高中數(shù)學人教A版（2019）選擇性必修 第一冊1 3空間向量及其運算的坐標表示 練習

1.3空間向量及其運算的坐標表示一、單選題1．已知向量，，，則向量的坐標為（

）.A． B． C． D．2．已知向量，，則（

）A．50 B．14 C． D．3．已知，若，則的值為（

）A． B．2 C．6 D．84．已知空間向量，，則向量與（）的夾角為（

）A． B．或 C． D．或5．若平面，的法向量分別為，，則A． B．與相交但不垂直C． D．或與重合6．已知空間三點坐標分別為，，，點在平面ABC內(nèi)，則實數(shù)x的值為（

）A．1 B． C．0 D．7．已知空間三點，，，若向量與的夾角為60°，則實數(shù)（

）A．1 B．2 C． D．8．已知，點Q在直線OP上，那么當取得最小值時，點Q的坐標是（

）A． B． C． D．9．已知，，則（

）A． B．C． D．10．如圖，在棱長為2的正方體中，為的中點，點在底面上（包括邊界）移動，且滿足，則線段的長度的最大值為（

）A． B． C． D．311．如圖，在四棱錐中，側(cè)面為正三角形，底面為正方形，側(cè)面底面，為正方形內(nèi)（包括邊界）的一個動點，且滿足．則點在正方形內(nèi)的軌跡為（

）A． B．C． D．12．已知動點P在正方體的對角線(不含端點)上.設(shè)，若為鈍角，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．二、填空題13．設(shè)直線的方向向量為，直線的方向向量為，若，則實數(shù)m的值為______．14．在空間直角坐標系中，若三點A（1，-1，a），B(2，a，0)，C(1，a，-2)滿足：，則實數(shù)a的值為_________.15．已知，若與垂直，則___________.16．已知三棱錐中，，且，長度為1的線段的端點在上，端點在側(cè)面內(nèi)運動，若的中點為，的重心為，則的最小值是_________.三、解答題17．如圖，在長方體中，M是AC與BD的交點．若，，，求的長．18．如圖，在直三棱柱（側(cè)棱垂直于底面的棱柱）中，，，棱，為的中點.（1）求的長；（2）求與所成角的余弦值.19．如圖，已知直三棱柱ABC－A1B1C1，在底面△ABC中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，M，N分別是A1B1，A1A的中點．（1）求的模；（2）求cos〈，〉的值；（3）求證：A1B⊥C1M.20．已知向量，.（1）計算和；（2）求.21．如圖，以棱長為1的正方體的三條棱所在直線為坐標軸，建立空間直角坐標系，點在線段上，點在線段上.（1）當，且點關(guān)于軸的對稱點為點時，求的長度；（2）當點是面對角線的中點，點在面對角線上運動時，探究的最小值.參考答案：1．A根據(jù)空間向量線性運算的坐標表示計算，【詳解】向量，，，則向量，故選：A.【點睛】本題考查空間向量線性運算的坐標表示，屬于基礎(chǔ)題．2．C根據(jù)空間向量運算的坐標表示公式、空間向量模的坐標表示公式進行求解即可.【詳解】因為向量，，所以.故選：C【點睛】本題考查了空間向量數(shù)乘運算、加法運算、模的坐標表示公式，考查了數(shù)學運算能力.3．C根據(jù)向量垂直的性質(zhì)計算得到答案.【詳解】，，則，解得.故選：C.4．B根據(jù)數(shù)量積運算，結(jié)合的正負，求解對應的兩個夾角.【詳解】解得，代入得，又向量夾角范圍：故的夾角為，則與的夾角，當時為；時為.故選：B.【點睛】本題考查空間向量的數(shù)量積，以及向量夾角的求解，屬基礎(chǔ)題.5．A可判斷兩個平面的法向量共線，根據(jù)法向量平行可知兩平面平行．【詳解】解：因為平面，的法向量分別為，即，所以所以故選：A【點睛】本題考查了空間向量在立體幾何中的應用問題，屬于基礎(chǔ)題．6．A先由點的坐標確定三個向量，，，再根據(jù)三點在平面ABC內(nèi)，則有成立求解.【詳解】因為，，，所以，，因為空間三點坐標分別為，，，點在平面ABC內(nèi)所以設(shè)，則有.解得故選：A【點睛】本題主要考查了四點共面問題，還考查了運算求解的能力，屬于基礎(chǔ)題.7．B直接由空間向量的夾角公式計算即可【詳解】，，，，由題意有即，整理得，解得故選：B8．C設(shè)，根據(jù)點在直線上，求得，再結(jié)合向量的數(shù)量積和二次函數(shù)的性質(zhì)，求得時，取得最小值，即可求解.【詳解】設(shè)，由點在直線上，可得存在實數(shù)使得，即，可得,所以,則，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，可得當時，取得最小值，此時.故選：C.【點睛】本題主要考查了空間向量的共線定理，空間向量的數(shù)量積的運算，其中解答中根據(jù)向量的數(shù)量積的運算公式，得出關(guān)于的二次函數(shù)是解答的關(guān)鍵，著重考查運算與求解能力.9．C利用空間向量的坐標運算即可求解.【詳解】因為，，所以，故選：C.10．D以D為原點，DA為x軸，DC為y軸，為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出線段的長度的最大值．【詳解】解：以D為原點，DA為x軸，DC為y軸，為z軸，建立空間直角坐標系，設(shè)P（a，b，0），則（0，0，2），E（1，2，0），（2，2，2），＝（a?2，b?2，?2），＝（1，2，?2），∵P⊥E，，∴a＋2b?2＝0，∴點P的軌跡是一條線段，，由二次函數(shù)的性質(zhì)可得當時，可取到最大值9，∴線段P的長度的最大值為3．故選：D．【點睛】本題考查線段長的最大值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．11．A如圖，以為坐標原點，建立空間直角坐標系，設(shè)，正方形的邊長為，求出，的坐標，利用可得與的關(guān)系，即可求解.【詳解】如圖，以為坐標原點，，所在的直線分別為，軸建立如圖所示的空間直角坐標系，設(shè)正方形的邊長為，，則，，，，則，．由，得，所以點在正方形內(nèi)的軌跡為一條線段，故選：A．12．C建立空間直角坐標系，【詳解】由題設(shè)，建立如圖所示的空間直角坐標系，用坐標法計算，利用不是平角，可得為鈍角等價于，即，即可求出實數(shù)的取值范圍.設(shè)正方體的棱長為1，則有∴，∴設(shè)，∴，，由圖知不是平角，∴為鈍角等價于，∴，∴，解得∴的取值范圍是故選：C.13．##－0.5兩直線垂直，則兩直線的方向向量垂直，兩向量垂直，其數(shù)量積為零﹒【詳解】∵，∴，∴．故答案為：﹒14．先根據(jù)點的坐標得到，的坐標表示，再根據(jù)向量垂直對應的數(shù)量積為零計算出的值即可.【詳解】由題意，所以，解得.故答案為：15．##由向量垂直可得，即可求出.【詳解】因為，所以，，因為與垂直，所以，解得.故答案為：.16．在平面PBC內(nèi)過點P作Pz⊥PC，再建立空間直角坐標系，利用兩點間距離公式探求出點T的軌跡即可得解.【詳解】因，則平面PBC，在平面PBC內(nèi)過點P作Pz⊥PC，則Pz⊥平面PAC以點P為原點，射線PA，PC，Pz分別為x，y，z軸非負軸建立空間直角坐標系，如圖：因，則有，設(shè)，，則的中點，連BG并延長交AC于點D，因G(m，n，p)是的重心，則D是BC中點，且，而,，，則，即，因，即，則，即，所以點T的軌跡是以P為球心，為半徑的球面在三棱錐內(nèi)的部分(含邊界)，而，點G在上述軌跡外，且線段GP與上述軌跡必相交，所以故答案為：【點睛】結(jié)論點睛：在空間，球面外一點M與球面上點的距離最小值為點M到球心距離減去球半徑；球面外一點M與球面上點的距離最大值為點M到球心距離加上球半徑.17．以D1為原點，為x、y、z軸正方向建立空間直角坐標系，用向量法求解.【詳解】以D1為原點，為x、y、z軸正方向建立空間直角坐標系，則所以，所以即的長為.18．（1）；（2）.以為坐標原點，、、所在直線分別為軸、軸、軸建立空間直角坐標系.（1）利用空間中兩點間的距離公式可求得的長；（2）利用空間向量法可求得與所成角的余弦值.【詳解】如圖，以為坐標原點，、、所在直線分別為軸、軸、軸建立空間直角坐標系.（1）依題意得、，因此，，因此，線段的長為；（2）依題意得、、、，，，所以，，故與所成角的余弦值為.19．（1）；（2）；（3）證明見解析.（1）如圖，以點C作為坐標原點O，CA，CB，CC1所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系，利用向量的模長公式計算即可；（2）利用坐標運算計算cos〈，〉的值；（3）通過計算·＝0可得答案.【詳解】（1）如圖，以點C作為坐標原點O，CA，CB，CC1所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系.由題意得B(0，1，0)，N(1，0，1)，∴＝＝.（2）由題意得A1(1，0，2)，B(0，1，0)，C(0，0，0)，B1(0，1，2)，∴＝(1，－1，2)，＝(0，1，2)，·＝3，||＝，||＝，∴cos〈，〉＝＝.（3）由題意得C1(0，0，2)，M，＝(－1，1，－2)，＝，∴·＝－＋＋0＝0，∴⊥，即A1B⊥C1M.20．（1），；（2）.（1）利用空間向量的坐標運算可求得的坐標，利用向量的模長公式可求得的值；（2）計算出，結(jié)合的取值范圍可求得結(jié)果.【詳解】（1），；（2），，因此，.【點睛】本題考查空間向量的坐標運算，同時也考查了利用空間向量的數(shù)量積計算向量的夾角，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題.21．（1）（2）（1）以棱長為1的正方體的三條棱所在直線為坐標軸，建立空間直角坐標系，推導出，，由此能求出．（2）當點是面對角線中點時，點，點在