第10章含有耦合電感電路

1電路理論下一頁章目錄返回上一頁第十章含有耦合電感的電路§10-1互感§10-2含有耦合電感電路的計算§10-3空心變壓器§10-4理想變壓器2電路理論下一頁章目錄返回上一頁10.1互感一、

互感當(dāng)線圈1中通入電流i1時，在線圈1中產(chǎn)生磁通(magnetic

flux)

11

，產(chǎn)生的自感磁通鏈為

11，同時，有部分磁通穿過臨近線圈2，產(chǎn)生互感磁通鏈為

21，我們把這種一個線圈的磁通交鏈另一線圈的現(xiàn)象稱為磁耦合。i1稱為施感電流,

11=N1

11,

21=N2

21

+–

u11

+–

u21

N1

N2

11

21i1

11’2’2提示1：雙下標(biāo)含義？提示2：對于實物，注意線圈繞向；3電路理論下一頁章目錄返回上一頁當(dāng)線圈2中同時通入電流i2時，在線圈2中產(chǎn)生磁通

22

，產(chǎn)生的自感磁通鏈為

22，同時，有部分磁通穿過臨近線圈1，產(chǎn)生互感磁通鏈為

12。+–

u11

+–

u21

N1

N2

1=

11±

12

2=±

21+

22

12

22i2

i1

11’2’2那么，每個耦合線圈中的磁通鏈等于自感磁通鏈和互感磁通鏈的代數(shù)和。即：思考：上式什么時候取加？什么時候減？相應(yīng)地，i2稱為施感電流,由它產(chǎn)生的磁通鏈：

12=N1

12,

22=N2

22

4電路理論下一頁章目錄返回上一頁當(dāng)線圈周圍各向同性的線性磁介質(zhì)時，

11、

21與i1成正比，

12、

22與i2成正比?？梢苑謩e用下式表示：

11=L1i1，

21=M21i1，

22=L2i2，

12=M12i2M21=

M12=MM恒大于或等于零

1=L1i1

±

M

i2

2=±

M

i1+

L2i2。為自感系數(shù)，單位亨稱，H)(

11111LiLy=，

2222iLy=2L）。的互感系數(shù)，單位亨（對線圈為線圈稱，H21

2112121MiMy=）。的互感系數(shù)，單位亨（對線圈為線圈稱，H12

1221212MiMy=5下一頁章目錄返回上一頁二、互感線圈的同名端

1=L1i1

-M

i2

2=-

M

i1+

L2i2互感的作用有兩種可能性。若互感磁鏈與自感磁鏈方向一致，稱為互感的增助作用，此時，M前符號為正；若互感磁鏈與自感磁鏈方向相反，稱為互感的削弱作用，此時，M前符號為負(fù)。

21+–

u11

+–

u21

i1

11

N1

N2

i2

i2

為便于反映互感的增助或削弱作用，簡化圖形表示，采用同名端標(biāo)記方法。對兩個有耦合的線圈各取一對端子(產(chǎn)生的磁通方向相同)，用相同的符號如“

”或“*”加以標(biāo)記，則稱這一對端子為同名端。同名端反映兩個線圈的相對繞向。11’2’2i1

**L1

L2

+_u1

+_u2

i2

M

11’2’2

1=L1i1

+

M

i2

2=+

M

i1+

L2i2電路理論6電路理論下一頁章目錄返回上一頁當(dāng)有兩個以上的電感彼此之間存在耦合時，同名端應(yīng)一對一對地加以標(biāo)記。每一對采用不同的符號。如果每一電感都有電流時，則每一電感中的磁通鏈將等于自感磁通鏈與所有互感磁通鏈的代數(shù)和。+–

u11

+–

u21

i1

11

0N1

N2

+–

u31

N3

s

**△△總結(jié)：同名端應(yīng)成對標(biāo)示，反映兩兩線圈的相對繞向。7電路理論下一頁章目錄返回上一頁例10-1圖示電路，i1=10A，i2=5cos(10t)，L1=2H，L2=3H，

M=1H，求兩耦合線圈的磁通鏈。i1

**L1

L2

+_u1

+_u2

i2

M

11=L1

i1

=20Wb

22=L2

i2

=15cos(10t)Wb

21=M

i1

=10Wb

12=M

i2

=5cos(10t)Wb

1=L1

i1

+

M

i2

=[20+5cos(10t)]Wb

2=M

i1+

L2

i2=[10+15cos(10t)]Wb

提示思考：同名端改變，電流流入端改變時，磁通鏈變化？8

有了同名端后，分析互感電壓時不必考慮線圈實際繞向，只畫出同名端及電壓電流參考方向即可。i1**L1L2+_u1+_u2M+–+–u11u21i1

11

21N1N2′1′212+_u1+_u2**三、互感線圈的伏安特性

當(dāng)互感線圈通以變動的電流時，根據(jù)電磁感應(yīng)定律，在每個線圈兩端將產(chǎn)生感應(yīng)電壓。1.僅線圈1上通以變動的電流用同名端判斷互感電壓的參考方向：當(dāng)電流從一個電感線圈的同名端流入時，在與其耦合的另一線圈中的同名端即為由該電流產(chǎn)生的互感電壓參考方向的正端。用楞次定律分析互感電壓的正端，比較與同名端判斷互感電壓的結(jié)果是否一致？dtdΨu=電路理論下一頁章目錄返回上一頁9電路理論下一頁章目錄返回上一頁在正弦交流電路中，其相量形式的方程為j

L1

j

L2

+–

–

++–

+–

還可以用電流控制電壓源來表示互感電壓的作用。時域形式方程：i1

**L1

L2

+_u1

+_u2

i2

M

時域形式控制源形式的互感模型j

L1

j

L2

+–

+–

**相量形式j(luò)ωM

△△dtdiL

dtdi-Mu

dtdiM

dtdiLu22122111+=+=–思考：三種不同形式的方程特點？四、帶有互感的電路模型研究10電路理論下一頁章目錄返回上一頁五、耦合系數(shù)

(couplingcoefficient)k：工程上為了定量描述兩個耦合線圈的耦合程度，把兩線圈的互感磁通鏈與自感磁通鏈的比值的幾何平均值定義為耦合因數(shù)，用k表示。k表示兩個線圈磁耦合的緊密程度。顯然，k

1。k的大小與2個線圈的結(jié)構(gòu)、相互位置以及周圍磁介質(zhì)有關(guān)。改變或調(diào)整它們的相互位置有可能改變耦合因數(shù)的大??；當(dāng)L1和L2一定時，也就相應(yīng)地改變了互感系數(shù)M

的大小。說明：11互感現(xiàn)象的利與弊：利用——變壓器：信號、功率傳遞;避免——干擾;克服：合理布置線圈相互位置減少互感作用；采用屏蔽。11'22'k≈1思考什么情況下

k≈0？特殊地，當(dāng)k=1為全耦合:F11=F21，F(xiàn)22=F12電路理論下一頁章目錄返回上一頁12電路理論下一頁章目錄返回上一頁同名端實質(zhì)：反映線圈繞法的相互關(guān)系。六、同名端的確定方法總結(jié)：(1)

根據(jù)繞向判別：當(dāng)兩個線圈中電流同時由同名端流入(或流出)時，兩個電流產(chǎn)生的磁場相互增強。

i

11'22'**(2)實驗判別法：當(dāng)隨時間增大的時變電流從一線圈的一端流入時，將會引起另一線圈相應(yīng)同名端的電位升高。V+–

i

11'22'**R

S

電壓表瞬時正偏。如圖電路，當(dāng)閉合開關(guān)S時，i增加，思考：當(dāng)開關(guān)S打開時，電壓表？13

KCL的形式不變；10--2含有耦合電感電路的計算對于含有耦合電感電路的正弦穩(wěn)態(tài)分析仍可以采用相量法。在KVL的表達(dá)式中，應(yīng)計入由于互感的作用而引起的互感電壓。即當(dāng)某些支路具有耦合電感時，這些支路的電壓將不僅與本支路電流有關(guān)，同時還將與那些與之有互感關(guān)系的支路電流有關(guān)。思考：互感線圈的可能連接方式？不首先對具有互感的電感解耦，因為互感電壓是電流的函數(shù)，所以列寫電路方程求解時，通常采用以電流為未知量的求解方法建立方程；具體地，可采用支路電流法、回路電流法、網(wǎng)孔法?；ジ邢シㄖ苯佑嬎惴ㄊ紫确治龌ジ械倪B接方式，然后對互感采用前述方法去耦；關(guān)鍵：不要丟掉互感電壓；電路去耦后，求解方法視方便，自由選擇，無任何限制；電路理論下一頁章目錄返回上一頁141.

串聯(lián)順接–i1MR1R2L1L2u+*u1+–u2–+*i2iiLeqReq–u+等效一.互感線圈的串聯(lián)電路理論下一頁章目錄返回上一頁15若激勵為正弦量，也可通過其相量形式的電路方程來分析：–jω

MR1R2jω

L1jω

L2+*+––+*Reqjω

Leq+–等效電路理論下一頁章目錄返回上一頁16順向串聯(lián)的另一種等效電路

順向串聯(lián)時，每一條耦合電感支路阻抗和輸入阻抗都比無互感時的阻抗大(電抗變大)，此時互感起加強作用。–R1R2+–+–+jω(L1+M)jω(L2+M))2()(2121MLLjRRZeq++++=w)(222MLjRZ++=w=2Z1Z+1Z=)(11MLjR++w++w)(11MLjR++w)(22MLjR+=其中：電路理論下一頁章目錄返回上一頁172.反向串聯(lián)–i1MR1R2L1L2u+*u1+–u2–+*i2iiLeqReq–u+等效電路理論下一頁章目錄返回上一頁18若激勵為正弦量，也可通過其相量形式的電路方程來分析：–jωMR1R2jω

L1jω

L2+*+––+*ReqjωLeq+–等效電路理論下一頁章目錄返回上一頁19反向串聯(lián)的另一種等效電路–R1R2+–+–+jω(L1-M)jω(L2-M))2()(2121MLLjRRZeq-+++=w)(222MLjRZ-+=w=2Z1Z+1Z=)(11MLjR-+w-+w)(11MLjR-+w)(22MLjR+=其中：反向串聯(lián)時，每一條耦合電感支路阻抗和輸入阻抗都比無互感時的阻抗小(電抗變小)，互感起削弱作用；類似于電容串聯(lián)，稱為互感的容性效應(yīng)；

(L1-M)和(L2-M)可能其中之一為負(fù)，但(L1+L2-2M)>0，電路仍呈感性；結(jié)論：思考：端口電壓相量相同情況下，順串和反串哪個電流大？電路理論下一頁章目錄返回上一頁203.相量圖**+–R1R2j

L1+–+–j

L2j

M

相量圖：(a)順串(b)反串RUUU&&&(121±+=+=TLj1wI&jwI&MI&)R(2±+Lj2wI&jwI&MI&)+電路理論下一頁章目錄返回上一頁21將2個互感線圈順接一次，再反接一次，分別測出順接與反接時各自的總等效阻抗Z順和Z反4.互感的測量方法電路理論下一頁章目錄返回上一頁22電路理論下一頁章目錄返回上一頁例10-3圖示電路中，正弦電壓的U=50V，R1=3

，

L1=7.5

,R2=5

，

L2=12.5

,

M=8

。求該耦合電感的耦合因數(shù)K和該電路中吸收的復(fù)功率。i

**u2

+–

M

R1

R2

L1

L2

u1

+–

u

+–

解：耦合因數(shù)K為：AVjZIS+==)63.14025.156(222AVjZIS-==)63.1575.93(121jZZZ+=+=4821各支路吸收的復(fù)功率為：ZUIU°-D==D=°57.2659.5/,050...則：令jMLjRZ+=-+=5.45)(222wjMLjRZ-=-+=5.03)(111w23電路理論下一頁章目錄返回上一頁二.互感線圈的并聯(lián)**+–

R1

R2

j

L1

j

L2

j

M

1222

jj···++=IMILRUww）（2111

jj···++=IMILRUww）（2223

][···-++=IMLjRIMjU）（ww1113

][···-++=IMLjRIMjU）（ww+–R1

R2

j(L1-M)

j(L2-M)j

M+–

R1

R2

j

La

j

Lbj

LcLc=M

La=L1－

MLb=L2－

M1.同側(cè)并聯(lián)24電路理論下一頁章目錄返回上一頁2.異側(cè)并聯(lián)**+–

R1

R2

j

L1

j

L2

j

M

+–R1

R2

j(L1+M)

j(L2+M)-j

M+–

R1

R2

j

La

j

Lbj

LcLc

=－M

La=L1＋

MLb=L2＋

M25三.一端相連(兩電感有公共端)整理得1.同名端接在一起**j

L1123j

L2j

Mj(L1–M)123j

(L2–M)j

M等效電感與電流的參考方向無關(guān)電路理論262.非同名端接在一起整理得**j

L1123j

L2j

Mj(L1+M)123j

(L2+M)－j

M等效電感與電流的參考方向無關(guān)電路理論27四.互感線圈兩端均不相連++__+_+_2111IMjILjU&&&ww+=1222IMjILjU&&&ww+=兩種等效電路的特點：(1)去耦等效電路簡單，等效電路與電流的參考方向無關(guān)，但必須有公共端；(2)受控源等效電路，與電流參考方向有關(guān)，不需公共端。++**L1L2+__+__+_+_++__+_+_電路理論下一頁章目錄返回上一頁28電路理論下一頁章目錄返回上一頁例10-4圖示電路中，正弦電壓的U=50V，R1=3

，

L1=7.5

,R2=5

，

L2=12.5

,

M=8

。求支路1、2吸收的復(fù)功率。**+–

R1

R2

j

L1

j

L2

j

M

+–

R1

R2

j

La

j

Lbj

Lc五.例題分析29電路理論下一頁章目錄返回上一頁+–

R1

R2

j

La

j

Lbj

Lc30例10--5支路法、回路法：方程較易列寫，因互感電壓可以直接計入KVL方程。分析：關(guān)鍵：正確考慮互感電壓的作用，要注意表達(dá)式中的正負(fù)號，不要漏項。M12+_+_**

M23M13L1L2L3Z1Z2Z3列寫右圖電路方程電路理論直接求解：去耦法：下一頁章目錄返回上一頁31M12+_+_**

M23M13L1L2L3Z1Z2Z31.支路法：解：電路理論下一頁章目錄返回上一頁32整理，得M12+_+_**

M23M13L1L2L3Z1Z2Z3電路理論332.回路法：M12+_+_**

M23M13L1L2L3Z1Z2Z3說明：此處只是以回路電流相量為變量，并沒有按照回路法列方程。電路理論下一頁章目錄返回上一頁34整理，得M12+_+_**

M23M13L1L2L3Z1Z2Z3電路理論下一頁章目錄返回上一頁353.此題也可先作出去耦等效電路(一對一對去耦)，再列方程:M12**

M23M13L1L2L3**

M23M13L1–M12L2–M12L3+M12L1–M12–M13+M23L2–M12+M13–M23L3+M12–M13–M23想一想：若

M12＝M13＝M23＝M

，試畫出去耦等效電路？電路理論下一頁章目錄返回上一頁3610-3空心變壓器變壓器是利用互感元件來實現(xiàn)由一個電路向另一個電路傳輸能量或信號的器件。分類：空心變壓器和鐵芯變壓器?？招淖儔浩鳎杭醋儔浩鳑]有鐵芯，兩個耦合線圈繞在一個由非鐵磁性材料制成的芯子上組成空心變壓器，線圈通過空氣耦合，可以避免鐵芯帶來的非線性、磁滯及渦流的不利影響，廣泛用于高頻電子電路中。鐵芯變壓器：將原副線圈繞在一個鐵芯（軟磁材料），利用鐵芯的高磁導(dǎo)率加強互感，廣泛應(yīng)用于電力輸配、電工測量、電焊及電子電路中。電路理論下一頁章目錄返回上一頁37一、空心變壓器電路模型+_+_**a)原邊：與電源相連的一邊稱為原邊(初級)，其線圈稱為原線圈，R1和L1分別表示原線圈的電阻和電感。b)副邊：與負(fù)載相連的一邊稱為副邊(次級)，其線圈稱為副線圈，R2和L2分別表示副線圈的電阻和電感。c)M為兩線圈的互感系數(shù),RL和XL分別表示負(fù)載的電阻和電抗。d)注意圖中參考方向的規(guī)定。電路理論下一頁章目錄返回上一頁38電路理論下一頁章目錄返回上一頁**j

L1

j

L2

j

M

+–

R1

R2

Z=R+jX

二、空心變壓器電壓電流關(guān)系空心變壓器原邊、副邊的電流關(guān)系：S2111UIZIZM&&&=+Z22=(R2+R)+j(

L2+X)

Z11=R1+j

L139+–

Z11

原邊等效電路三、空心變壓器等效電路Z11=R1+j

L1

Z22=(R2+R)+j(

L2+X)

電路理論**j

L1

j

L2

j

M

+–

R1

R2

Z=R+jX

1、原邊等效電路下一頁章目錄返回上一頁40電路理論下一頁章目錄返回上一頁說明副邊回路對初級回路的影響可以用引入阻抗來考慮。從物理意義講，雖然原、副邊沒有電的聯(lián)系，但由于互感作用使閉合的副邊產(chǎn)生電流，這個電流又反過來影響原邊電流電壓。Zl=Rl+jXl：副邊對原邊的引入阻抗。

負(fù)號反映了副邊的感性阻抗反映到原邊為一個容性阻抗41電路理論下一頁章目錄返回上一頁同樣可解得：

+–

Z22

—原邊對副邊的引入阻抗。

副邊等效電路—副邊開路時，原邊電流在副邊產(chǎn)生的互感電壓。**j

L1

j

L2

j

M

+–

R1

R2

Z=R+jX

其中：Z11=R1+j

L1，

Z22=(R2+R)+j(

L2+X)

2、副邊等效電路42副邊等效電路的另一種推導(dǎo):+_+_**+_+_**+_**＝++_電路理論下一頁章目錄返回上一頁43電路理論下一頁章目錄返回上一頁**j

L1

j

L2

j

M

+–

R1

R2

Zl=Rl+jXl例10.6圖示電路，R1=R2=0，L1=5H,L2=1.2H,M=2H，us=100cos(10t)，ZL=RL+jXL=3

。求原、副邊電流i1、i2。44解：方法(1)：回路法。方法(2)：利用空心變壓器的等效電路。+–Z11例10.7

已知

L1=3.6H，L2=0.06H，M=0.465H，R1=20W，R2=0.08W，RL=42W，w=314rad/s，**j

L1j

L2j

M+–R1R2RL電路理論下一頁章目錄返回上一頁45此時負(fù)載獲得的功率：實際上是最佳匹配：解：依題意，有求：Zx

；并求負(fù)載獲得的有功功率。例10.8

已知，原邊等效電路的引入阻抗為，**j10

j10

j2+–10

Zx+–10+j10

電路理論下一頁章目錄返回上一頁46一.理想變壓器應(yīng)滿足的條件1)變壓器本身無損耗；2)耦合因數(shù)，即全耦合；3)L1、L2和M均為無限大，但保持不變，

n為匝數(shù)比?！?0-4理想變壓器理想變壓器如同理想R、L、C元件以及理想電源一樣，是一個電路模型，它是反映二個端口電流電壓關(guān)系的一種模型?？招淖儔浩魅绻瑫r滿足下列3個條件即演變?yōu)槔硐胱儔浩鳎弘娐防碚撓乱豁撜履夸浄祷厣弦豁?/p>

注意：以上三個條件在工程實際中不可能滿足，但在一些實際工程概算中，在誤差允許的范圍內(nèi)，把實際變壓器當(dāng)理想變壓器對待，可使計算過程簡化。47+_+_**二.理想變壓器端口電壓電流關(guān)系1.電壓關(guān)系2.電流關(guān)系電路理論下一頁章目錄返回上一頁48綜上可知理想變壓器是一種特殊的無損耗全耦合變壓器，其電路圖形符號如下，并且其原邊和副邊的電壓和電流總滿足下列關(guān)系：+_+_**注意上式是根據(jù)圖中的參考方向和同名端列出的。式中

n=N1/N2，稱為理想變壓器的變比。理想變壓器的特性方程為代數(shù)關(guān)系，因此無記憶作用，理想變壓器不是動態(tài)元件。理想變壓器模型電路理論理想變壓器唯一參數(shù)：n下一頁章目錄返回上一頁491.功率性質(zhì)：由此可以看出，理想變壓器既不耗能，也不儲能，它將能量由原邊全部傳輸?shù)礁边呡敵?，在傳輸過程中，僅僅將電壓、電流按變比作數(shù)值變換。即它在電路中只起傳遞信號和能量的作用。三.理想變壓器的性質(zhì)+_+_**理想變壓器吸收的瞬時功率為理想變壓器的方程為電路理論下一頁章目錄返回上一頁50

2.阻抗變換性質(zhì)+_當(dāng)理想變壓器的副邊接入阻抗

ZL

時，原邊輸入阻抗為：即

n2ZL

為副邊折合到原邊的等效阻抗。