傾斜角與斜率（導(dǎo)學(xué)案）高二數(shù)學(xué)系列（人教A版2019選擇性）

傾斜角與斜率導(dǎo)學(xué)案學(xué)習(xí)目標(biāo)(1)初步了解解析幾何的產(chǎn)生及其意義，初步認(rèn)識坐標(biāo)法思想.(2)理解直線的傾斜角與斜率的概念.(3)掌握過兩點(diǎn)的直線的斜率公式.重點(diǎn)難點(diǎn)重點(diǎn)：直線的傾斜角和斜率的概念，過兩點(diǎn)的直線斜率公式.難點(diǎn)：用直線的傾斜角和斜率刻畫直線的幾何特征，建立直線的傾斜角、斜率及直線上任意兩點(diǎn)縱橫坐標(biāo)差商之間的關(guān)系.課前預(yù)習(xí)自主梳理知識點(diǎn)一直線的傾斜角1．傾斜角的定義(1)當(dāng)直線l與x軸相交時(shí)，我們以x軸為基準(zhǔn)，x軸正向與直線l向上的方向之間所成的角α叫做直線l的傾斜角．(2)當(dāng)直線l與x軸平行或重合時(shí)，規(guī)定它的傾斜角為0°.2．直線的傾斜角α的取值范圍為0°≤α<180°.思考：任何一條直線都有傾斜角嗎？不同的直線其傾斜角一定不相同嗎？提示由傾斜角的定義可以知道，任何一條直線都有傾斜角；不同的直線其傾斜角有可能相同，如平行的直線其傾斜角是相同的．知識點(diǎn)二直線的斜率1．直線的斜率：把一條直線的傾斜角α的正切值叫做這條直線的斜率，斜率常用小寫字母k表示，即k＝tan_α.2．斜率與傾斜角的對應(yīng)關(guān)系圖示傾斜角(范圍)α＝0°0°<α<90°α＝90°90°<α<180°斜率(范圍)k＝0k>0不存在k<03.過兩點(diǎn)的直線的斜率公式:過兩點(diǎn)的直線的斜率公式為.思考：你能說出直線的傾斜角與斜率的區(qū)別與聯(lián)系嗎?提示(1)直線的斜率與傾斜角既有區(qū)別,又有聯(lián)系.它們都反映了直線相對于軸的傾斜程度,本質(zhì)上是一致的.但傾斜角是角度,是直線傾斜度的直接體現(xiàn);斜率是實(shí)數(shù),是直線傾斜度的間接反映,用斜率比用傾斜角更方便.(2)傾斜角可正、可零,但不可為負(fù),而斜率不僅可正、可零,還可以為負(fù).(3)當(dāng)時(shí),直線斜率不存在,當(dāng)時(shí),可以建立傾斜角和斜率之間的函數(shù)關(guān)系,即.自主檢測1.判斷正誤，正確的畫“√”，錯誤的畫“×”．(1)任何一條直線都有傾斜角，都存在斜率．()(2)若直線的傾斜角為α，則0°≤α≤180°.()(3)任何一條直線有且只有一個(gè)斜率和它對應(yīng)．()(4)經(jīng)過兩點(diǎn)的直線的斜率公式適用于任何直線．()【答案】(1)×(2)×(3)×(4)×【解析】(1)錯誤．傾斜角為90°的直線不存在斜率．(2)錯誤．若直線的傾斜角為α，則0°≤α<180°.(3)錯誤．當(dāng)傾斜角為90°時(shí)，直線對應(yīng)的斜率不存在．(4)錯誤．當(dāng)直線與x軸垂直時(shí)，直線的斜率不存在，無法用該公式求斜率．2.下面說法正確的是（

）A．一條直線和軸的正方向所成的角，叫做這條直線的傾斜角B．直線的斜率為，則其傾斜角為C．若直線的傾斜角為，則斜率為D．每一條直線都存在傾斜角，但不一定存在斜率【答案】D【解析】根據(jù)直線傾斜角和斜率的概念逐一判斷即可.【詳解】一條直線向上的方向和x軸的正方向所成的角，叫做這條直線的傾斜角，故A錯誤；直線的斜率為，因?yàn)橹本€的傾斜角范圍是，不一定在這個(gè)范圍內(nèi)，故B不正確；若直線的傾斜角為，斜率不存在，故C不正確；每一條直線都存在傾斜角，但不一定存在斜率，故D正確；故選：D.【點(diǎn)睛】本題主要考查了直線的傾斜角和斜率的概念及其關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.3.已知a，b，c是兩兩不等的實(shí)數(shù)，求經(jīng)過下列兩點(diǎn)的直線的傾斜角.（1），

（2），（3），．【答案】（1）；（2）；（3）.【分析】（1）先計(jì)算出斜率值，再根據(jù)傾斜角的正切值等于斜率求解出傾斜角；（2）根據(jù)橫坐標(biāo)相等判斷出直線軸，由此分析得到直線的傾斜角；（3）先計(jì)算出斜率值，再根據(jù)傾斜角的正切值等于斜率求解出傾斜角.【詳解】（1）因?yàn)椋?，所以，所以直線的傾斜角為；（2）因?yàn)榈臋M坐標(biāo)相等，所以直線軸，所以直線的傾斜角為；（3）因?yàn)?，所以，所以，所以直線的傾斜角為.4.求證：，，三點(diǎn)共線.【答案】證明見解析【分析】證過同一點(diǎn)的兩直線的斜率相等即可得．【詳解】證明：由題意，知，.因?yàn)?，即兩直線的斜率相等.且兩直線經(jīng)過同一點(diǎn).所以三點(diǎn)共線.5.（多選題）下列說法正確的是（

）A．有的直線斜率不存在B．若直線的傾斜角為，且，則它的斜率C．若直線的斜率為1，則它的傾斜角為D．截距可以為負(fù)值【答案】ABD【分析】ABC選項(xiàng)，利用直線的傾斜角和斜率的關(guān)系判斷；D選項(xiàng)，利用截距的定義判斷.【詳解】A.當(dāng)傾斜角為時(shí)，直線斜率不存在，故正確；B.若直線的傾斜角為，且，由斜率和傾斜角的關(guān)系知：，故正確；C.若直線的斜率為1，則它的傾斜角為，故錯誤；D.截距為直線與坐標(biāo)軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)或縱坐標(biāo)，為實(shí)數(shù)，所以可以為負(fù)值，故正確；故選：ABD新課導(dǎo)學(xué)學(xué)習(xí)探究環(huán)節(jié)一創(chuàng)設(shè)情境，引入課題引導(dǎo)語：十六、十七世紀(jì)，為了描述現(xiàn)實(shí)世界中的運(yùn)動變化現(xiàn)象，如行星的運(yùn)動、平面拋體的運(yùn)動等，需要對它們的運(yùn)動軌跡進(jìn)行精確的代數(shù)刻畫，運(yùn)動變化進(jìn)入了數(shù)學(xué)，變量觀念成為數(shù)學(xué)中的重要理念.在眾多數(shù)學(xué)家工作的基礎(chǔ)上，法國數(shù)學(xué)家笛卡兒、費(fèi)馬集其大成，創(chuàng)立了坐標(biāo)系，用坐標(biāo)刻畫運(yùn)動變化.這是解析幾何的創(chuàng)始.我們知道，點(diǎn)是構(gòu)成直線的基本元素．在平面直角坐標(biāo)系中，可以用坐標(biāo)表示點(diǎn)，那么，如何用坐標(biāo)表示直線呢？為了用代數(shù)方法研究直線的有關(guān)問題，本節(jié)我們首先在平面直角坐標(biāo)系中探索確定直線位置的幾何要素，然后用代數(shù)方法把這些幾何要素表示出來．問題1：回顧平面幾何的學(xué)習(xí)，我們主要研究了哪些類型的圖形？所用的研究方法是什么？我們知道，平面直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)與有序?qū)崝?shù)對一一對應(yīng)，那么平面中的圖形和怎樣的代數(shù)對象對應(yīng)呢？從本章開始的解析幾何就要解決這個(gè)問題，把幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題，實(shí)現(xiàn)通過代數(shù)運(yùn)算來研究幾何圖形性質(zhì)的目的.交通工程上一般用“坡度”來描述一段道路對于水平方向的傾斜程度,如圖,一輛汽車沿某條道路從A點(diǎn)前進(jìn)到B點(diǎn),在水平方向前進(jìn)的距離為AD,豎直方向上升的高度為DB(如果是下降,則DB的值為負(fù)實(shí)數(shù)),則坡度k=上升高度水平距離=DBAD.k>0表示上坡,k<0表示下坡,為了實(shí)際應(yīng)用與安全追問：那么“坡度”是如何來刻畫道路的傾斜程度的呢?為了用代數(shù)方法研究直線的有關(guān)問題，需要把直線代數(shù)化.也就是教科書中提到的“直線如何表示?”，這個(gè)表示指的就是代數(shù)化.何為代數(shù)化？如何代數(shù)化？環(huán)節(jié)二觀察分析，感知概念問題2：直線是最簡單的幾何圖形之一，確定一條直線的幾何要素是什么？追問：還有沒有其他確定一條直線的方法？ 思考確定一條直線的幾何要素是什么？對于平面直角坐標(biāo)系中的一條直線（圖2.11)，如何利用坐標(biāo)系確定它的位置？我們知道，兩點(diǎn)確定一條直線，一點(diǎn)和一個(gè)方向也可以確定一條直線．問題3：下面我們利用直角坐標(biāo)系進(jìn)一步研究確定直線位置的幾何要素.觀察圖2.12中經(jīng)過定點(diǎn)P的直線束，它們的區(qū)別是什么？你能用利用直角坐標(biāo)系中的一些元素將這些直線區(qū)分開來嗎？設(shè)，為直線上的兩點(diǎn)，則就是這條直線的方向向量．所以，兩點(diǎn)確定一條直線可以歸結(jié)為一點(diǎn)和一個(gè)方向確定一條直線．在平面直角坐標(biāo)系中，經(jīng)過一點(diǎn)可以作無數(shù)條直線，它們組成一個(gè)直線束（圖2.12)，這些直線的區(qū)別是什么？在上述探究過程中，學(xué)生的第一反應(yīng)是與x軸的夾角.教師要做好引導(dǎo)，說明方向與夾角之間的關(guān)系，兩者都描述了直線的傾斜程度.在平面直角坐標(biāo)系中，我們規(guī)定水平直線的方向向右，其他直線向上的方向?yàn)檫@條直線的方向．因此，這些直線的區(qū)別是它們的方向不同．如何表示這些直線的方向？我們看到，這些直線相對于軸的傾斜程度不同，也就是它們與軸所成的角不同．因此，我們可以利用這樣圖的角來表示這些直線的方向．問題4:你認(rèn)為直線的傾斜角在什么范圍內(nèi)變化？當(dāng)直線與軸相交時(shí)，我們以軸為基準(zhǔn)，軸正向與直線向上的方向之間所成的角叫做直線的傾斜角．圖中直線的傾斜角為銳角，直線的傾斜角為鈍角．當(dāng)直線與軸平行或重合時(shí)，我們規(guī)定它的傾斜角為．因此，直線的傾斜角的取值范圍為這樣，在平面直角坐標(biāo)系中，每一條直線都有一個(gè)確定的傾斜角，而且方向相同的直線，其傾斜程度相同，傾斜角相等；方向不同的直線，其傾斜程度不同，傾斜角不相等．因此，我們可以用傾斜角表示平面直角坐標(biāo)系中一條直線的傾斜程度，也就表示了直線的方向．環(huán)節(jié)三抽象概括，形成概念問題5：直線的傾斜角刻畫了它的傾斜程度，是否還能用其他方法刻畫直線的傾斜程度呢?我們知道，直線可由其上任意兩點(diǎn)，唯一確定，可以推斷，直線的傾斜角一定與兩點(diǎn)的坐標(biāo)有內(nèi)在聯(lián)系．到底具有怎樣的聯(lián)系？下面我們利用向量來研究這個(gè)問題.在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)直線的傾斜角為．（1）已知直線經(jīng)過，，與，的坐標(biāo)有什么關(guān)系？（2）類似地，如果直線經(jīng)過，，與，的坐標(biāo)又有什么關(guān)系？追問：你能將上述方法進(jìn)行一般性的推廣嗎？環(huán)節(jié)四辨析理解深化概念下面我們利用向量法探究上述問題對于問題(1)，如圖2.13(1)，向量，且直線的傾斜角為．由正切函數(shù)的定義，有對于問題(2)，如圖2.13(2)，．平移向量到，則點(diǎn)的坐標(biāo)為，且直線的傾斜角也是．由正切函數(shù)的定義，有．一般地，如圖，當(dāng)向量的方向向上時(shí)，，平移向量到，則點(diǎn)的坐標(biāo)為，且直線的傾斜角也是，由正切函數(shù)的定義，有．同樣，當(dāng)向量的方向向上時(shí)，如圖，，也有．問題6：這個(gè)公式對任何給定的兩點(diǎn)都適用嗎？這個(gè)公式的意義是什么？與我們?nèi)粘Ｉ钪锌坍嬓泵鎯A斜程度的坡度有聯(lián)系嗎？思考當(dāng)直線與軸平行或重合時(shí)，上述式子還成立嗎？為什么？綜上可知，直線的傾斜角與直線上的兩點(diǎn)，的坐標(biāo)有如下關(guān)系：．我們把一條直線的傾斜角的正切值叫做這條直線的斜率．斜率常用小寫字母表示，即②注釋：日常生活中常用坡度表示傾斜面的傾斜程度：．當(dāng)直線的傾斜角為銳角時(shí)，直線的斜率與坡度是類似的．問題7：當(dāng)直線的傾斜角變化時(shí)，直線的斜率如何變化？當(dāng)直線的傾斜角是0°或90。時(shí)，直線的斜率是多少？傾斜角是的直線沒有斜率，傾斜角不是的直線都有斜率，例如，傾斜角時(shí)，這條直線的斜率．傾斜角時(shí)，這條直線的斜率．注釋：當(dāng)直線的傾斜角由逐漸增大到時(shí)，其斜率如何變化？為什么？由正切函數(shù)的單調(diào)性，傾斜角不同的直線，其斜率也不同．因此，我們可以用斜率表示傾斜角不等于的直線相對軸的傾斜程度，進(jìn)而表示直線的方向．如果直線經(jīng)過兩點(diǎn)，，那么由=1\*GB3①=2\*GB3②可得如下的斜率公式：．我們發(fā)現(xiàn)，在平面直角坐標(biāo)系中，傾斜角和斜率分別從形和數(shù)兩個(gè)角度刻畫了直線相對于軸的傾斜程度．思考（1）已知直線上的兩點(diǎn)，，運(yùn)用上述公式計(jì)算直線的斜率時(shí)，與兩點(diǎn)的順序有關(guān)嗎？（2）當(dāng)直線平行于軸，或與軸重合時(shí)，上述公式還適用嗎？為什么？問題8：你能發(fā)現(xiàn)直線的方向向量與斜率之間的關(guān)系嗎？我們知道，直線上的向量以及與它平行的向量都是直線的方向向量．直線的方向向量的坐標(biāo)為．當(dāng)直線與軸不垂直時(shí)，，此時(shí)向量也是直線的方向向量，且它的坐標(biāo)為，即，其中是直線的斜率．因此，若直線的斜率為，它的一個(gè)方向向量的坐標(biāo)為，則．環(huán)節(jié)五概念應(yīng)用，鞏固內(nèi)化例1如圖，已知，，，求直線，，的斜率，并判斷這些直線的傾斜角是銳角還是鈍角．解：直線的斜率，直線的斜率，直線的斜率，由>及可知，直線與的傾斜角均為銳角；由可知，直線的傾斜角為鈍角．環(huán)節(jié)六歸納總結(jié),反思提升問題9：請同學(xué)們回顧本節(jié)課的學(xué)習(xí)內(nèi)容,并回答下列問題：1.本節(jié)課學(xué)習(xí)的概念有哪些？2.在解決問題時(shí)，用到了哪些數(shù)學(xué)思想？1.知識總結(jié)：2.學(xué)生反思：（1）通過這節(jié)課，你學(xué)到了什么知識？（2）在解決問題時(shí)，用到了哪些數(shù)學(xué)思想？環(huán)節(jié)七 目標(biāo)檢測，作業(yè)布置完成教材：布置作業(yè)教科書習(xí)題第1,2,3,4,7,8題.備用練習(xí)1.直線的傾斜角為（）A．0° B．45° C．90° D．135°【答案】C【分析】根據(jù)直線與軸垂直可得答案.【詳解】直線與軸垂直，故傾斜角為故選：C2.若點(diǎn)，則直線AB的斜率是（

）A． B． C．1 D．2【答案】B【分析】根據(jù)斜率公式即得.【詳解】因?yàn)椋?，所以直線AB的斜率是.故選：B.3.若，，三點(diǎn)在同一條直線上，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由三點(diǎn)共線得，利用斜率的坐標(biāo)公式建立方程求解即可.【詳解】因?yàn)锳，B，C三點(diǎn)在同一條直線上，所以，所以，解得.故選：D4.下列命題中，正確的是（

）A．若直線的傾斜角越大，則直線的斜率就越大B．若直線的傾斜角為，則直線的斜率為C．若直線傾斜角，則斜率的取值范圍是D．當(dāng)直線的傾斜角時(shí)，直線的斜率在這個(gè)區(qū)間上單調(diào)遞增.【答案】C【解析】根據(jù)直線斜率與傾斜角存在的關(guān)系對每個(gè)選項(xiàng)逐一分析，需要注意直線有傾斜角