(29)-5.2講義 互換的定價金融工程學(xué)

第二節(jié)互換的定價5.2.1互換與債券組合的等價關(guān)系在金融工程中，定價是非常重要的問題。下面我們來看一些定價方法，尤其是積木分析法，是如何運(yùn)用在互換的定價中的。此處我們以利率互換為例進(jìn)行解釋。我們說利率互換可以看成一個浮動利率債券和固定利率債券的組合：對于固定利率支付方，等同于發(fā)行一個支付固定利率的債券，同時把發(fā)債收入投資到具有同樣到期日和利息支付日的浮動利率債券上?；仡?.6節(jié)的例子，考慮一個2016年9月1日生效的三年期的利率互換，名義本金是1億美元。B公司同意支付給A公司年利率為5％的利息，同時A公司同意支付給B公司6個月期LIBOR的利息，利息每半年支付一次,現(xiàn)金流如下。圖1.互換的現(xiàn)金流此時，如果我們假設(shè)未來三年內(nèi)參考利率變動如表1所示，則相應(yīng)B公司的現(xiàn)金流如表中的第三列至第五列所示。表1.利率互換中B公司的現(xiàn)金流量表（百萬美元）日期

LIBOR(5%)

收到的浮動利息

支付的固定利息

凈現(xiàn)金流

2016.9.14.202017.3.14.80+2.10－2.50

－0.40

2017.9.15.30+2.40－2.50

－0.10

2018.3.15.50+2.65－2.50

＋0.15

2018.9.15.60+2.75－2.50

＋0.25

2019.3.15.90+2.80－2.50

＋0.30

2019.9.16.40+2.95－2.50

＋0.45

利率互換中B公司的現(xiàn)金流量表如上表所示，它在2017年3月1支付給A的固定利息為5%/2*100=2.5百萬美元，收到A支付的浮動利息為4.2%/2*100=2.1百萬美元，注意4.2%是在上一期，即2016年9月1日敲定的浮動利率。因此，B收到的凈現(xiàn)金流為2.1-2.5=-0.4百萬美元。上述利率互換可以看成是兩個債券頭寸的組合，分解成：B公司按6個月LIBOR的利率借給A公司1億美元。A公司按5%的年利率借給B公司1億美元。換個角度看，就是B公司向A公司購買了一份1億美元的浮動利率（LIBOR）債券，同時向A公司出售了一份1億美元的固定利率（5％的年利率，每半年付息一次）債券。因此B公司的互換現(xiàn)金流可以看成是發(fā)行一個半年付息一次、息票率為5%的一個3年期固定利率債券加上投資一個半年付息一次、息票率為LIBOR的3年期浮動利率債券。圖2.B公司的互換現(xiàn)金流等價情況5.2.2基于套利定價原理的利率互換定價套利是指在某項資產(chǎn)的交易過程中，交易者可以在不需要期初投資支出的條件下，獲得無風(fēng)險利潤。如果市場是有效的話，市場價格必然由于套利行為作出相應(yīng)的調(diào)整，重新回到均衡的狀態(tài)。這就是無套利的定價原則，也可以叫做套利定價。根據(jù)這個原則，在有效的金融市場上，任何一項金融資產(chǎn)的定價，應(yīng)當(dāng)使得利用該項金融資產(chǎn)進(jìn)行套利的機(jī)會不復(fù)存在。無套利定價原則首先要求套利活動在無風(fēng)險的狀態(tài)下進(jìn)行。無套利定價的關(guān)鍵技術(shù)是所謂“復(fù)制”技術(shù)，即用一組證券來復(fù)制另外一組證券。要點(diǎn)是使復(fù)制組合的現(xiàn)金流特征與被復(fù)制組合的現(xiàn)金流特征完全一致。由此，如果我們假設(shè)互換沒有違約的可能性，對利率互換進(jìn)行定價的簡單方法就是把它看成兩種債券的組合，則固定利率支付方的價值為：V浮動利率支付方的價值為：V這里，Vfix表示利率互換對固定利率支付方的價值，Vfl表示利率互換對浮動利率支付方的價值，Bfix根據(jù)債券的定價公式，固定利率債券的價值可以通過未來利息和本金的折現(xiàn)進(jìn)行計算。若定義ri為ti時刻的貼現(xiàn)率，假設(shè)為連續(xù)復(fù)利，則Bfix這里N表示債券的付息次數(shù)，ti表示第i次付息的時間，t而針對浮動利率債券,我們首先給出浮動利率債券在利息支付后瞬時價值等于面值的證明。為證明這一結(jié)論，我們考慮一個4年期的浮動利率債券，每年支付一次利息，利息率為1年期的市場基準(zhǔn)利率。我們知道未來發(fā)生的任何一個現(xiàn)金流其合理的折現(xiàn)利率應(yīng)該是即期利率，根據(jù)即期利率與遠(yuǎn)期利率的關(guān)系，每年記一次利息的4年后的1元錢應(yīng)該相當(dāng)于現(xiàn)在的：這里Ri表示i年期的即期利率，f0,t1根據(jù)無套利定價原理，遠(yuǎn)期利率協(xié)議的協(xié)議利率應(yīng)該使得合約的初始價值為0,此時的協(xié)議利率就是遠(yuǎn)期利率，故在定價時，我們可以將未來支付的浮動利息用遠(yuǎn)期利率以本金來代替。因此，對于例中的4年期浮動利率債券，假設(shè)面值為1元，其未來利息支付依次：，設(shè)每年的折現(xiàn)因子為：則浮動利率債券當(dāng)前的價值為：其中Z4是由Z4*1得到，即債券面值的在0時點(diǎn)的現(xiàn)值。因此，在任何利息支付日支付利息后，浮動利率債券的價值為1,故浮動利率債券一般按面值發(fā)行。故根據(jù)浮動利率債券的性質(zhì)，由于在整的付息間隔點(diǎn)上，支付完浮動利率債券利息的瞬時，浮動利率債券的價值會回歸到面值Q，因此若當(dāng)前時點(diǎn)為債券的付息時點(diǎn)，可以假設(shè)浮動利率債券價值等于面值。否則，假設(shè)下一支付日應(yīng)支付的利息額為k*（對于期末支付的浮動利率債券而言，這是已知的），那么在下一利息支付日付息前，浮動利率債券的價值為BflB這里t1表示當(dāng)前時刻距浮動利率債券下次付息的時間間隔，其中r1表示例:假設(shè)在一筆互換合約中，某一金融機(jī)構(gòu)支付6個月期的LIBOR，同時收取8％的年利率（半年計一次復(fù)利），名義本金為1億美元?；Q還有1.25年的期限。3個月、9個月和15個月的LIBOR（連續(xù)復(fù)利率）分別為10％、10.5％和11％。上一次利息支付日的6個月LIBOR為10.2％（半年計一次復(fù)利）。是計算該利率互換對金融機(jī)構(gòu)的價值是多少？在該例中，Q=1億美元，k=$4000故利率互換對金融機(jī)構(gòu)的價值為：當(dāng)然，在簽訂利率互換時，也可以使用這種辦法計算合理的協(xié)議利率。因為簽訂利率互換時，合約價值應(yīng)該為0，因此Bfix而此時浮動利率債券必然是在整的付息間隔上，因此浮動利率債券價值為面值Q，即Bfl協(xié)議利率=這里f表示利率互換中的付息頻率，如在美國，若利率互換每半年付息一次，則f=2。5.2.3基于套利定價原理的貨幣互換定價貨幣互換（CurrencySwaps）是將一種貨幣的本金和利息與另一貨幣的等價本金和利息進(jìn)行交換的協(xié)議。在沒有違約風(fēng)險的條件下，貨幣互換一樣也可以分解成債券的組合，不過不是浮動利率債券和固定利率債券的組合，而是一份外幣債券和一份本幣債券的組合。假設(shè)A公司和B公司在2013年10月1日簽訂了一份5年期的貨幣互換協(xié)議。合約規(guī)定A公司每年向B公司支付11％的英鎊利息并向B公司收取8％的美元利息。本金分別是1500萬美元和1000萬英鎊。A公司的現(xiàn)金流如表4.4所示。A公司持有的互換頭寸可以看成是一份年利率為8％的美元債券多頭頭寸和一份年利率為11％的英鎊債券空頭頭寸的組合。圖1.貨幣互換的利息現(xiàn)金流在合約期內(nèi)，雙方互換的現(xiàn)金流如下表。需要注意的是，貨幣互換在期初、期末均有本金的交換，這一點(diǎn)與利率互換是不同的。日期美元現(xiàn)金流英鎊現(xiàn)金流2013.10.1－15.00＋10.002014.10.1+1.20－1.102015.10.1+1.20－1.102016.10.1+1.20－1.102017.10.1+1.20－1.102018.10.1+16.20－11.10如果我們定義為貨幣互換的價值，那么對收入本幣、付出外幣的那一方：其中是用外幣表示的從互換中分解出來的外幣債券的價值；是從互換中分解出來的本幣債券的價值；是即期匯率（直接標(biāo)價法）。對付出本幣、收入外幣的那一方：【例】假設(shè)在美國和日本LIBOR利率的期限結(jié)構(gòu)是平的，在日本是4％而在美國是9％（都是連續(xù)復(fù)利），某一金融機(jī)構(gòu)在一筆貨幣互換中每年收入日元，利率為5％，同時付出美元，利率為9％。兩種貨幣的本金分別為1000萬美元和120000萬日元。這筆互換還有3年的期限，即期匯率為1美元＝110日元。根據(jù)現(xiàn)金流折現(xiàn)的思想，如果以美元為本幣，那么，美元美元貨幣互換的價值為：美元美元如果該金融機(jī)構(gòu)是支付日元收入美元，則貨幣互換對它的價值為-129.17萬美元。由于是兩方交易，一方所得即另一方所失，是一個零和博弈。5.2.4定價中未考慮的對手風(fēng)險影響由于互換是交易對手之間私下達(dá)成的場外協(xié)議，因此包含著信用風(fēng)險，也就是交易對手違約的風(fēng)險。當(dāng)利率或匯率等市場價格的變動使得互換對交易者而言價值為正時，互換實際上是該交易者的一項資產(chǎn)，同時是協(xié)議另一方的負(fù)債，該交易者就面臨著協(xié)議另一方不履行互換協(xié)議的信用風(fēng)險。當(dāng)互換對交易者而言價值為負(fù)且協(xié)議的另一方即將破產(chǎn)時，理論上該交易者面臨一個意外收益，因為對方的違約將導(dǎo)致一項負(fù)債的消失。對利率互換來說：由于交換的僅是利息差額，其交易雙方真正面臨