數(shù)同時(shí)乘或除以一個(gè)不為零的數(shù)，商的大小不變。

【分析】先分別計(jì)算出每個(gè)算式的商，然后再根據(jù)計(jì)算出結(jié)果進(jìn)行觀察，再寫出發(fā)現(xiàn)的規(guī)律即可。

【詳解】6÷3＝2

60÷30＝2

600÷300＝2

6000÷3000＝2

從上往下觀察：

從下往上觀察：

因此我發(fā)現(xiàn)：在除法算式里，被除數(shù)和除數(shù)同時(shí)乘或除以一個(gè)不為零的數(shù)，商的大小不變。

【分析】此題考查的是根據(jù)算式發(fā)現(xiàn)商的變化規(guī)律，應(yīng)熟練掌握。

30．1000000厘米

【分析】先求出1億張紙共多少包，再用包數(shù)乘每包厚度，求出1億張紙的總厚度。

【詳解】100000000÷500＝1000000÷5＝200000（包）

200000×5＝1000000（厘米）

答：1億張這樣的A4紙摞起來(lái)大約有1000000厘米厚。

【分析】熟練掌握商的變化規(guī)律：被除數(shù)和除數(shù)同時(shí)擴(kuò)大（或縮?。┫嗤稊?shù)，商不變。

31．20米

【分析】用1000除以250求出1000克里面有幾個(gè)250克，再乘5即可解答。

【詳解】1000÷250×5

＝4×5

＝20（米）

答：這捆鐵絲長(zhǎng)20米。

【分析】本題還可以用250除以5求出1米重多少克，再用1000除以1米重多少克即可解答。

32．豎式見詳解；商的變化規(guī)律；變成整數(shù)

【分析】除數(shù)是小數(shù)的小數(shù)除法：先把除數(shù)的小數(shù)點(diǎn)去掉使它變成整數(shù)，看除數(shù)原來(lái)有幾位小數(shù)，就把被除數(shù)小數(shù)點(diǎn)向右移動(dòng)相同的幾位（位數(shù)不夠時(shí)補(bǔ)0），按照除數(shù)是整數(shù)的除法進(jìn)行計(jì)算。根據(jù)商的變化規(guī)律：被除數(shù)和除數(shù)同時(shí)乘或除以相同的不為0的數(shù)，商不變；通過(guò)比較豎式算式和亮亮的算式，從而找出它們的共同點(diǎn)，那就是都要先把除數(shù)變?yōu)檎麛?shù)以后，再去計(jì)算。

【詳解】

亮亮的想法：

在亮亮的算法中，橫線上的這一步的依據(jù)是商的變化規(guī)律，你的豎式算式和亮亮的算式的共同點(diǎn)是先把除數(shù)變成整數(shù)，再計(jì)算。

【分析】此題的解題關(guān)鍵是通過(guò)列豎式和商的變化規(guī)律，讓學(xué)生更深刻的理解小數(shù)除法的算理。

33．6倍

【分析】在除法算式中，被除數(shù)和除數(shù)同時(shí)擴(kuò)大或縮小相同的倍數(shù)（0除外），商不變；據(jù)此解答即可．

【詳解】除數(shù)是20，增加100，是120，擴(kuò)大了120÷20=6倍，要使商不變，被除數(shù)也要擴(kuò)大6倍．

答：被除數(shù)應(yīng)該要擴(kuò)大6倍．

34．對(duì)，理由見詳解

【分析】根據(jù)的計(jì)算過(guò)程可知，被除數(shù)和除數(shù)同時(shí)除以9，將算式簡(jiǎn)化為，再進(jìn)行計(jì)算。這應(yīng)是運(yùn)用了商的變化規(guī)律。

【詳解】佳佳的做法對(duì)，因?yàn)楸怀龜?shù)和除數(shù)除以一個(gè)不為0的數(shù)，商不變。

【分析】本題考查商的變化規(guī)律的靈活運(yùn)用，商的變化規(guī)律：被除數(shù)和除數(shù)同時(shí)乘或除以一個(gè)不為0的數(shù)，商不變。

35．商為8；余數(shù)為15；余數(shù)是原來(lái)的3倍。

【分析】根據(jù)商不變規(guī)律可知：如果被除數(shù)和除數(shù)同時(shí)擴(kuò)大相同的倍數(shù)（0除外），則商不變，余數(shù)相應(yīng)的也擴(kuò)大相同的倍數(shù)，據(jù)此解答即可。

【詳解】舉例：

53÷6＝8……5

53×3＝159

6×3＝18

159÷18＝8……15

15÷5＝3

答：商是8，余數(shù)是15，余數(shù)是原來(lái)的3倍。

【分析】此題考查了商不變的規(guī)律，關(guān)鍵是明確商和余數(shù)的變化規(guī)律即可。

36．150

【分析】根據(jù)商的變化規(guī)律可知，除數(shù)不變，被除數(shù)乘5，商乘5。被除數(shù)不變，除數(shù)除以2，商乘2。則如果被除數(shù)乘5，除數(shù)除以2，商應(yīng)乘5，再乘2。據(jù)此解答。

【詳解】15×5×2＝150

【分析】熟練掌握商的變化規(guī)律是解決本題的關(guān)鍵。

37．0.2

【分析】由于除數(shù)不變，被除數(shù)擴(kuò)大10倍，商就擴(kuò)大10倍，可得多的1.8是正確商的10－1倍，據(jù)此解答。

【詳解】256÷25.6＝10

1.8÷（10－1）

＝1.8÷9

＝0.2

答：正確的商是0.2.

【分析】解答本題的明確的是除數(shù)不變，被除數(shù)擴(kuò)大幾倍，商就擴(kuò)大幾倍。

38．除法算式中，被除數(shù)和除數(shù)同時(shí)乘相同的數(shù)（0除外），商不變。

22；40

【分析】根據(jù)算式400÷25＝（400×4）÷（25×4）＝1600÷100＝16可以看出，是利用除法中被除數(shù)和除數(shù)同時(shí)乘一個(gè)不為0的數(shù)，商不變的規(guī)律，使算式的被除數(shù)和除數(shù)變成容易計(jì)算的成百成千的數(shù)。據(jù)此進(jìn)行解答。

【詳解】受到的啟發(fā)：除法算式中，被除數(shù)和除數(shù)同時(shí)乘相同的數(shù)（0除外），商不變。

550÷25

＝（550×4）÷（25×4）

＝2200÷100

＝22

1000÷25

＝（1000×4）÷（25×4）

＝4000÷100

＝40

【分析】本題考查了學(xué)生對(duì)商不變的規(guī)律的掌握與運(yùn)用。

39．亮亮；理由見解析

【分析】余數(shù)中的2在十位上，十位的2表示2個(gè)十，所以余數(shù)應(yīng)是20，驗(yàn)證時(shí)先求出商與除數(shù)的積，再加余數(shù)。

【詳解】740÷60＝12……20

60×12＋20

＝720＋20

＝740

答：亮亮說(shuō)得對(duì)。

【分析】在有余數(shù)的除法中，被除數(shù)＝商×除數(shù)＋余數(shù)。

40．原來(lái)的被除數(shù)為2600，余數(shù)為100。

【分析】根據(jù)商不變規(guī)律：如果被除數(shù)和除數(shù)同時(shí)擴(kuò)大到原數(shù)的幾倍或者縮小到